Quando nos deparamos com logaritmos em grande parte estudamos os logaritmos decimais que são logaritmos cuja base é representada pelo número 10 - que normalmente oculta-se o mesmo em sua representação. Os logaritmos Naturais são logaritmos representados pela base “e” que é um número irracional denominado de constante ou número de Euler equivalente a (e=2,71828..). Matematicamente representamos o logaritmo natural por;

Ln(x) = logex

Portanto, algumas conseqüências de sua definição podem ser representadas:

Ln 1 = 0

Ln e = 1

Ln (en) = n

Também podemos listar aqui suas propriedades operacionais importantes.

1. Logaritmo natural de um produto

ln (x · y) = ln x + ln y

2. Logaritmo natural de um quociente

ln (x/y) = ln x - ln y

3. Logaritmo natural de uma potência

ln (xn) = n . ln x

Muitos exercícios referentes a logaritmos naturais podem ser resolvidas a partir de técnicas utilizadas para facilitar a resolução dos mesmos. Vejamos;

Iremos transformar a base “e” para a base decimal (10)

Demonstração

Ln x = logex

Fazendo a mudança de base para a base decimal

Logex= Log10x / log10e

Resolvendo

Logex =Log10x /0,434

“Desmembrando”

Logex= 1 /0,434 . Log10x

Logex = 2,31 Log10x ( Obs: Valor aproximado, uma vez que o valor de” log10e”foi truncado)

Agora vejamos algumas aplicações em exercícios sobre o conceitos descritos acima.

Exemplo 1) Se Log 8=0,90, determine o valor de Ln(8).

Resolução

Ln8= Loge8 = 2,31 log108 = 2,31 x 0,90= 2,1.

Exemplo 2) Se Ln 3=1,1 e Ln 6=1,8. Determinar o valor de Ln 18.

Resolução

Aplicando a regra do produto

Ln 18= Ln(3 . 6)= Ln 3+ Ln6 = 2,9

Nota: Não devemos confundir os termos referentes a logaritmo natural e logaritmo neperiano, muita das vezes ambos são tratados como sinônimos, mas na verdade o logaritmo neperiano refere-se a um logaritmo na qual sua base é denotada por “a”, onde se segue;

107 . log a (x/107)

a= (1-10-7)10^7 = limn->∞(1-1/n)n= 1/e

107 .log1/e (x/107)

Logo, percebe-se que o logaritmo neperiano refere-se a base ”1/e”.

O sistema de logaritmos neperianos possui como base o número irracional e (e = 2,718...). Esse sistema também é conhecido como sistema de logaritmos naturais, com a condição x > 0. Ele pode ser expresso por:

logex = ln x

Transformando base e para a base decimal.

Considere o número real positivo x, para tal temos:

Através da relação demonstrada, podemos resolver os problemas propostos envolvendo a base decimal e a base e.

Exemplo 1 Sabendo que log 5 = 0,70, determine ln5. Resolução: ln x = 2,3 * log x → ln 5 = 2,3 * log 5 → ln 5 = 2,3 * 0,70 → ln 5 = 1,61

Exemplo 2 Sendo ln 0,02 = – 3,9, determine log 0,02. Resolução: Se ln x = 2,3 * log x, então:

Exemplo 3 Dados log 2 = 0,30 e log e = 0,43, calcule o valor de x na equação ex – 8 = 0. Resolução:

Exemplo 4 Calcular o valor de y na equação,

Resolução:

Exemplo 5 A corrente elétrica que atravessa um circuito é dada por i = 10 * e–0,02*t, em que i0 é o valor da corrente no instante t = 0 e i é o valor da corrente decorridos t segundos. Determine em quantos segundos a corrente atinge 2% do seu valor inicial. (dado: ln 0,02 = – 4)

Resolução:

A corrente elétrica leva 200 segundos para atingir 2% do seu valor inicial.