Livro Pedro S e Elias Macedo Neto (2)

Reitora da Universidade do Estado do Pará

Marília Brasil Xavier

Pró-Reitora de Extensão

Mariane Alves Cordeiro Franco

Diretora do Centro de Ciências Sociais e Educação

Maria José Cravo

Vice- Diretor do Centro de Ciências Sociais e Educação

Gilberto Reis Vogado

Autores

Elias Paulo Macêdo Neto

Pedro Franco de Sá

Caminhei muito para chegar

até aqui. Ao chegar, percebi

que o longe é um lugar que

não existe.

Elias Macêdo

Sumário

Introdução.......................................................................4

Relações..........................................................................5

Operações internas........................................................15

Grupos e Subgrupos......................................................21

Homomorfismo de grupos............................................26

Classes Laterais............................................................30

Anéis e Corpos..............................................................34

Homomorfismo de anéis...............................................43

Resoluções....................................................................48

Referências.................................................................152

Introdução

Uma das dificuldades encontrada pelo estudante

de graduação ao resolver uma questão está na forma

como ele organiza suas ideias, para que, em outro

momento, o mesmo, ou outrem, possa ter uma base do

raciocínio utilizado para solucionar tal exercício. A

disciplina de Álgebra Moderna tem como característica

um elevado grau de abstração, o que requer mais cautela

no que diz respeito à formalização/organização das

ideias utilizadas. Com o intuito de criar condições para

que os licenciandos em Matemática possam exercitar

alguns dos conceitos de Álgebra Moderna, verificar a

validação dos seus resultados obtidos e sanar suas

dúvidas quanto à resolução das questões,

desenvolvemos o presente livreto.

Questões de Álgebra Moderna é um livro

endereçado a todos aqueles que, por alguma

necessidade, desejam pôr em prática alguns dos

conceitos de Álgebra Moderna. Esta redação está

dividida em oito seções, são elas: (1) Relações; (2)

Operações Internas; (3) Grupos e Subgrupos; (4)

Homomorfismo de Grupos; (5) Classes laterais; (6)

Anéis e Corpos; (7) Homomorfismo de Anéis; (8)

Resolução das Questões. Cada seção, exceto (8), está

dividida em duas subseções: (1) Resumo da teoria; (2)

Questões propostas.

Esperamos que este pequeno livro seja um

instrumento útil a quem a ele recorrer.

5

Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto

Pedro Franco de Sá

1. Relações

1.1. Resumo da teoria

I – Produto cartesiano:

Sejam e dois conjuntos não vazios.

Chamamos „produto cartesiano‟ de por , denotamos

por , o conjunto formado por todos os pares

ordenados , tais que e .

II – Relação:

Sejam e dois conjuntos não vazios.

Chamamos „relação binária‟ de em ou apenas

„relação‟ de em a todo sunconjunto de .

III- Domínio e imagem de uma relação:

Seja uma relação de em . Chamamos

„domínio‟ de , denotamos por ao subconjunto

de constituído pelos elementos tais que .

Chamamos „imagem‟ de , denotamos por

, ao subconjunto de constituído pelos

elementos tais que .

IV – Inversa de uma relação:

Seja uma relação de em . Chamamos de

relação inversa de , denota-se por , à seguinte

relação definida de em :

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Pedro Franco de Sá

– Relação sobre um conjunto:

Seja uma relação definida de em . Nesse

caso, dizemos que a relação é uma relação sobre ou

que é uma relação em .

» Propriedades:

Seja uma relação sobre um conjunto A. Dizemos que

é uma relação:

„reflexiva‟ quando todo elemento de se relaciona

consigo mesmo;

„simétrica‟ se implicar ;

„transitiva‟ se e , implicar ;

„antissimétrica‟ se e implicar .

VI – Relação de equivalência:

Seja uma relação sobre o conjunto .

Dizemos que é uma relação de equivalência em se

for reflexiva, simétrica e transitiva simultaneamente.

VII – Classe de equivalência:

Seja uma relação sobre um conjunto e

. Chamamos „classe de equivalência‟ determinada

por , módulo , ao subconjunto de definido por:

ou

VIII – Conjunto quociente:

Seja uma relação de equivalência sobre o

conjunto . O conjunto formado por todas as classes de

equivalência geradas pelos elementos de é

denominado „conjunto quociente‟ e denotado por .

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Pedro Franco de Sá

IX – Relação de ordem parcial:

Uma relação sobre um conjunto é dita uma

„relação de ordem parcial‟, ou simplesmente „relação de

ordem‟ sobre se, e somente se, satisfaz as

propriedades reflexiva, antissimétrica e transitiva.

X – Relação de ordem total:

Se é uma relação de ordem sobre um conjunto

, tal que todos os elementos de são comparáveis por

meio de , dizemos que é uma relação de ordem total

sobre .

XI – Diagrama simplificado de uma relação de

ordem:

Para fazermos o diagrama simplificado de uma

relação de ordem, usamos as seguintes regras:

Se , então representamos por

Se , e , então representamos por

;

Como é uma relação de ordem, temos que é

reflexiva. Dessa forma, fica subentendida a existência

de um laço em torno do par , ou seja, é

desnecessária a representação .

8


Pedro Franco de Sá

1.2. Questões propostas

1. Dados os conjuntos , e

. Determine:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

(Solução 2)

2. Represente e nos seguintes casos:

a) e

b) e

c) e

d) e

(Solução 4)

3. Sejam os conjuntos e .

Enumere os elementos das relações abaixo definidas,

determinando seu domínio, imagem e a relação inversa:

a)

b)

c)

d)

(Solução 6)

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Pedro Franco de Sá

4. Sabendo que é um conjunto com 5 elementos e

é uma relação sobre .

Pedimos:

a) Os elementos de .

b) O domínio e a imagem de .

c) Os elementos, o domínio e a imagem de .

(Solução 8)

5. Sejam e a relação

10= . Determine o domínio e a imagem de e −1.

(Solução 10)

6. Seja uma relação sobre um conjunto . Mostre que:

a)

b)

c)

(Solução 12)

7. Dê exemplo de uma relação sobre o conjunto

que:

a) Seja apenas reflexiva.

b) Seja apenas simétrica.

c) Seja apenas simétrica e antissimétrica.

d) Não seja apenas simétrica e antissimétrica.

(Solução 14)

8. Sejam e relações sobre o mesmo conjunto .

Prove que:

a) se e são simétricas, então e são

simétricas;

10


Pedro Franco de Sá

b) se e são transitivas, então também é

transitiva;

c)

d)

e) se é uma relação transitiva, então também é

uma relação transitiva.

f) qualquer que seja , temos é simétrica.

(Solução 16)

9. Seja . Classifique as relações abaixo em

reflexiva, simétrica, transitiva e antissimétrica.

a)

b)

c)

d)

e)

(Solução 18)

10. Quais das relações abaixo são relações de

equivalência sobre o conjunto dos inteiros positivos?

a)

b)

c)

d) , tal que

(Solução 20)

11. Dado o conjunto . Seja a relação definida sobre

por . Prove que

é uma relação de equivalência.

(Solução 22)

11


Pedro Franco de Sá

12. Dado , verifique se a relação definida por

é uma relação de

equivalência.

(Solução 24)

13. Seja um conjunto não vazio, e as

relações e definidas por e

, em que é um subconjunto do

conjunto fixo de . Verifique se as relações e são

de equivalência.

(Solução 26)

14. Seja o conjunto das retas de um plano . A

relação definida por é uma relação de

equivalência? Justifique.

(Solução 28)

15. Seja uma relação sobre o conjunto dos números

reais dada por . Verifique se é uma

relação de equivalência.

(Solução 30)

16. Seja uma relação sobre o conjunto dos números

inteiros dada por e têm a mesma paridade.

Verifique se é uma relação de equivalência.

(Solução 32)

17. Verifique se a relação no conjunto dos números

reais definida por é uma

relação de equivalência.

(Solução 34)

12


Pedro Franco de Sá

18. Sejam e a relação definida

por . Determine o conjunto

quociente .

(Solução 36)

19. Sejam e a relação definida

por . Verifique se é uma

relação de equivalência, em caso positivo, determine o

conjunto quociente .

(Solução 38)

20. Mostre que a relação definida por

é uma relação de equivalência sobre e

descreva as classes geradas por e .

(Solução 40)


⇔ 2+ ²= ²+ ² é uma relação de equivalência sobre

e descreva as classes geradas por e .

(Solução 42)


em é uma relação de equivalência.

(Solução 44)

23. Dado o conjunto e sejam os números

complexos e de , verifique se a

relação e é uma relação de ordem

parcial.

(Solução 46)

13


Pedro Franco de Sá

24. Sejam os conjuntos e e a relação

em . Verifique se a relação é uma

relação de ordem.

(Solução 48)

25. Seja o conjunto dos números complexos e sejam

números complexos e dois

elementos de . Considere a relação sobre definida

por e .

a) Verifique se é uma relação de ordem parcial em .

b) Verifique se é uma relação de ordem total em .

(Solução 50)

26. Seja uma relação de ordem em . Mostre que a

relação em definida por e

é uma relação de equivalência em .

(Solução 52)

27. Faça o diagrama simplificado das seguintes relações

de ordem no conjunto . Sendo

utilizada a:

a) Ordem habitual.

b) Ordem por divisibilidade.

(Solução 54)

28. Faça o diagrama simplificado da relação de ordem

por inclusão em .

(Solução 56)


por divisibilidade em .

(Solução 58)

14


Pedro Franco de Sá


por inclusão em .

(Solução 60)

31. Seja a relação em definida por

a) Verifique se e urna relação de ordem parcial em .

b) Verifique se R e uma relação de ordem total em .

(Solução 62)

32. Prove que, se é uma relação de ordem parcial

sobre , então, é uma relação de ordem parcial

sobre .

(Solução 64)

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Pedro Franco de Sá

2. Operações internas


I – Lei de composição interna:

Chamamos „lei de composição interna‟ ou

„operação interna‟ em a toda aplicação .

II – Tábua de uma operação:

Uma operação num conjunto finito pode ser

definida por meio de uma tabela de dupla entrada que

indique o composto correspondente a cada par

ordenado de elementos de , a essa tabela damos

o nome de „tábua de operações de em ‟.

» Propriedades:

Seja uma lei de composição interna em . A

operação é chamada de:

Idempotente se, e somente se, para todo elemento

temos ;

Associativa quando, para quaisquer elementos

, temos ;

Comutativa quando, para quaisquer elementos

, temos ;

Possui elemento neutro se, e somente se, existir

, tal que, para todo :

Possui elemento simétrico se, e somente se, existir

, tal que, para todo :

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Pedro Franco de Sá

Possui elemento regular se, e somente se, existir

, tal que, para quaisquer :

III – Parte fechada em relação a uma operação:

Sejam um conjunto não vazio, munido de

uma operação , e um subconjunto não vazio de .

Dizemos que é uma „parte fechada em relação à

operação ‟ em , quando , em que .


33. A aplicação , definida por

, é uma lei de composição interna?

(Solução 66)

34. Seja o conjunto das matrizes quadradas de

elementos reais. A operação definida em por

é uma lei de composição interna?

(Solução 68)

35. Seja a operação interna em .

Os elementos de são todos regulares?

(Solução 70)

36. Construa a tábua da operação em

.

(Solução 72)

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Pedro Franco de Sá

37. Construa a tábua da operação em

, com Q.

(Solução 74)

38. Em cada um dos casos abaixo, considere a operação

definida sobre o conjunto e verifique em quais deles

valem as propriedades: associativa, comutativa,

elemento neutro, elemento simetrizável e elemento

regular.

a) e .

b) e .

c) e .

d) e .

e) e .

(Solução 76)

39. Que condição deve ser imposta aos inteiros e de

modo que a operação , em , seja:

a) Associativa.

b) Comutativa.

c) Admita elemento neutro.

(Solução 78)

40. Construa a tábua da operação sobre o conjunto

.

(Solução 80)

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Pedro Franco de Sá

41. Em cada caso, verifique se a operação é

associativa, comutativa, tem elemento neutro e se todos

os elementos são simetrizáveis.

a) e .

b) e .

c) e .

d) e .

e) e .

(Solução 82)

42. Em cada caso, verifique se a operação é

associativa, comutativa, tem elemento neutro e se todos

os elementos são simetrizáveis.

a) e .

b) e .

c) e .

d) e .

(Solução 84)

43. Sendo a operação sobre definida por

, determine o seu elemento

neutro e o conjunto dos seus elementos simetrizáveis.

(Solução 86)

44. Demonstre que se uma operação sobre um

conjunto possui elemento neutro, então, ele é único.

(Solução 88)

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Pedro Franco de Sá


conjunto é associativa e tem elemento neutro, então,

se o elemento simétrico de x existir, ele é único.

(Solução 90)


conjunto é associativa e tem elemento neutro, então, o

elemento simétrico de x é simetrizável e .

(Solução 92)


conjunto é associativa e tem elemento neutro e e

são elementos simetrizáveis em relação à operação ,

então, .

(Solução 94)

48. Verifique se o conjunto

é um subconjunto

fechado para a multiplicação usual de matrizes em

.

(Solução 96)

49. Mostre que é um

conjunto fechado para a multiplicação usual de

complexos.

(Solução 98)

50. Mostre que é um conjunto fechado em relação à

operação adição usual.

(Solução 100)

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Pedro Franco de Sá

51. Verifique se é um conjunto

fechado em relação ao produto usual de .

(Solução 102)

52. Verifique se é um conjunto

fechado em relação ao produto usual de .

(Solução 104)

53. Verifique se é um

conjunto fechado em relação ao produto usual de

números reais.

(Solução 106)

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Pedro Franco de Sá

3. Grupos e subgrupos


I – Grupoide:

Seja um conjunto não vazio munido de uma

operação . Chamamos de „grupoide‟ ao par ordenado

.

II – Semigrupo:

Seja um grupóide. Se for associativa,

então o par ordenado é chamado de „semigrupo‟.

III – Monoide:

Seja um semigrupo. Se admitir elemento

neutro, então, o par ordenado é chamado de

„monoide‟.

IV – Grupo:

Seja um monoide. Se todos os elementos

de forem simetrizáveis em relação à operação ,

então, o par ordenado é um „grupo‟.

V – Grupo abeliano:

Seja um grupo. Se for comutativa,

então, o par ordenado é um „grupo abeliano‟.

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Pedro Franco de Sá

VI – Subgrupos:

Sejam um grupo e uma parte não vazia

do conjunto . Dizemos que o par é um

„subgrupo‟ do grupo quando forem satisfeitas as

seguintes condições:

Para todo , tem-se

O par também é um grupo.

Com sendo um grupo e um subconjunto

de , essas duas condições podem ser sintetizadas na

seguinte afirmação:

Para todo , tem-se ; em que

é o elemento simétrico de .

3.2 Questões propostas

54. Seja , verifique se , em que é a

operação adição usual de inteiros, é um grupo.

(Solução 108)

55. Seja , verifique se é um

grupo, em que é o produto usual de inteiros.

(Solução 110)

56. Mostre que o par e que é definida por

, é um grupo abeliano.

(Solução 112)

57. Mostre que o par é um grupo abeliano

definida por .(Solução 114)

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Pedro Franco de Sá

58. Seja , munido da

operação definida por . Verifique se

é um grupo abeliano.

(Solução 116)

59. Sejam um grupo e a operação definida em

por . Mostre que o par também é

um grupo.

(Solução 118)

60. Seja munido da

operação definida por

; ( + )). Mostre que ( ,⨁) é um grupo abeliano.

(Solução 120)

61. Seja a operação em definida por

. Verifique se ( ) é um grupo

abeliano.

(Solução 122)

62. Seja um grupo tal que, para um dado ,

. Mostre que é o elemento neutro.

(Solução 124)

63. Seja um grupo tal que , para todo

. Mostre que é grupo abeliano.

(Solução 126)

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Pedro Franco de Sá

64. Resolva as equações abaixo no grupo .

a)

b)

c)

d)

(Solução 128)

65. Verifique se é um subgrupo de .

(Solução 130)

66. Verifique se é um subgrupo de

.

(Solução 132)

67. Seja um grupo com

. Verifique se ou

é um subgrupo de .

(Solução 134)

68. Verifique se é subgrupo

de .

(Solução 136)

69. Verifique se é subgrupo

de . (Solução 138)

70. Seja um grupo multiplicativo e seja um

elemento fixo de . Verifique se

é um subgrupo de .

(Solução 140)

25


Pedro Franco de Sá


subgrupo de .

(Solução 142)


subgrupo de .

(Solução 144)

73. O par é um grupo com a adição de n-uplas.

Verifique quais dos conjuntos abaixo são subgrupos de

.

a)

b)

c)

(Solução 146)

74. Verifique se é um subgrupo

de .

(Solução 148)

75. Demonstre que a interseção de dois subgrupos é um

subgrupo.

(Solução 150)

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Pedro Franco de Sá

4. Homomorfismo de grupos


I – Homomorfismo de grupos:

Sejam os grupos e . Uma aplicação

é um „homomorfismo de grupos‟ de em

quando, para quaisquer , obedece a condição:

II – Núcleo de um homomorfismo de grupos:

Sejam um homomorfismo de

grupos e o elemento neutro do grupo . Chamamos

„núcleo‟ ou „Kernel‟ do homomorfismo ao conjunto:

III – Homomorfismos especiais:

Seja um homomorfismo de

grupos. Dizemos que é um:

„Monomorfismo‟ quando a aplicação for injetora;

„Epimorfismo‟ quando a aplicação for

sobrejetora;

„Isomorfismo‟ quando a aplicação for bijetora;

„Endomorfismo‟ quando a aplicação for um

homomorfismo de em si próprio;

„Automorfismo‟ quando o endomorfismo for um

isomorfismo.

27


Pedro Franco de Sá


76. Verifique se as aplicações abaixo são

homomorfismo de grupos, em caso afirmativo,

classifique-a.

a) , definida por

b) , definida por

c) , definida por

d) , definida por

e) , definida por

f) , definida por

g) , definida por

h) , definida por

i) , definida por

j) , definida por

k) , definida por

(Solução 152)

77. Verifique se , definida por

é um isomorfismo.

(Solução 154)

78. Mostre que o par é um grupo

abeliano e que é um isomorfismo.

(Solução 156)

79. Dado o grupo e seja um elemento fixo do

grupo , prove que a aplicação , definida por

é um isomorfismo.

(Solução 158)

28


Pedro Franco de Sá

80. Construa a tábua de um grupo que

seja isomorfo ao grupo multiplicativo .

(Solução 160)

81. Construa a tábua do grupo de modo

que seja isomorfo ao grupo . Resolva a equação

(Solução 162)

82. Sabendo que é um grupo

multiplicativo isomorfo ao grupo :

a) Construa a tabela de

b) Calcule , e

c) Obtenha , tal que

(Solução 164)

83. Mostre que e

são subgrupos de e ,

respectivamente e são isomorfos.

(Solução 166)

84. Prove que um grupo é um grupo abeliano se, e

somente se, , definida por for um

homomorfismo.

(Solução 168)

85. Verifique se o grupo é isomorfo ao grupo

.

(Solução 170)

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Pedro Franco de Sá


.

(Solução 169)


.

(Solução 167)


, com .

(Solução 165)

89. Seja um grupo abeliano multiplicativo e um

inteiro positivo. Mostre que é um

homomorfismo de .

(Solução 163)

90. Seja um homomorfismo de grupos.

Mostre que .

(Solução 161)


Mostre que .

(Solução 159)


Mostre que para todo inteiro temos que

.

(Solução 157)

30


Pedro Franco de Sá

5. Classes laterais


I – Classe lateral à direita:

Sejam um grupo, um subgrupo de

e um elemento arbitrário de . A „classe lateral à

direita‟ de em e gerada por , que denotamos por

, é o subconjunto de definido por:

II – Classe lateral à esquerda:

Sejam um grupo, um subgrupo de

e um elemento arbitrário de . A „classe lateral à

esquerda‟ de em e gerada por , que denotamos por

, é o subconjunto de definido por:

» Propriedades:

Se é um subgrupo do grupo abeliano ,

então, as classes laterais à esquerda e à direita de em

, geradas pelo elemento de coincidem;

Se é um subgrupo do , então, todo

elemento de pertence à sua classe lateral;

Sejam um subgrupo do grupo e

. As classes laterais à direita e (ou

as classes laterais à esquerda e ) de em ,

geradas por e , respectivamente, coincidem se, e

somente se, (ou );

Sejam um subgrupo do grupo e

, então, as classes laterais à direita (ou à

31


Pedro Franco de Sá

esquerda) de em , determinadas por e são

disjuntas ou coincidentes;

Sejam um grupo, um subgrupo de e

, com . Então, existe uma

correspondência biunívoca entre e (ou

e );

(Teorema de Lagrange) A ordem de qualquer

subgrupo de um grupo finito divide a ordem

do grupo .


93. Determine todas as classes laterais do subgrupo

no grupo aditivo .

(Solução 155)

94. Determine todas as classes laterais do subgrupo

no grupo aditivo .

(Solução 153)

95. Todas as possíveis operações do grupo

estão representadas na tábua abaixo.

Determine todas as classes laterais geradas pelo

subgrupo em .

(Solução 151)

96. Seja um subgrupo do grupo abeliano .

Mostre que as classes laterais à esquerda e à direita de

em , geradas pelo elemento de coincidem.

(Solução 149)

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Pedro Franco de Sá

97. Sejam um grupo, um subgrupo de e

, com . Prove que existe uma

correspondência biunívoca entre e (ou

e ).

(Solução 147)

98. Sejam um subgrupo do grupo e

. Prove que as classes laterais à direita (ou à esquerda)

de em , determinadas por e são disjuntas ou

coincidentes. (Solução 145)

99. Sejam um subgrupo do grupo e

. Mostre que as classes laterais à direita e

(ou as classes laterais à esquerda e ) de

em , geradas por e , respectivamente, coincidem se,

e somente se, (ou ).

(Solução 143)

100. Seja um subgrupo do . Mostre que todo

elemento de pertence à sua classe lateral.

(Solução 141)

101. Seja um subgrupo do grupo . Mostre

que o conjunto de todas as classes laterais à esquerda

(ou à direita) de em é uma partição do

conjunto .

(Solução 139)

102. Seja um subgrupo do grupo e sejam

. Prove que se, e somente se, .

(Solução 137)

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Pedro Franco de Sá


. Prove que implica

que .

(Solução 135)


. Prove que implica que .

(Solução 133)


. Prove que e implica que .

(Solução 131)

106. Determine todas as classes laterais de no grupo

aditivo .

(Solução 129)

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Pedro Franco de Sá

6. Anéis e corpos


I – Anel:

Seja um conjunto não vazio e munido de duas

operações internas e . Dizemos que a terna

ordenada é um anel quando forem satisfeitas

as seguintes condições:

O par é um grupo abeliano;

O par é um semi-grupo;

;

.

II – Anel comutativo:

Seja um anel. Dizemos que a terna

ordenada é um „anel comutativo‟ se a

operação for comutativa.

III – Anel com unidade:

Dizemos que a terna ordenada é um

„anel com unidade‟, que denotamos por , quando a

operação admitir elemento neutro.

IV – Anel comutativo com unidade:


„anel comutativo com unidade‟ quando a operação for

comutativa e admitir elemento neutro.

V – Anel com divisão:


„anel com divisão‟ quando for um anel com

unidade e todo elemento não nulo de for inversível

em relação à operação .

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Pedro Franco de Sá

VI – Divisores do zero:

Se e são elementos não nulos do anel tais

que ou , então, e são

„divisores do zero‟ em .

VII – Anel de integridade:


„anel de integridade‟ quando for um anel comutativo

com unidade e não possuir divisores do zero.

VIII – Característica de um anel:

Seja um anel e . Dizemos que

é a „característica do anel ‟ se for o menor número

que satisfaz a condição:

Quando não existe que satisfaça tal condição,

dizemos que o anel tem característica zero.

IX – Subanéis:

Sejam um anel e um subconjunto

não vazio de . Dizemos que é um „subanel‟ quando:

é fechado para as operações ⨁ e ;

(ii) também é um anel.

Com sendo um anel e um

subconjunto de , essas duas condições podem ser

sintetizadas na seguinte:

X – Corpo:

Chamamos de corpo a todo anel comutativo

com unidade e com divisão.

XI – Corpo ordenado:

Chamamos de „corpo ordenado‟ um corpo

, no qual se destacou um subconjunto ,

36


Pedro Franco de Sá

chamado o conjunto dos elementos „positivos‟ de , tal

que as seguintes condições são satisfeitas:

Os pares e são grupoides;

Para qualquer , ocorre exatamente uma das

três alternativas: ou ou ; em que

– é chamado de conjunto dos „negativos‟.

XII – Subcorpo:

Sejam um corpo e um subconjunto

não vazio de . Dizemos que é um „subcorpo‟

quando:

é fechado para as operações ⨁ e ;

(ii) também é um corpo.

Com sendo um corpo e um

subconjunto de , essas duas condições podem ser

sintetizadas na seguinte:


107. Demonstre que se é um anel qualquer,

então , .

(Solução 127)

108. Mostre que com as operações abaixo

definidas é um anel comutativo com unidade:

e .

(Solução 125)

109. Verifique se a terna ordenada com as

operações abaixo definidas é um anel comutativo com

unidade.

e

(Solução 123)

37


Pedro Franco de Sá

110. Seja um anel. Em estão definidas as

seguintes operações: e

. Verifique se é um anel

com essas condições.

(Solução 121)

111. Seja um conjunto não vazio. Mostre que

com as operações abaixo definidas é um

anel comutativo com unidade:

e .

(Solução 119)

112. O conjunto

com as

operações usuais de adição e multiplicação de matrizes

é um anel de integridade?

(Solução 117)

113. Verifique se a terna ordenada com as

operações abaixo definidas é um anel comutativo com

unidade:

e

.

a) Por que não é um anel de integridade?

b) Existem divisores de zero?

(Solução 115)

114. Seja um anel em que , para todo .

Mostre que A é um anel comutativo.

(Solução 113)

115. Demonstre que um anel é comutativo se, e

somente se, . .

(Solução 111)

38


Pedro Franco de Sá

116. Demonstre que com as operações

e , , é um anel

comutativo com unidade. (Solução 109)

117. Determine as raízes das equações abaixo em cada

anel indicado.

a) em .

b) em .

c) em .

d) em .

e) em .

(Solução 107)

118. Resolva o sistema abaixo em :

(Solução 105)

119. Resolva o sistema abaixo em :

(Solução 103)

120. Resolva o sistema abaixo em .

(Solução 101)

121. Comente a seguinte afirmação:

“Toda equação do 2º grau possui no máximo 2 raízes!”

(Solução 99)

122. Comente a seguinte afirmação:

“Toda equação de grau possui no máximo raízes!”

(Solução 97)

39


Pedro Franco de Sá

123. Sejam , e elementos de um anel de

integridade e característica . Demonstre que:

a)

b)

c)

d)

e)

(Solução 95)

124. Verifique se é um subanel de .

(Solução 93)

125. Verifique se , sendo

ℤ, é um sub anel de(ℚ,+,⋅). (Solução 91)

126. Sejam um subanel de um anel comutativo

e tal que . Verifique se

é um subanel de .

(Solução 89)

127. Demonstre que a intersecção de dois subanéis é um

anel. (Solução 87)

128. A terna é um anel mas não é um corpo?

Justifique. (Solução 85)

129. A terna é um

corpo? Justifique. (Solução 83)

130. Mostre que a terna , com as

operações e

é um corpo.

(Solução 81)

40


Pedro Franco de Sá

131. Demonstre que: se é um corpo qualquer,

, com , , e , então,

(Solução 79)

132 Demonstre que: se é um corpo qualquer,

com , então,

(Solução 77)


, com então,

(Solução 75)


com , então,

(Solução 73)

135. Demonstre que: se , é um corpo qualquer,

, com , então,

(Solução 71)


, então,

(Solução 69)

41


Pedro Franco de Sá


, com , então,

(Solução 67)

138. Num corpo ordenado , prove que se,

e somente se, e .

(Solução 65)

139. Mostre que a interseção de dois subanéis também é

um subanel.

(Solução 63)

140. Verifique se é um subanel de

(Solução 61)

141. Seja . Verifique se

é um subanel de .

(Solução 59)

142. Sejam um subanel de um anel comutativo

e tal que Verifique se

,+,∙) é um sub anel de ,+,∙. (Solução 57)

143. Mostre que em um corpo ordenado

.

(Solução 55)

144. Mostre que num corpo qualquer:

(Solução 53)

42


Pedro Franco de Sá

145. Mostre que num corpo ordenado se

(Solução 51)

146. Demonstre que a interseção de dois subcorpos de

um mesmo corpo também é um subcorpo.

(Solução 49)

147. Seja o conjunto dos números da forma ,

tais que e . Verifique se é um

corpo.

(Solução 47)

148. Demonstre que , sendo um primo, é um

corpo.

(Solução 45)

43


Pedro Franco de Sá

7. Homomorfismo de Anéis


I – Homomorfismo de anéis:

Sejam e dois anéis.

Chamamos de homomorfismo de em

a toda aplicação , tal

que:

II – Núcleo de um homomorfismo:

Sejam um

homomorfismo de grupos e o elemento neutro do

grupo . Chamamos „núcleo‟ ou „Kernel‟ do

homomorfismo ao conjunto:

III – Homomorfismos especiais:

Seja um

homomorfismo de grupos. Dizemos que é um:

„Monomorfismo‟ quando a aplicação for injetora;

„Epimorfismo‟ quando a aplicação for sobrejetora;

„Isomorfismo‟ quando a aplicação for bijetora;

„Endomorfismo‟ quando a aplicação for um

homomorfismo de em si próprio;

„Automorfismo‟ quando o endomorfismo for um

isomorfismo.

44


Pedro Franco de Sá


149. Seja um homomorfismo de

anéis. Prove que .

(Solução 43)


anéis. Prove que .

(Solução 41)


grupos. Prove que .

(Solução 39)


grupos. Prove que é um subanel de

(Solução 37)


grupos. Prove que é um subanel de

(Solução 35)

154. Sejam e

homomorfismos de anéis. Mostre que é

um homomorfismo de anéis.

(Solução 33)

155. Verifique se , definida por

é um homomorfismo de anéis.

(Solução 31)

45


Pedro Franco de Sá

156. Sejam e

isomorfismos de anéis. Mostre que é um

isomorfismo de anéis.

(Solução 29)

157. Sejam os anéis e , sendo

e . Verifique se

, com é um

homomorfismo de anéis.

(Solução 27)

158. Mostre que forma um monomorfismo

injetor com .

(Solução 25)

159. Sejam os anéis e , com

e e

. Verifique se a função

é um isomorfismo.

(Solução 23)

160. Mostre que se é um

homomorfismo de anéis e um subanel de

, então, é um subanel de .

(Solução 21)

161. Sejam e dois anéis. Mostre que a

função definida por é um

homomorfismo do anel no anel ,

sendo com o produto direto.

(Solução 19)

46


Pedro Franco de Sá

162. Mostre que é um

epimorfismo de anéis, em que é definida por:

(Solução 17)

163. Mostre que a função é um

automorfismo de , em que é definida por:

(Solução 15)

164. Sejam um com divisão e . Mostre

que a função é um automorfismo de ,

em que é definida por:

(Solução 13)

165. Sejam os anéis e .

Considerando o produto direto em , verifique se

é um homomorfismo.

(Solução 11)

166. Seja o anel . Considerando o produto

direto em , mostre que é um

endomorfismo e determine o núcleo desse

endomorfismo.

(Solução 9)

167. Seja definida por .

Mostre que é um homomorfismo de anéis e encontre o

núcleo desse homomorfismo.

(Solução 7)

168. Seja definida por

Considerando o

47


Pedro Franco de Sá

produto direto de , encontre os valores de , ,

e para que seja um homomorfismo.

(Solução 5)

169. Seja o anel com as operações assim

definidas:

+ A b

a A b

b B a

A b

a A a

b A b

Mostre que a função , tal que e

é um isomorfismo de em

.

(Solução 3)

170. Seja ( um anel, munido das operações

de adição e multiplicação assim definidas:

Mostre que a aplicação , tal que

é um epimorfismo de anéis.

(Solução 1)

48


Pedro Franco de Sá

8. Soluções

→ Solução 1

» Sejam , temos, então,

e e mais e .

Calculando:

Vemos que é um homomorfismo de anéis.

Seja . Tomando , teremos

. Logo, é sobrejetora.

Portanto, é um epimorfismo de anéis.

→ Solução 2

Item a)

Primeiro, devemos encontrar o conjunto .

Como e , temos .

Agora, temos e . Efetuando

o produto teremos:

.

Item b)

» Primeiro, devemos encontrar o conjunto

. Como e , temos

. Agora, temos e . Efetuando

o produto teremos:

.

49


Pedro Franco de Sá

Item c)


. Como e , temos


o produto teremos:

.

Item d)

» Primeiro, devemos encontrar os conjuntos

e . Como , e

, temos e

. Agora, devemos

determinar a união dos conjuntos e .

Teremos, então:

.

Item e)

» Como (visto no item d)

e

. Devemos, então,

determinar a interseção dos conjuntos e .

Teremos, assim:

.

Item f)


. Como e , temos


o produto teremos:

.

50


Pedro Franco de Sá

→ Solução 3

» Sejam . Para e temos três

possíveis casos, são eles:

. Então, , e

. Logo, .

. Então, , e

. Logo,

.

e . Então, ,

e . Logo,

.

Vemos que nos três possíveis casos

. Podemos anuir, então, que é um


Pela própria forma como a função é definida,

vemos que se , então . Podemos

anuir, assim, que é injetora.

Seja . Temos, então, dois possíveis

valores para :

. Adotando , teremos

.

. Adotando , teremos

.

Vemos, assim, que para todo , existe

um tal que . Logo, é sobrejetora.

Portanto, é um isomorfismo de em

.

→ Solução 4

Item a)

» O produto pode ser representado pelo

gráfico:

51


Pedro Franco de Sá

O produto pode ser representado pelo

gráfico:

Item b)


gráfico:


gráfico:

52


Pedro Franco de Sá

Item c)


gráfico:


gráfico:

Item d)


gráfico:

53


Pedro Franco de Sá


gráfico:

→ Solução 5

» Sejam , então, e

.

Calculando:

Vemos que para quaisquer valores de , , e

temos .

Calculando:

54


Pedro Franco de Sá

Para que deve ocorrer

que:

Logo, , ,

e . Os valores que satisfazem,

simultaneamente, essas igualdades podem ser expressos

pelo conjunto:

Portanto, é um

homomorfismo quando a dupla ordenada

possuir os seguintes valores ,

, , , , ,

ou .

→ Solução 6

Item a)

» Substituindo os elementos de na relação,

teremos:

;

;

;

;

.

Portanto, temos que , , , .

Sendo assim, temos .

55


Pedro Franco de Sá

O domínio da relação é composto pelos

elementos das primeiras componentes dos pares

ordenados da relação, neste caso: .

A imagem da relação é composta pelos

elementos das segundas componentes dos pares


Para obter a relação inversa, podemos inverter

os pares ordenados da relação, assim teremos:

.

Item b)

» Substituindo os elementos de na relação

teremos:

;

;

;

;

.

Portanto, temos que

.









56


Pedro Franco de Sá

.

Item c)

» Substituindo os elementos de na relação,

teremos:

;

;

;

;

.

Portanto, temos que , . Sendo

assim, temos .









.

Item d)

» Substituindo os elementos de na relação

teremos:

;

e ;

e ;

;

, e

.

57


Pedro Franco de Sá

Portanto, temos que

.









.

→ Solução 7

» Sejam . Calculando:

Vemos que é um homomorfismo anéis.

Seja . Como , temos que .

Logo, .

→ Solução 8

Item a)

» Como é uma relação sobre o conjunto , os

pares ordenados pertencentes a também pertencem ao

conjunto . Segue que os elementos que constituem

os pares ordenados de pertencem ao conjunto .

Assim, temos que . Mas, é formado por

elementos, então, .

58


Pedro Franco de Sá

Item b)

» O domínio da relação é composto pelos






Item c)



.







→ Solução 9


. Calculando:

Vemos que é um homomorfismo de em .

Portanto, é um endomorfismo

de em .

Como , temos que .

Logo, .

59


Pedro Franco de Sá

→ Solução 10

» Para encontrarmos o domínio e a imagem da

relação, devemos analisar isoladamente as variáveis e

. Devemos, então, isolar a variável na relação

, assim, teremos . Como o

conjunto de partida é o conjunto dos números naturais,

assim como o de chegada também o é, devemos utilizar

valores que sejam associados a valores .

Dessa forma, teremos:

.






ordenados da relação, neste caso:

.

Para obtermos a relação inversa, podemos

inverter os pares ordenados da relação, assim teremos:

.

Sendo assim, temos: e

.

→ Solução 11


Portanto, não é um

homomorfismo de em .

60


Pedro Franco de Sá

→ Solução 12

Item a)

» Seja . Assim, temos:

.

(ii) .

Segue de (ii) que:

(iii)

Os conjuntos (i) e (iii) podem ser entendidos

como todos os elementos , tal que existe pelo

menos um que se relaciona com . Portanto,

.

Item b)


.

(ii) .

Segue de (ii) que:

(iii) I

Os conjuntos (i) e (iii) podem ser entendidos

como todos os elementos , tal que existe pelo

menos um que se relaciona com . Portanto,

.

Item c)


. Segue que:

.

Mas, , então, .

61


Pedro Franco de Sá

→ Solução 13


Vemos que é um homomorfismo de anéis.

Supondo que , segue que

. Compondo, em ambos os membros, à esquerda

com e à direita com , teremos que

. Com efeito, . Logo, é injetora.

Seja . Tomando , teremos que


Nessas condições, temos que é um

isomorfismo.

Como , temos que é um

endomorfismo.

Portanto, é um automorfismo de , em

que é definida por

→ Solução 14

Item a)

» .

Item b)

» .

62


Pedro Franco de Sá

Item c)

» .

Item d)

» .

→ Solução 15

» Seja . Para e temos seis


. Então, , e

. Logo, .

. Então, ,

e . Logo,

.

. Então, ,

e . Logo,

.

e . Então, ,

e . Logo,

= + .

e . Então, ,

e . Logo,

= + .

e . Então, ,

e . Logo,

= + .

Vemos que nos seis possíveis casos



Pela própria forma como a função é definida,

vemos que se , então . Podemos

anuir, assim, que é injetora.

Seja . Temos, então, três possíveis

valores para :

. Adotando , teremos .

63


Pedro Franco de Sá



Vemos assim que, para todo , existe um

tal que . Logo, é sobrejetora.

Nessas condições, vemos que é um

isomorfismo. Como , temos que é um

endomorfismo.

Portanto, a função é um

automorfismo de anéis, em que é definida por:

→ Solução 16

Item a)

» Sejam . Então, temos que

e . Como e são simétricas,

e . Logo,

. Portanto, é simétrica.

Sejam . Então, temos que

ou . Como e são simétricas,

ou . Logo, .

Portanto, é simétrica.

Item b)

» Sejam . Então, temos que

e . Como e são transitivas,

e . Logo,

.

Portanto, também é transitiva.

Item c)

» Seja ( . Então, (

e ( . Logo, ( e ( . Assim,

64


Pedro Franco de Sá

( , então, ( . Logo,

.

Agora seja . Então,

. Segue daí que ( e ( . Logo,

e . Assim,

. Temos, então, que .

Portanto, .

Item d)

» Seja ( . Então, (

ou ( . Logo, ( e ( . Assim,

( , então, ( . Logo,

.

Agora, seja . Então,

. Segue daí que ( ou ( . Logo,

ou . Assim,

. Temos, então, que .

Portanto, .

Item e)

» Seja uma relação transitiva. Temos, então:

. Segue que:

.

Assim, temos que , e .

Portanto, também é uma relação transitiva.

Item f)

» Seja ( . Então, ( . Como

( e ( , temos que ( ,(

. Sendo assim, é simétrica.

65


Pedro Franco de Sá

→ Solução 17

» Sejam . Para e temos três


Se e são ímpares, temos que

e , logo . Como e são

ímpares, temos que é par, logo .

Sendo assim, temos que .

Se e são pares, temos que e

, logo . Como e são

pares, temos que é par, logo .


é ímpar e é par, temos que e

, logo . Como é ímpar e

é par, temos que é ímpar, logo .


Vemos que nos três possíveis casos



Seja . Temos, então, dois possíveis

valores para :

. Tomando qualquer par, teremos

.

. Tomando qualquer ímpar,

teremos .

Vemos assim que, para todo , existe um

tal que . Logo, é sobrejetora.

Portanto, nestas condições,

é um epimorfismo de anéis.

→ Solução 18

Item a)

» Reflexiva e simétrica.

Item b)

» Reflexiva e antissimétrica.

66


Pedro Franco de Sá

Item c)

» Antissimétrica.

Item d)

» Reflexiva, simétrica e transitiva.

Item e)

» Simétrica, transitiva e antissimétrica.

→ Solução 19


e . Calculando:

Vemos, a partir de e , que é um homomorfismo

do anel no anel .

→ Solução 20

Item a)

» Seja . Se , então, ;

segue que . Logo, não é reflexiva. Portanto,

não é uma relação de equivalência.

Item b)

» Seja . Se , então, ;

mas isso é absurdo, pois . Logo, não é

reflexiva.

Portanto, não é uma relação de equivalência.

Item c)

» Sejam . Se , então, ; segue

que , então, . Logo, não é simétrica.

Portanto, não é uma relação de equivalência.

67


Pedro Franco de Sá

Item d)

» Sejam . Se , ;

segue que . Logo, é reflexiva. Se , então,

; multiplicando a equação por , temos

, então, ; logo, é simétrica. Se

e , então, e ;

somando as duas equações, temos

, que equivale a ; então,

, logo é transitiva.

Portanto, é uma relação de equivalência.

→ Solução 21

» Sejam , logo .

Calculando:

Como é um subanel, ,

segue, então, que .

Portanto, se é um

homomorfismo de anéis e um subanel de

, então é um subanel de .

→ Solução 22

» Sejam , então, ,

e . Se , ; logo,

é reflexiva. Se , então, , que

equivale a , então, ; logo, é

simétrica. Se e , então, e

; segue que , então, x ;

logo, é transitiva. Portanto, é uma relação de

equivalência.

→ Solução 23

» Sejam e . Calculando:

68


Pedro Franco de Sá


. Pela igualdade de pares ordenados, temos que

. Então, é injetora.

Seja . Tomando , temos


Portanto, é um isomorfismo de anéis.

→ Solução 24

» Sejam , então ,

e . Se , ; logo, é

reflexiva. Se , então, ; que equivale a

, então, ; logo, é simétrica. Se e

, então, e ; segue que e

, então, , que equivale a , então,

; logo, é transitiva. Portanto, é uma relação de

equivalência.

→ Solução 25

» Sejam , então temos e

. Tomando por base a função

definida por , vemos que:

Vemos, a partir de e , que é um

homomorfismo.


69


Pedro Franco de Sá

. Pela igualdade de matrizes,

temos que . Então, é injetora.

Portanto, é um monomorfismo injetor de

anéis.

→ Solução 26

» Sejam . Se , então,

; logo, é reflexiva. Se , então,

; que equivale a , então, ; logo, é


; segue que , então,

; logo é transitiva.


Se , então, ; logo, é

reflexiva. Se , então, , que equivale

a , então, ; logo, é simétrica. Se

e , então, e ;

segue que , então, ; logo, é

transitiva.


→ Solução 27


Vemos, a partir de e , que é um

homomorfismo.


. Logo, . Então, é injetora.

Seja , tomando e calculando

70


Pedro Franco de Sá

, vemos que . Então, é

sobrejetora. Logo, é bijetora.

Portanto, é um homomorfismo.

→ Solução 28

» Seja . Se , então, ; mas isso é

absurdo, pois uma reta não pode ser perpendicular a ela

mesma; então . Dessa forma, vemos que não é

reflexiva, então, não é uma relação de equivalência.

→ Solução 29

» Como visto na questão 154, é um


Supondo que , segue que,

por ser injetora, . Mas, também é

injetora, então, . Logo, é injetora.

Seja . Para todo , existe tal

que , pois é sobrejetora. Como também é

sobrejetora, existe tal que . Dessa

forma, temos que . Logo, é

sobrejetora.

Portanto, sendo e

isomorfismos de anéis,

também é um isomorfismo de anéis.

→ Solução 30

» Sejam . Se , então, ;

de fato , assim, é reflexiva. Se então,

; multiplicando a equação por

teremos , então, ; logo, é


; somando as duas equações, teremos

71


Pedro Franco de Sá

, que equivale a

, então ; logo, é transitiva.


→ Solução 31

» Sejam ; então, temos e

. Calculando:

Portanto, a partir de e , verificamos que

é um homomorfismo de anéis.

→ Solução 32

» Sejam . Se , então, e têm a

mesma paridade; de fato, assim, é reflexiva. Se

então, e têm a mesma paridade; segue que e têm

a mesma paridade, então, ; logo, é simétrica. Se

e , então, e têm a mesma paridade e e

têm a mesma paridade; segue que e têm a mesma

paridade, então, ; logo, é transitiva.


→ Solução 33

» Calculando , temos que, como

é um homomorfismo:

Mas, também é um homomorfismo, então:

Calculando , temos que, como é

um homomorfismo:

Mas, também é um homomorfismo, então:

72


Pedro Franco de Sá

Portanto, podemos anuir, a partir de e ,

que é um homomorfismo de anéis.

→ Solução 34


; de fato , assim, é reflexiva. Se

então, ; multiplicando a equação por

teremos , então, ; logo, é


; somando as duas equações, teremos

, que equivale a

, então, ; logo, é transitiva.


→ Solução 35

» Sejam , temos, então, que

e . Calculando:

Vemos que .

Portanto, é um subanel de

→ Solução 36

» Como , temos

. Assim, temos:

, , ,

e . Portanto,

.

73


Pedro Franco de Sá

→ Solução 37

» Sejam . Como visto

no exercício 151, , pois é um

homomorfismo. Como é um anel, temos que

∈ . Dessa forma, − ∈ .

Temos ainda que , pois é

um homomorfismo. Pelo fato de ser um anel, segue

que . Sendo assim, temos que .

Portanto, como

, é um subanel de

→ Solução 38


; de fato, assim, é reflexiva. Se então,

, que equivale a ,

então, ; logo, é simétrica. Se e , então,

e ; segue que



Como , temos

. Assim, temos:

, ,

, e

. Portanto, temos o conjunto quociente

.

→ Solução 39

» Sejam . Por ser um anel, temos que

. Dessa forma,

. Como é um homomorfismo, segue que

. Como visto no

74


Pedro Franco de Sá

exercício 150, . Decorre daí que

.

Portanto, .

→ Solução 40

» Sejam . Se , então, ;

de fato, assim, é reflexiva. Se então,

; multiplicando a equação por teremos

, então, ; logo, é simétrica. Se

e , então, e ;

somando as duas equações, teremos

, que equivale a , então, ;

logo, é transitiva.


Como é definida por ,

temos:

e .

→ Solução 41

» Seja . Pelo fato de ser um anel, temos

que . Como

− = 0 =0 , segue que 0 = + (− ), que equivale

a .

Portanto, .

→ Solução 42


e . Se , então, ; de

fato, assim, é reflexiva. Se então,

; segue que , então, ;

75


Pedro Franco de Sá

logo, é simétrica. Se e , então,

e ; segue que



Como é definida por

, temos:

.

→ Solução 43

» Podemos escrever .

Como é um homomorfismo, temos:

. Subtraindo de ambos os membros, temos

.

Portanto, .

→ Solução 44


e . Se , então, ; de

fato, assim, é reflexiva. Se então, ;

segue que , então, ; logo, é simétrica. Se

e , então, e ; segue que

e , então, ; logo, é transitiva.


→ Solução 45

» Sejam e .

Temos, então, que , e . Calculando:

Vemos, a partir de e , que é associativa

76


Pedro Franco de Sá

em e, a partir de , que é comutativa em .

Supondo que exista , tal que:

Vemos que possui elemento neutro em .


Vemos que todo elemento de é simetrizável

em .

Portanto, o par é um grupo abeliano.

Calculando:


em , a partir de , que é comutativa em e, a

partir de , em que valem as leis distributivas do

produto na soma.




Com , equivale a

, pois . Segue daí que

Ainda mais, . Sendo assim,

temos que e – são os resultados da equação

diofantina , visto que o

, pois é primo.

Facilmente, vemos que todo elemento de ,

diferente do zero de , é simetrizável em .

Seja o produto , segue daí que ou

, pois é primo.

77


Pedro Franco de Sá

Portanto, nestas condições, vemos que a terna

ordenada .

→ Solução 46


e . Se , então, e ; de fato,

assim, é reflexiva. Se e , então, e

y ,e , e ; segue que e ,

então, ; logo, é antissimétrica. Se e ,

então, e ,e , u e ; segue que

e , então, ; logo, é transitiva.

Portanto, é uma relação de ordem.

→ Solução 47

» Sejam , então, temos:

Calculando:

78


Pedro Franco de Sá

Vemos, a partir de e , que

.

Portanto, é um subcorpo do corpo dos

números complexos. Sendo assim, é um corpo.

→ Solução 48

» Sejam . Se , então, ; de

fato, assim é reflexiva. Se e , então,

e ; segue que , então, é antissimétrica. Se

e , então, e ; segue que ,

então, ; logo é transitiva.


→ Solução 49

» Sejam e subcorpos de

e .

Se , então, e .

Como e são subcorpos, temos que

,( −1)∈ e − ,( −1)∈ . Decorre daí que

.

Portanto, também é um subcorpo do corpo

.

79


Pedro Franco de Sá

→ Solução 50

Item a)

» Como visto no exercício, é uma relação de

ordem. Logo, é uma relação de ordem parcial em .

Item b)

» Sejam , temos, então, e

. Agora, adotemos , , e , tais que

e . Segue daí que, neste caso, não se relaciona

com .

Portanto, não é uma relação de ordem total

em .

→ Solução 51 » Como visto no exercício 143, se

Então, ou .

Sendo , e as partes positiva, negativa

e nula do corpo , temos que ou

(pois e são denominadores), decorre daí que,

pelas propriedades de corpo ordenado,

.

Portanto, num corpo ordenado :

→ Solução 52


e . Se , então e ; de

fato, pois é reflexiva; logo, é reflexiva. Se e

, então, e , e, e ; como é

antissimétrica, e , então, ; logo, é

80


Pedro Franco de Sá

antissimétrica. Se e , então, e , e,

e ; como é transitiva, segue que e



→ Solução 53

» Sejam , como visto no exercício

131, temos que:

Ao afirmar que:

Segue que:

Que equivale a:

Se , temos que:

Mas, se , como é um corpo, podemos

multiplicar ambos os membros da equação por .

Assim teremos:

Ou ainda, , que equivale a

. Temos, assim, que

.

Portanto, num corpo qualquer:

81


Pedro Franco de Sá

→ Solução 54

Item a)

» A relação de ordem habitual é: .

Assim, temos:

Item b)

» A relação de ordem habitual é: .

Assim, temos:

→ Solução 55

» Sejam e , – e as partes positiva,

negativa e nula, respectivamente, do corpo . Para

temos:

Se , então .

Se , então .

Se , então .

Dessa forma, para todo , temos que

. Logo, pela propriedade de corpos ordenados, a

somatória .

82


Pedro Franco de Sá

→ Solução 56

» Podemos escrever

. A relação de

ordem por inclusão é: . Assim, temos o

diagrama:

→ Solução 57

» Seja ; sendo assim,

temos e . Calculando:

Vemos que , pois

2, 1 2∈ , uma vez que ( ,+,∙) é um subanel.

Portanto, é um sub anel de

.

→ Solução 58

» Temos que, em , . Assim, temos

o diagrama:

83


Pedro Franco de Sá

→ Solução 59

» Seja ; sendo assim, temos

e . Calculando:

Vemos que . Portanto,

é um subanel de .

→ Solução 60

» Podemos escrever

. A relação de ordem

por inclusão é: . Assim, temos o

diagrama:

→ Solução 61

» Sejam ; sendo assim, temos

e . Calculando:

Vemos, assim, que .

84


Pedro Franco de Sá

Portanto, é um subanel de .

→ Solução 62

Item a)

» Sejam .

Supondo que , segue que . De fato, é

reflexiva.

Supondo que e , segue que e .

Isto ocorre se, e somente se, . Logo, é

antissimétrica.

Supondo que e , segue que e .

Temos assim que, e . Substituindo em

, teremos . Logo, . Dessa forma, é

transitiva. Portanto, é uma relação de ordem parcial.

Item b)

» Sejam .

Adotando , segue que não divide .

Portanto, R não é uma relação de ordem total

em .

→ Solução 63

» Sejam e subanéis de um

anel e .

Como , temos que

e .

Pelo fato de e serem

subanéis, segue que e

.

Se e

, então, .

Portanto, também é um

subanel.

85


Pedro Franco de Sá

→ Solução 64

» Sejam uma relação de ordem parcial sobre

e . Como é uma relação de ordem parcial

sobre o conjunto , segue que:

é reflexiva, logo . Então,

. Assim, é reflexiva.

é antissimétrica, logo, .

Então, . Assim, é antissimétrica.

é transitiva, logo,

. Então, . Assim, é

transitiva.

Portanto, se é uma relação de ordem parcial

sobre , então, é uma relação de ordem parcial

sobre .

→ Solução 65

» Sejam e e – as partes positiva e

negativa do corpo . Para temos:

Se , então .

Se , então .

Se , então .

Analogamente temos para .

Dessa forma, se , então e

, pois e não podem ser simétricos entre si.

Agora, se e , então .

Portanto, num corpo ordenado ,

se, e somente se, e .

→ Solução 66

» Sejam , então, temos e .

Calculando teremos:

86


Pedro Franco de Sá

Portanto, . Então, é uma lei de

composição interna.

→ Solução 67

» Como é um corpo, temos:

Podemos escrever:

Multiplicando ambos os membros por ,

teremos:

Logo,

Portanto,

→ Solução 68

» Sejam , então, temos:

e . Calculando

teremos:

Portanto, . Logo, é uma lei de

composição interna.

87


Pedro Franco de Sá

→ Solução 69

» Podemos escrever:

Como veremos no exercício 137:

Então teremos que:

Portanto,

→ Solução 70

» Sejam . Supondo que

, segue que ; subtraindo de ambos os

membros, teremos , que

equivale a .

Portanto, temos que todo elemento de é

regular.

→ Solução 71


Isto ocorre pelo fato de ser um corpo.

→ Solução 72

» A operação em

pode ser representada pela seguinte tábua:

1 3 5 15

1 1 1 1 1

88


Pedro Franco de Sá

3 1 3 1 3

5 1 1 5 5

15 1 3 5 15

→ Solução 73


Portanto,

→ Solução 74

» A operação em

pode ser representada pela seguinte tábua:

M N P Q

M M M M M

N M N N N

P M N P P

Q M N P Q

→ Solução 75

» Como veremos no exercício 135,

Então, temos que:

Como visto no exercício 132, temos:

Como é um corpo, temos:

89


Pedro Franco de Sá

→ Solução 76

Item a)


Vemos, a partir de (i) e (ii), que não é

associativa em e, a partir de (iii), que é comutativa

em .


Vemos que não possui elemento neutro em .

Item b)


90


Pedro Franco de Sá

Vemos, a partir de (i) e (ii), que é associativa

em e, a partir de (iii), que é comutativa em .




Vemos que nem todos os elementos de são

simetrizáveis em .


Vemos que, não necessariamente, .

Portanto, os elementos de não são regulares em .

Item c)


91


Pedro Franco de Sá

Vemos, a partir de (i) e (ii), que não é

associativa em e, a partir de (iii), que não é

comutativa em .


Vemos que possui elemento neutro à esquerda

em .


Vemos que . Portanto, os elementos de

são regulares em .

Item d)

» Sejam , então, temos ,

e . Calculando:





92


Pedro Franco de Sá



simetrizáveis em .


Vemos que . Portanto, os elementos de

são regulares em .

Item e)


e . Calculando:






Vemos que, não necessariamente, .

Portanto, os elementos de não são regulares em .

93


Pedro Franco de Sá

→ Solução 77


Como , temos:

Como é um anel, vale a

distributividade. Assim temos:

Portanto,

→ Solução 78

Item a)


Para que seja associativa em , devemos ter:

e ; então e .

Item b)


.

.

Para que seja comutativa em , devemos ter:

.

Item c)

» Sejam . Supondo que exista ,

tal que:

94


Pedro Franco de Sá

Para que admita elemento neutro em ,

devemos ter:

, e .

→ Solução 79

» Se

Então . Multiplicando por ambos os

membros, teremos:

Como é um corpo, vem:

Seja . Multiplicando por

ambos os membros, vem:

Como é um corpo, segue que

.

Logo,

Portanto, se é um corpo, então,

se, e somente se, , .

→ Solução 80

» Adotando como a multiplicação usual em

, a operação pode ser representada pela seguinte

tábua:

1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

95


Pedro Franco de Sá

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

→ Solução 81

» Sendo um anel, temos que o par

é um grupo abeliano, como visto no

exercício 110.

Sejam , temos, então,

, e .

Calculando:

Vemos, a partir de e , que é

associativa, a partir de (3), que é comutativa e, a

partir de , que é distributiva em relação à .

Sendo assim, temos que a terna ordenada

é um anel comutativo.


Vemos que possui elemento neutro em ,

logo é um anel com unidade.


96


Pedro Franco de Sá

Vemos que todos os elementos, diferentes do

zero do anel são inversíveis em relação à .

Portanto, a terna é um corpo.

→ Solução 82

Item a)

» Vide questão 38 item e).

Item b)


e . Calculando:







simetrizáveis em .

97


Pedro Franco de Sá

Item c)


e . Calculando:





Item d)

» Vide exercício 38 item d).

Item e)


e . Calculando:

98


Pedro Franco de Sá






Vemos que todos os elementos de são

simetrizáveis em .

→ Solução 83


e . Calculando:

Vemos a partir de e , que + é associativa

em e, a partir de , que + é comutativa.

Supondo que existe , tal que:

.

Portanto, o par (C,+) é um grupo abeliano.

Calculando:

99


Pedro Franco de Sá

Vemos que é associativa, a partir de e ,

e que é comutativa, a partir de .


.




inversíveis em .

Portanto, não é um corpo.

→ Solução 84

Item a)


e . Calculando:

100


Pedro Franco de Sá







simetrizáveis em .

Item b)







101


Pedro Franco de Sá


simetrizáveis em .

Item c)


e . Calculando:


em e, a partir de (iii), que não é comutativa em .





simetrizáveis em .

102


Pedro Franco de Sá

Item d)








simetrizáveis em .

→ Solução 85

» Os elementos de não são inversíveis em .

→ Solução 86

» Sejam , então, temos e

. Calculando:

Vemos que é comutativa em .



103


Pedro Franco de Sá


Vemos que todos os elementos de , são

simetrizáveis em .

→ Solução 87

» Sejam e subanéis de e

.

Se , então e .

Como e são subanéis, temos que

, e , .

Logo, .


→ Solução 88

» Suponhamos que e sejam elementos

neutros de em . Se é elemento neutro, então,

. Mas também é elemento neutro, logo,

. Como , temos que

.

Portanto, existe apenas um elemento neutro.

→ Solução 89

» Sejam , então, e .

Calculando:

Vemos que , , a

partir de e , respectivamente. Isso ocorre pelo

fato de ser subanel, logo , .

104


Pedro Franco de Sá

Portanto, é um subanel de

.

→ Solução 90

» Suponhamos que e sejam elementos

simétricos de em e o elemento neutro de .

Como é associativa, temos que:

. Sendo o

elemento neutro, segue que:

. Como é o elemento neutro,

temos .

Portanto, se uma operação sobre um conjunto

é associativa e tem elemento neutro, então, se o

elemento simétrico de x existir ele é único.

→ Solução 91

» Sejam , então, e .

Calculando:

Vemos que , a partir de e

, respectivamente.


→ Solução 92

» Sejam o elemento simétrico de e

o elemento neutro de . Supondo que seja

simetrizável, adotaremos como seu elemento

simétrico. Como é associativa, temos:

105


Pedro Franco de Sá

. Sendo o elemento neutro,

segue que . Que equivale a .


é associativa e tem elemento neutro, então, o

elemento simétrico de x é simetrizável e .

→ Solução 93

» Sejam , então e

temos ainda . Calculando:

Vemos que , a partir de

e , respectivamente.


→ Solução 94

» Sejam os elementos simétricos de

e o elemento neutro de . Supondo que

seja simetrizável, temos .

Compondo à esquerda por em ambos os membros

teremos: ; como é

associativa, segue que ; mas,

é o simétrico de , então, temos .

Compondo à esquerda com em ambos os membros

teremos: ; que equivale a

, pois e são simétricos.


é associativa e tem elemento neutro e e são

elementos simetrizáveis em relação à operação , então,

.

106


Pedro Franco de Sá

→ Solução 95

Item a)

» Como o anel é comutativo, temos que:

. Mas o anel é de

característica 2, então: .

Item b)

» Podemos escrever: .

Como visto anteriormente, , então,

. Logo,

.

Portanto, .

Item c)

» Podemos calcular usando o Binômio

de Newton, uma vez que o anel é comutativo. Assim

temos:

. Como o anel tem característica ,

e , temos

.

Item d)


. Como visto no item a),

. Então, temos ².

Portanto, .

Item e)


.

Segue que:

.

Portanto, temos: .

107


Pedro Franco de Sá

→ Solução 96

» Sejam , então, temos

e .

Calculando:

Como ,

temos que .

Portanto, é fechado para a multiplicação usual

de matrizes em .

→ Solução 97

» É válida no anel dos complexos, podemos

mudar o anel para que a afirmação acima se torne falsa.

→ Solução 98

» Sejam , então, temos

e . Calculando:

Vemos que . Portanto, é fechado

para a multiplicação usual de complexos.

→ Solução 99

» Esta afirmação torna-se falsa apenas mudando

o anel em questão. Isso pode ser observado na questão

116, em que as equações são do segundo grau, e a do

item e), por exemplo, possui quatro raízes.

108


Pedro Franco de Sá

→ Solução 100

» Sejam , então temos e

. Calculando:

Vemos que , então, é um conjunto

fechado em relação à operação adição usual.

→ Solução 101

» Multiplicando por a segunda equação,

teremos: . Que equivale à equação:

. Podemos reescrever o sistema com essa

equação e teremos:

Somando as duas equações, teremos:

que equivale à equação:

Substituindo na primeira equação, teremos:

Adicionando em ambos os membros, teremos:

Que equivale à equação:

Por substituição, vemos que .

Portanto, o conjunto solução é .

→ Solução 102


. Calculando:

109


Pedro Franco de Sá

Vemos que , então, é um

conjunto fechado em relação à operação produto usual

em .

→ Solução 103 » Multiplicando a segunda equação por 4,

teremos:

Que equivale a: .

Por substituição, vemos que:

, , , .

Substituindo os valores de na primeira

equação, teremos: (1) Para , vem .

Que equivale a: .

Logo, não existe , tal que .

(2) Para , vem .

Que equivale a: .

Logo, , , , , e

.

(3) Para , vem .

Que equivale a: .

Logo, não existe , tal que .

(4) Para , vem .

Que equivale a: .

Logo, , , , e .

Dessa forma, temos como possíveis soluções os

pares:

, , , , , , , ,

, , , .

Mas por verificação, vemos que os pares ,

, , , , , , e

não são válidos.

Portanto, o conjunto solução é

.

110


Pedro Franco de Sá

→ Solução 104


. Calculando:


fechado em relação à operação produto usual em .

→ Solução 105

» Somando as duas equações, teremos a

equação:


Substituindo o valor de na primeira equação,

teremos:

que equivale à equação:

Adicionando em ambos os membros, teremos:


Por substituição, vemos que .


→ Solução 106


. Calculando:

111


Pedro Franco de Sá


fechado em relação à operação produto usual de

números reais.

→ Solução 107

Item a)

» Primeiro devemos construir a tábua de

Tábua de .

Consultando a tábua de , vemos que

, , e .

Portanto, o conjunto solução é , ,

Item b)

» Primeiramente, devemos fatorar a equação.

Adicionando 4 em ambos os membros, teremos:

; que equivale à equação:

Pela distributividade, temos:

Consultando a tábua do item a), vemos que:

e .


112


Pedro Franco de Sá

Item c)

» Adicionando 2 em ambos os membros,

teremos:


Pela distributividade, temos:

Consultando a tábua do item a), vemos que:

.


Item d)

» Adicionando 4 em ambos os membros,

teremos:


Pela distributividade, temos que:

Consultando a tábua de no item a), vemos

que a equação não possui solução.


Item e)

» Primeiro devemos construir a tábua de

113


Pedro Franco de Sá

Tábua de

Agora, devemos fatorar a equação. Adicionando

em ambos os membros, teremos:


Pela distributividade temos:

; que equivale à equação:

Consultando a tábua de , vemos que:

e

Portanto, o conjunto solução é , .

→ Solução 108


e . Calculando:

Vemos a partir de (i) e (ii), que é associativa

em .



114


Pedro Franco de Sá



simetrizáveis em .

Portanto, o par ordenado é um grupo.

→ Solução 109


Vemos que é associativa e comutativa em , a

partir de e , e , respectivamente.

Supondo que exista , tal que.



.


em .


Calculando:

Vemos que é associativa, comutativa e

distributiva, a partir de e e (3), respectivamente.


115


Pedro Franco de Sá


Portanto, a terna ordenada é um anel

comutativo com unidade.

→ Solução 110


e . Calculando:

Vemos a partir de (i) e (ii) que é associativa

em .





simetrizáveis em .


→ Solução 111

» Sejam um anel comutativo e ,

temos que:

Como é comutativo, . Então:

Sejam e ,

temos que:

Como , temos:

116


Pedro Franco de Sá

Que equivale a:

Segue então que:

Logo, é um anel comutativo.

Portanto, uma anel é comutativo se, e

somente se, , .

→ Solução 112

» Como visto no exercício 42 (item d):

É associativa, comutativa e possui

elemento neutro.

Todos os elementos de são

simetrizáveis em .

Portanto, o par ordenado é um

grupo abeliano.

→ Solução 113

» Sendo , temos que:

Que equivale a:

Segue, então, que:

Logo, .

Agora, com , temos que:

Que equivale a:

Segue, então, que:

117


Pedro Franco de Sá

Logo:

Mas , então:

Portanto, é um anel comutativo.

→ Solução 114


e . Calculando:







simetrizáveis em .

Portanto, o par ordenado é um grupo

abeliano.

→ Solução 115

» Sejam , então,

, e . Calculando:

118


Pedro Franco de Sá

Vemos que é associativa e comutativa em ,

a partir de e , respectivamente.



Supondo que exista , tal

que:

.


em .


Calculando:

Vemos que é associativa, comutativa e

distributiva, a partir de , e , respectivamente.


.


119


Pedro Franco de Sá



Item a)

Porque não vale a nulidade do produto, isto é,

para se , não necessariamente

ou . Com .

Item b)

Sim, sejam , tal que

e . O produto . Portanto, e são

divisores do zero em .

→ Solução 116








simetrizáveis em .

120


Pedro Franco de Sá


abeliano.

→ Solução 117

» Não, pois não possui elemento neutro na

adição usual.

→ Solução 118



em .

Seja o elemento neutro de . Supondo que

exista , tal que:


Seja o elemento simetrizável de a em relação

à . Supondo que exista , tal que:


simetrizáveis em .


→ Solução 119


121


Pedro Franco de Sá


associativa em e, a parir de , que é comutativa

em .





simetrizáveis em .


Calculando:

Vemos, a partir de e que é

associativa em , a partir de que é comutativa

em e, a partir de e que valem as leis

distributivas de em .


Vemos que o anel possui unidade.

Portanto, a terna é um anel


122


Pedro Franco de Sá

→ Solução 120


, e

. Calculando:


em e, a partir de (iii), que é comutativa.





simetrizáveis em .


abeliano.

→ Solução 121

» Sejam então, ,

e . Calculando:

123


Pedro Franco de Sá

Vemos que é associativa e comutativa, a

partir de e , respectivamente, pois é um

anel.


.


Supondo que exista tal

que

.


em .


Calculando:

Vemos que é associativa e distributiva, a

partir de (1) e (2) e (3) respectivamente, pois

é um anel.

Portanto, a terna também é um

anel.

124


Pedro Franco de Sá

→ Solução 122








simetrizáveis em .


abeliano.

→ Solução 123

» Sejam , calculando:

125


Pedro Franco de Sá

Vemos, a partir e , que é associativa e,

a partir de que é comutativa em .



Supondo que exista – , tal que:

.

Vemos que todo elemento de é simétrico em

.


Calculando:


associativa, a partir de , que é comutativa e, a

partir de e , que é distributiva.


.




126


Pedro Franco de Sá

→ Solução 124

» Como é um grupo, temos como o

elemento simétrico de em relação à . Temos também

que . Compondo com ambos os membros

da equação, teremos: . Sendo o

elemento neutro de , temos que .

Portanto, se é um grupo e, para um dado

, , então, é o elemento neutro.

→ Solução 125

» Sejam , calculando:


e, a partir de , que é comutativa em .

Suponhamos que exista , tal que:

.


Suponhamos que exista , tal que:

.


em .


Sejam . Calculando:

127


Pedro Franco de Sá


em , vemos, a partir de , que é comutativa e, a

partir de e , que é distributiva com .


.


Portanto, a terna é um anel comutativo

com unidade.

→ Solução 126

» Sejam . Pela condição do enunciado,

temos: . Compondo com

em ambos os membros, teremos:

. Como é associativa, temos o

equivalente: ; que

equivale a ; como é elemento neutro,

temos que: . Assim vemos que é

comutativa.

Portanto, é um grupo abeliano.

→ Solução 127

» Seja e o elemento neutro de .

Como é o elemento neutro de , temos:

. Mas é distributiva, então:

128


Pedro Franco de Sá

.

Adicionando em ambos os membros,

temos: .

Que equivale a: .

→ Solução 128

Item a)

» Sejam os elementos simétricos de

. Compondo à esquerda com e à direita com

em ambos os membros da equação, teremos:

.

Portanto, .

Item b)

» Sejam os elementos simétricos

de , respectivamente. Compondo à direita

com em ambos os membros da equação,

teremos: .

Portanto, .

Item c)


de , respectivamente. Compondo à esquerda

com e à direita com em ambos os membros

da equação, teremos:

.

Portanto, .

Item d)


de , respectivamente. Compondo à esquerda

129


Pedro Franco de Sá

com e à direita com em ambos os

membros da equação, teremos:

.

Portanto, .

→ Solução 129

» Seja o elemento gerador da classe

lateral do subgrupo . Como , temos ,

, ou . Assim teremos

as seguintes classes laterais:

Se , então .

Se , então

.

Se , então

.

Se , então

.

Obs.: As referidas classes pertencem ao

conjunto , ou seja, .

→ Solução 130


e . Calculando:

. Vemos que .

Portanto, é um subgrupo de .

→ Solução 131

» Sejam (1) e (2) .

Compondo à direita com em ambos os membros da

equação (2), teremos . Como

130


Pedro Franco de Sá

um subgrupo do grupo , temos que

. Mas , segue daí que

.

Portanto, .

→ Solução 132


e e . Calculando:

. Vemos que .


→ Solução 133

» Seja . Então, existem

tal que ; multiplicando ambos os

membros à direita e à esquerda por , teremos

, ou ainda .

Logo, .

Portanto, implica que .

→ Solução 134

» Sejam , temos,

então, e e .

Calculando:

. Vemos que .

Portanto, não é um subgrupo de

.

Sejam , temos,

então, e e .

Calculando: .

Vemos que .


131


Pedro Franco de Sá

→ Solução 135

» Seja , segue que

(como visto no exercício 98).

Como visto no exercício 47, . Assim

temos que, ; logo, .

Portanto, .

→ Solução 136


e . Calculando:

Vemos que .


→ Solução 137

» Como visto no exercício 98, se ,

então . Sendo assim, de ,

decorre que . Como visto no exercício 98, se

, então . Dessa forma, vemos

que se , então, .

Logo, se , então .

Agora, sendo , segue que

. Decorre daí que .

Portanto, se, e somente se, .

→ Solução 138

» Sejam , temos,

então, e e . Calculando:

132


Pedro Franco de Sá

; aplicando o módulo em ambos os membros da

equação, teremos: . Vemos

que .


→ Solução 139

» Seja um conjunto não vazio. Dizemos que

é uma partição de se, e somente se,

, em que são subconjuntos de ,

tais que:

Agora, vamos analisar a classe lateral .

Por definição, temos que ;

Como visto no exercício 98, todo par,

e , de classes laterais à esquerda, se distintas, são

disjuntas.

Como visto no exercício 100, para todo

temos . Logo, a reunião de todas as

classes laterais à esquerda de em gera o

conjunto .

Portanto, o conjunto de todas as classes laterais

à esquerda de em é uma partição do

conjunto .

De maneira análoga, provamos para as classes

laterais à direita.

→ Solução 140


; temos ainda e .

133


Pedro Franco de Sá

Calculando: . Compondo à

esquerda com teremos: ; que

equivale a . Vemos que .


→ Solução 141

» Consideremos a classe lateral à direita

de em , determinada por . Sabemos que o

elemento neutro do grupo pertence ao subgrupo .

Como e , temos que .

Analogamente, provamos que .

→ Solução 142


e . Calculando:

Vemos que .


→ Solução 143

» Consideremos que as classes e

sejam coincidentes. Segue daí que existem ,

tais que ; o que implica

134


Pedro Franco de Sá

. Como é um subgrupo, temos que ;

dessa forma, .

Agora, sejam . Como é um subgrupo,

temos que . Segue, então, que a classe lateral

à direita determinada por em coincide com

o subgrupo . Desse modo, existem tais que

; ou ainda . Logo,

todo elemento é igual a um elemento

, e vice-versa.

Analogamente, provamos que se,

e somente se, .

→ Solução 144


e . Calculando:

Vemos que .

Portanto, não é um subgrupo de .

→ Solução 145

» Consideremos as classes laterais à direita

e de em , determinadas por e ,

respectivamente.

Suponhamos que exista um elemento tal

que e . Logo, existem ,

135


Pedro Franco de Sá

tais que . Que equivale a

, ou ainda .

O fato de que , pois é subgrupo,

implica que . Portanto, pela propriedade

demonstrada na questão 99, .

Analogamente, demonstramos que isso vale

para as classes laterais à esquerda.

→ Solução 146

Item a)


e e

. Calculando:

1, 2− 2,…, − ; e calculando:

. Vemos que .


Item b)


e e

. Calculando:

1, 2− 2,…, − ; como 1− 1∈ℤ. Vemos que

.


136


Pedro Franco de Sá

Item c)


e e

. Como , temos

. Vemos que .

Portanto, não é um subgrupo de .

→ Solução 147

» Definamos a seguir a seguinte aplicação

definida por .

Afirmamos que é bijetora. De fato:

Seja , então,

. Logo, . Portanto, é injetora.

(ii) Dado , então, existe

tal que , pela definição da função

. Portanto, é sobrejetora.

→ Solução 148

» Sejam , temos, então, .

Calculando: . Vemos que .


→ Solução 149

» Consideremos as classes laterais

e . Como é

um grupo abeliano, temos . Então,

. Portanto, as classes

laterais coincidem.

→ Solução 150

137


Pedro Franco de Sá

» Sejam e subgrupos de e

. Como , temos que e .

Mas e são subgrupos de , então, e

. Assim, . Logo, é

um subgrupo de .

Portanto, a interseção de dois subgrupos é um

subgrupo.

→ Solução 151

» Consultando a tábua de operações, podemos

perceber que é comutativa em . Assim, as classes

laterais à esquerda e à direita coincidem. Portanto, as

classes laterais do subgrupo em são:

→ Solução 152

Item a)

» Sejam , , temos, então, e

. Calculando:

Vemos que é um homomorfismo de grupos.

Como , temos um

endomorfismo de grupos.

Supondo que , temos que

; não necessariamente, , logo não é injetora.

Portanto, é um endomorfismo de grupos.

138


Pedro Franco de Sá

Item b)

» Sejam , , temos, então,

e . Calculando:

Vemos que não é um homomorfismo de

grupos.

Item c)


. Calculando:



; segue que , logo é injetora.

Seja . Se existe tal

que , significa que . Logo, não é

sobrejetora.

Portanto, é um

monomorfismo de grupos.

Item d)


. Calculando:




Seja . Se existe tal que ,

então . Logo, não é sobrejetora.

139


Pedro Franco de Sá

Portanto, é um monomorfismo de grupos.

Item e)

» Sejam , , temos então

e . Calculando:






Portanto, é um isomorfismo

de grupos.

Item f)


. Calculando:


Supondo que , temos que ;

segue que , logo é injetora.



Portanto, é um automorfismo

de grupos.

140


Pedro Franco de Sá

Item g)


. Calculando:



não necessariamente , logo não é injetora.

Portanto, é um

endomorfismo de grupos.

Item h)


. Calculando:


grupos.

Item i)


. Calculando:


grupos.

Item j)


. Calculando:

141


Pedro Franco de Sá


grupos.

Supondo que , temos que ,

não necessariamente, , logo não é injetora.

Nem todo elemento de tem

correspondente em . Assim,

não é sobrejetora.

Item k)


. Calculando:



segue que , logo, é injetora.



Portanto, é um

automorfismo de grupos.

→ Solução 153


lateral do subgrupo . Como , temos ,

ou . Assim, teremos as

seguintes classes laterais:

Se , então,

.

Se , então,

.

142


Pedro Franco de Sá

Se , então,

.

Obs.: As referidas classes pertencem ao

conjunto , ou seja, .

→ Solução 154


. Calculando:



segue que , logo é injetora.

Seja ; tomando temos .

Logo, é sobrejetora.

Portanto, é um

isomorfismo de grupos.

→ Solução 155


lateral do subgrupo . Como , temos que é par

ou é ímpar. Assim, teremos as seguintes classes

laterais:

Se é par, então, .

Se é ímpar, então,

.

→ Solução 156


e . Calculando:

143


Pedro Franco de Sá


em e, a partir de , vemos que é comutativa.





simetrizáveis em .


abeliano.

Sejam definida por

e , . Temos, então, e .

Calculando:




Seja ; tomando temos



de grupos.

144


Pedro Franco de Sá

→ Solução 157

» Vemos que para e , é válida, pois:

Supondo que seja válida para um inteiro ,

segue que:

Calculando teremos:

Isto significa que é válido

para todo inteiro não negativo.

Para , sendo positivo, temos que:

Como visto no exercício 91, se é um

homomorfismo de grupos, então, .

Assim temos:

Portanto, se é um homomorfismo de grupos,

então, para todo inteiro temos que .

→ Solução 158

» Sejam , , temos, então,

e . Calculando:




145


Pedro Franco de Sá

Seja ; tomando temos


Portanto, é um isomorfismo de

grupos.

→ Solução 159

» Como visto no exercício 90, .

Segue, então, que

. Compondo com em ambos os membros

teremos .

→ Solução 160

» Primeiro construímos a tábua do grupo :

1 i -1 -i

1 1 i -1 -i

i i -1 -i 1

-1 -1 -i 1 i

-i -i 1 i -1

Adotando , , e

teremos a tábua de :

e a b c

e e a b c

a a b c e

b b c e a

c c e a b

146


Pedro Franco de Sá

→ Solução 161

» Sendo e os elementos neutros de e ,

respectivamente, temos que . Como

é um homomorfismo de grupos, segue que

. Compondo com em ambos os

membros teremos .

Portanto, .

→ Solução 162

» Primeiro construímos a tábua do grupo :

1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

Adotando , , e teremos

a tábua de :

e a b c

e e a b c

a a c e b

b b e c a

c c b a e

Agora, podemos resolver a equação

; compondo à esquerda com e à direita com em

ambos os membros teremos: . Assim, temos

.

147


Pedro Franco de Sá

→ Solução 163

» Sejam . Calculando a imagem de

, teremos .

Usaremos a indução para provar que

.

Para , temos . Logo, vale

para .

Supondo que seja válido para , temos

que .

Efetuando o produto

.

Como é abeliano, podemos usar a propriedade

do produto de potências de mesma base. Dessa forma,

. Portanto,

é valido para todo inteiro e positivo.

Sendo assim, temos que

Portanto, é um homomorfismo de .

→ Solução 164

Item a)

» Primeiro devemos construir a tabela de

:

0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4

148


Pedro Franco de Sá

Adotando , , , , e

teremos a tábua de :

e a b c d 5

e e a b c d f

a a b c d f e

b b c d f e a

c c d f e a b

d d f e a b c

f f e a b c d

Item b)

» .

.

.

Item c)

» Compondo à esquerda por e à direita por

em ambos os membros e sabendo que , teremos

. Como , e

, temos que .

→ Solução 165

» Tomando por base a função ,

definida por ; segue que

, com

. Logo, é um homomorfismo de grupos.


; então, temos que . Assim, vemos que é

injetora.


. Assim, é sobrejetora.

149


Pedro Franco de Sá

Portanto, o grupo é isomorfo ao grupo

.

→ Solução 166


. Temos ainda . Calculando:

Vemos que . Portanto, é um

subgrupo de .

Sejam , então, e

. Temos ainda . Calculando:

Vemos que . Portanto, é um

subgrupo de .

Sejam , definida por

3 = + e , ∈ . Temos, então, = 2 ∙3 = +

e . Calculando:



; temos, então, que e , logo .

Portanto, é injetora.

Seja . Tomando

, temos .


de grupos.

150


Pedro Franco de Sá

→ Solução 167

» Tomando por base a função

, definida por ; segue que

=125 + =125 +125 = + ( ), com , ∈5ℤ.

Logo, é um homomorfismo de grupos.


; então, temos que . Assim, vemos que é

injetora.


. Assim, é sobrejetora.


.

→ Solução 168

» Seja , definida por

um homomorfismo de grupos. Sendo e

, com . Calculando:

Mas é um homomorfismo de grupos, então,

= ( )∗ ( ). Segue que ∗ = ∗ ( ). Dessa

forma, vemos que é comutativa em .

Portanto, é um grupo abeliano.

Sejam um grupo abeliano, e

, definida por . Calculando:

Como é comutativa, temos que

. Logo, é um homomorfismo de grupos.

Portanto, um grupo é um grupo abeliano se, e

151


Pedro Franco de Sá

somente se, , definida por é um

homomorfismo.

→ Solução 169

» Tomando por base a função

, definida por ; segue que

, com .

Logo, é um homomorfismo de grupos.


então, temos que . Assim, vemos que é injetora.

Seja . Tomando , temos .

Assim é sobrejetora.


.

→ Solução 170

» Não, pois nem todos os elementos de têm

correspondente em .

152


Pedro Franco de Sá

9. Bibliografia

ALENCAR FILHO, Edgard de. Elementos de teoria

dos Anéis. São Paulo: Nobel. 1982.

______. Teoria dos Grupos. São Paulo: Edgard

Blücher. 1985

BIRKHOFF, Garrett; MACLANE, Saunders. Álgebra

Moderna Básica. 4. ed. Rio de Janeiro: Guanabara

dois, 1980.

DOMINGUES, Hygino H. IEZZI, Gelson. Álgebra

Moderna. São Paulo: Atual. 4. ed. 2003

JACOBSON, Nathan. Lectures in Abstract

Algebra: volume I – basic concepts. 1951.

Questões de Álgebra Moderna

é um livro endereçado a todos

aqueles que, por alguma

necessidade, desejam pôr em

prática alguns dos conceitos de

Álgebra Moderna. Esperamos

que este pequeno livro seja um

instrumento útil a quem a ele

recorrer.

Livro Pedro S e Elias Macedo Neto (2)

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