Livro Parte I Fundamentos da Mecânica da Fratura Clássica · Vamos agora estudar as propriedades...
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FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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SUMÁRIO SUMÁRIO............................................................................................................................. 1
Capítulo - I............................................................................................................................. 4
1. 1 – Objetivos do Capítulo.................................................................................................. 4
1. 2 - Introdução.................................................................................................................... 5
1. 3 - Comportamento Mecânico dos Materiais Sólidos até a Ruptura ................................... 7
1.3.2 – Determinação do Módulo Elástico e da Flexibilidade de um Material .................. 9
1.3.3 - A Energia Elástica Armazenada em um Sólido................................................... 10
1.3.4 - Comportamento Elástico .................................................................................... 11
1.3.5 - Comportamento Plástico .................................................................................... 11
1.3.6 - Tensão de fluência ou escoamento ..................................................................... 12
1.3.7 - Tensão de ruptura............................................................................................... 13
1. 4 – Propriedades Mecânicas dos Materiais ...................................................................... 14
1.4.1 - Tensão .............................................................................................................. 14
1.4.2 - Deformação ....................................................................................................... 15
1.4.3 - Módulo de Elasticidade de Young (E)................................................................ 16
1.4.4 - Maleabilidade e Ductilidade............................................................................... 17
1.4.5 - Diagramas Tensão-Deformação ......................................................................... 18
1.4.6 - Limite de Resistência à Tração........................................................................... 19
1.4.7 - Dureza .............................................................................................................. 20
1.4.8 - Tenacidade......................................................................................................... 21
1.4.9 - Fluência ............................................................................................................. 22
1.4.10 - Resistência à Fluência ...................................................................................... 24
1.4.11 - Fadiga .............................................................................................................. 25
Capítulo - II ......................................................................................................................... 34
2. 1 - Introdução.................................................................................................................. 34
2. 2 - Análise do Estado das Tensões................................................................................... 35
2.2.1 – Tração e Vetores de Acoplamento das Tensões.................................................. 37
2.2.2 – Componentes das Tensões ................................................................................. 38
2.2.3 – Tensão em um Ponto ......................................................................................... 40
2.2.4 – Tensões sobre um Plano Normal........................................................................ 43
2.2.5 – Representação Dyádica das Tensões .................................................................. 44
2. 3 - Equações de Equilíbrio .............................................................................................. 46
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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2.3.1 – Princípios Físicos e Matemáticos....................................................................... 46
2.3.2 – Momento Linear................................................................................................ 48
2.3.2 – Momento Angular ............................................................................................. 49
2. 4 - Tensões Principais ..................................................................................................... 52
2. 5 – Análise do Movimento de uma Deformação Elástica dos Corpos u .................... 54
2.5.1 - Definição do vetor deslocamento u ................................................................... 54
2.5.2 - Análise das Deformações ................................................................................... 56
2.5.3 – A Definição Tensor das Deformações................................................................ 59
2.5.4 - A Definição do Tensor Gradiente de Deformação .............................................. 60
2.5.5 – Equações de Compatibilidade............................................................................ 61
Capítulo - III ........................................................................................................................ 62
3. 1 - Objetivos do Capítulo ................................................................................................ 62
3. 2 - Introdução.................................................................................................................. 63
3. 3 – Introdução a Elasticidade Linear.......................................................................... 64
3. 4 - Fundamentos da Teoria da Elasticidade Linear..................................................... 65
3.4.1 – Densidade de Energia de Deformação ............................................................... 65
3.4.2 – Materiais Elásticos Lineares .............................................................................. 66
3. 5 - Teoria Elastodinâmica Linear..................................................................................... 69
3.4.2 – Equação Constitutiva o Fluxo de Deformações em um Material Sólido Elástico-
Linear .............................................................................................................. 69
3.4.3 – A Lei de Hooke Generalizada para Sólidos Elásticos Lineares........................... 71
3.4.4 – Equação Constitutiva o Fluxo de Deformações em um Material Sólido Elástico-
Linear .............................................................................................................. 74
3.4.5 - A Visão do Contínuo para a Lei de Hooke ......................................................... 75
3.4.6 – - Densidade de Energia de Deformação na Elasticidade..................................... 78
3.4.7 - Equações de compatibilidade ............................................................................. 79
3.4.8 – Equação Constitutiva dos Materiais Elásticos Lineares ...................................... 79
3.4.9 -– Complementaridade da Densidade da Energia de Deformação ......................... 80
3.4.10 – Equação do Potencial Vetorial Generalizado para a Deformação Elástica ........ 82
3.4.11 - Equação Constitutiva para o Fluxo do Potencial Vetorial das Taxas de Deformações
nos Fluidos .............................................................................................................. 83
3.4.12 – Equação do Potencial Vetorial Generalizado para a Massa Fluida.................... 84
3.4.13 – A Equação de Movimento Elastodinâmico Linear ........................................... 85
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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3.4.14 – Problemas de Valor de Contorno ..................................................................... 88
3. 6 – .............................................................................................................. 89
3.7 – O Campo de Tensão Elástico Linear........................................................................... 90
3.6.1 – Equações Básicas da Elasticidade para o Corpo Homogêneo e Isotrópico .......... 90
3.6.2 – Equilíbrio de um corpo elástico sob uma força de corpo .................................... 97
3.8 – Problemas Planos da Teoria da Elasticidade ............................................................... 99
3.7.1 – Problemas Bidimensionais na Elasticidade ........................................................ 99
3.7.2 - Equações de Equilíbrio e Compatibilidade para os Problemas Planos............... 100
3.7.3 – Estado Plano de Tensão ou Deformação .......................................................... 101
3.7.4 – Função de Tensão de Airy para Problemas Bi-Dimensionais ........................... 103
3.7.5 - Problema de Deformação Plana:....................................................................... 108
3.7.6 - Problema de Tensão Plana................................................................................ 116
3.7.7 - Funções de Airy em Coordenadas Cartesianas.................................................. 117
3.7.8 - Equação Bi-harmônica ..................................................................................... 120
3.7.9 - Condições de Contorno .................................................................................... 121
3.7.10 - Funções de Airy Coordenadas Polares............................................................ 121
3.7.11 - O Laplaciano e a Equação Bi-Harmônica em termos das Variáveis Complexas124
3.7.12 - Equação de Laplace em termos de Variáveis Complexas ................................ 127
3.7.13 - Representação de Funções Bi-Harmônicas de Airy-Westergard por Funções
Analíticas de uma Variável Complexa......................................................................... 129
3.7.14 - As Funções de Airy-Westergard em termos de uma Variável Complexa......... 131
3.7.15 - Funções de Airy-Westergard para a Equação Bi-harmônica da MEL.............. 133
3.7.16 – Forma Complexa da Função Harmônica de Tensão ....................................... 134
3.7.17 – Funções de Tensão em termos de Funções Harmônicas Complexas ............... 137
3.7.18 – Deslocamento Correspondente a uma dada Função de Tensão ....................... 139
3.7.19 - Equações de Kosolov ..................................................................................... 143
3. 9 - Referências Bibliográficas ................................................................................. 146
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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Capítulo - I
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
RESUMO
1. 1 – Objetivos do Capítulo
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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1. 2 – Introdução as propriedades dos materiais
Vamos agora estudar as propriedades dos materiais sob o ponto de vista básico do
princípio de Causa e Efeito ou Estímulo e Resposta dado pelos sistemas físicos em estudo.
Pode-se dizer que a física que estuda as propriedades fenomenológicas dos materiais está
baseada neste princípio junto com as relações da álgebra e geometria dos corpos em estudo.
CAUSA OU ESTÍMULO EFEITO OU RESPOSTA
+
ALGEBRA E GEOMETRIA
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FÍSICA FENOMENOLÓGICA OU ESTUDO DAS PROPRIEDADES DOS
MATERIAIS
As propriedades dos materiais são classificadas basicamente em propriedades
mecânicas, térmicas, elétricas, magnéticas e ópticas, podendo haver propriedades que
envolvam duas ou mais áreas tais como: propriedades termoelétricas, eletro-ópticas, etc. tais
propriedades geralmente estão relacionadas a efeitos conjugados. Vejamos a tabela abaixo:
Tabela - I. 1.
CAUSA X EFEITO = PROPRIEDADES
Força Mecânica Deformação ou trinca Mecânica Mecânica
Força Elétrica Corrente ou transporte de cargas
elétricas
Elétrica
Força Magnética Orientação de cargas magnéticas Magnética
Pulso de Luz Absorção, luminescência,
transparência
Óptica
Calor ou Pulso
Térmico
Transporte de calor ou variação
de temperatura
Térmica
Vamos inicialmente estudar as propriedades mecânicas dos materiais.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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O estudo experimental das propriedades mecânicas dos materiais sólidos é feito
utilizando-se basicamente o chamado princípio de “causa” e “efeito“ ou “estímulo” e
“resposta”. Este princípio se baseia no fato de que as propriedades dos materiais podem ser
inferidas da função de transferência que associa a causa ao seu efeito.
A causa utilizada no estudo das propriedades mecânicas é a aplicação de uma
força externa F sobre o corpo de prova, conforme mostra a figura abaixo:
Figura - 1. 1. Força F aplicada sobre um corpo de prova de massa, M, e volume, V.
A condição de equilíbrio do ensaio é dada pela resistência mecânica do corpo á
força aplicada, isto é diz-se que há equilíbrio de forças quando:
intextF R
(1. 1)
A partir do momento em que o corpo começa a se deformar isso é porque a força
externa extF
começa a ultrapassar o limite de resistência do material e este se dirige para a
ruptura do mesmo. Antes da ruptura, porém nos temos dois tipos principais de comportamento
com respeito a deformação do material : o comportamento elástico, e o comportamento
plástico.
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1. 3 - Comportamento Mecânico dos Materiais Sólidos até a
Ruptura
O comportamento mecânico para os materiais sólidos, no que diz respeito a
deformação, é dividido em frágeis e ducteis (Figura - 1. 2). Os frágeis, são aqueles que se
rompem logo após o fim do seu limite elástico, não apresentando quase nenhuma deformação
plástica (processo reversível).
Figura - 1. 2. Comportamento típico da tensão x deformação dos materiais frágéis e dúcteis.
A lei de Hooke diz que, de acordo com a Figura - 1. 2 e a Figura - 1. 3, um
material, dentro do seu limite elástico linear, atuado por uma força, F, ou tensão, ,
apresentará uma deformação dada por:
E , (1. 2)
onde = F/A é a tensão aplicada e A é a área da secção transversal do corpo sob ação da força
F. E é o módulo elástico do material. O alongamento percentual ou deformação é dada por:
= l/l, conforme mostra a Figura - 1. 3.
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Figura - 1. 3. Distensão máxima das ligações químicas de um material antes de se romper, mostrando o tamanho crítico mínimo, lo, a partir do qual a ruptura acontece, segundo o modelo de Griffith para um monocristal. Figura adaptada a partir da original contida em MARDER [1996].
A partir da relação (1. 2), percebe-se que um material frágil ideal apresenta
módulo elástico constante até a ruptura, enquanto que o dúctil não. Isto significa que, a
separação entre os planos cristalinos do material frágil ideal se dá continuamente, sem que
ocorra quase nenhum acúmulo de defeitos na forma de discordâncias (Figura - 1. 3).
Os dúcteis, por outro lado, são aqueles que após o limite elástico apresentam
deformações plásticas por meio de discordâncias na rede cristalina, acumulando defeitos e se
rompendo após o encruamento (processo irreversível, Figura - 1. 2). De acordo com a teoria
do encruamento (hardening) a relação entre a tensão, , e a deformação, , é dada por:
m
refref
, (1. 3)
onde:
ref é a tensão inical e ref é a deformação inicial e m, é um expoente fracionário.
Observe que a relação (1. 3), mostra o termo em potência, que pode ser
relacionada a uma auto-similaridade com a escala da deformação, ref, que afeta o aspecto
microestrutural da superfície de fratura. Será mostrado, no modelamento fractal da superfície
de fratura no Capítulo – IV, que este fato está relacionado com a rugosidade desta superfície,
devido a auto-similaridade fractal onde o expoente de encruamento, m, estará relacionado
com a dimensão fractal, D, da mesma. Porque o material encrua antes de abrir uma trinca
rugosa.
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A partir da relação (1. 3), percebe-se que no caso do material dúctil, tanto a tensão
de fratura, f, como o módulo elástico, E, passa a depender da presença, ou não, deste
acúmulo de defeitos microscópicos.
1.3.2 – Determinação do Módulo Elástico e da Flexibilidade de um Material
Existem diferentes métodos experimentais para se determinar o módulo elástico
ou a flexibilidade de um material. A Figura - 1. 4 apresenta uma montagem experimental que
pode ser usada para determinar o módulo elástico por meio da equação (1. 4) [DOS SANTOS
1999] abaixo.
uX
ewSE 3
3
4, (1. 4)
onde
S é a separação dos cilindros de apoio, w é a largura do corpo de prova, e é a sua espessura, X
é a carga aplicada e u é a sua deflexão do ponto de aplicação da força na direção vertical.
Figura - 1. 4. Montagem experimental do ensaio de flexão a três pontos com entalhe plano.
Até o limite de ruptura, o valor do módulo elástico do material pode ser calculado
pela equação (1. 4), conforme mostra na Figura - 1. 2. Caso ocorra um crescimento de trinca
acima deste limite máximo de carga tolerável pelo material, o valor da equação (1. 4) passa a
representar a flexibilidade do material ao invés do seu módulo elástico.
Para materiais frágeis, ou até mesmo dúcteis, a relação (1. 2) é muito útil, porque
ela constitui a base da mecânica da fratura elástica linear, conforme será visto a seguir.
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1.3.3 - A Energia Elástica Armazenada em um Sólido
Considere um corpo tracionado continuamente até o limite da sua ruptura,
conforme mostra a Figura - 1. 3. A energia de deformação total armazenada em um material
até este limite é dado pela área debaixo da curva mostrada na Figura - 1. 2, isto é, pela integral
da curva, x E, ou seja:
o
du )()( . (1. 5)
Embora existam diferentes comportamentos mecânicos, conforme mostra a Figura
- 1. 2, é interessante, a princípio, entender o mais simples deles, que corresponde a um
material frágil que segue a “lei elástica de Hooke”. Para este material frágil, pode-se supor
que o corpo responde a solicitação externa de acordo com a equação (1. 2). Portanto,
substituindo a expressão (1. 2) em (1. 5) tem-se que a energia de deformação elástica total
armazenada em um material frágil, até o limite de sua ruptura, calculada pela lei de Hooke, é
dado por:
0
2
2)( EdEu
o
, (1. 6)
reescrevendo (1. 6) em termos de (1. 2) tem-se:
Eu
2)(
2 . (1. 7)
Considerando o corpo totalmente distendido até o limite máximo de sua
resistência mecânica, tem-se que a tensão máxima de alongamento corresponde a tensão de
fratura do material, f. Logo, para o caso da fratura elástica linear (material frágil ideal), de
acordo com a lei de Hooke dado em (1. 2), tem-se:
maxf E , (1. 8)
onde, f, é o módulo de ruptura ou a tensão de fratura do material, E é o seu módulo elástico,
máx é o alongamento máxima do corpo em relação ao seu comprimento inicial. De acordo
com a Figura - 1. 2, para os materiais frágeis, a integral é obtida susbtituindo-se (1. 8) em (1.
7) obtendo-se a energia de deformação elástica total por unidade de volume que pode ser
armazenada no corpo antes que ele se rompa, fornecendo
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Eu f
f 2
2 . (1. 9)
Para um corpo de volume, Vc, tem-se que:
dVdUu , (1. 10)
Logo, substituindo-se (1. 9) em (1. 10) tem-se:
cf
f VE
U2
2 . (1. 11)
Esta é a quantidade máxima de energia por unidade de volume que um corpo pode
armazenar, desde que se considere que este é formado por um material idealmente frágil,
como uma cerâmica, por exemplo.
1.3.4 - Comportamento Elástico
É aquele em que a deformação é reversível, ou seja, as ligações químicas dos
átomos do material não sofreram recombinação, e a força externa aplicada não ultrapassou o
limite energético do poço de potencial destas ligações (cessando a causa cessa o efeito). Ex.
mola.
1.3.5 - Comportamento Plástico
É aquele em que a deformação é irreversível, ou seja, as ligações químicas dos
átomos do material se moveram sofrendo algum tipo de recombinação com outros átomos da
vizinhança, isto é, os planos cristalinos se deslocaram uns em relação aos outros e a força
externa aplicada removeu os átomos para fora do poço de potencial, ou seja, para fóra da
posição de equilíbrio (cessando a causa o efeito permanece). Ex. manteiga, pixe, metais.
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Figura - 1. 5. Diagrama de tensão x deformação para deformação elástica
1.3.6 - Tensão de fluência ou escoamento
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1.3.7 - Tensão de ruptura
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1. 4 – Propriedades Mecânicas dos Materiais
Os materiais estruturais usados na prática da engenharia, em sua maioria, devem
ter resistência. A resistência é uma medida das forças externas aplicadas ao material, as quais
são necessárias para vencer as forças internas de atração entre as partículas elementares do
mesmo. Resumidamente, a resistência se deve à soma das forças de atração entre os elétrons
carregados negativamente e os prótons carregados positivamente, no interior do material.
Os materiais, de acordo com suas aplicações, devem ser capazes de resistir à ação
de forças consideráveis, sofrendo apenas distorções bastante pequenas. Contudo, propriedades
muito diversas podem ser desejadas. Assim é que o material deve ser capaz de sofrer
deformação permanente, a expensas de quantidades de energia tão pequenas quanto possível.
Ou seja, o material deve ser maleável e dúctil. No caso dos processos de conformação, os
metais perdem sua maleabilidade, tornando-se duros e resistentes. Diz-se que, neste caso, o
material fica encruado. Assim sendo, o engenheiro projeta seu processo de conformação para
utilizar a maleabilidade ou ductilidade do material e ao mesmo tempo faz com que o metal,
após o processo, possua resistência suficiente para a aplicação a que se destina. Outras
propriedades mecânicas são a elasticidade, dureza e tenacidade, bem como a fluência e a
fadiga, dentre outras. Em cada caso concreto, estas propriedades estão associadas ao
comportamento do material diante da aplicação de um sistema de forças externas.
Geralmente, o engenheiro está interessado na "densidade de força" necessária para provocar
uma determinada quantidade definida de deformação, temporária ou permanente.
Vamos agora definir os conceitos mais importantes relacionados as propriedades
mecânicas dos materiais.
1.4.1 - Tensão
A tensão é uma medida da "densidade de força" e é definida como forca por
unidade de área. A tensão é expressa em Newtons por metro quadrado (N/m². Porém, em
termos de ciência dos materiais, talvez seja mais conveniente expressá-la em Newtons por
milímetro quadrado (N/mm²). Além disso, esta unidade fornece um valor de tensão que é mais
fácil de visualizar, considerando, por exemplo, que a forca necessária para romper uma barra
de aço de um metro quadrado de seção transversal, é muito elevada para poder ser visualizada
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em termos de valores finitos. Então, a tensão é calculada dividindo a forca pela área na qual
ela está agindo.
1.4.2 - Deformação
A deformação se refere à alteração (de forma) proporcional produzida em um
material sob influência de tensão. Ela é uma relação numérica, medida como o número de
milímetros de alteração para cada milímetro do comprimento original.
A deformação pode ser elástica ou plástica. A deformação elástica é reversível
e desaparece quando a tensão é removida. Quando a deformação é de natureza elástica, os
átomos são deslocados de suas posições iniciais pela aplicação de tensão. Porém, quando esta
tensão é removida, os átomos retornam às posições iniciais que tinham em relação aos seus
vizinhos. A deformação elástica é aproximadamente proporcional à tensão aplicada (Fig. 1) e,
para fins práticos, podemos dizer que o material obedece à lei de Hooke ( = E. ). Esta lei
estabelece que, para um corpo elástico, a deformação é diretamente proporcional à tensão
aplicada.
Figura - 1. 6. Diagrama de tensão x deformação para deformação elástica
A deformação plástica se dá quando o material é tensionado acima do seu
limite de elasticidade. Com a deformação plástica, os átomos se movimentam dentro da
estrutura do material, adquirindo novas posições permanentes com respeito a seus vizinhos.
Quando a tensão é removida, apenas a deformação elástica desaparece e toda a deformação
plástica permanece (Fig. 2)
Figura - 1. 7. Diagrama de tensão x deformação para deformação plástica
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1.4.3 - Módulo de Elasticidade de Young (E)
O módulo de elasticidade de Young é a relação entre a tensão aplicada e a
deformação elástica que ela produz. Em outras palavras, é a tensão necessária para produzir
uma quantidade unitária de deformação elástica. O módulo de Young está vinculado à rigidez
do material e o seu valor é bastante importante para o engenheiro de construções. O módulo
de elasticidade é expresso em termos de tensão de tração ou de tensão de compressão e suas
unidades são as mesmas para esses dois tipos de tensão. Assim sendo:
E = tensão / deformação = N/mm² / mm/mm = N/mm², (1. 12)
Em virtude do elevado valor numérico de E, ele normalmente é expresso em
GN/m ou MN/mm.
A sofisticada tecnologia das últimas décadas do século XX, freqüentemente
envolve considerações sobre a massa de material necessária para fornecer determinada
resistência e rigidez a uma estrutura. Isto é particularmente importante na indústria
aeroespacial e em outras indústrias de transporte, ou, de fato, em qualquer situação em que se
gaste energia devido à força da gravidade. Desta maneira, o módulo de elasticidade é
geralmente expresso como módulo de elasticidade específico, no qual E está relacionado à
densidade relativa do material:
Módulo de elasticidade específico = E / densidade relativa, (1. 13)
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1.4.4 - Maleabilidade e Ductilidade
A maleabilidade refere-se à capacidade do material se deformar sem fraturar,
quando submetido à compressão, enquanto que a ductilidade se refere à capacidade do
material se deformar sem fraturar, quando submetido a esforços de tração. Todos os materiais
dúcteis são maleáveis, mas nem todos os materiais maleáveis são necessariamente dúcteis.
Isto porque um material macio pode ter pouca resistência e romper facilmente quando
submetido à tração.
Figura - 1. 8. Componentes do teste de tração. A figura mostra um corpo de prova rosqueado.
Porém, em muitos equipamentos, o corpo de prova é plano, e é seguro por grampos de fricção.
A ductilidade é geralmente expressa em práticos, pela porcentagem de
alongamento do comprimento padrão de um corpo de prova padronizado, que é submetido à
tração até a ruptura. A figura 4 mostra que, para tornar os resultados comparáveis, é
necessário haver uma relação padronizada entre o comprimento padrão do corpo de prova e a
área da seção transversal do mesmo. Já que a maior parte da deformação plástica se dá no
"pescoço" (entre Z e Y), é claro que a percentagem de alongamento quando se considera ZY
como comprimento padrão, não será a mesma quando se considera XY como comprimento
padrão. Conseqüentemente, os corpos de prova para tração devem ser geometricamente
similares, sendo conhecidos como corpos de prova proporcionais.
Figura - 1. 9.
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1.4.5 - Diagramas Tensão-Deformação
Quando os valores da tensão e da deformação correspondente, obtidos num
teste de tração, são colocados num gráfico, verifica-se que cada tipo de material é
representado por uma curva característica. Os materiais de ductilidade desprezível, como os
aços de alta dureza, ferro fundido e concreto, apresentam uma deformação até a fratura, de
valor nulo ou muito pequeno (Fig. 5 (i)). Ou seja, eles não apresentam limite de escoamento,
só ocorrendo a deformação elástica. Por outro lado, um material dúctil apresenta um limite de
elasticidade (ou limite de proporcionalidade) além do qual já ocorre deformação plástica. O
limite de escoamento é a tensão máxima que um material pode suportar, antes que se inicie o
escoamento plástico. Nos materiais ferrosos macios (ferro maleável e aços de baixo carbono)
e em alguns materiais plásticos, o início do escoamento plástico é caracterizado por um limite
de escoamento bastante definido (Fig. 5 (iii)). Nessas condições, é fácil calcular a tensão de
escoamento. Nos outros materiais, incluindo praticamente todos os metais e ligas dúcteis, bem
como a maioria dos materiais plásticos, o limite de elasticidade não é bem definido (Fig. 5
(iv)). Sob muitos aspectos, nos projetos de engenharia, o limite de escoamento de um material
é de maior importância que o limite de resistência (tensão máxima suportada pelo material,
durante o escoamento plástico). Por isto, derivou-se um valor de tensão para substituir o
limite de escoamento, naqueles materiais que não apresentam este limite bem definido.
Esta tensão é conhecida como tensão de prova e é definida como a tensão
necessária para produzir uma deformação plástica (ou seja, uma deformação permanente) de
0,1% ou 0,5% para alguns materiais, no comprimento padrão de corpo de prova. Esta tensão é
obtida da maneira indicada nas Figs. 5 (ii) e (iv).
Os materiais que passam por alguns tratamentos como o encruamento ou, no
caso de algumas ligas, por um tratamento térmico apropriado, elas são geralmente mais
resistentes e menos dúcteis do que os mesmos materiais que estão nas condições normais de
dureza. Isto é indicado na curva tensão/deformação da Fig. 5 (ii).
Figura - 1. 10. Diagramas tensão/deformação representativos de vários tipos de material. (i)
Material não dúctil (frágil). (ii) Material semidúctil. (iii) e (iv) Materiais dúcteis.
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T = limite de resistência à tração;
B = Tensão de ruptura;
Y = Limite de escoamento;
P = Tensão de prova
1.4.6 - Limite de Resistência à Tração
O limite de resistência à tração do material é calculado através da relação entre
a força máxima aplicada durante o teste e a área inicial da seção transversal do corpo de
prova. As unidades envolvidas são as de tensão. Geralmente as mais convenientes são MN/m²
ou N/mm² que, evidentemente, são iguais numericamente. É importante notar que ao longo de
todo o ensaio de tração, a tensão é calculada com base na área inicial da seção transversal. Isto
é, não se leva em consideração a diminuição de área da seção transversal junto ao "pescoço",
nos estágios finais da deformação plástica. Por esta razão, os chamados diagramas
"tensão/deformação" na realidade são diagramas força/alongamento modificados. O diagrama
tensão/deformação verdadeiro, para ser reconstruído, necessita que se leve em consideração a
diminuição da seção transversal, medindo-se o diâmetro mínimo no pescoço para cada medida
da força aplicada (Fig. 6). Geralmente é impraticável a medida da tensão verdadeira por este
método. Na prática, usa-se mais freqüentemente o valor da tensão de engenharia.
Figura - 1. 11. Tensão de engenharia = Força / Área inicial da tensão transversal.
É conveniente lembrar que a ordenada usualmente denominada, na maioria dos
diagramas publicados, como "tensão", quase sempre se refere a esta "tensão de engenharia"
em lugar da tensão verdadeira. A redução da seção transversal nos materiais dúteis, durante o
escoamento plástico, leva à aparente anomalia de que a tensão de ruptura seja menor do que o
limite de resistência à tração. Porém, a Fig. 6 mostra que, de fato, a tensão verdadeira de
ruptura é maior que o limite de resistência à tração.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
20
1.4.7 - Dureza
Em linhas gerais, a dureza é definida como a capacidade do material resistir à
abrasão superficial. A dureza relativa dos minerais é constatada através da escala de Moh
(Tabela 1). esta escala consiste de uma lista de materiais agrupados de tal maneira que
qualquer mineral da lista pode riscar os que se localizam abaixo dele. Então o diamante, que é
a substância mais dura que se conhece, encabeça a lista com o índice de dureza igual a 10. A
dureza superficial de qualquer substância pode ser vinculada à Escala de Mohr, determinando-
se quais as substâncias padrão desta escala que riscam a referida substância.
Tabela - I. 2. Escala de Mohr
Mineral Índice de dureza
Diamante 10
Corindo 9
Topázio 8
Quartzo 7
Feldspato 6
Apatita 5
Fluorita 4
Calcita 3
Gesso 2
Talco 1
Obviamente, a Escala de Moh é inadequada, quando se trata de uma
determinação rigorosa de dureza de materiais semelhantes às ligas metálicas. Para essas
substâncias, foram desenvolvidos vários tipos de teste de dureza. Os instrumentos
semelhantes ao Esclerômetro de Turner (que media a riscabilidade) foram logo abandonados e
substituídos por equipamentos que medem a resistência das camadas superficiais do material
à penetração de uma bilha de alguma forma geométrica. Desta forma, a dureza não é mais
definida em termos de resistência à abrasão. No ensaio de Brinell a bilha é uma esfera de aço
enquanto que no ensaio da Pirâmide de Diamante a bilha usada é uma pirâmide de diamante.
O teste de Rockwell emprega um cone de diamante ou uma esfera de aço. Em todos estes
testes, o índice de dureza (H) é obtido do valor:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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21
Força aplicada / Área superficial da massa produzida, (1. 14)
As unidades são as mesmas da tensão. Porém, essas unidades nunca são
empregadas quando se escreve o valor da dureza, pois em qualquer escala de dureza as
condições de teste são padronizadas.
Figura - 1. 12. Componentes da maioria das máquinas de dureza. A bilha pode ser uma esfera de
aço como indicado na figura, ou então uma pirâmide de diamante ou um cone de diamante
Para a maioria das ligas metálicas, o limite de resistência à tração é
aproximadamente proporcional à dureza, apesar de não existir nenhuma conexão fundamental
entre essas duas propriedades, a não ser no que diz respeito à rigidez geral do material.
1.4.8 - Tenacidade
A tenacidade é medida em termos da energia necessária para fraturar um corpo
de prova padrão. Sendo assim, a tenacidade não deve ser confundida com o limite de
resistência à tração, o qual é medido em termos da tensão necessária para fraturar um corpo de
prova padrão. A área sob a curva tensão/deformação está diretamente relacionada à energia
necessária para fraturar o material, pois a energia é o produto da força média pela distância na
qual ele atua..
Figura - 1. 13. Diagramas tensão/deformação para (i) uma liga tratada para aumentar a resistência,
(ii) a mesma liga na condição dúctil ou de pouca dureza. A energia, indicada pela área sob a curva, necessária para fraturar o corpo de prova, é maior no caso do material menos resistente e mais dúctil.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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22
De fato, alguns materiais que em seu estado normal de ductilidade e pouca
dureza, são extremamente tenazes, perdem sua tenacidade quando são submetidos a
determinados processos de endurecimento e encruamento. Estas relações estão indicadas pela
área sob cada curva de tensão/deformação, pelo fato de que empregam carga de choque. Uma
parte da energia cinética de um pêndulo oscilante, é gasta na fratura de um corpo de prova
padrão, convenientemente entalhado. Em ambos os métodos de determinação da tenacidade
ao impacto, que são os métodos Izod e Charpy, a unidade utilizada é o Joule. Esses ensaios
dão uma indicação prática do comportamento do material sob condições de carga de choque.
Em muitas circunstâncias, a tenacidade é mais importante como critério de avaliação do
material, do que a resistência à tração.
Figura - 1. 14. Componentes das máquinas de ensaio de impacto. A energia necessária para
fraturar a atmosfera é medida na escala, em joules.
1.4.9 - Fluência
A fluência pode ser definida como sendo uma deformação contínua, com a
passagem do tempo, em materiais sujeitos a uma tensão constante. Esta deformação é plástica
e ocorre mesmo que a tensão atuante esteja abaixo do limite de escoamento do material. A
temperaturas abaixo de 0,4 T (onde T é a temperatura absoluta de fusão do material (escala
Kelvin)) a taxa de fluência á altamente importante. Por esta razão a fluência é muito pequena
mas a temperaturas maiores que esta, a fluência é altamente importante. Por esta razão a
fluência é comumente vista como sendo um fenômeno de elevadas temperaturas, associado a
plantas de vapor e tecnologia de turbinas de gás.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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23
No entanto, para alguns dos metais e ligas mais macios e com baixo ponto de
fusão, a fluência ocorrerá de forma significativa a temperaturas ambientes. Antigos telhados
de chumbo fluindo ao longo dos séculos, devido ao seu próprio peso, adquiram uma diferença
de espessura mensurável entre a cumeeira, mais fina, e os beirais, mais grossos.
Quando um material metálico é tensionado de forma adequada, origina-se de
imediato uma deformação elástica (Fig. 10), que é seguida por uma deformação plástica que
ocorre em três estágios:
(i) Fluência primária, ou transiente, OP, iniciando-se com uma velocidade rápida que diminui
com o tempo, à medida que o encruamento prossegue.
(ii) Fluência secundária, ou de regime permanente, PS, na qual a velocidade de deformação é
completamente uniforme e passa por seu menor valor.
(iii) Fluência terciária, SX, na qual a velocidade de deformação aumenta rapidamente, até que
a fratura ocorra em X. Este estágio coincide com o empescoçamento da peça.
A fluência em materiais poliméricos abaixo da temperatura de transição vítrea
segue, de forma grosseira, a mesma configuração dos metais. A relação que existe entre
tensão, temperatura e a resultante taxa de fluência está mostrada na figura 11. A baixas
tensões e/ou baixas temperaturas pode ocorrer alguma fluência primária, mas essa cai a um
valor desprezível no estágio secundário e presume-se que é devido ao encruamento do
material. Com o aumento das tensões e/ou temperaturas (curvas B e C) a taxa de fluência
secundária também aumenta levando à fluência secundária também aumenta levando à
fluência terciária e inevitavelmente à fratura.
Figura - 1. 15. Curva típica de fluência mostrando os três estágios de fluência durante um ensaio à
alta temperatura e durante longo tempo.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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24
Figura - 1. 16. Variação das velocidades de fluência com a tensão e com a temperatura. Na curva
A o estágio final de fluência torna-se desprezível, provavelmente devido ao encruamento. Na curva C a velocidade de fluência secundária é mais elevada que na curva B, devido à utilização de uma tensão mais elevada e/ou elevada temperatura.
1.4.10 - Resistência à Fluência
A ampliação do conhecimento do mecanismo de fluência (que sugere dois
tipos separados de deformação plástica, (i) devido ao movimento normal de discordância e
que ocorre dentro de materiais cristalinos e (ii) aquele que é de característica viscosa e está
associado com as regiões não cristalinas do contorno de grão) possibilitou aos cientistas de
materiais o desenvolvimento de materiais resistentes à fluência com maior confiança do que
era possível há poucas décadas atrás. Como a fluência depende do movimento de
discordância, é obvio que qualquer evento que reduza o movimento destas discordâncias, e
também limite a formação de novas, se oporá efetivamente a fluência. Geralmente, os metais
com estruturas cristalinas compactas (CFC ou HC) são os mais apropriados e suas resistências
à fluência podem ser levadas por um ou mais dos seguintes métodos:
(i) A adição de um elemento de liga que formará uma solução sólida com o metal base. Isto só
será realmente efetivo se os átomos solutos tiverem baixa mobilidade. Se, por outro lado, eles
se difundem livremente com a ativação térmica eles também permitirão que as discordâncias
se movimentem, e, desse modo, a recuperação- e portanto, posteriormente a fluência - pode
ocorrer.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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25
(ii) A adição de um elemento de liga que crie o endurecimento por dispersão. Precipitados
coerentes e pequenos precipitados não coerentes são geralmente produzidos por tratamento de
precipitação, sendo essencial que à temperatura de serviço tais partículas permaneçam
finamente dispersas e não coalesçam. Os precipitados finamente dispersos formam barreiras
dispersivas ao movimento de discordâncias.
(iii) Tratamento de liga para garantir grãos grandes quando for possível, já que isto reduz a
superfície total de contornos de grão por unidade de volume do material, e, desse modo,
reduzindo a formação de vazios, o que auxilia bastante o movimento de discordâncias.
1.4.11 - Fadiga
Os engenheiros estão cientes já há longo tempo que cargas "vivas" e tensões
alternadas de pequenas amplitudes podem causar a falha num elemento que, entretanto, pode
suportar uma considerável carga "morta". Sob a ação de cargas não constantes o material pode
tornar-se fatigado. Então, enquanto a fluência é um fenômeno associado com a extensão do
componente sob uma força constante agindo durante um longo tempo e geralmente a altas
temperatura, a fadiga refere-se à falha de um material sob ação de tensões flutuantes e
repetidas.
A falha por fadiga ocorrerá, é evidente, se a tensão máxima está acima do
limite de fadiga. Apesar desta, estar ainda bem abaixo da tensão normal de escorregamento
estático para o material, sabe-se que a deformação plástica por deslizamento ocorre durante o
contínuo ciclo de tensão. Tais bandas de deslizamento, como aparecem nas superfícies, são
tanto de intrusão como de extrusão (Fig. 12).
Figura - 1. 17. O deslizamento localizado que dá origem a extrusões e intrusões que podem iniciar
as trincas de fadiga.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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26
Embora tal intrusão seja geralmente muito pequena, aproximadamente da
ordem de 1 m, pode, é claro, agir como um concentrador de tensões e iniciar uma trinca por
fadiga. Considera-se que uma fratura por fadiga se desenvolve três estágios - nucleação,
crescimento da trinca e fratura inicial (Fig. 13).
Figura - 1. 18. Os estágios de falha de fadiga. Uma fratura por fadiga é geralmente fácil de
identificar, já que a região de crescimento da trinca surge polida devido ao esfregamento das superfícies de fratura, uma contra a outra, a medida que a tensão se alterna. A fratura final é cristalina.
A superfície de fratura, resultante, tem uma aparência característica, sendo uma
falha por fadiga, conseqüentemente fácil de ser identificada. Como a trinca se propaga
lentamente a partir da fonte, as superfícies fraturadas atritam-se entre si devido à natureza
pulsante da tensão e, desse modo, as superfícies tornam-se polidas. Freqüentemente marcas na
forma de concha estão presentes, mostrando a direção de espalhamento da trinca de fadiga.
Finalmente a peça não é mais capaz de suportar seu carregamento e a fratura final ocorre. Esta
superfície recém-fraturada é tipicamente cristalina na aparência.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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1. 5 – Estudo da Consistência de um Corpo Sólido - Análise de Causa e Efeito
O estudo da consistência de um corpo (sólido, líquido, ou gasoso) é um estudo
fenomenológico de causa e efeito, onde se aplica uma força deformante sobre a superfície
deste corpo em estudo e observa-se o efeito da deformação. Este estudo está baseado no fato
de que as forças exercidas sobre o contorno de um meio são transmitidas através do meio.
Figura - 1. 19. Estudo da consistência de um corpo nas direções normal e tangencial
1.5.1 – Comportamento Elástico e Plástico
Um corpo pode apresentar propriedades de consistência em duas direções
fundamentais (normal e tangencial) e os comportamentos básicos deste corpo em relação a
tensão de deformação são:
a) COMPORTAMENTO ELÁSTICO – (Reversível) é aquele em que cessando a
causa (tensão) cessa também o efeito (deformação).
b) COMPORTAMENTO PLÁSTICO – (Irreversível) é aquele em que cessando a
causa (tensão) o efeito permanece (deformação). A condição de não ruptura em todas as
partes do corpo deformado é necessária, para o estudo da consistência.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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Figura - 1. 20. Comportamentos básicos de um corpo sujeito à uma tensão de deformação numa direção genérica. a) elástico (reversível) b) plástico (irreversível).
1.5.2 - Estudo da deformação de um corpo sólido
Os materiais sólidos tendem a se deformarem (ou eventualmente) se romperem
quando submetidos a solicitações mecânicas. O diagrama de tensão-deformação é o
mecanismo gráfico de análise do comportamento dos sólidos frentes as tensões e suas
respectivas deformações. Este diagrama tensão-deformação varia muito de material para
material, e, para um mesmo material podem ocorrer resultados diferentes em vários ensaios
dependendo da temperatura do corpo de prova ou da taxa de crescimento da carga.
Os tipos de esforços mais comuns a que são submetidos os materiais para uma
análise através do diagrama de tensão-deformação são:
a) TRAÇÃO – As forças atuantes tendem a provocar um alongamento do corpo na direção de
aplicação da força.
b) COMPRESSÃO – As forças atuantes tendem a produzir uma redução do corpo na direção
de aplicação da força.
c) FLEXÃO – As forças atuantes provocam uma deformação do corpo no eixo perpendicular
a direção da força
d) TORÇÃO – As forças que atuam no corpo se situam em um plano perpendicular ao eixo da
secção transversal do corpo tendendo a fazer girar uma parte do corpo em relação a outra.
e) FLAMBAGEM – É um esforço de compressão em uma barra de secção transversal
pequena em relação ao comprimento, que tende a produzir uma curvatura da barra.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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f) CISALHAMENTO – As forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto é, um
deslocamento linear entre secções transversais.
Todos os tipos de esforços citados acima estão mostrados na
Figura - 1. 21.
Figura - 1. 21. Diferentes tipos de esforços que podem ser realizados sobre um corpo sólido, a) esforço de tração, b) esforço de compressão, c) esforço de flexão, d) esforço de torção, e) esforço de flambagem, f) esforço de cisalhamento.
1.5.3 - Lei de Hooke na sua forma simplificada
A lei de Hooke estabelece o grau no qual uma estrutura se deforma ou se o
esforço depende da magnitude da tensão imposta. Na parte inicial do diagrama da
Figura - 1. 20, a tensão, , é diretamente proporcional à deformação específica, ,
e podemos escrever:
E . (1. 15) sendo que = l/l. Esta relação é conhecida como Lei de Hooke sendo que o coeficiente E, é
chamado de módulo de elasticidade do material. Para uma força aplicada independentemente
nos os três eixos principais de um corpo temos de uma forma geral que:
ii iiE , (1. 16) e para o caso de cisalhamento
ij ijG , (1. 17) onde G é o módulo de cisalhamento.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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30
No diagrama x do aço puro e de três tipos de aço ( Figura - 1. 22), existem
várias diferenças de tensões de escoamento, tensões últimas e valores finais de deformação
específica (ductibilidade). Todos eles têm o mesmo módulo de elasticidade, ou seja, a sua
capacidade de resistir a deformações é a mesma, dentro da região linear do diagrama.
Figura - 1. 22. Diagrama x para diferentes aços.
O processo de deformação no qual a tensão e a deformação são proporcionais é
chamado de deformação elástica; um gráfico da tensão (ordenada) em função da deformação
(abcissa) resulta em uma relação linear, conforme mostrado na Figura - 1. 23. A inclinação
(coeficiente angular) deste segmento linear corresponde ao módulo de elasticidade E. esse
módulo pode ser considerado como sendo uma rigidez, ou uma resistência do material à
deformação elástica.
Figura - 1. 23. . Diagrama x , mostrando as diferentes regiões de deformação.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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31
A deformação elástica não é permanente, o que significa que quando a carga
aplicada é liberada, a peça retorna à sua forma original.
À medida que o material é deformado além do ponto P ( Figura - 1. 23), a
tensão não é mais proporcional à deformação ( a Lei de Hooke deixa de ser válida), ocorrendo
então uma deformação permanente e não recuperável, ou chamada de deformação plástica.
1.5.4 - Coeficiente de Poisson
Quando uma tensão de tração é imposta a um corpo de prova metálico, por
exemplo, um alongamento elástico e sua deformação correspondente, Z, resultam na direção
da tensão aplicada ( no caso, direção, z) conforme mostra a Figura - 1. 24. Como
resultado deste alongamento, existirão constrições nas direções laterais (x e y),
perpendiculares à tensão aplicada; a partir dessas contrações, as deformações compressivas X
e Y podem ser determinadas. Se a tensão aplicada for uniaxial (apenas na direção z) e o
material for isotrópico, então X = Y. Um parâmetro conhecido por coeficiente de Poisson, ,
é definido como sendo a razão entre as deformações lateral e axial, ou seja,
yx
z z
v
. (1. 18)
Figura - 1. 24. Alongamento axial (z) (deformação positiva) e contrações laterais (x e y) (deformações negativas) em resposta à composição de uma tensão de tração. As linhas sólidas representam as dimensões após a aplicação da tensão; as linhas tracejadas, antes da aplicação da tensão.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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32
O sinal negativo está incluído nesta expressão para que seja sempre um número
positivo, uma vez que X e Z terão sempre sinais opostos. Teoricamente, o coeficiente de
Poisson para materiais isotrópicos deve ser de ¼; adicionalmente, o valor máximo para ( ou
aquele valor para o qual não existe qualquer alteração líquida no volume) é de 0,5. Para
muitos metais e outras ligas, os valores para o coeficiente de Poisson variam na faixa entre 0,2
e 0,35.
Para materiais isotrópicos, os módulos de cisalhamento e de elasticidade estão
relacionados entre si e com o coeficiente de Poisson de acordo com a expressão:
2 (1 )E G v . (1. 19)
1.5.5 - Estados múltiplos de carregamento; generalização da lei de Hooke
Consideremos elementos estruturais sujeitos à ação de carregamentos que atuam
nas direções dos três eixos coordenados, produzindo tensões normais X, Y e Z todos
diferentes de zero ( Figura - 1. 25).
Figura - 1. 25. Estado múltiplo de carregamentos.
Considerando um cubo elementar de um certo material adotando arestas de
comprimento unitário sobre a ação do carregamento multiaxial esse cubo elementar se
deforma tornando-se um paralelepípedo-retângulo cujos lados têm comprimentos 1 + X, 1 +
Y, 1 + Z, onde são as deformações específicas dos três eixos coordenados ( Figura - 1.
26).
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33
Figura - 1. 26. Ação do carregamento multiaxial.
Questionário
1 - Onde se dá a diferença entre a deformação elástica e a plástica.
2 - Por que é necessário definir o módulo de elasticidade específico a = E/d.
3 - Exemplo de maleáveis não dúcteis.
4 - Por que alguns materiais não apresentam definidos os limites de elasticidade.
5 - Porque é necessário definir a tensão de estético
(estruturas) perda da ).
- Exemplo giz x quadro negro.
6 - Por que se define a tenacidade (energia) x área. (lig. primária).
7 - Em automóveis por que se usa alta tenacidade. Qual você escolheria para do
automóvel : tensão de fluência e de escoamento.
8 - Porque ciclos é mais eficiente que deformação, acúmulo de defeitos.
9 - Por que se em nucleação, crescimento e da tensão.
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34
Capítulo - II
ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS SÓLIDOS
RESUMO
2. 1 - Introdução
Uma abordagem a solução de problemas em mecânica dos sólidos é estabelecer
relações primeiro entre cargas aplicadas e tensões internas e, subseqüentemente, considerar as
deformações. Uma outra abordagem é examinar as deformações inicialmente, e então
proceder às tensões e as cargas aplicadas. Desprezando-se da eventual solução o caminho
selecionado, é necessário derivar as relações dos componentes individualmente. Neste
capítulo, a primeira série de equações as quais descrevem o equilíbrio entre forças externas e
tensões internas são derivadas.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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35
2. 2 – Introdução a Mecânica do Contínuo
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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36
2. 3 – Vetores e Tensores
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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37
2. 4 - Análise do Estado das Tensões
2.2.1 – Tração e Vetores de Acoplamento das Tensões
Um corpo deformável sujeito a um carregamento externo é mostrado na Figura -
2. 1. Podem existir cargas aplicadas sobre o exterior, propriamente chamada de forças
superficiais, e cargas distribuídas dentro do interior do corpo, conhecidas como forças
internas. Um exemplo da última é o efeito da gravidade, a qual produz o peso-específico do
corpo.
Focando a atenção sobre um elemento com uma área nA
sobre ou dentro do
corpo e orientada conforme especificada por um vetor normal n , nós acumulamos a força
resultante nF
e o momento nM
. Ambas são grandezas vetoriais e não são, em geral,
paralelas a n. Logo buscamos a intensidade das resultantes sobre a área nA
na seguinte
forma.
Figura - 2. 1. Corpo deformável sob carregamento externo.
0lim ; ( ) ( )
n
n n
Vn n
F dFf vetor aV dV
0lim ; ( ) ( )
n
n nn A
n n
F dFT tensor bA dA
, (2. 1)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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38
0lim ; ( ) ( )
n
n nn A
n n
M dMC tensor cA dA
,
Onde nT é conhecido como vetor das tensões ou tração, e Cn é chamado de vetor do
acoplamento das tensões.
A teoria da elasticidade elementar procede da superposição de que Cn = 0,
enquanto a tração nT representa a intensidade das tensões em um ponto para uma orientação
particular de elemento de área especificada por n . Uma descrição completa no ponto requer
que o estado das tensões seja conhecido para todas as direções, tal que nT ele mesmo é
necessário, mas não suficiente, para esta proposta.
2.2.2 – Componentes das Tensões
Nós agora estudamos um paralelepípedo retangular infinitesimal no ponto em
questão e construímos uma série de coordenadas cartesianas ix paralelas ao lado, conforme
mostrado na Figura – 2.2 correspondente a cada eixo coordenado existe um vetor unitário ie .
Mostrado na figura são as trações iT
que atuam sobre cada face i, com o subscrito escolhido
correspondente a face normal êi. Novamente enfatiza-se que, em geral, iT
não é paralelo a ie ,
o qual é perpendicular a face do paralelepípedo.
Figura - 2. 2. Tensor das tensões normais e cisalhantes em um corpo.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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39
ij , onde i é a direção do vetor normal o elemento de área e j é a direção da componente do
vetor tensão.
Cada tração pode ser escrita em termos das componentes cartesianas na forma:
1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆi if f e f e f e f e
, (2. 2)
Na notação de somatória de Einstein (convenção de soma), ou
1
1 2 3 2
1 13 13
1 3
i i
êf f f f ê f ê
ê
(2. 3)
Mas
jiji êT
(2. 4)
a qual expandindo explicitamente em três equações fornece:
jjêêêêT 13132121111
(2. 5)
jjêêêêT 23232221212
(2. 6)
jjêêêêT 33332321313
(2. 7)
ou ainda
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
1 33 1 3 3
ij j
ê TT ê T ê
ê T
(2. 8)
ou
j ij jT ê ê (2. 9)
Os coeficientes 11, 12, ...., 33, são conhecidos como componentes das tensões
ou simplesmente como tensões, enquanto que toda a matriz forma o tensor das tensões quando
a regra de transformação apropriada é verificada. O subscrito e a convenção dos sinais para as
componentes das tensões ij são como segue:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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40
1) O primeiro subscrito i refere-se à normal ie , a qual denota a face sobre a qual
iT
atua.
2) O segundo subscrito j corresponde à direção ˆ je na qual a tensão atua.
3) As tão chamadas componentes normais ii são positivas se elas produzem
tensões, e negativas se elas produzem compressões. As componentes de cisalhamento ij (i
j) são positivas se direcionadas na direção positiva xj enquanto atuam sobre a face com a
unidade normal ˆ je , ou se direcionadas na direção negativa xj enquanto atuam sobre a face
com unidade normal ˆ je .
Enquanto é algumas vezes vital distinguir entre tensão e compressão a diferença
entre cisalhamento positivo e negativo é igualmente arbitrário.
2.2.3 – Tensão em um Ponto
Nós agora estamos em posição de proceder o principal objetivo desta secção, e
então estabelecer condições suficientes para descrever completamente o estado tensões em um
ponto. Nós mostraremos que isto pode ser realizado por especificação das trações iT
sobre
cada um dos três planos ie as quais pela equação (2. 5) a (2. 7), é equivalente a especificar as
nove componentes das tensões ij . Então, se a tração nT
atua sobre qualquer elemento
arbitrário da superfície, definida por um n apropriado, pode ser avaliada, a proposição é
provada e o tensor das tensões ij , referido a qualquer sistema cartesiano conveniente,
completamente especifica o estado das tensões no ponto.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
41
Figura - 2. 3. Forças agindo sobre um tetraedro elementar em um ponto P.
O tetraedro diferencial na Figura - 2. 3 mostra a tração nT
atuando sobre o plano
identificado por n , ao longo com trações sobre as faces indicadas por êi e a força interna f
por unidade de volume. A força sobre a face inclinada é n nT dA
enquanto a força sobre cada
uma das outras faces é i iT dA
, 1, 2,3i , desde que elas têm normais unitárias nas direções
negativas êi.
As áreas dos planos estão relacionadas por (2. 8), onde
ˆ ˆ ˆcos( , ) .i n i n idA dA n e dA n ê (2. 10)
tal que
ˆ ˆ.i i
ni i
dA dAdAn e n
(2. 11)
onde
),ˆcos(ˆ.ˆ iii ênenn (2. 12)
é a componente de n na direção ie e também a direção cosseno.
A força de equilíbrio para o tetraedro da:
0)31(332211 nnn hdAfdATdATdATdAT
(2. 13)
Onde h é a altura do tetraedro. Usando as equações (2. 10) a (2. 12), a equação (2. 13) torna-
se:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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42
( ) 03n n i i nhT dA T n f dA
(2. 14)
Logo, resolvendo nT
em componentes cartesianas i iT ê e tomando o limite quando h 0 a
condição de equilíbrio é satisfeita se:
iiii nTêT
(2. 15)
O próximo passo é escrever iT em termos das componentes das tensões usando a equação (2.
4). Contudo, é conveniente primeiro mudar o índice mudo sobre o r.h.s da equação (2. 15) de
i para j, então:
ijjijjii ênnTnT
(2. 16)
O qual permite que os coeficientes de êi nas equações (2. 15) e (2. 16) sejam equacionadas
fornecendo:
jjii nT (2. 17)
Reciprocamente, se as componentes iT são conhecidas, a magnitude de nT
pode ser avaliada
como:
2/1)( iinn TTTT
(2. 18)
desde que nT representa uma componente da tração que atua sobre um plano arbitrário como
definido por n , o conhecimento das componentes da tensão referidas as coordenadas
cartesianas é realmente suficiente para especificar completamente o estado das tensões no
ponto. Na equação (2. 17), iT e jn são ambas componentes dos vetores (tensor de ordem 1)
tal que a ji são as componentes de um tensor de ordem 2. Portanto, se as componentes
das tensões são conhecidas em um sistema de coordenadas, dito o sistema xi, elas podem ser
avaliadas por outro sistema de coordenadas, dito o sistema xi’, pela lei de transformação para
os tensores de segunda ordem.
kljlikij ' (2. 19)
Onde cada direção cosseno é:
),'cos( jiij xx (2. 20)
conforme introduzido anteriormente ( ) representa o cosseno do ângulo entre os eixos xi’, e xi.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
43
Desde que a regra de transformação executa um papel importante na teoria da
elasticidade, vale a pena reafirmar que ij ji, isto é, a direção dos cossenos não são
simétricos.
2.2.4 – Tensões sobre um Plano Normal
É algumas vezes útil resolver nT
em componentes que são normais e tangenciais
ao elemento diferencial de superfície dAn, conforme mostrado na Figura - 2. 4.
Figura - 2. 4. Elemento diferencial de superfície
A componente normal é calculada por:
nTN nnn ˆ.
(2. 21)
nêT ii ˆ..
(2. 22)
ii nT . (2. 23)
ou da equação (2. 17):
ijijnn nn (2. 24)
a componente tangencial é:
sTs nns ˆ
(2. 25)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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44
sêT ii ˆ..
(2. 26)
ii sT . (2. 27)
ijjins sn (2. 28)
onde
sês ii ˆ. (2. 29)
Isto freqüentemente conveniente calcular ns usando o teorema de Pitágoras como
2/12 )( nniins TT (2. 30)
conduzindo a resolução a um passo a mais, as componentes cartesianas de N
e s podem ser
avaliadas:
knnkknn ênêN .ˆ.)(
(2. 31)
knnn (2. 32)
kijji nnn (2. 33)
onde k = 1, 2, 3.
a partir da equação (2. 24) para ns, a simples adição dá
.3,2,1)()( kT knnnknn (2. 34)
onde Tk são as componentes cartesianas de T conforme dado pela equação (2. 17).
2.2.5 – Representação Dyádica das Tensões
Conceitualmente, pode ser útil ver o tensor das tensões como uma grandeza tipo
vetorial tendo uma magnitude e direções associadas, especificadas por vetores unitários. O
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
45
dyádico, atribuído ao matemático J. Willard Gibbs, é uma tal representação. Nós escrevemos
o tensor das tensões ou dyádico das tensões como:
jiij êê .. (2. 35)
333323321331
322322221221
311321121111
............
......
êêêêêêêêêêêê
êêêêêê
(2. 36)
Onde os duplos vetores justapostos são chamados dyádicos. As trações correspondentes são
avaliadas por uma operação análoga ao produto escalar ou a operação de produto na
aritmética vetorial:
jijii êêT ..
(2. 37)
A operação ponto (.) de êi sobre [] seleciona componentes com o segundo vetor diado igual
a êi desde que êi.êj = ij. A equação (2. 37) é idêntica a equação (2. 4). Similarmente, as
componentes normais e tangenciais da tração Tn sobre um plano definido pela normal n são:
nnnn ˆ.ˆ. (2. 38)
nTn ˆ.
(2. 39)
jiij nn .. (2. 40)
e
snns ˆ.ˆ. (2. 41)
sTn ˆ.
(2. 42)
jiij sn .. (2. 43)
como previamente achado nas equações (2. 24) e (2. 25), respectivamente.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
46
2. 5 - Equações de Equilíbrio
A partir de agora vamos estudar as equações de equilíbrio ara os sólidos as quais
são decorrentes da Mecânica Newtoniana.
2.3.1 – Princípios Físicos e Matemáticos
O estado das tensões em um ponto em qualquer direção tem sido mostrado ser
completamente determinado pelas componentes do tensor cartesiano das tensões ij.
Naturalmente, as tensões variam dentro do corpo. As equações que governam a distribuição
das tensões são conhecidas como as equações de equilíbrio e são derivadas a partir da
aplicação dos princípios fundamentais da física do momento angular e do momento linear à
região mostrada como na Figura - 2. 5 com a área superficial A e o volume V.
Figura - 2. 5. Corpo em equilíbrio.
O princípio do momento linear é:
2
2V A
d uF F m
dt
(2. 44)
ou
VV A
dVudATdVf
. (2. 45)
no qual é a densidade de massa; u é o vetor deslocamento, e o símbolo (..) significa a
derivada em relação ao tempo duas vezes.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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47
As equações precedentes podem ser escritas na forma de componentes
reconhecendo-se que:
. ( )i if f ê a
(2. 46)
e
iiêTT
(2. 47)
logo
ijji ên .. (2. 48)
a partir da equação (2. 30). Considerando o vetor posição r . Onde
.j jr x ê (2. 49)
Mas
int intV
F f dV
(2. 50)
E a resultante das forças é dada por:
intextV
F F rdV (2. 51)
e
ijext
jV
F dVx
(2. 52)
Logo substituindo (2. 50) e (2. 52) em (2. 53) temos:
intij
jV V
f dV rdVx
(2. 53)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
48
2.3.2 – Momento Linear
Para problemas estáticos, o r.h.s. das equações (2. 45) são zero. Substituindo-se as
equações (2. 54),(2. 47) e (2. 46) em (2. 45) nós temos que as equações estáticas do momento
linear são:
AV
dAnTdVf 0ˆ].[.
(2. 54)
ou equivalentemente
A
ijjiiV
i dAêndVêf 0. (2. 55)
0.
i
Ajji
Vi êdAndVf (2. 56)
A
jjiV
i dAndVf 0. (2. 57)
Supondo que as componentes ij das tensões são funções contínuas de classe C1 e
possuem derivadas contínuas, pode-se usar o teorema da divergência para transformar a
integral de superfície em uma integral de volume. Portanto,
AV
dAnTdVT ˆ].[]).[( (2. 58)
Logo substituindo (2. 58) em (2. 54) tem-se:
VV
dVTdVf 0]).[(
(2. 59)
0]).[( dVTfV
(2. 60)
0)(
dV
xf
V j
jii
(2. 61)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
49
Como todo elemento de V em equilíbrio, a região de integração é arbitrária, valendo para
qualquer volume V, a equação (2. 61) é satisfeita se o integrado desaparece. Portanto,
0
j
jii x
f
(2. 62)
Esta é a condição de equilíbrio para o momento linear, a qual representa as três equações de
equilíbrio em termos das nove componentes desconhecidas da tensão ij.
2.3.2 – Momento Angular
O princípio do momento angular é:
dVurdATrdVfrVAV
)()()( (2. 63)
No qual r é o vetor posição como mostrado na Figura - 2. 5.
O equilíbrio dos momentos demanda que:
0ˆ])[()( dAnTrdVfrAV
(2. 64)
onde
332211 êxêxêxr (2. 65)
a forma escalar de (2. 64) é:
0 dAnxdVfx llkjA
ijkV
kjijk (2. 66)
onde
0 , ,1 , , 1,2,3
1 , , 1,3, 2ijk
se quaisquer dois i j k são iguaisse i j k é uma permutação cíclica de
se i j k é uma permutação de
(2. 67)
Usando o teorema da divergência temos:
0)(
dAnxdVxx llkj
Aijk
Vlkjijk
l (2. 68)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
50
0)(
dVfxdV
xx
xx
kjV
ijkl
lk
Vjlk
l
jijk
(2. 69)
0])([
dVxx
fx
xV l
jlkk
l
lkjijk
(2. 70)
usando (2. 67) em (2. 70) temos:
ljse
ljsedVdV
xx
jljlV
lkijkV l
jlkijk 0
1;0 (2. 71)
0
[ ( ) ] 0lkijk j k lk jl
lV
x f dVx
(2. 72)
usando a expressão (2. 62) temos:
0 dVdVV
jkijkV
jllkijk (2. 73)
Como a relação é válida para qualquer volume temos:
0jkijk (2. 74)
a equação (2. 74) pode ser avaliada para i = 1,2,3, onde
02312332132 (2. 75)
01321331231 (2. 76)
01231221321 (2. 77)
Logo
2332 (2. 78)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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51
1331 (2. 79)
1221 (2. 80)
ou ainda de forma geral
jiij (2. 81)
a qual é uma condição da simetria do tensor das tensões e que, além disso, implica que ij tem
seis componentes independentes, em vez de nove componentes. A equação (2. 81) é muito
importante em todo o campo da mecânica dos sólidos.
Nós podemos reescrever a equação (2. 17) como:
jiji nT (2. 82)
e a equação (2. 62) como:
0
j
iji x
f
(2. 83)
A qual é agora uma série de três equações e seis incógnitas. Desde que elas são usadas
repetidamente, esta é útil escrever as últimas equações na forma explícita:
1311 121
1 2 3
0 ( )f ax x x
(2. 84)
2321 222
1 2 3
0 ( )f bx x x
(2. 85)
31 32 333
1 2 3
0 ( )f cx x x
(2. 86)
a qual representa um sistema que é ainda estaticamente indeterminado.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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52
2. 6 - Tensões Principais
Em todo ponto em um corpo existe um plano, chamado de plano principal, tal que
o vetor tensão se estende ao longo da normal n a este plano. Isto é,
jijii nnT (2. 87)
onde é a tensão normal que atua sobre este plano. A implicação é que não existe
cisalhamento agindo sobre o plano principal. A direção de n é referida à direção principal. A
introdução da equação (2. 87) na equação (2. 17) fornece:
0)( jijji n (2. 88)
A qual é uma série de três equações homogêneas para a direção dos cossenos ni que definem a
direção principal. Desde que nini = 1, então para evitar a solução trivial (0, 0, 0) devemos ter:
0det jijji n (2. 89)
a qual em uma forma matricial é:
0
333231
232221
131211
(2. 90)
Esta é uma equação cúbica em que pode ser escrita como:
0322
13 III (2. 91)
Onde I1, I2, I3 são grandezas escalares que são independentes do sistema de coordenadas na
qual as componentes das tensões são expressos. Elas são chamadas invariantes das tensões
como:
iiI 1 (2. 92)
)(21
2 ijijjjiiI (2. 93)
krjqippqrijkI 61
3 (2. 94)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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53
Em uma forma extendida temos:
3322111 I (2. 95)
231
223
2121133332222112 )( I (2. 96)
333231
232221
131211
3
I (2. 97)
Devido à simetria do tensor das tensões existem três raízes reais (1, 2, 3),
referente as tensões principais da equação (2. 90). Associado a cada tensão principal existe
uma direção principal satisfazendo a equação (2. 88) e nini =1. As três direções principais e os
planos associados são mutuamente ortogonais. Pode ser mostrado que as tensões principais
correspondem ao valor máximo, intermediário e mínimo das tensões normais em um ponto
(circulo de Mohr). Contudo, a máxima tensão de cisalhamento neste ponto é igual a metade da
diferença entre as tensões principais máxima e mínima que atua sobre o plano, fazendo um
ângulo de 45o graus com a direção das tensões. Um conhecimento das tensões principais é
importante porque elas formam a base da teoria das falhas dos materiais.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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54
2. 7 – Análise do Movimento de uma Deformação Elástica dos Corpos u
2.5.1 - Definição do vetor deslocamento u
A série fundamental das equações de campo que governam o movimento de um
corpo elástico isotrópico e homogêneo consiste da relação do deslocamento da deformação
para pequenas deformações. Portanto, considere o deslocamento u conforme mostrado na
Figura - 2. 6.
Figura - 2. 6. Vetor deslocamento u provocado por uma deformação elástica.
O deslocamento do corpo é dado por:
x X u (2. 98)
sendo
udrurdru . (2. 99)
logo
rurdruud . (2. 100)
e a diferencial de x
dx dX du (2. 101)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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55
ou seja
rdrdudud . (2. 102)
e a velocidade é:
dx dX duvdt dt dt
(2. 103)
E a aceleração é então:
2 2 2
2 2 2
d x d X d uadt dt dt
(2. 104)
E o estiramento é dado por:
dx udX
F I (2. 105)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
56
2.5.2 - Análise das Deformações
Considere um corpo flexível como uma gelatina, sofrendo “pequenas
deformações”, conforme mostra a Figura - 2. 7.
)',','(''),,( 321321 xxxrrexxxrr (2. 106)
333222111 )'()'()'(' êxxêxxêxxrru (2. 107)
Figura - 2. 7. Deformação tridimensional em um corpo flexível.
onde
traçãodeounormaissdeformaçõell
xu
ll
xu
ll
xu
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1 ;; (2. 108)
tocisalhamendeoustangenciaidefor
ll
xu
ll
xu
ll
xu
ll
xu
ll
xu
ll
xu
.;;
;;
2
3
2
3
3
2
3
2
1
3
1
3
3
1
3
1
1
2
1
2
2
1
2
1
(2. 109)
Chamando de:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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57
j
iij l
l , (2. 110)
podemos escrever:
jiji xu . (2. 111)
Para uma deformação qualquer temos:
j
iij x
u
, (2. 112)
Para o caso de i j temos duas situações:
Figura - 2. 8. Casos de a) deformação e b) rotação do ponto de vista de deslocamento vetorial.
Para o caso de formação pura temos:
2112
1
2
2
1
ll
ll
, (2. 113)
e
12 12 21 12
12 21 122
, (2. 114)
logo
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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58
2)( 1221
12
, (2. 115)
e para o caso de rotação pura temos:
2112
1
2
2
1
ll
ll
, (2. 116)
e
12 12 21 12
21 1202
, (2. 117)
logo
02
)( 122112
, (2. 118)
Para que uma rotação pura não seja incluida no cálculo das deformações,
conforme é mostrado no exemplo da Figura - 2. 8 acima, devemos construir um tensor de
deformações simétrico onde ij = ji, logo de uma forma geral devos ter:
)(21
j
i
i
jij x
uxu
, (2. 119)
Observe que esta construção também inclui as deformações normais, sendo portanto uma
definição absolutamente geral.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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59
2.5.3 – A Definição Tensor das Deformações
Somando-se as contribuições de cada deformação para encontrar a deformação
resultante em uma dada direção temos:
3132121111 xxxu , (2. 120)
3232221212 xxxu , (2. 121)
3332321313 xxxu , (2. 122)
Escrevendo sob a forma de matriz nós temos que o tensor das deformações é dado por:
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
xxx
uuu
, (2. 123)
Escolhendo a origem onde o vetor u = (u1, u2, u3) é nulo, o tensor ij dá a relaçào
entre dois vetores; o vetor coordenada r = (x1, x2, x3) e o vetor deslocamento u = (u1, u2, u3).
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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60
2.5.4 - A Definição do Tensor Gradiente de Deformação
Definindo a deformação E e a torção W , como sendo:
uu 21E ou jiij uu ,,2
1 E (2. 124)
e
uu 21W ou jiij uu ,,2
1 W (2. 125)
onde
WE u (2. 126)
O u é definido como:
i
u u u uux x y z
(2. 127)
Observe que se o tensor das deformações é simétrico o tensor das torções é nulo,
ou seja, se
uu (2. 128)
logo
0W (2. 129)
Sendo a deformação definida como:
12
Tij u u
(2. 130)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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61
2.5.5 – Equações de Compatibilidade
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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62
Capítulo - III
TEORIA DO CAMPO ELASTOSTÁTICO CLÁSSICO
RESUMO
Neste capítulo é apresentado o desenvolvimento da solução da equação do campo
elástico linear por meio da definição de problemas planos (deformação plana e tensão plana)
inserindo-se as equações de compatibilidade com a finalidade de se obter a equação
biharmônica. A solução geral da equação biharmônica é desenvolvida utilizando-se variáveis
complexas e as condições de Cauchy-Riemmann. Em seguida um desenvolvimento
matemático é feito para se obter as equações de Kosolov. Esta equações tornam-se facilmente
aplicável ao problema da fratura elástica linear na obtenção do campo de tensão/deformação
ao redor de uma trinca.
3. 1 - Objetivos do Capítulo
i) Apresentado o desenvolvimento da solução da equação do campo elástico linear por meio
da definição de problemas planos (deformação plana e tensão plana)
ii) Inserir as equações de compatibilidade com a finalidade de se obter a equação biharmônica
iii) Apresentar e desenvolver a solução geral da equação biharmônica utilizando-se variáveis
complexas e as condições de Cauchy-Riemmann.
iv) Apresentar desenvolvimento matemático para se obter as equações de Kosolov.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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63
3. 2 - Introdução
Neste capítulo nós discutiremos a teoria clássica da elasticidade como uma
generalização dos métodos matemáticos dos capítulos anteriores para o contínuo
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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64
3. 3 – Introdução a Teoria da Elasticidade Linear
A teoria da elasticidade linear se desenvolveu no âmbito da Física Clássica, antes
da teoria atômica de Dalton, ou melhor, antes de se conhecer a estrutura íntima da matéria e a
natureza das ligações químicas entre os átomos ou moléculas de um sólido. Com isso, um
corpo sólido foi estudado seguindo o “princípio de causa e efeito” (ou estímulo e resposta)
usando-se a mecânica newtoniana e considerando-o como um meio contínuo. Desta forma, a
Lei de Hooke foi estabelecida pela observação experimental (empírica) onde observou-se que
a deformação sofrida (efeito ou resposta) por um corpo é proporcional a forca aplicada por
unidade de área (causa ou estímulo).
Figura - 3. 1. Estudo de causa (força) e efeito (deformação) aplicado sobre um sólido contínuo.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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65
3. 4 - Fundamentos da Teoria da Elasticidade Linear
A teoria da elasticidade estuda o comportamento mecânico de um material em
relação a solicitação de carga ou força externa, sob o ponto de vista da deformação elástica
reversível, até o limiar da fluência ou ruptura. Esta teoria possui seu suporte fundamental na
lei de Hooke.
3.4.1 – Densidade de Energia de Deformação
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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66
3.4.2 – Materiais Elásticos Lineares
O assunto da elasticidade trata do comportamento daquelas substâncias que tem a
propriedade de restaurar seu tamanho e forma quando as forças que produzem a deformação
são removidas. Nós encontramos esta propriedade elástica de alguma forma em todos os
corpos sólidos.
Quando nós empurramos uma peça de um material, esta “cede’- o material é
deformado. Se a força é pequena o bastante, os deslocamentos relativos dos vários pontos do
material são proporcionais à força – nós dizemos que o comportamento é elástico.
Suponhamos que nos tomamos um bloco retangular de material de comprimento,
l, largura, w, e de altura, h, conforme mostra a
Figura - 3. 2. A elongação de uma barra sob uma tensão uniforme.
Se nós puxamos nas extremidades com uma força, F, então o comprimento
aumenta de uma quantidade l. Nós suporemos em todos os casos que a variação no
comprimento é uma pequena fração do comprimento original. Como é de fato, para materiais
como a madeira, e aço, o material quebrará se a variação no comprimento é mais do que
alguns por cento do comprimento original. Para um grande número de materiais, os
experimentos mostram que para extensões suficientemente pequenas a força é proporcional a
extensão.
F l, (3. 1)
Esta relação é conhecida como Lei de Hooke. A elongação l da barra dependerá
também de seu comprimento. Nós podemos representar isto com o seguinte argumento.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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67
Se cementarmos dois blocos um ao outro, extremidade a extremidade, as mesmas
forças atuarão em cada bloco, cada um distenderá l. Então a elongação de um bloco de
comprimento, 2l, será duas vezes maior do que o de um bloco de mesma secção transversal,
mas com comprimento, l. De forma a obter um número mais característico do material, e
menos de qualquer forma particular, nós escolhemos tratar com a razão l/l da extensão do
comprimento original. Esta razão é proporcional à força mas independente de l.
F l/l, (3. 2)
Se expressarmos a dependência de F(l) em série de Taylor teremos:
F (l) = F(l = 0) + (F/)l + (2F/l2)l2 , (3. 3)
Como os l são muito pequenos os termos de ordem superior (l2, l3, etc) são desprezíveis
portanto ficamos apenas com.
F (l) = (F/l)l , (3. 4)
Este primeiro termo é nulo porque na ausência de deformação não há forcas
aplicadas. Portanto chamando de k = F/l temos:
F (l) = kl , (3. 5)
A força F também dependerá da área do bloco. Suponhamos que nós pomos dois
blocos lado a lado. Então para uma dada elongação l nós termos a força F em cada um dos
blocos, ou duas vezes a mais a combinação dos dois blocos. A força, para uma dada
quantidade de elongação, deve ser proporcional a área A da secção transversal do bloco.
F ~ Al/l , (3. 6)
Para obter a lei na qual o coeficiente de proporcionalidade é independente das
dimensões do corpo, nós escrevemos a Lei de Hooke para um bloco retangular na forma:
F = YAl/l , (3. 7)
Como conseqüência direta da lei de Hooke nós temos que a densidade volumétrica de forças,
f, é uma constante, independente da deformação, l, dada por:
f = dF/dV = Y/l , (3. 8)
A constante Y é uma propriedade que depende exclusivamente da natureza do
material , e é conhecida cpmo “Modulus de Young”.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
68
A força por unidade de área é chamada de tensão (stress), e a elongação por
unidade de comprimento é chamada de deformação (strain). A equação pode portanto ser
reescrita da seguinte forma:
F/A = Yl/l , (3. 9)
Ou
tensão = Modulus de Young x deformação , (3. 10)
Ou ainda
= Y , (3. 11)
Existe uma outra parte da Lei de Hooke ...
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
69
3. 5 - Teoria Elastodinâmica Linear
3.4.2 – Equação Constitutiva para o Fluxo do Potencial Vetorial (Fluxo de
Deformações em um Material Sólido Elástico-Linear – Lei de Hooke)
A série fundamental das equações de campo que governam o movimento de um
corpo elástico isotrópico e homogêneo consiste da relação do deslocamento da deformação
para pequenas deformações. Portanto, considere o deslocamento u conforme mostrado na
Figura - 2. 9. Vetor deslocamento u provocado por uma deformação elástica.
O deslocamento do corpo é dado por:
x X u (3. 12)
sendo
udrurdru . (3. 13)
logo
rurdruud . (3. 14)
e a diferencial de x
dx dX du (3. 15)
ou seja
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
70
rdrdudud . (3. 16)
e a velocidade é:
dx dX duvdt dt dt
(3. 17)
E a aceleração é então:
2 2 2
2 2 2
d x d X d uadt dt dt
(3. 18)
E o estiramento é dado por:
dx udX
F I (3. 19)
Definindo a deformação E e a torção W , como sendo:
uu 21E ou jiij uu ,,2
1 E (3. 20)
e
uu 21W ou jiij uu ,,2
1 W (3. 21)
onde
WE u (3. 22)
O u é definido como:
i
u u u uux x y z
(3. 23)
Observe que se o tensor das deformações é simétrico o tensor das torções é nulo,
ou seja, se
uu (3. 24)
logo
0W (3. 25)
Sendo a deformação definida como:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
71
12
Tij u u
(3. 26)
3.4.3 – A Lei de Hooke Generalizada para Sólidos Elásticos Lineares
A Lei de Hooke na sua forma generalizada é dada por:
ij ijkl klC , (3. 27)
Esta equação matricial dá origem a uma matriz Cijkl de 9 linhas e 9 colunas em um
total de 81 elementos na matriz. Porém por simetria temos que:
klijijklijlkijkljiklijkl CCCCCC ;; , (3. 28)
Logo reduzimos os elementos para o número de 21, os quais escritos de forma explicita
temos;
xy
zx
yz
zz
yy
xx
xy
zx
yz
zz
yy
xx
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
, (3. 29)
Definindo o módulo de cisalhamento, G, como sendo dado por:
yzyz G , (3. 30)
e
zxzx G , (3. 31)
e
yzyz G , (3. 32)
logo
klij G , (3. 33)
e o módulo de Poisson para i j ,como
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
72
jj
iiijv
, (3. 34)
As equações de tensões podem ser escritas em termos do módulo elástico, E,
como:
zzyyxxxx vEvEE , (3. 35)
e
zzyyxxyy vEEvE , (3. 36)
e
zzyyxxzz EvEvE , (3. 37)
A matriz anterior pode ser escrita como:
xy
zx
yz
zz
yy
xx
xy
zx
yz
zz
yy
xx
GG
GEvEvEvEEvEvEvEE
000000000000000000000000
, (3. 38)
De uma forma geral, isto é, para um material isotrópico as equações de tensão
podem escritas como:
2ij ij ij kk , (3. 39)
para 2 / 1 2v v temos:
)21
(2 kkijijij vv
, (3. 40)
onde G : é o módulo de cisalhamento
As equações de deformação podem ser escritas em termos do módulo elástico, E,
como:
)]([1zzyyxxxx v
E , (3. 41)
e
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
73
)]([1zzxxyyyy v
E , (3. 42)
e
)]([1zzxxzzxzz v
E , (3. 43)
Sabendo que:
GvE )1(2 , (3. 44)
È possível também montar a matriz inversa da matriz de rigidez da equação (3.
38) acima e esta passa a se chamar de matriz de flexibilidade onde:
ij ijkl klS , (3. 45)
Com 1ijkl ijklC S , ou seja:
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
10 0 0 0 0
10 0 0 0 0
10 0 0 0 0
xx xx
yy yy
zz zz
yz yz
zx zx
xy xy
v vE E Ev vE E Ev vE E E
G
G
G
, (3. 46)
De uma forma geral, isto é, para um material isotrópico as equações de tensão
podem escritas como:
1 ( )2 1ij ij ij kk
vv
, (3. 47)
Onde G : é o módulo de cisalhamento
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
74
3.4.4 – Equação Constitutiva o Fluxo de Deformações em um Material Sólido
Elástico-Linear
Mais uma vez usando as mesmas considerações de Gibbs para os fluxos derivados
de potenciais os quais podem ser geralmente expressos em temos de gradiente de grandezas
escalares ou vetoriais, no calo da teoria da elasticidade temos a lei de Hooke generalizada a
qual é dada por:
ijkkUo IJ γε 2
. (3. 48)
como o tensor deformação é dado por (3. 20) e (3. 26):
uu 21E . (3. 49)
Logo (3. 48) torna-se:
uuuJUo
. . (3. 50)
ou finalmente na notação tensorial temos:
EE 2 trJUo
. (3. 51)
Observe que as notações (3. 20) e (3. 26), assim como as notações (3. 40), (3. 48), (3. 50) e (3.
51) são todas equivalentes.
A equação de fluxo (3. 48) ou (3. 50) também pode ser escrita em termos da
equação geral Erro! Fonte de referência não encontrada. proposta por Gibbs usando-se a
seguinte relação:
2(1 )E
v
. (3. 52)
e obtendo-se
1.2(1 )UoJ u u u
v
I (3. 53)
como 1. . .2
Tu u u , pode-se definir o Tensor de Eshelby-Rice como sendo:
1 1. .2 (1 )
TvT u u u u
v
I (3. 54)
temos:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
75
Uo vJ T
. (3. 55)
3.4.5 - A Visão do Contínuo para a Lei de Hooke
Desenvolveremos a segunda parte da Lei de Hooke considerando inicialmente a
ação de um corpo sólido elástico isotrópico que se deforma de acordo com essa lei, a qual
pode ser escrita, na sua forma generalizada, para um corpo isotrópico da seguinte forma:
Considere um corpo em sua forma primitiva, não deformada, como mostrado pela
linha cheia na Figura - 3. 3. O corpo em sua geometria deformada está mostrado pela linha
interrompida.
Figura - 3. 3. Corpo deformado mostrando o ponto a deslocado após a deformação local s.
Um elemento a desloca-se para a posição a’, da distância S
. Usando
componentes paralelas a uma referência convenientes x, y, z temos S
.
kjiS ˆˆˆ
. (3. 56)
Onde e,, , para dada deformação são funções das coordenadas de posição primitiva x, y,
z dos elementos do corpo. Podemos então definir deformações normais da seguinte maneira:
xxx
, (3. 57)
yyy
, (3. 58)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
76
zzz
. (3. 59)
Da resistência dos materiais, sabemos que as tensões e deformações normais estão
relacionadas com pequenas deformações pela Lei de Hooke da seguinte maneira:
)]([1zzyyxxxx v
E , (3. 60)
)]([1zzxxyyyy v
E , (3. 61)
)]([1zzxxzzzz v
E . (3. 62)
Onde E é o módulo elástico de Young e v é o coeficiente de Poisson. Recordamos que o
módulo de cisalhamento, G, é relacionado com E e v, pela seguinte relação
)1(2 vEG
. (3. 63)
Para chegar a lei de deformação de Hooke, obtemos as tensões normais em termos
dos deslocamentos. Para fazê-lo, somamos as equações (3. 60) a (3. 62) e coletamos os termos
da seguinte forma:
][21zzyyxxzzyyxx E
v
. (3. 64)
Observando as definições de (3. 56) a (3. 59) pode-se verificar que o primeiro
membro da equação (3. 64) é o divergente de S, ou .S, logo reordenando (3. 64), obtemos:
S.21
v
Ezzyyxx . (3. 65)
Resolvendo a equação (3. 60) para xx, temos:
)]( zzyyxxxx vE , (3. 66)
Somando e subtraindo vxx no segundo membro da equação acima e substituindo xx por
/x, obtemos:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
77
xxzzyyxxxx vvx
E
)( , (3. 67)
Empregando a equação (3. 65) para substituir a soma das tensões normais, podemos reordenar
a equação acima da seguinte forma:
S.21
)1(
v
vEx
Evxx , (3. 68)
Dividindo por (1 + v) e observando a equação (3. 65) junto com a definição de , dada por:
zzyyxx 31 . (3. 69)
A partir de (3. 65) temos que:
S.)21(3
1
vE , (3. 70)
Logo podemos escrever a equação (3. 68) na forma:
SS .
)21(31.
)21)(1()1( vE
vvvE
xvE
xx , (3. 71)
Onde os últimos termos são adicionais, cuja soma é zero. Logo, pondo em evidência os
termos semelhantes
S.
)21(31
)1()1( vE
vv
xvE
xx , (3. 72)
e combinado os coeficientes do termo .S, obtemos:
S.
)21()1(312
)1( vE
vv
xvE
xx , (3. 73)
Ou
S.
)1(31
)1( vE
xvE
xx , (3. 74)
Substituído agora )1/( vE por 2G, dado de acordo com (3. 63), obtemos:
S.322 G
xGxx , (3. 75)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
78
Coletando os termos e exprimindo as equações correspondentes para outros componentes de
tensão, obtemos as relações desejadas de tensão-deslocamento, ou seja:
S.322 G
xGxx , (3. 76)
e
S.322 G
yGyy , (3. 77)
e
S.322 G
zGzz , (3. 78)
3.4.6 – - Densidade de Energia de Deformação na Elasticidade
A densidade de energia de deformação, W = W(kl), é uma função potencial das
deformações definida como:
ijijij dWkl
0
)( , (3. 79)
Cuja convexidade e condição de estabilidade é dada por:
)''()()''( klklkl
ijij
ij
WWW
, (3. 80)
Usando (3. 79) temos:
ijijij ddW )( , (3. 81)
onde
klij ijkl kl
ij
WC
, (3. 82)
Logo
)''()()''( klklijijij WW , (3. 83)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
79
3.4.7 - Equações de compatibilidade
A partir da regra de Schwartz temos que:
ijklklij
WW
22
, (3. 84)
Portanto
kl
ij
ij
kl
, (3. 85)
Desta forma o Jacobiano fica:
2
22
2
2
2
2
klijkl
klijij
klij WW
WWW
, (3. 86)
Logo
022
2
2
2
2
ijklklijklij
WWWW
, (3. 87)
3.4.8 – Equação Constitutiva dos Materiais Elásticos Lineares
Considerando o caso de materiais elásticos lineares a densidade de energia de
deformação pode ser expandida em série de Taylor da seguinte forma:
...)(
21)0()(
klij
klij
ijkl
WWW
, (3. 88)
Considerando que o primeiro termo da expansão acima se anula por ser uma posição de
equilíbrio, nível zero da densidade de energia potencial, temos:
klijijklkl CW 21)( , (3. 89)
Combinando as equações (3. 89) e (3. 27) ou (3. 82) temos:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
80
ijijW 21
, (3. 90)
Substituindo a equação (3. 47) em (3. 90) temos:
)21
()( jjiijiijij vvW
, (3. 91)
3.4.9 -– Complementaridade da Densidade da Energia de Deformação
A existência de uma única inversa da relação constitutiva (3. 85)
ij
kl
kl
ij
, (3. 92)
Assegura a existência da complementaridade da densidade de energia de deformação, W* =
W*(ij), definida por transformada de Legendre como:
WW ijij * , (3. 93)
A partir da regra da cadeia derivando a equação (3. 93) temos:
ij
ij
ijij
ij
WW
*
, (3. 94)
Substituindo a equação (3. 27) ou (3. 82), para 0
ij
ij
temos:
ij
ijijij
ij
W
*
, (3. 95)
Portanto,
ijij
W
*
, (3. 96)
É direta a tarefa de mostrar que a convexidade de W* segue da convexidade de W.
Para um material frágil elástico linear a combinação de (3. 90) com (3. 93)
fornece:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
81
ijijWW 21* , (3. 97)
Pode-se escrever para este caso que:
klijijklkl CW **
21)( , (3. 98)
Onde o tensor C*ijkl é o inverso do tensor Cijkl e da mesma forma:
klijijklijlkijkljiklijkl CCCCCC ****** ;; , (3. 99)
Segue de (3. 96) e (3. 98) que:
klijklij
klij CW
** )(
, (3. 100)
Para um material isotrópico a equação (3. 100) se reduz a
kkijijij Ev
Ev
1 , (3. 101)
e W* torna-se:
llkkklklkl Ev
EvW
221)(*
, (3. 102)
Se uma lei de potência entre tensão e deformação existe, dada pela equação (3.
27), de tal forma que a deformação é uma função homogênea de grau n da tensão (equação (3.
100)), então a equação (3. 97) implica que W* deve ser uma função homogênea das
componentes da tensão de grau n+1. Isto segue do teorema de Euler para funções
homogêneas, portanto:
ijijijij n
Wn
W 1
11
1 **
, (3. 103)
Combinado (3. 93) com (3. 103) temos:
1 ij ijnW
n
, (3. 104)
Quando a tensão é proporcional a deformação (n = 1) então as equações (3. 97),
(3. 103) e (3. 104) tornam-se idênticas a equação (3. 90) e (3. 97).
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
82
3.4.10 – Equação do Potencial Vetorial Generalizado para a Deformação Elástica
Dada a equação da continuidade:
XoXo dtdJ . . (3. 105)
Substituindo (3. 53) em (3. 105) temos:
1. .2(1 )
d uu u u
v dt
I
. (3. 106)
Para cte , temos:
2 1. .
2(1 )
d uu u u
v dt
I
. (3. 107)
Onde a derivada material de X é dada por:
d u uv u
dt t
. (3. 108)
Logo
2 1. .2(1 )
uu u u v u
v t
I
. (3. 109)
Caso I)
Para fluxos estacionários temos:
2 1. .2(1 )
u u u v uv
I . (3. 110)
Caso II) Para regimes onde os fluxos são perpendiculares aos gradientes( v u ) temos:
2 1. . 02(1 )
u u uv
I . (3. 111)
Onde . 0v u
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
83
3.4.11 - Equação Constitutiva para o Fluxo do Potencial Vetorial das Taxas de
Deformações nos Fluidos
Nós sabemos que um fluido se dilata continuamente sob a ação de uma força.
Logo, de forma análoga, ao caso de deformação elástica podemos escrever a Lei de Hooke
para a teoria de fluidos, e obter uma expressão analítica para o fluxo de energia sob a forma
de tensão nos fluidos, a partir do que chamamos tensão em um ponto, ou seja, de acordo com
a descrição da tensão em um volume qualquer, da seguinte forma:
kkijijijJ 2 , (3. 112)
onde é o coeficiente de viscosidade, e
)(21
j
i
i
jij xx
, (3. 113)
Seguindo o mesmo raciocínio feito para os sólidos podemos escrever as relações
entre os coeficientes de viscosidade, e a partir da relação (3. 52).
)1(2 v
. (3. 114)
Para um fluido incompressível onde o volume se conserva temos que o módulo de Poisson
vale 5.0v , logo teremos uma relação entre os coeficientes de viscosidade e dado por:
3
. (3. 115)
De uma forma geral a força viscosa pode ser dada substituindo-se (3. 112) em
Erro! Fonte de referência não encontrada. e considerando a situação de estado
estacionário, obtém-se:
)2.(. kkijijijvis Jf
. (3. 116)
sendo
2)(
T , (3. 117)
Finalmente temos:
vvvJUo
. . (3. 118)
Na forma vetorial podemos escrever:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
84
vJT
.2
)(2
, (3. 119)
chamando de:
vv 21D . (3. 120)
Portanto,
DD 2 trJUo
. (3. 121)
A densidade de momento linear sob a forma de taxa de cisalhamento (ou gradiente
de velocidades) é dada pela transferência de momento durante a taxa de cisalhamento (ou
gradiente de velocidades) cuja densidade generalizada é dada por:
3.4.12 – Equação do Potencial Vetorial Generalizado para a Massa Fluida
Dada a equação da continuidade:
XoXo dtdJ . . (3. 122)
Substituindo Erro! Fonte de referência não encontrada. em (3. 122) temos:
XoXo dtd . . (3. 123)
Para = cte, temos:
XoXo dtd 2 . (3. 124)
Onde a derivada material de X é dada por:
tdtd Xo
XoXo
. . (3. 125)
Logo
tXo
XoXo
.2 . (3. 126)
Caso I)
Para fluxos estacionários temos:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
85
0.12 XoXo
. (3. 127)
Caso II)
Para regimes onde os fluxos são perpendiculares aos gradientes(
) temos:
012
tXo
Xo
. (3. 128)
Onde 0.
3.4.13 – A Equação de Movimento Elastodinâmico Linear
A partir de condições de equilíbrio nós temos que:
0. SV
SdTdVf
(3. 129)
ou seja, o campo das tensões aplicado sobre a superfície de um sólido em equilíbrio é igual a
densidade volumétrica de força armazenada por este sólido.
Da condição de não-rotação temos:
0. SV
SdTrdVfr
(3. 130)
As equações (3. 26) e (3. 27) constituem a base matemática para a teoria da
elasticidade linear. Contudo, considerando que o deslocamento u se propaga no espaço e no
tempo temos:
tu
dtrd
rdud
dtud
(3. 131)
ou
tu
dtrdu
dtud
(3. 132)
ou
tu
dtrduu
(3. 133)
As equações de equilíbrio podem a partir de agora serem expressos de forma a
incluir a propagação dinâmica da deformação u , de acordo com a 2ª e 3ª Leis de Newton.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
86
VSV
dVuSddVf .T (3. 134)
Para o caso estático temos:
. 0V S
fdV dS T
(3. 135)
Aplicando o teorema da divergência no segundo termo do lado esquerdo da equação (3. 134)
temos:
VS
dVSd TT ..
(3. 136)
Substituindo (3. 136) em (3. 134) temos:
VVV
dVudVdVf T. (3. 137)
Como o volume em (3. 137) é arbitrário ele pode ser escolhido igual ao volume de controle V
ficando portanto, as equações do balanço do momentum (3. 134)
ufTouudVf jiij
,.T (3. 138)
onde é a densidade do corpo.
Observe que de uma forma geral temos:
Tnn
TT .ˆˆ. (3. 139)
A relação tensão-deformação linear é dada a partir da Lei de Hooke, na forma
tensorial, onde:
EEIT 2 tr (3. 140)
ou
ijkkijij EET 2 (3. 141)
onde
vE
12
e vvvE
211 (3. 142)
onde e são as constantes elásticas do sólido e E é o módulo elástico de Young e v é o
módulo de Poisson.
Substituindo (3. 140) em (3. 138) temos:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
87
utrf EEI 2. (3. 143)
ou
utrf EEI .2. (3. 144)
Substituindo (3. 140) em (3. 139) temos:
Tntr
ˆ2 EEI (3. 145)
logo
Tnntr
ˆ2ˆ EEI (3. 146)
Mas a partir de (3. 26) temos:
uu 21E (3. 147)
Substituindo (3. 26) ou (3. 147) em (3. 144) e (3. 146) temos:
uuuuutrf
21.2
21. I (3. 148)
e
Tnuunuutr
ˆ
212ˆ
2I (3. 149)
ou logicamente para a equação (3. 148) temos:
uuuuuf
.....2
(3. 150)
Reescrevendo (3. 150) temos:
uuuf .. (3. 151)
ou
uuuf .2 (3. 152)
e para a equação (3. 150) temos:
Tuunuun
.ˆ
2.ˆ (3. 153)
sendo
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
88
ununuun ˆ.ˆ2.ˆ (3. 154)
temos:
Tununun
ˆ.ˆ2..ˆ (3. 155)
ou
Tununun
ˆ.ˆ2..ˆ (3. 156)
Portanto,
uuuf .2 (3. 157)
e
Tununun
ˆ.ˆ2..ˆ (3. 158)
como
kf
(3. 159)
Ficamos com,
uuuk .2 (3. 160)
e
Tununun
ˆ.ˆ2.ˆ (3. 161)
Esta é a equação diferencial parcial dependente do tempo para problemas em elasticidade em
um corpo de volume V, onde k
é a densidade volumétrica de força (força por unidade de
volume) em alguma função da posição e do tempo sujeita a condição (3. 161), sobre a
superfície S ligada ao volume V.
3.4.14 – Problemas de Valor de Contorno
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
89
3. 6 –
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
90
3.7 – O Campo de Tensão Elástico Linear
Existem três modos fundamentais de solicitação de carga ou de carregamento,
baseado nos três eixos fundamentais do espaço tridimensional de tensão.
Figura - 3. 4. Modos fundamentais de solicitação de carga ou carregamento para a fratura.
Nesta secção nós discutiremos a teoria clássica da elasticidade como uma
generalização dos métodos matemáticos dos capítulos anteriores para o contínuo.
3.6.1 – Equações Básicas da Elasticidade para o Corpo Homogêneo e Isotrópico
Um corpo elástico tem um único estado natural, para o qual o corpo retorna
quando todas as cargas externas são removidas. Todas as tensões, deformações e
deslocamentos de partículas são medidas a partir deste estado natural; seus valores são
contados como zero naquele estado.
Existem duas formas de descrever um corpo deformado: A abordagem material e
a espacial. Considere a descrição espacial. O movimento de um contínuo é descrito pelo
campo de velocidades instantâneas 1 2 3, , ,iv x x x t . Para descrever a deformação no corpo, um
campo de deslocamento 1 2 3, , ,iu x x x t é especificado o qual descreve o deslocamento de uma
partícula localizada em 1 2 3, ,x x x no tempo t a partir de sua posição no estado natural. Várias
medidas de deformação podem ser definidas para o campo de deslocamento. O tensor de
deformação de Almansi é expressa em termos de 1 2 3, , ,iu x x x t de acordo com a seguinte
equação:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
91
12
j i k kij
i j i j
u u u ux x x x
, (3. 162)
O deslocamento iu da partícula são funções do tempo e da posição. A velocidade da partícula
é dada pela derivada material do deslocamento.
i ii j
j
u uv vt x
, (3. 163)
A aceleração da partícula é dada pela derivada material da velocidade.
i ii j
j
v vvt x
, (3. 164)
O movimento do corpo deve obedecer a equação da continuidade:
0i
i
vx t
, (3. 165)
e a seguinte equação de movimento:
ijj i
j
Xx
, (3. 166)
Em acréscimo a equações de campo (3. 165) e (3. 166) a teoria da elasticidade
linear é baseada na lei de Hooke. Para um material isotrópico homogêneo, isto é:
2ij kk ij ijG , (3. 167)
onde e G são constantes independentes das coordenadas espaciais.
Os famosos termos não-lineares em (3. 162), (3. 163) e (3. 164) são fontes de
maior dificuldade na teoria da elasticidade. Para se fazer algum progresso nós estamos
forçados a linearizar pela consideração de pequenos deslocamentos e pequenas velocidades, i.
e. pela restrição a valores de iu , iv tão pequenos que os termos não-lineares em (3. 162), (3.
163) e (3. 164) podem ser desprezados. Em uma tal teoria linearizada, nós temos:
12
j iij
i j
u ux x
, (3. 168)
e
;i ii i
u vvt t
, (3. 169)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
92
A menos que se estabeleça de outra forma, tudo o que for discutido abaixo será sujeito a esta
restrição de linearização. Felizmente muitos resultados úteis podem ser obtidos a partir desta
teoria linearizada.
As equações (3. 162)-(3. 167) ou (3. 165)-(3. 169) juntos são as 22 equações para
22 variáveis , iu , iv , ije , ij . Na teoria do deslocamento infinitesimal nós podemos
eliminar ij pela substituição da equação (3. 167) em (3. 166)
2kk ij ij j ij
G Xx
, (3. 170)
Substituindo ( ) em ( ) temos:
2
2jk i i
ij jj k i j
uu u uG Xx x x x t
, (3. 171)
para ,G cte temos:
2
2jk i i
ij jj k j i j j
uu u uG Xx x x x x x t
, (3. 172)
sendo /k ke u x . Logo,
2
2j i i
ij jj j i j j
u u ue G Xx x x x x t
, (3. 173)
mas
ijj i
e ex x
(3. 174)
Logo
2
2j i i
ji j i j j
u u ue G Xx x x x x t
, (3. 175)
para /j je u x temos:
j
i i j
uex x x
(3. 176)
Entao
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
93
2
2j j i i
ji j j i j j
u u u uG Xx x x x x x t
, (3. 177)
e usando (3. 168) para obter a bem conhecida equação de Navier.
2
2j i i
ji j j j
u u uG G Xx x x x t
, (3. 178)
Isto pode ser escrito na forma:
2
22
ii
j
ueG G u Xx t
, (3. 179)
onde
j
j
ue
x
, (3. 180)
e
22
2i
ij
uux
, (3. 181)
A quantidade e é a divergência do vetor deslocamento iu . 2 é o operador
laplaciano. Se nós escrevermos , ,x y z ao invés de 1 2 3, ,x x x nós temos:
u v wex y z
, (3. 182)
e
2 2 22
2 2 2x y z
, (3. 183)
Love escreveu a equação (3. 178) ou (3. 179) na forma:
2
22, , , , , ,G u v w G e X Y Z u v w
x y z t
, (3. 184)
a qual é a forma mais curta para as três equações do tipo:
2
22
e uG u G Xx t
, (3. 185)
Isto também pode ser escrito como:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
94
22
21
1 2e uG u X
v x t
, (3. 186)
Se nós introduzirmos o vetor rotação
1, , , ,2x y zw w w rot u v w , (3. 187)
1 , ,2
w v u w v uy z z x x y
,
(3. 188)
e o uso da identidade:
2 , , 2 , ,x y zu v w e rot w w wx y z
, (3. 189)
então (3. 179) ou (3. 184) pode ser escrito como:
2
22 2 . , , , , , ,x y zG e G rot w w w X Y Z u v wx y z t
, (3. 190)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
95
3.6.2 – Equações de Movimento para Problemas Estacionários
Para os problemas estáticos, as equações de equilíbrio são substituídas pelas
equações de movimento, as quais, na ausência de forças de corpo, são dadas por:
0ij
jx
(3. 191)
cuja equação constitutiva para um material elástico linear é dada por:
jiij
j i
uux x
(3. 192)
onde jx denota as coordenadas ortogonais e cada ponto indica uma derivada no tempo. Para
problemas quasi-estáticos, o termo do lado direito de (3. 191) desaparece. Para um material
elástico linear, é possível escrever as equações de movimento em termos de deslocamentos e
constantes elásticas invocando as relações de tensão-deslocamento e tensão deformação da
seguinte forma:
0ji
j j i
uux x x
(3. 193)
ou
2
2 0ji
j ij
uux xx
(3. 194)
onde e são as constantes de Lamé; é o modulo de cisalhamento e:
21 2
vv
(3. 195)
2
22 1 0
1 2ji
j ij
uu vv x xx
(3. 196)
e
2
22 1 2 0
1 2 1 2ji
j ij
uu v vv v x xx
(3. 197)
logo
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
96
2
22 0
1 2ji
j ij
uuv x xx
(3. 198)
e
2
22 0
1 2ji
j ij
uuv x xx
(3. 199)
logo
2
22 0
1 2ji
j ij
uuv x xx
(3. 200)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
97
3.6.2 – Equilíbrio de um corpo elástico sob uma força de corpo
Considere as condições de equilíbrio estático. Se as forças de corpo são nulas,
0iX , então tomando-se a divergência da equação Eq. (3. 178) nós temos:
2 2
2 2 0ji
i j i j
uuG Gx x x x
, (3. 201)
ou
2
2 0j
i j
ux x
, (3. 202)
logo isto é:
2 2 22
2 2 2 0 0e ou ex y z
, (3. 203)
a equação (3. 203) é uma equação de Laplace. Uma função que satisfaz a equação (3. 203) é
chamada de função harmônica. Então, a dilatação é uma função harmônica quando as forças
de corpo desaparecem. Mas
3 2 3xx yy zzG e , (3. 204) onde é a tensão média. Portanto, a tensão média é também uma função harmônica:
2 0 , (3. 205)
Se nós pormos 0X , 2
2 0ut
, e operar sobre a equação (3. 185) com o
Laplaciano 2 , nós temos:
2 2 2 0G e G ux
, (3. 206)
Com a equação (3. 202) ou (3. 203), isto implica que:
4 0u , (3. 207) onde, em coordenadas cartesianas retangulares
4 4 4 4 4 44
4 4 4 2 2 2 2 2 22 2 2x y z x y y z z y
, (3. 208)
Esta equação na sua forma discreta é muito útil para simulação numérica de campos elásticos
pelo Método das Diferenças Finitas.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
98
A equação (3. 207) é chamada de equação biharmônica, e sua solução é chamada
de função biharmônica. Portanto, a componente u do deslocamento é biharmônica. De forma
semelhante, os campo ,v w são biharmônicos. Segue-se que quando a força de corpo é zero,
cada componente das deformações e cada componente das tensões sendo combinações
lineares das primeiras derivadas de , ,u v w , são todas funções biharmônicas.
2 0ij , (3. 209) e
2 0ij , (3. 210)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
99
3.8 – Problemas Planos da Teoria da Elasticidade
Os problemas planos da elasticidade (Timoshenko, 1951) são geralmente
designados como problemas de deformação plana e problemas de tensão plana.
As condições de deformação plana são tipicamente encontradas em placas
espessas que são carregadas no plano enquanto que as condições de tensão plana são
tipicamente encontradas em finas placas. Em todos os nossos problemas, a coordenada z será
perpendicular ao plano de simetria, que seja de tensão ou de deformação, seja em coordenadas
cartesianas ,x y , polares ,r , ou em algum outro sistema bi-dimensional ortogonais,
,u v . Os problemas generalizados de tensão plana requerem uma média das tensões e
deslocamentos através da espessura da placa tal que eles tornam-se verdadeiramente
problemas bi-dimensionais (Timoshenko, 1951). Nós, portanto no referiremos a eles como
problemas de tensão plana neste texto.
3.7.1 – Problemas Bidimensionais na Elasticidade
A aplicação das funções de tensão de Airy reduz os problemas elastostáticos em
problemas de tensão plana e deformação plana para problemas de valor de contorno de uma
equação biharmônica. Um método geral de solução usando a teoria das funções de uma
variável complexa é disponível. Nós discutiremos este método brevemente e ilustramos sua
utilidade na solução de alguns problemas importantes.
Em todo este capítulo , ,x y z representa uma série de coordenadas Cartesianas
retangulares, com relação as quais as componentes dos deslocamentos são escritas como
, ,u v w , e as componentes da deformação são , ,...xx xy , etc e as componentes das tensões são
, ,...xx xy , etc. Nós usaremos o fator 12
em nossas definições das componentes das
deformações:
12
j iij
i j
u ux x
, (3. 211)
quando as coordenadas curvilíneas são usadas nós reteremos as notações do Capítulo IV, no
qual iu e ij denotam as componentes do tensor deslocamento e do tensor deformação,
respectivamente; enquanto que i , ij denotam as componentes físicas destes tensores.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
100
3.7.2 - Equações de Equilíbrio e Compatibilidade para os Problemas Planos
As duas tensões de cisalhamento remanescentes são nulas para ambos os
problemas
0xz yz . (3. 212)
As tensões normais na direção z, z diferem entre as duas classes de problemas
planos; notadamente:
Claramente as equações de equilíbrio dos estados de tensões simplificados (3.
191)( )-( ) reduz-se à:
, , 0x x xy y . (3. 213)
e
, , 0y y xy x . (3. 214)
em (3. 214), as forças de corpo foram desprezadas.
A equação de compatibilidade das deformações em ambos os problemas planos é:
, , , 2 ,e e e ex yy y xx xy xy xy xy . (3. 215)
onde a superscrito “e” denota o estado elástico.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
101
3.7.3 – Equações do Campo Elástico para o Estado Plano de Tensão e para o Estado
Plano de Deformação
Se as componentes da tensão , ,zz zx zy são nulas em todo lugar.
0zz zx zy , (3. 216) O estado de tensão é dito ser tensão plana (ou estado plano de tensão) paralelo ao plano x y .
Neste caso, as deformações são dadas por:
1 1;xx xx yy yy yy zzv vE E
, (3. 217)
1;2zz xx yy xy xy
vE G
,
(3. 218)
0xz yz , (3. 219)
E as relações tensão deformação ficam:
2 2;1 1xx xx yy yy yy xx
E Ev vv v
, (3. 220)
1xy xyE
v
, (3. 221)
1xx yy xx yy
Ev
,
(3. 222)
xx yyu vx y
,
(3. 223)
Substituindo a equação (3. 220) e (3. 221) na equação de equilíbrio,
ijj i
j
Xx
, (3. 224)
Nós obtemos as equações básicas para a tensão plana.
2 2 2
2 2 211
u u v u v uG G Xx y v x x y t
, (3. 225)
2 2 2
2 2 2
11
v v v u v vG G Yx y v y x y t
,
(3. 226)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
102
Se a componente z do deslocamento w desaparece em todo lugar, e se os deslocamentos u e v
são funções de x,y somente, e não de z, o campo é dito estar em deformação plana (ou estado
plano de deformações) paralela ao plano x,y. Na deformação plana nós devemos ter:
0 ; zz xx yyu v w vz z
, (3. 227)
Uma vez que 0zz .
A equação básica
2
22
ii i
i
ueG u G Xx t
, (3. 228)
torna-se na deformação plana:
2 2 2
2 2 2
11 2
u u u v uG G Xx y v x x y t
,
(3. 229)
2 2 2
2 2 21
1 2v v u v vG G Y
x y v y x y t
, (3. 230)
Se v é substituído por / 1v v na equação (3. 229) e (3. 230), então ela assume a forma (3.
225) e (3. 226). Portanto, qualquer problema de um estado plano de deformação pode ser
resolvido como um problema de estado plano de tensão após a substituição do valor
verdadeiro de v pelo seu “valor aparente” / 1v v . Inversamente, qualquer problema de
tensão plana pode ser resolvido como um problema de deformação plana substituindo o valor
verdadeiro de v por um valor aparente / 1v v .
Estas substituições referem-se somente à equações de campo (3. 225), (3. 226) e
(3. 229), (3. 230). As condições de contorno, a relação tensão-deformação, e o módulo de
cisalhamento G não deve ser mudado.
O estado de deformação em um longo corpo cilíndrico atuado por cargas que são
normais ao eixo do cilindro e uniforme na direção axial freqüentemente pode ser aproximado
por um estado plano de deformação. Uma deformação axial zz constante pode ser imposta
sobre um estado de deformação plana sem qualquer variação nas tensões no plano-x,y.
Portanto, uma extensão mínima da definição da deformação plana pode ser formulada
requerendo que zz seja uma constante e que u e v sejam funções de x,y somente, e que w seja
uma função linear de z somente.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
103
3.7.4 – Função de Tensão de Airy para Problemas Bi-Dimensionais
Para problemas de tensão ou deformação plana, nós podemos tentar achar
sistemas de tensão gerais que satisfazem as equações de equilíbrio e as equações de
compatibilidade e então determinar a solução para um problema particular pelas condições de
contorno.
Seja x,y uma série de coordenadas Cartesianas retangulares. Para problemas de
tensão e deformação plana no plano-x,y as equações de equilíbrio são:
0jii
j
Xx
, (3. 231)
são explicitamente escritas como:
xyxx Xx y
, (3. 232)
yy yx Yy x
,
(3. 233)
com as condições de contorno
xx xyl m p , (3. 234)
yy xym l q , (3. 235)
onde ,l m são os cossenos diretores do vetor normal externo à curva do contorno e ,p q , são
as trações superficiais que atuam sobre a superfície do contorno.
As componentes da deformação são:
a) No caso de tensão plana
1 1;xx xx yy yy yy xxv vE E
, (3. 236)
112xy xy xy
vG E
,
(3. 237)
b) No caso de deformação plana
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
104
2
2
1 1 1
1 1 1
xx xx yy
yy yy xx
v v vE
v v vE
, (3. 238)
1xy xy
vE
,
(3. 239)
Na visão do que foi discutido na secção precedente, para muitas placas finas nós
podemos supor , ,xx yy xy serem independente de z. Então o problema da tensão plana
torna-se verdadeiramente bidimensional, bem como o problema da deformação plana.
As equações das condições de compatibilidade são como segue:
2 22
2 2 2yy xyxx
y x x y
,
(3. 240)
2 22
2 2 2yy yzzz
z y y z
,
(3. 241)
2 22
2 2 2xx xzzz
x z x z
,
(3. 242)
e
2yz xyxx xz
y z x x y z
, (3. 243)
2yy yz xyxz
x z y x y z
, (3. 244)
2yz xyxx xz
y z x x y z
, (3. 245)
i) A substituição de (3. 236) e (3. 237) nas equações (3. 240) e (3. 243), nós obtemos, no caso
de tensão plana,
22 2
2 2 2 1 xyxx yy yy xxv v v
y x x y
,
(3. 246)
Derivando (3. 232) em relação a x e (3. 233) em relação a y e somando, nós obtemos:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
105
2 22
2 2 2yy xyxx X Yx y x y x y
, (3. 247)
Eliminando xy entre (3. 246) e (3. 247), nós obtemos:
2 2
2 2 1xx yyX Yv
x y x y
,
(3. 248)
ii) A substituição de (3. 238) e (3. 239) nas equações (3. 240) e (3. 243), nós obtemos, no
caso de deformação plana,
22 2
2 2 2 1 xyxx yy yy xxv v v
y x x y
,
(3. 249)
Derivando (3. 232) em relação a x e (3. 233) em relação a y e somando, nós obtemos:
2 22
2 2 2yy xyxx X Yx y x y x y
, (3. 250)
Eliminando xy entre (3. 249) e (3. 250), nós obtemos de forma análoga ao caso de tensão
plana:
2 2
2 2
11xx yy
X Yx y v x y
, (3. 251)
As equações (3. 232), (3. 233), (3. 234), (3. 235) e (3. 248) ou (3. 251) definem os
problemas planos em termos das componentes das tensões , ,xx yy xy . Se as condições de
contorno de um problema são tais que as superfícies de tração são bem conhecidas, então o
problema pode ser resolvido em termos das tensões, sem necessidade de mencionar os
deslocamentos a menos que eles sejam desejados. Mesmo em um problema de valor de
contorno misto no qual parte do contorno possui deslocamentos prescritos, ele ainda pode ser
vantajoso resolver para o primeiro estado de tensão. Estas considerações práticas levam-nos
ao método das funções de tensão de Airy. Para problemas de deslocamentos prescritos sobre
todo o contorno do corpo, o potencial do deslocamento ou outros dispositivos devem ser
tentados primeiro.
O método de Airy é baseado na observação de que o lado esquerdo das equações
(3. 232) e (3. 233) aparecem como a divergência de um vetor. Na hidrodinâmica nós estamos
familiarizados com o fato de que a conservação da massa, se expressa na equação da
continuidade.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
106
0u vx y
,
(3. 252)
onde u, v são as componentes do vetor velocidade, pode ser derivadas a partir de uma função
corrente ,x y ,onde:
;u vy x
,
(3. 253)
Em outras palavras, se u, v são derivadas de uma função arbitrária ,x y de acordo com (3.
253), então a equação (3. 252) é identicamente satisfeita.
Vamos usar a mesma técnica para a equação (3. 232) e (3. 233). Estas equações
podem ser postas na forma de (3. 252) se nós supormos que as forças de corpo podem ser
derivadas de um potencial V, tal que:
;V VX yx y
, (3. 254)
A substituição de (3. 254) em (3. 232) e (3. 233) resultam em
0xyxx V
x y
, (3. 255)
0xyyy V
x y
,
(3. 256)
Agora, como em (3. 252), estas equações são identicamente satisfeitas se nós introduzimos
duas funções de corrente e de tal forma que:
;xx xyVy x
, (3. 257)
;xy yy Vy x
,
(3. 258)
Em outras palavras, a substituição de (3. 257) e (3. 258) em (3. 255) e (3. 256) reduzem (3.
255) e (3. 256) a uma identidade em e . Agora, as equações (3. 257) e (3. 258) podem ser
combinadas se nós fizermos:
;x y
, (3. 259)
isto é:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
107
2 2
2 ;xx xyVy x y
, (3. 260)
2 2
2;xy yy Vy x x
,
(3. 261)
È prontamente verificado que se , ,xx xy yy são derivadas de uma função
arbitrária ,x y de acordo com (3. 257) e (3. 258) então as equações (3. 255) e (3. 256) são
identicamente satisfeitas. A função ,x y é chamada de função de tensão de Airy, em
referência a este inventor, o famoso astrônomo.
Uma função arbitrária ,x y gera tensões que satisfazem as equações de
equilíbrio, mas ,x y não é inteiramente arbitrária, uma vez que é requerido gerar somente
funções cujos campos de tensão satisfazem as condições de compatibilidade. Logo a condição
de compatibilidade é dada por (3. 248) ou (3. 251), uma substituição dá o requerimento que,
no caso de tensão plana:
4 4 4 2 2
4 2 2 4 2 22 1 V Vvx x y y x y ,
(3. 262)
E no caso de deformação plana:
4 4 4 2 2
4 2 2 4 2 2
1 22
1v V V
x x y y v x y ,
(3. 263)
Se as forças de corpo são nulas, então em ambos os casos tensão plana e deformação plana,
,x y é governada pela equação:
4 4 4
4 2 2 42 0x x y y
, (3. 264)
Uma solução regular da equação (3. 264) é chamada de uma função biharmônica.
A solução de problemas da elasticidade plana pelas funções biharmônicas serão discutidas nas
secções seguintes.
Contudo, a respeito das outras cinco condições de compatibilidade nas equações
(3. 240) a (3. 245) “left alone so far”? No caso da deformação plana é claro que elas são
identicamente satisfeitas. No caso da tensão plana, contudo, elas não podem ser satisfeitas em
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
108
geral se supormos , ,xx xy yy serem independentes da coordenada z . Sob uma tal suposição
estas condições de compatibilidade implica que:
2 2 2
2 2 0zz zz zz
x y x y
,
(3. 265)
Portanto, zz e então xx yy deve ser uma função linear de x e y , ou seja:
zz xx yyvE
,
(3. 266)
A qual é a exceção além do que a regra na solução dos problemas de tensão plana. Portanto,
em geral, a suposição de que o estado de tensão plana é bi-dimensional, tal que , ,xx xy yy
são funções de ,x y somente, não pode ser verdade; e as soluções obtidas sob esta suposição
pode não serem exatas. Contudo, como nós temos discutidos previamente, elas são boas
aproximações para placas finas. De qualquer forma, o método de função-tensão pode ser
estendido para três dimensões.
3.7.5 - Problema de Deformação Plana:
Sabendo que para o problema de deformação plana temos:
1 1 2 2 3, , , , 0u u x y u u x y u . (3. 267)
ele será desenvolvido de acordo com a seguinte equação
12
jiij
j i
uux x
. (3. 268)
Logo
33
3
1 02
ii
i
u ux x
. (3. 269)
Ele será desenvolvido e as componentes das deformações 3i desaparecerão, e a partir de (3.
267) temos:
33
3
1 02
ii
i
u ux x
. (3. 270)
onde
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
109
3 131
1 30 0
1 02
u ux x
. (3. 271)
e
3 232
2 30 0
1 02
u ux x
. (3. 272)
e
3 333
3 30 0
1 02
u ux x
. (3. 273)
Segue-se a partir da equação (3. 167) que:
i) Do ponto de vista da tensão temos que:
2
1 2v
v
. (3. 274)
para , a partir de (3. 274) nós temos que:
2
1 2v
v
. (3. 275)
Portanto, usando o fato de que para 3 , 33 0, 1, 2 , temos que:
2 . (3. 276)
Portanto, para o problema de deformação plana as relações de tensão-deformação
são
11 1 2
e ex x y
E v vv v
. (3. 277)
11 1 2
e ey y x
E v vv v
. (3. 278)
1 1 2e e
z x yvE
v v
exy xyG . (3. 279)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
110
exy xyG . (3. 280)
0xy yz . (3. 281)
usando-se (3. 271) a (3. 273) em (3. 274) temos que:
31 31 310 0
21 2
vv
. (3. 282)
logo
31 0 . (3. 283)
e ainda
32 32 320 0
21 2
vv
. (3. 284)
logo
32 0 . (3. 285)
e
33 33 33 11 22 330 1 0
21 2
vv
. (3. 286)
logo
33 11 222
1 2vv
. (3. 287)
ii) Do ponto de vista da deformação temos que, os mesmos resultados podem ainda serem
obtidos a partir de ( ) onde:
1 v vE E
. (3. 288)
para , temos:
1 v vE E
. (3. 289)
Portanto, usando o fato de que 3 , 33 0, 1, 2 ,
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
111
1 v vE E
. (3. 290)
Portanto para o problema de deformação plana as relações de tensão-deformação
são
11e
x x y
vv v
E
. (3. 291)
1
1ey y x
vv v
E
. (3. 292)
1exy xyG
. (3. 293)
0e e ez xz yz . (3. 294)
então a partir de (3. 271) a (3. 273) temos:
31 31 310 0
1 v vE E
. (3. 295)
logo
31 0 . (3. 296)
e ainda
32 32 320 0
1 v vE E
. (3. 297)
logo
32 0 . (3. 298)
e também
33 33 330 1
1 v vE E
. (3. 299)
logo a partir de (3. 273) temos:
33 1v
v . (3. 300)
ou
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
112
33 11 22 331v
v
. (3. 301)
logo
33 11 2211 1
v vv v
. (3. 302)
ou
33 11 2211 1 1
v v vv v v
. (3. 303)
ou
33 11 221
1 1v v v
v v
. (3. 304)
ou
33 11 221
1 1v
v v
. (3. 305)
Logo, cancelando os termos semelhantes:
33 11 22v . (3. 306)
Portanto,
z x yv . (3. 307)
onde v é a razão de Poisson.
Portanto,
3 0 . (3. 308)
e
33 v . (3. 309)
onde 1 2,x x .
Uma forma alternativa de se obter o mesmo resultado segue de (3. 286), ou seja:
33 33 33 11 22 330 1 0
21 2
vv
. (3. 310)
logo
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
113
33 33 11 221
21 2
vv
. (3. 311)
mas a partir de (3. 289) temos:
11 11 11 22 331 v v
E E
. (3. 312)
e
22 22 11 22 331 v v
E E
. (3. 313)
Somando as duas equações acima tem-se:
11 22 11 22 331 2 2v v v
E E E
. (3. 314)
Substituindo (3. 311) em (3. 314) tem-se:
33 11 22 33
1 2 1 2 22
v v v vv E E E
. (3. 315)
e
33 11 221 2 2 1 22
v v v vv E E E
. (3. 316)
Mas a constante é dada por:
1 1
2 1 2E v
v E
. (3. 317)
logo
33 11 221 1 2 1 2
2v v v
v E E E
. (3. 318)
e
33 11 22
2 11 1 2 1vv v vE v E E E
. (3. 319)
e
2
33 11 22
1 2 1 2 1v v v v vEv E
. (3. 320)
e
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
114
2 2
33 11 221 2 2 2 1v v v v v
v
. (3. 321)
e
33 11 221 1v v
v
. (3. 322)
Portanto,
33 11 22v . (3. 323)
Na ausência de forças internas as equações de equilíbrio (3. 213) , (3. 214) se
reduzem à:
0x
. (3. 324)
ou
11 21
1 2
12 22
1 2
0 , 1,2 ; 1
0 , 1, 2 ; 2
x x
x x
. (3. 325)
a equação de compatibilidade não-trivial (3. 215) torna-se:
2 2
2 0x x x
. (3. 326)
para 1, 2 1, 2e temos:
2 2 2 211 11 21 222 2 21 1 2 1 1
0
2 2 2 212 11 22 22
2 2 21 2 2 2 2
0
0
x x x x x
x x x x x
. (3. 327)
ou
2 2 2 221 22 12 11
2 22 1 1 1 2 2
0x x x x x x
. (3. 328)
logo
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
115
2 2 212 11 22
2 21 2 2 1
2 0x x x x
. (3. 329)
Substituindo (3. 288) em (3. 326) ficamos com:
2 2
2
1 1
0
v v v vE E E E
x x x
. (3. 330)
ou
2 2 22
2 21 1 0v v v v
E x x E x x E x E x
. (3. 331)
ou
2 2 22
2 2
1 0v vE x x x E x x x
. (3. 332)
Observe que para o termo se anula totalmente e para
2 22
2 2
1 0v vE x x x E x
. (3. 333)
a partir de (3. 309) temos que:
v . (3. 334)
logo
2 22
2
1 1 0v v vE x x E E x
. (3. 335)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
116
3.7.6 - Problema de Tensão Plana
0z . (3. 336)
i) Do ponto de vista da tensão temos que:
Portanto, para o problema de tensão plana as relações de tensão-deformação são
21e e
x x yE v vv
. (3. 337)
21e e
y y xE v vv
. (3. 338)
exy xyG . (3. 339)
0z xy yz . (3. 340)
ii) Do ponto de vista da deformação temos que:
Portanto, para o problema de tensão plana as relações de tensão-deformação são
1ex x yv v
E . (3. 341)
1ey y xv v
E . (3. 342)
ez x y
vE
. (3. 343)
1exy xyG
. (3. 344)
0e exz yz . (3. 345)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
117
3.7.7 - Funções de Airy em Coordenadas Cartesianas
As equações de equilíbrio serão identicamente satisfeitas se as componentes das
tensões são expressas em termos das funções de tensão de Airy ,x y . Esta função pode
ser interpretada como uma superfície.
,z x y . (3. 346)
Portanto, para ambos os problemas planos a função de tensão ,x y são comuns
e possuem segundas derivadas parciais que estão relacionadas a um estado equilibrado de
tensões da seguinte forma:
2 2
2x x x
. (3. 347)
e
2 2
2 2x x
. (3. 348)
que pode ser escrita como:
2
/px x
. (3. 349)
e
2 2
2 2 /px x
. (3. 350)
Em um sistema de coordenadas cartesianas , ,x y z . As derivadas segundas de ,x y serão
relacionadas às tensões como segue [Ref].
,x yy . (3. 351)
,y xx . (3. 352)
,xy xy . (3. 353)
Substituindo (3. 351) e (3. 352) em (3. 307) temos:
, ,z yy xxv . (3. 354)
ou
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
118
2z v . (3. 355)
as equações de equilíbrio dos estados de tensões simplificados são satisfeitas automaticamente
pelas tensões (3. 351)-(3. 353), derivadas a partir da função de tensão ,x y .
Substituindo (3. 349) e (3. 350) em (3. 335) temos:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 0v v vE x x x x E E x x x
. (3. 356)
ou
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 0v v vE x x x x E E x x x
. (3. 357)
ou
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
1 1
1 0
v v vE x x x x E E x x
v vE E x x
. (3. 358)
a partir de (3. 287) podemos escrever:
2
1 2vv
. (3. 359)
Logo
2
2
21 2
vx v
. (3. 360)
Logo substituindo (3. 360) em (3. 357) temos:
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2
1 1
1 2 01 2
v v vE x x x x E E x x
v v vE E x v
. (3. 361)
trocando a ordem das derivadas temos:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
119
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
1 1
1 2 01 2
v v vE x x E E x x
v v vE E x v
. (3. 362)
Cancelando os termos semelhantes
2 2 2 2 2
2 2 2
1 2 01 2
v v v vE x x E E x v
. (3. 363)
Considerando o último termo nulo tanto para deformação plana como para tensão plana
temos:
2 2 2
2 2 0vE x x
. (3. 364)
note que;
2 2
2 22 2 0
x x
. (3. 365)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
120
3.7.8 - Equação Bi-harmônica
Expressando as relações das tensões em termos das funções de Airy, ,x y e
substituindo-as nas relações para deformações, e então substituindo as equações resultantes,
para as deformações nas equações de compatibilidade (3. 215), nós obtemos tanto para
deformações planas como para tensões planas as mesmas equações governantes, dada por:
, 2 , , 0xxxx xxyy yyyy . (3. 366)
Esta é chamada de equação bi-harmônica e é representada simbolicamente por:
4 0 . (3. 367)
onde
4 2 2 . (3. 368)
com 2 sendo o usual operador Laplaciano.
As funções de tensão ,x y que satisfazem a equação biharmônica são
chamadas de funções de tensão de Airy. Esta função ,x y representa a solução plana que
satisfaz ambas as equações de equilíbrio (3. 213), (3. 214) e as equações de compatibilidade
(3. 215).
Uma representação de uma solução da equação biharmônica em coordenadas
cartesianas é [Ref]
1 2 3, , , ,x y x x y y x y x y . (3. 369)
Onde 1 2 3, , , , ,x y x y x y são funções harmônicas, isto é, que satisfazem
2 , 0 1,2,3i x y i . (3. 370)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
121
3.7.9 - Condições de Contorno
Existem dois tipos fundamentais de problemas de valor de contorno na
elasticidade. O primeiro é especificando a tração sobre o contorno, e o segundo é
especificando o deslocamento sobre o contorno.
Em relação às funções de tenso de Airy ,x y e a correspondente solução da
equação bi-harmônica, acha-se que a tração prescrita sobre um contorno necessita
também da especificação de ambas as derivadas parciais [Ref].
, ,x ys e s em . (3. 371)
onde s é um parâmetro que define as funções sobre , ou especificando a função de tensão
em si e sua derivada parcial normal ao contorno / n , isto é:
ˆ/ .s
s e n n em . (3. 372)
onde n é um vetor unitário dirigido para fora do contorno e é o operador gradiente.
Pode-se mostra que estes dois métodos são equivalentes.
3.7.10 - Funções de Airy Coordenadas Polares
A transformação entre coordenadas cartesianas ,x y e polares ,r é:
cosx r . (3. 373)
e
seny r . (3. 374)
algumas derivadas parciais úteis entre os dois sistemas são:
, cosxr . (3. 375)
e
, senyr . (3. 376)
e
, sen /x r . (3. 377)
e
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
122
, cos /y r . (3. 378)
Estas podem ser usadas para gerar as seguintes relações entre a primeira e a segunda
derivadas parciais entre os dois sistemas de coordenadas para uma função arbitrária (tais
como as funções de Airy).
i) Para a primeira derivada parcial com relação à x, nós temos:
, , , , ,, cos , sen /
x r x x
r
rr
. (3. 379)
Para a primeira derivada parcial com relação à y, nós temos:
, , , , ,
, sen , cos /y r y y
r
rr
. (3. 380)
ii) Para a segunda derivada com relação à x nós temos:
, , , , , , ,
, cos , sen / , , , cos , sen / , ,xx x r x x x
r r x r x
r
r r r
. (3. 381)
2 2 2
2 2
2 2 2 2
, , cos , 2sen cos / , 2sen cos / , sen /
, sen /
, cos , / , / sen , / , / 2sen cos
xx rr r r
rr r r
r r rr
r r r r
. (3. 382)
Para a segunda derivada com relação à y nós temos:
, , , , , , ,
, cos , sen / , , , cos , sen / , ,yy y r y y y
r r y r y
r
r r r
. (3. 383)
2 2 2
2 2
2 2 2 2
, , cos , 2sen cos / , 2sen cos / , sen /
, sen /
, cos , / , / sen , / , / 2sen cos
yy rr r r
rr r r
r r r
r
r r r r
. (3. 384)
Para a segunda derivada com relação à x e y nós temos:
, , , , , , ,
, cos , sen / , , , cos , sen / , ,xy x r y x y
r r y r y
r
r r r
. (3. 385)
2 2 2
2 2
2 2 2 2
, , cos , 2sen cos / , 2sen cos / , sen /
, sen /
, cos , / , / sen , / , / 2sen cos
xx rr r r
rr r r
r r r
r
r r r r
. (3. 386)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
123
A convenção dos sinais para as tensões expressas em um sistema de coordenadas
polares são mostradas na Figura - 3. 5. As fórmulas entre uma função de tensão ,r e
as tensões em coordenadas polares são:
2
2
, / ,,
, / , , / , /
r r
rr
r r r
r r
r r r
. (3. 387)
Figura - 3. 5. Coordenadas polares e a convenção dos sinais das tensões
A conversão das tensões entre os dois sistemas de coordenadas é:
2 2
2 2
2 2
cos sen 2sen cos
sen cos 2sen cos
sen cos cos sen
x r r
y r r
xy r r
. (3. 388)
ou
2 2
2 2
2 2
cos sen 2sen cos
sen cos 2sen cos
sen cos cos sen
r x y xy
x y xy
r y x xy
. (3. 389)
As equações de equilíbrio em coordenadas polares [Ref] são:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
124
, , / 0, / , 2 / 0
r r r r
r r r
rr r
. (3. 390)
O operador Laplaciano 2 em coordenadas polares é expressível como:
2 2, , / , / 0rr r r r . (3. 391)
A equação (3. 391) pode ser usada sucessivamente como em (3. 368) para gerar o operador
bi-harmônico em coordenadas polares.
Relações de deformação-deslocamento em coordenadas polares para pequenas
variações geométricas são [Ref]:
,, /
2 , / ,
r r r
r
r r r r
uu u r
u u r u
. (3. 392)
onde r e são deformações normais nas direções r e , respectivamente, e r e r são a
deformação de cisalhamento de engenharia e a deformação de cisalhamento, respectivamente,
no plano r . Estas equações são aplicáveis a ambas as deformações elásticas e totais.
3.7.11 - O Laplaciano e a Equação Bi-Harmônica em termos das Variáveis
Complexas
Para resolver a equacão bi-harmônica precisamos recorrer as variáveis complexas.
Uma transformação de coordenada é executada a partir das coordenadas cartesianas ,x y
para variáveis complexas ,z z , dadas por:
/ 2 ; / 2x z z y z z i . (3. 393)
onde 1i
Seja
z x iy . (3. 394)
ou
iz re . (3. 395)
onde 1i e o complexo conjugado
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
125
z x iy . (3. 396)
ou
iz re . (3. 397)
Logo segue que:
Re / 2 ; Im / 2x z z z y z z z i . (3. 398)
nós temos que:
x yz x z y z
. (3. 399)
sendo 1 12 2
x yez z i
então
1 12 2z x y i
. (3. 400)
logo
2 iz x y
. (3. 401)
e ainda
x yz x z y z
. (3. 402)
sendo 1 12 2
x yez z i
então
1 12 2z x y i
. (3. 403)
logo
2 iz x y
. (3. 404)
e portanto
2
2 iz z z x y
. (3. 405)
Substituindo (3. 404) em (3. 405)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
126
2
2 x yiz z x x z y xy z
. (3. 406)
então
2 2 2
2 2
1 122 2
iz z x y i
. (3. 407)
logo
2 2 2
2 2
1 122 2z z x y
. (3. 408)
Portanto,
2 2 22
2 24z z x y
. (3. 409)
Portanto, a equação (3. 355) pode ser escrita como:
2
4z vz z
. (3. 410)
Portanto, as equações (3. 366), (3. 367) e (3. 368) pode ser escrita como:
2 2
4 2 2 4 4 0z z z z
. (3. 411)
Portanto, o operador bi-harmônico dado em (3. 368) e a equação bi-harmônica
dada em (3. 367) torna-se respectivamente:
4 48 , , 0 , 0zzzz zzzz . (3. 412)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
127
3.7.12 - Equação de Laplace em termos de Variáveis Complexas
Considerando f z uma função holomórfica da variável complexa z , podemos
escrever:
, ,f z u x y iv x y . (3. 413)
onde u e v são funções reais de x e y dadas por:
1, Re21, Im2
u x y f z f z f z
v x y f z f z f zi
. (3. 414)
sendo permitido escrever:
f f zx z x
. (3. 415)
f f zy z y
. (3. 416)
como z x iy
1zx
. (3. 417)
z iy
. (3. 418)
Portanto,
'
'
f f z f f zx z x zf f z fi if zy z y z
. (3. 419)
logo
' f ff z ix y
. (3. 420)
Substituindo (3. 413) em (3. 420) temos:
' u v v uf z i ix x y y
. (3. 421)
Logo igualando as partes reais e imaginárias temos:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
128
u v u vix y y x
. (3. 422)
satisfaz as condições da Cauchy-Riemann
u v u vex y y x
. (3. 423)
Tomando a segunda derivada temos:
2 2
2 2
u v u vex x y y y x
. (3. 424)
Por outro lado temos:
2 2
2 2
u v u vey x y x y x
. (3. 425)
Somando o primeiro grupo de equações e subtraindo o segundo grupo temos:
2 2 2 2
2 2 2 2 0u u v vx y y x
. (3. 426)
Desde que seja satisfeita a desigualdade de Cauchy-Schwartz:
v v u uex y y x y x x y
. (3. 427)
A partir de (3. 426) vemos então as partes reais e imaginárias de qualquer função holomórfica
são soluções da equação de Laplace.
2 2 2, , 0f z u x y i v x y . (3. 428)
Note que qualquer função analítica complexa z satisfaz a equação de Laplace
2 0z . (3. 429)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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129
3.7.13 - Representação de Funções Bi-Harmônicas de Airy-Westergard por Funções
Analíticas de uma Variável Complexa
Uma função é chamada de harmônica quando satisfaz a equação de Laplace.
2 0z . (3. 430)
Na secção anterior mostramos que a parte real e a parte imaginária de qualquer
função analítica de variável complexa z x iy , onde 1i , é harmônica, ou seja, satisfaz
a equação de Laplace. Então, se f z é uma função complexa de z, e ,u x y e ,v x y são
as partes reais e imaginárias de f z , respectivamente, nós podemos expressar f z da
seguinte forma:
, ,f z u x y iv x y . (3. 431)
a derivada desta função f z é:
df z u v v ui idx x x y y
. (3. 432)
onde
0u v v uix y x y
. (3. 433)
logo
0u vx y
. (3. 434)
e
0v ux y
. (3. 435)
Então ela satisfaz as condições de Cauchy-Riemmann:
u v v uex y x y
. (3. 436)
Derivando (3. 436) em relação a x temos:
2 2
2 2u v v ue
x x y x x y
. (3. 437)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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130
agora derivando (3. 436) em relação a y temos:
2 2
2 2
u v v uey x y y x y
. (3. 438)
Usando a fórmula de Cauchy-Schwartz, onde:
u u v vex y y x x y y x
. (3. 439)
temos que:
2 2 2 2
2 2 2 2
u u v vex y x y
. (3. 440)
logo
2 2 2 2
2 2 2 20 0u u v vex y x y
. (3. 441)
Então
2 2, 0 , 0u x y e v x y . (3. 442)
onde 2 2
22 2x y
. Retornando a equação (3. 431) temos finalmente que:
2 2 2, , 0f z u x y i v x y . (3. 443)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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131
3.7.14 - As Funções de Airy-Westergard em termos de uma Variável Complexa
Seja z uma função bi-harmônica de Airy, que obviamente satizfaz a seguinte
equação:
2 2 0z . (3. 444)
Se chamarmos a parte interna do parêntesis da equação (3. 444) de ,P x y , podemos
escrever 2 igualando-a identicamente a ,P x y da seguinte forma:
2,P x y z . (3. 445)
Observamos, naturalmente, que a função ,P x y no interior do parêntesis da equação (3.
444) deve ser uma funçào harmônica e analítica, pois reescrevendo a equação (3. 444) em
termos da equação (3. 445) temos:
2 , 0P x y . (3. 446)
que é a definição de função harmônica (pois satisfaz a equação de Laplace).
Agora temos uma função ,P x y garantidamente harmônica. A estratégia é
escrevê-la em termos de uma funcão f z de uma variável complexa. Portanto, se este é o
caso, temos por meio das condições de Cauchy-Riemann que deve existir uma função
conjugada a ,P x y chamada de ,Q x y que é também harmônica, pois satisfaz a equação
de Laplace.
2 , 0Q x y . (3. 447)
Logo, uma função geral f z dada por:
, ,f z P x y iQ x y . (3. 448)
cuja função conjugada também existe e é dada por:
, ,f z P x y iQ x y . (3. 449)
que também são funções harmônicas que satisfazem ambas a equação de Laplace.
2 2 2, , 0f z P x y i Q x y . (3. 450)
e
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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132
2 2 2, , 0f z P x y i Q x y . (3. 451)
De posse de todas estas informações importantes podemos escrever funções
,P x y e ,Q x y em termos das funções de variáveis complexas f z e f z da seguinte
forma:
1,2
P x y f z f z . (3. 452)
e a sua conjugada fica:
1,2
Q x y f z f z . (3. 453)
Logo, para que a equação (3. 446) e (3. 447) sejam satisfeitas devemos utilizar as funções
complexas f z e f z , da seguinte forma:
2 21, 02
P x y f z f z . (3. 454)
e
2 21, 02
Q x y f z f z . (3. 455)
Substituindo-se a equação (3. 452) na (3. 445) temos que:
2 12
z f z f z . (3. 456)
Observamos que a função real ,x y agora está expressa em termos de duas funções f z
e f z de variáveis complexas dadas por (3. 448) e (3. 449). Esta estratégia matemática
permitirá resolver a equação bi-harmônica analiticamente. Como queremos trabalhar no
espaço complexo o laplaciano também deve ser expresso em termos de variáveis complexas.
Isto significa que podemos usar o resultado (3. 365) escrevendo a equação (3. 456) da
seguinte forma:
2
2 1, 42
x y f z f zz z
. (3. 457)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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133
3.7.15 - Funções de Airy-Westergard para a Equação Bi-harmônica da MEL
Logo podemos escrever a solução de (3. 365) de forma análoga ao problema
antiplano de forma que:
2
2 4 f z f zz z
. (3. 458)
Onde f z é uma função holomórfica. A equação (3. 458) pode ser integrada para fornecer a
função real:
14
f z f z dzz
. (3. 459)
Integrando mais uma vez:
1 12 2
f z f z dz dz . (3. 460)
ou
1 1 12 2 2
f z dz f z dz dz . (3. 461)
ou reescrevendo temos:
1 1 1 12 2 2 2
f z dz dz f z dz dz . (3. 462)
Como f z e f z são analíticas podemos trocar a ordem das integrações obtendo:
1 1 1 12 2 2 2
F z F z
f z dz dz f z dz dz
. (3. 463)
Chamando de:
1 14 4
F z f z dz e F z f z dz . (3. 464)
temos:
F z dz F z dz . (3. 465)
Integrando por partes temos:
dF z dF zF z z z dz F z z z dz
dz dz
. (3. 466)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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134
chamando de:
dF z dF zG z z dz e G z z dz
dz dz . (3. 467)
Temos:
F z z G z F z z G z . (3. 468)
onde F z e G z são funções holomórficas.
Portanto, a equação diferencial parcial de quarta ordem em (3. 412) pode agora ser
integrada para fornecer uma função real de da forma:
,z z zF z zF z G z G z . (3. 469)
onde F z e G z são funções holomórficas arbitrárias. Este resultado foi primeiro obtido
por E. Goursat em 1898 [Ref].
Considerando que z x iy e z x iy temos:
,z z x iy F z x iy F z G z G z . (3. 470)
ou
,z z x F z F z iy F z F z G z G z . (3. 471)
Sendo
1Re2
z F z F z . (3. 472)
1Im2
z F z F zi
. (3. 473)
1Re2
z G z G z . (3. 474)
logo
, 2 Re 2 Im 2 Rez z x z y z z . (3. 475)
e
1, 2 , 2 , 2 ,z z xP x y yQ x y P x y . (3. 476)
1, , , ,z z xp x y yq x y p x y . (3. 477)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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135
3.7.16 – Forma Complexa da Função Harmônica de Tensão
Designando o operador Laplaciano:
2 2 22
2 2 2x y z
. (3. 478)
a equação
4 4 4
4 2 2 42 0x x y y
. (3. 479)
pode ser escrita como:
2 2 0 . (3. 480)
ou
4 0 . (3. 481)
Chamando 2 de P, observe que P é uma função harmônica, de modo que
existirá uma função harmônica conjugada Q. Consequentemente, P iQ é uma função
analítica de z, e podemos escrever:
f z P iQ . (3. 482)
A integral dessa função com relação a z será outra função analítica. Seja esta outra função
analítica igual a 4 z . Então, chamando de p e q a parte real e imaginária de z , temos:
4f z dz z p iq . (3. 483)
Veja que esta integral é novamente analítica seja nas partes real e imaginária denotadas por R
e I , respectivamente:
0
14
z
z
z P iQ dz R iI . (3. 484)
de forma que:
1'4
z f z . (3. 485)
teremos também:
1'4
z d z zz f zx dz x x
. (3. 486)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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136
14
p qP iQ ix x
. (3. 487)
igualando as partes reais do primeiro e do segundo membros encontramos:
14
p Px
. (3. 488)
Uma vez que p e q são funções conjugadas, elas satisfazem as equações de Cauchy-Riemann
e assim
14
q Px
. (3. 489)
recordando que 2P , as equações (3. 488) e (3. 489) nos permite mostrar que xp yq
é uma função harmônica, pois
2 2 2 2 0p qxp yqx y
. (3. 490)
temos então, para qualquer função de tensão ,
1xp yq p . (3. 491)
onde 1p é uma função harmônica. Consequentemente
1xp yq p . (3. 492)
o que demonstra que qualquer função de tensão pode ser formada por meio de duas funções
conjugadas p e q , e uma função harmônica 1p , convenientemente escolhidas.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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137
3.7.17 – Funções de Tensão em termos de Funções Harmônicas Complexas
Sendo uma função qualquer de x e y teremos por derivação:
2 2 2 2
2 2 2 2 2x xx y x y x
. (3. 493)
Se for harmônica, o parêntesis do segundo membro desta equação será zero. Também
/ x será uma função harmônica, pois:
2 2 2 2
2 2 2 2 0x y x x x y
. (3. 494)
Então, uma outra aplicação do operador laplaciano em (3. 478) resulta em:
2 2 2 2
2 2 2 2 0xx y x y
. (3. 495)
que é o mesmo que:
4 4 4
4 2 2 42 0xx x y y
. (3. 496)
A comparação com a equação (3. 479) mostra que x pode ser utilizada como
uma função de tensão, contando que seja harmônica. O mesmo resultado é válido para y
e também evidentemente para a função isoladamente. Logo a partir da equação (3. 479) e
(3. 483) podemos ver que as seguintes relações são satisfeitas:
2 2
2 2
2 22
2 22
p d Pxp x p pqx dzq d Pyq y q pqy dz
. (3. 497)
Portanto,
1xp yq p . (3. 498)
onde 1p é uma função harmônica. A última fórmula (3. 498) pode ser escrita como uma parte
real de uma função analítica na forma:
Re z z z . (3. 499)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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138
onde z x iy é o complexo conjugado de z , e z é uma função analítica cuja parte real
é 1p . A fórmula (3. 499) é devido ao matemático Frances Goursat. Esta fórmula é o ponto de
partida de um método muito poderoso de solução por problemas elásticos bidimensionais.
A utilidade da equação (3. 492) será provada adiante, mas pode-se constatar de
imediato que o uso das funções p e q não necessárias. Em lugar de (3. 490), podemos
escrever:
2 22 4 0pxpx
. (3. 500)
demonstrando assim que 2xp é uma função harmônica, digamos igual a 2p , de maneira
que qualquer função de tensão pode ser expressa da forma:
22xp p . (3. 501)
onde p e 2p são funções harmônicas adequadamente escolhidas. De maneira análoga,
considerando 2yq , podemos mostrar que qualquer função de tensão também pode ser
expressa na forma:
32yq p . (3. 502)
onde q e 3p são funções harmônicas convenientes.
Retornando à equação (3. 499)(3. 492), introduzamos a função 1q , que é a
harmônica conjugada de 1p , e escrevamos:
1 1z p iq . (3. 503)
Então é facilmente verificado que a parte real de 1 1x iy p iq p iq é
idêntica ao segundo membro da equação (3. 492):
1 1 1 1
1 1 1
Re Re 4
Re
z f z dz p iq z z p iq
x iy p iq p iq xp yq p
. (3. 504)
Portanto, qualquer função de tensão pode ser colocada na forma:
Re z z z . (3. 505)
onde Re significa a “parte real de”, z representa x iy , e z e z são funções
analíticas corretamente escolhidas. Reciprocamente, (3. 505) produz uma função de tensào,
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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139
que é uma solução da equação (3. 479) quaisquer que sejam z e z . Isto será aplicado
posteriormente na solução de vários problemas de interesse prático.
Escrevendo a “função complexa de tensão” entre colchetes na expressão (3. 505)
como:
Rez
zz zz
. (3. 506)
e observando que 2zz r e que /z z é ainda uma função de z, achamos que qualquer
função de tensão pode também ser expressa como:
24 5r p p . (3. 507)
onde 4 5p e p são funções harmônicas.
3.7.18 – Deslocamento Correspondente a uma dada Função de Tensão
As relações de tensão-deformação para o estado plano de tensões, equações (3.
341) e (3. 345)
1ex x yv v
E . (3. 508)
1ey y xv v
E . (3. 509)
2 1 11exy xy xy
vG E
. (3. 510)
podem ser escritas da seguinte forma:
x yuE vx
. (3. 511)
e
y xvE vy
. (3. 512)
e
xyv uGx y
. (3. 513)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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140
Introduzindo a função de tensão na equação (3. 511) e (3. 512) lembrando que 2P
temos:
2 2 2 2
2 2 2 2
2
21
uE v P vx y x x x
v Px
. (3. 514)
e analogamente
2 2 2 2
2 2 2 2
2
21
vE v P vy x y y y
v Py
. (3. 515)
Mas, de acordo com as equações (3. 488) e (3. 489) e (3. 490), podemos substituir P na
equação (3. 514) por 4 /p x e na equação (3. 515) por 4 /q y . Então, após a divisão por
1 v , temos:
2
2
421
u pGx x v x
. (3. 516)
2
2
421
v qGy y v y
. (3. 517)
e estas, por integração nos fornecem
421
Gu p f yx v
. (3. 518)
142
1Gv q f x
y v
. (3. 519)
onde f y e 1f x são arbitrárias. Se essas expressões foram substituídas no primeiro
membro da equação (3. 513) obteremos:
212 1 1
1 2 2 xydfp q df
x y v y x dy dx
. (3. 520)
O primeiro termo do primeiro membro da equação é igual a xy , e a expressào
entre parêntesis se anula, pois p e q são funções harmônicas conjugadas que satisfazem as
equações de Cauchy-Riemann. Portanto,
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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141
1 0dfdfdy dx
. (3. 521)
o que implica que:
1; dfdf A Ady dx
. (3. 522)
Sendo A uma constante. Segue-se disto que os termos 1f y e f x nas equações (3. 518)
e (3. 519) representam um deslocamento de corpo rígido suprimindo estes termos, podemos
escrever as equações (3. 518) e (3. 519) como:
421
Gu px v
. (3. 523)
421
Gv qy v
. (3. 524)
entendendo-se que um deslocamento de corpo rígido pode ser adicionado. Essas equações nos
possibilitam obter u e v quando é conhecido. Temos primeiramente que encontrar 2P ,
em seguida, determinamos sua função conjugada Q por meio das equações de Cauchy-
Riemann.
;P Q P Qx y y x
. (3. 525)
formamos a função f z P iQ e obtemos p e q por integração de f z como na equação
(3. 483). Os termos das equações (3. 523) e (3. 524) podem ser calculados.
A utilidade das equações (3. 523) e (3. 524) será vista em aplicações posteriores,
nos quais o método de determinação dos deslocamentos usados nos Capítulos – III e IV são
adequados.
Substituindo-se ( ) em ( ) podemos escrever:
2
/px x
. (3. 526)
e
2 2
2 2 /px x
. (3. 527)
Logo
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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142
2
zF z zF z G z G zx x
. (3. 528)
e
2
2
2
2
zF z zF z G z G zx
zF z zF z G z G zx
. (3. 529)
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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143
3.7.19 - Equações de Kosolov-Mushkelishvili
As equações de Kosolov resultam da integrabilidade da equação biharmônica (3.
264) ou (3. 366) ou (3. 367) em termos de variveis complexas.
Em termos dos potenciais de Kosolov de ( )-( ), F z e G z de ( ) são:
1 1;2 2
F z z G z z dz . (3. 530)
I) A Primeira e Segunda Equação
A partir do resultado anterior obtido por Goursat em 1898, nós podemos chegar às
equações de Kosolov, da seguinte forma. Seja a função:
,z z zF z zF z G z G z . (3. 531)
e
1,2
z z z z z z z z . (3. 532)
da qual por derivação resulta em:
2 ' ' ' 'z z z z z z z zx
. (3. 533)
2 ' ' ' 'i z z z z z z z zy
. (3. 534)
Estas duas expressões podem ser combinadas em uma única, multiplicando a
segunda por i e somando com a primeira. Logo,
' 'i z z z zx y
. (3. 535)
as componentes de tensão ,x y e xy podem obtidas diretamente a partir das derivadas
segundas de (3. 532). Mas tendo em vista aplicações posteriores em coordenadas curvilíneas,
é preferível proceder de outro modo. Derivando a equação (3. 535) em relação a x, temos:
2
2 ' " ' "i z z z z zx x y
. (3. 536)
Derivando a equação (3. 535) em relação a y, e multiplicando por i temos:
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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144
2
2 ' " ' "i z z z z zx y y
. (3. 537)
Formas mais simples são obtidas somando e subtraindo as equações (3. 536) e (3. 537). Assim
obtendo:
2 ' 2 ' 4Re 'x y z z z . (3. 538)
2 2 " "y x xyi z z z . (3. 539)
A troca de i por i em ambos os membros da equação (3. 539) conduz à forma alternativa.
2 2 " "y x xyi z z z . (3. 540)
A separação das partes real e imaginária no segundo membro da equação (3. 539) ou (3. 540)
fornece 2y x xye i . As duas equações (3. 538) e (3. 540) determinam as componentes de
tensão em termos dos potenciais complexos z e z .
II) A Terceira Equação de Kosolov
As duas expressões da equação (3. 523) e (3. 524) podem ser combinadas em
uma única, multiplicando-se a segunda por i e somando a primeira encontramos.
421
G u iv i p iqx y v
. (3. 541)
ou, usando a equação (3. 537) e a equaçào (3. 535) da secção anterior temos:
32 ' '1
vG u iv z z z zv
. (3. 542)
Esta equação determina u e v para os estados planos de tensão quando são
conhecidos os potenciais complexos z e z . Para os estados planos de deformação de
acordo com a secção a secção 9.1, devemos substituir v por / 1v v no segundo membro da
equação (3. 542).
Logo, pela escolha de determinadas funções para z e z , encontramos um
possível estado de tensão segundo as equações (3. 538) e (3. 540), por meio de (3. 542) os
deslocamentos correspondentes são facilmente determinados.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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145
Portanto, a formulação de Kosolov para os problemas planos da elasticidade [ ]
segue:
2 ' 'x y z z . (3. 543)
2 2 " 'y x xyi z z z . (3. 544)
2 'x yG u iu k z z z z . (3. 545)
Onde a “linha” denota as derivadas em relação a z , então ' /z d dz e ' /z d dz
e
3 4k v . (3. 546)
Para a deformação plana e
31
vkv
. (3. 547)
Para a tensão plana.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
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146
3. 9 - Referências Bibliográficas
DOS SANTOS, Sergio Francisco; Aplicação do conceito de fractais para análise do processo
de fratura de materiais cerâmicos, Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de São
Carlos. Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em
Ciência e Engenharia de Materiais, São Carlos, 1999.
MARDER, Michael and Jay Fineberg, “How things break”, Physics Today, p. 24-29,
September 1996.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
147
Referências por Capítulo
Achdou, Y., C. Sabot, et al. (2004). "Boundary Values Problems in Some Ramified Domains with Fractal Boundary:Analysis and Numerical Methods, Part II: Non homogeneous Neumann problems."
Allen, Martin; Brown, Gareth J.; Miles, Nick J. - ”Measurements of Boundary Fractal Dimensions”: Review of Current Techniques. Powder Technology, Vol. 84, P.1-14, 1995.
Alves, Lucas Máximo; Da Silva, Rosana Vilarim; Mokross, Bernhard Joachim, the Influence of the Crack Fractal Geometry on the Elastic Plastic Fracture Mechanics. Physica A: Statistical Mechanics And Its Applications. Vol. 295, N. 1/2, P. 144-148, 12 June 2001.
Alves, Lucas Máximo: Fractal Geometry Concerned With Stable And Dynamic Fracture Mechanics. Journal of Theorethical And Applied Fracture Mechanics, Vol 44/1, pp. 44-57, 2005.
Alves, Lucas Máximo; Da Silva, Rosana Vilarim; Lacerda, Luiz Alkimin De, Fractal Modeling of the J-R Curve And the Influence of the Rugged Crack Growth on the Stable Elastic-Plastic Fracture Mechanics, Engineering Fracture Mechanics, 77, pp. 2451-2466,2010.
Alves, Lucas Máximo; De Lacerda, Luiz Alkimin, Application of A Generalized Fractal Model For Rugged Fracture Surface To Profiles of Brittle Materials , Artigo Em Preparação, 2010.
Alves, Lucas Máximo. “Estudo Da Solidificação De Ligas De Silício-Germânio Para Aplicações Termoelétricas”, Dissertação De Mestrado Fcm-Ifsc-Usp-1995.
Alves, L. M., Simulação Bidimensional Da Propagação De Trincas Em Materiais Frágeis: Parte – I, In: Anais Do 41o Congresso Brasileiro De Cerâmica, São Paulo-Sp. Artigo Publicado Neste Congresso Ref.063/1, 1997.
Alves, Lucas Máximo – Escalonamento Dinâmico Da Fractais Laplacianos Baseado No Método Sand-Box, In: Anais Do 42o Cong. Bras. De Cerâmica, Poços De Caldas De 3 A 6 De Junho,. Artigo A Ser Publicado Neste Congresso Ref.007/1, 1998a.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
148
Alves, Lucas Máximo - Um Novo Principio De Dissipação De Energia Para A Fratura Baseado Na Teoria Fractal, In: Anais Do 42o Cong. Bras. De Cerâmica, Poços De Caldas De 3 A 6 De Junho. Artigo Publicado Neste Congresso Ref.008/1, 1998b.
Alves, L. M. “Uma Teoria Estastística Fractal Para A Curva-R”, In: Anais Do 42o Cong. Bras. De Cerâmica, Poços De Caldas De 3 A 6 De Junho. Artigo Publicado Neste Congresso Ref.009/1, 1998c.
Alves, Lucas Máximo – Da Fratura A Fragmentação, Uma Visão Fractal, In: Anais Do 42o Cong. Bras. De Cerâmica, Poços De Caldas De 3 A 6 De Junho. Artigo Publicado Neste Congresso Ref. 010/1, 1998d.
Alves, Lucas Máximo - Simulação Bidimensional Da Propagação De Trincas Em Materiais Frágeis: Parte – Ii, In: Anais Do 42o Cong. Bras. De Cerâmica, Poços De Caldas De 3 A 6 De Junho. Artigo Publicado Neste Congresso Ref. 011/1, 1998e.
Alves, Lucas M. Et Al, Relationship Between Crack Resistance (R-Curve) And Fracture Geometry - To Be Published, 1998f.
Alves, Lucas Máximo. Proposta De Tese De Doutorado, Interunidades-Dfcm-Ifsc-Usp, 1998g.
Alves, Lucas Máximo; Rosana Vilarim Da Silva And Bernhard Joachim Mokross, (In: New Trends In Fractal Aspects of Complex Systems – Facs 2000 – Iupap International Conference At Universidade Federal De Alagoas – Maceió, Brasil, October, 16, 2000.
Alves, Lucas Máximo, “Modelamento Fractal Da Fratura E Do Crescimento De Trincas Em Materiais”, Relatório De Tese De Doutorado Em Ciência E Engenharia De Materiais, Apresentada À Interunidades Em Ciência E Engenharia De Materiais, Da Universidade De São Paulo-Campus, São Carlos, Orientador: Bernhard Joachim Mokross, Co-Orientador: José De Anchieta Rodrigues, São Carlos – Sp, 2002.
Alves – Alves, Lucas Máximo; Et Al., Verificação De Um Modelo Fractal Do Perfil De Fratura De Argamassa De Cimento, 48º Congresso Brasileiro De Cerâmica, Realizado No Período De 28 De Junho A 1º De Julho De 2004, Em Curitiba – Paraná.
Alves - Alves, Lucas Máximo; Et Al., Estudo Do Perfil Fractal De Fratura De Cerâmica Vermelha, 48º Congresso Brasileiro De Cerâmica, Realizado No Período De 28 De Junho A 1º De Julho De 2004, Em Curitiba – Paraná.
Alves, Lucas Máximo; Lobo, Rui F. M., A Chaos And Fractal Dynamic Approach To the Fracture Mechanics, In: the Logistic Map And the Route To Chaos: From the Beginning To Modern Applications; Proc. of Verhulst 200 Congress on Chaos, 16 To 18 Sept. (2004), Brussels, Belgium. Edited By Spinger. 2006.
Alves, 2010, Lucas Máximo, the Fractality Analysis of Geometric Artifacts Distribution on Fracture Surfaces By A New Non Destructive Method, To Be Submmited.
Alves, 2010, Lucas Máximo, A Fractal Modeling of the Crack Rugged Path And of A Fracture Surface For A Geometric Description of Crack Growth, To Be Submmited.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
149
Anderson, T. L. Fracture Mechanics, Fundamentals And Applications, (Crc Press, 2th Edition, 1995).
Åström, Jan; Jussi, Timonen, Fragmentation By Crack Branching, Phys. Rev. Letters, Vol. 78, N. 19, P. 3677-3680, 12 May 1997.
Astm E1737-96 – “Standard Test Method For J-Integral Characterization of Fracture Toughness”, Designation Astm E1737-96, Pp.1-24, (1996).
Astm E813-89 – “Standard Test Method For Jic, A Measure of Fracture Toughness”, Designation, Astm E813-89, (1989).
Atkins, A. G. & Mai, Y-M. Elastic And Plastic Fracture. Ellis Horwood, Chichester, 1985.
Balankin , A.S And P. Tamayo, Revista Mexicana De Física 40, 4:506-532, 1994.
Barabási, Albert – László; Stanley, H. Eugene Fractal Concepts In Surface Growth, Cambridge University Press, 1995.
Bammann, D. J. And Aifantis, E. C., on A Proposal For A Continuum With Microstructure, Acta Mechanica, 45,91-121, 1982.
Barenblatt, G. I. “The Mathemathical Theory of Equilibrium Cracks In Brittle Fracture”, Advances In Applied Mechanics, Vol. 7, P.55-129, 1962.
Barnsley, Michael, Fractals Everywhere, Academic Press, Inc, Harcourt Brace Jovanovich Publishers, 1988.
Bechhoeffer, J. "The Birth of Period 3, Revisited." Math. Mag. 69, 115-118, 1996.
Bogomolny, A. "Chaos Creation (There Is Order In Chaos)." Http://Www.Cut-The-Knot.Com/Blue/Chaos.Html, 1999.
Beck, C. And Schlögl, F., Thermodynamics of Chaotic Systems: An Introduction, Cambridge Nonlinear Science Series, Vol. 4, England: Cambridge University Press, Cambridge 1993.
Benson, D. J.; Nesterenko, V. F.; Jonsdottir, F.; Meyers, M. A., Quasistatic And Dynamic Regimes of Granular Material Deformation Under Impulse Loading, J. Mech. Phys. Solids, Vol. 45, N. 11/12, P. 1955-1999, 1997.
Bernardes, 1998 A. T, Comunicação Pessoal 1998
Besicovitch, A. S. "On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions". Mathematische Annalen 101. 1929.
Besicovitch, A. S. H. D. Ursell. "Sets of Fractional Dimensions". Journal of the London Mathematical Society 12, 1937. Several Selections From This Volume Are Reprinted In Edgar, Gerald A. (1993). Classics on Fractals. Boston: Addison-Wesley. Isbn 0-201-58701-7. See Chapters 9,10,11
Barabási, 1995 Albert – László; H. Eugene Stanley, Fractal Concepts In Surface Growth, Cambridge University Press, 1995.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
150
Blyth, M. G. , Pozrikidis, C., Heat Conduction Across Irregular And Fractal-Like Surfaces, International Journal of Heat And Mas Transfer, Vol. 46, P. 1329-1339, 2003.
Boudet, J. F.; S. Ciliberto, And V. Steinberg, Europhys. Lett. 30, 337, 1995.
Boudet, J. F.; S. Ciliberto And V. Steinberg, Dynamics of Crack Propagation In Brittle Materials, J. Phys. Ii France, Vol. 6, P. 1493-1516, October 1996.
Borodich, F. M., “Some Fractals Models of Fracture”, J. Mech. Phys. Solids, Vol. 45, N. 2, P. 239-259, 1997.
Bouchaud, 1994 E.; J. P. Bouchaud, Fracture Surfaces: Apparent Roughness, Relevant Length Scales, And Fracture Toughness, Physical Review B, Vol. 50, N. 23, 15 December 1994-I, pp. 17752-17755. Doi: 10.1103/Physrevb.50.17752
Bouchaud, 1997 Elisabeth, Scaling Properties of Cracks, J. Phy. Condens. Matter 9 (1997), pp. 4319-4344.
Carpinteri - Alberto And Chiaia, Bernardino, Crack-Resistance As A Consequenca of Self-Similar Fracture Topologies, International Journal of Fracture, 76, pp. 327-340, 1996.
Callen, Herbert, Thermodynamics, John Wiley & Sons, 1986
Carpinteri, A; Chiaia, B.; Cornetti, P., A fractal theory for the mechanics of elastic materials Materials Science and Engineering, A365, p. 235–240, 2004.
Carpinteri, A.; Puzzi, S., Complexity: A New Paradigm For Fracture Mechanics, Frattura Ed Integrità Strutturale,10, 3-11, 2009, Doi:10.3221/Igf-Esis.1001
Chelidze, T.; Gueguen, Y., Evidence of Fractal Fracture, (Technical Note) Int. J. Rock. Mech Min. Sci & Geomech Abstr. Vol. 27, N. 3, P. 223-225, 1990.
Dauskardt, 1990 R. H.; F. Haubensak And R. O. Ritchie, on the Interpretation of the Fractal Character of Fracture Surfaces. Acta Metal. Mater. Vol. 38, N. 2, (1990), pp. 143-159.
Dyskin, A. V., Effective Characteristics And Stress Concetrations In Materials With Self-Similar Microstructure, International Journal of Solids And Structures, 42, 477-502, 2005
Duda, Fernando Pereira; Souza, Angela Crisina Cardoso, on A Continuum Theory of Brittle Materials With Microstructure, Computacional And Applied Mathemathics, Vol. 23, N.2-3, Pp.327-343, 2007.
Dos Santos, Sergio Francisco; Aplicação Do Conceito De Fractais Para Análise Do Processo De Fratura De Materiais Cerâmicos, Dissertação De Mestrado, Universidade Federal De São Carlos. Centro De Ciências Exatas E De Tecnologia, Programa De Pós-Graduação Em Ciência E Engenharia De Materiais, São Carlos, 1999.
Dos Santos, 1999, Sergio Francisco; Aplicação Do Conceito De Fractais Para Análise Do Processo De Fratura De Materiais Cerâmicos, Dissertação De Mestrado, Universidade Federal De São Carlos. Centro De Ciências Exatas E De Tecnologia, Programa De Pós-Graduação Em Ciência E Engenharia De Materiais, São Carlos (1999).
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
151
Ewalds, H. L. And Wanhill, R. J. H., Fracture Mechanics, Delftse Uitgevers Maatschappij Third Edition, Netherlands 1986, (Co-Publication of Edward Arnold Publishers, London 1993).
Engelbrecht, J., Complexity In Mechanics, Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino, Vol. 67, 3, 293-325, 2009
Family, Fereydoon; Vicsek, Tamás, Dynamics of Fractal Surfaces, World Scientific, Singapore, P.7-8,1991.
Feder, Jens; Fractals, (Plenum Press, New York, 1989).
Fineberg, Jay; Gross; Steven Paul; Marder, Michael And Swinney, Harry L. Instability In Dynamic Fracture, Physical Review Letters, Vol. 67, N. 4, P. 457-460, 22 July 1991.
Fineberg, Jay; Steven Paul Gross, Michael Marder, And Harry L. Swinney, Instability In the Propagation of Fast Cracks. Physical Review B, Vol.45, N. 10, P.5146-5154 (1992-Ii), 1 March, 1992.
Forest, S. Mechanics of Generalized Continua: Construction By Homogenization, J. Phys. Iv, France, 8,.Pp.39-48, 1998.
Freund, L. B., Energy Flux Into the Tip of An Extending Crack In An Elastic Solid, Journal of Elasticity, Vol. 2. N. 4, P. 341-349, December 1972.
Freund, B. L. “Crack Propagation In An Elastic Solid Subjected To General Loading - I. Constant Rate of Extension”. J. Mech. Phys. Solids. Vol. 20, P. 129-140, 1972.
Freund, B. L. Crack Propagation In An Elastic Solid Subjected To General Loading - Ii. Non-Uniform Rate of Extension. J. Mech. Phys. Solids, Vol. 20, P. 141-152, 1972.
Freund, B. L. Crack Propagation In An Elastic Solid Subjected To General Loading - Iii. Stress Wave Loading. J. Mech. Phys. Solids., Vol. 21, P. 47-61, 1973.
Freund, B. L. Crack Propagation In An Elastic Solid Subjected To General Loading - Iv. Obliquely Incident Stress Pulse. J. Mech. Phys. Solids, Vol. 22, P. 137-146, 1974.
Freund, L. B., And R. J. Clifton, on the Uniqueness of Plane Elastodynamic Solutions For Running Cracks, Journal of Elasticity, Vol. 4, N. 4, 293-299, December, 1974.
Freund, L. B., Dynamic Crack Propagation; the Mechanics of Fracture, American Society of Mechanical Engineers, P. 105-134, New York, 1976.
Freund, L. B. (Brown University); Dynamic Fracture Mechanics, (Cambridge University Press, Published By the Press Syndicate of the University of Cambridge), New York, 1990.
Fung, Y. C. A First Course In Continuum Mechanics, Prentice-Hall, Inc, Englewood Criffs, N. J., 1969.
Fung, 1969 Y. C. Fung, A First Course In Continuum Mechanics, Prentice-Hall, Inc, Englewood Criffs, N. J., 1969.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
152
Gong, 1993 Bo And Zu Han Lai, Fractal Characteristics of J-R Resistance Curves of Ti-6al-4v Alloys, Eng. Fract. Mech.. Vol. 44, N. 6, 1993, pp. 991-995.
Griffith, A. A., “The Phenomena of Rupture And Flow In Solids”, Phil. Trans. R. Soc. London (Mechanical Engineering) A221 , P. 163-198, 1920.
Gross, S. P.; Jay. Fineberg, M. P. Marder, W. D. Mccormick And H. L. Swinney, Acoustic Emissions From Rapidly Moving Cracks. Physical Review Letters, Vol. 71, N. 19, P. 3162-3165, 8 November, 1993.
Gross, Steven Paul, Dynamics of Fast Fracture, Dissertation Presented To the Faculty of the Graduate School of the University of Texas At Austin, In A Partial Fulfillment of the Requiriments For the Degree of Doctor of Philosophy, University of Texas At Austin, August, 1995.
Guy, Ciências Dos Materias, Editora Guanabara 1986.
Gurney, C.; Hunt, J. - “Quasi-Static Crack Propagation”, Proc. Royal Soc. London, Series-A,
Mathematical And Physical Sciences, Vol. 299, N.1459, 25 July 1967.
Hausdorff F. "Dimension Und Äußeres Maß". Mathematische Annalen 79 (1–2): 157–179. March 1919, Doi:10.1007/Bf01457179.
Heping, Xie the Fractal Effect of Irregularity of Crack Branching on the Fracture Toughness of Brittle Materials, International Journal of Fracture, Vol. 41, P. 267-274, 1989.
Hornig, T.; Sokolov, I. M.; Blumen, A., Patterns And Scaling In Surface Fragmentation Processes, Phys. Rev. E, Vol. 54, N. 4, 4293-4298, October 1996.
Hübner, Heinz And Jillek, W., Subcritical Crack Extension And Crack Resistance In Polycrystaline Alumina, J. Mater. Sci., Vol. 12, N. 1, P. 117-125, 1977.
Hutchinson, J.W., Plastic Stress And Strain Fields At A Crack Tip., J. Mech. Phys. Solids,
16:337-347, 1968.
Hyun, S. L.; Pei, J. –F.; Molinari, And Robbins, M. O., Finite-Element Analysis of Contact Between Elastic Self-Affine Surfaces, Physical Review E, Vol. 70, 026117, 2004.
Haase, Rolf - Thermodynamics of Irreversible Process. Dover Publications, Inc New York 1990.
Holian, 1997 Brad Lee Holian1, Raphael Blumenfeld1,2, And Peter Gumbsch, An Einstein Model of Brittle Crack Propagation, Phys. Rev. Lett. 78, (1997), pp. 78 – 81, Doi: 10.1103/Physrevlett.78.78.
Herrmann Jr., 1989 H.; Kertész, J.; De Arcangelis, L. - “Fractal Shapes of Deterministic Cracks”, Europhys. Lett. 10 (2), (1989). Pp.147-152
Herrmann, Hans J. - “Growth: An Introduction”, In: on the Growth And Form” Fractal And Non-Fractal Patterns In Physics, Edited By H. Eugene Stanley And Nicole Ostrowsky Nato Asi Series, Series E: Applied Sciences N. 100 (1986), Proc. of the Nato Advanced Study
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
153
Institute Ön Growth And Form”, Cargese, Corsiva, France June 27-July 6 1985. Copyright By Martinus Nighoff Publishers, Dordrecht, 1986.
Herrmann, H. J.; Kertész, J.; De Arcangelis, L. - “Fractal Shapes of Deterministic Cracks”, Europhys. Lett. Vol. 10, N. (2) P.147-152, (1989).
Herrmann, Hans J.; Roux, Stéphane, “Statistical Models For the Fracture of Disordered Media, Random Materials And Processes”, Series Editors: H. Eugene Stanley And Etienne Guyon, North-Holland Amsterdam, 1990.
Herrmann, Hans J.; Homepage, 1995.
Hermann, Helmut, Exact Second Order Correlations Functions For Random Surface Fractals, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 27, L 935-L938, 1994.
Heping, Xie And David J. Sanderson, Fractal Effects of Crack Propagation on Dynamics Stress Intensity Factors And Crack Velocities, International Journal of Fracture, Vol. 74; 29-42, 1995.
Heping, Xie; Jin-An Wang And E. Stein, Direct Fractal Measurement And Multifractal Properties of Fracture Surfaces, Physics Letters A , Vol. 242, P. 41-50, 18 May 1998.
Hornbogen, E.; Fractals In Microstructure of Metals; International Materials Reviews, Vol. 34. N. 6, P. 277-296, 1989.
Irwin, G. R., “Analysis of Stresses And Strains Near the End of A Crack Traversing A Plate”, Journal of Applied Mechanics, Vol. 24, P. 361-364, 1957.
Irwin, G. R., “Fracture Dynamics”, Fracturing of Metals, American Society For Metals, Cleveland, P. 147-166, 1948.
Irwin, G. R.; J. W. Dally, T. Kobayashi, W. L. Fourney, M. J. Etheridge And H. P. Rossmanith, on the Determination of A Ä-K Relationship For Birefringent Polymers. Experimental Mechanics, Vol. 19, N. 4, P. 121-128, 1979.
Inglis, C. E. Stressess In A Plate Due To the Presence of Cracks And Sharp Corners, Transactions of the Royal Intitution of Naval Architects, V. 60, P. 219-241, 1913.
Kanninen, Melvin F.; Popelar, Carl H., Advanced Fracture Mechanics, the Oxford Engineering Science Series 15, Editors: A. Acrivos, Et Al. Oxford University Press, New York, Claredon Press, Crc Press, Chapter 7, P. 437, Oxford, 1985.
Kostron, 1949 H. Arch Metallkd; Vol. 3, N. 6, pp. 193-203, 1949. Kogut, L, 2003
Komvopoulos, K 1993,
Komvopoulos, K 1995a,
Komvopoulos, K 1995b.
Kral, E.R., Komvopoulos, K., Bogy, D.B., 1993. Elastic–Plastic Finite Element Analysis of Repeated Indentation of A Half-Space By A Rigid Sphere. J. Appl. Mech. Asme 60, 829–841.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
154
Kraff, J. M.; Sullivan, A. M. And Boyle, R. W., Effect of Dimensions on Fast Fracture Instability of Notched Sheets, Proceedings of the Craks Propagation Symposium Cranfield, 1962, (The College of Aeronautics, Cranfield, England, 1962), Vol. 1. P. 8-28, 1962.
Lavenda, Bernard H. - Thermodynamics of Irreversible Processes, Dover Publications, Inc. New York, 1978.
Lazarev, V. B., Balankin, A. S. And Izotov, A. D. “Synergetic And Fractal Thermodynamics of Inorganic Materials. Iii. Fractal Thermodynamics of Fracture In Solids, Inorganic Materials, Vol. 29, No. 8, pp. 905-921,1993.
Lei, Weisheng And Chen, Bingsen, Fractal Characterization of Some Fracture Phenomena, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 50, N. 2, P. 149-155, 1995.
Leung, A. Y. T. And Su, R. K. L., Mixed-Mode Two Dimensional Crack Problem By Fractal Two Level Finite Element Method, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 51, N. 6, P. 889-895, 1995.
Lin, G. M.; Lai, J. K. L., Fractal Characterization of Fracture Surfaces In A Resin-Based Composite, Journal of Materials Science Letters, Vol. 12, P. 470-472, 1993.
Lin, 1993 G. M.; J. K. L. Lai, “Fractal Characterization of Fracture Surfaces In A Resin-Based Composite”, Journal Mat. Science Letters, Vol. 12, (1993) , pp. 470-472.
Lei, 1995 Weisheng, And Bingsen Chen, Fractal Characterization of Some Fracture Phenomena, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 50, N. 2, 1995, pp. 149-155.
Lawn, Brian; Fracture of Brittle Solids, 2a. Edition, Cambridge Solid State Science Series, Editors: E. A. Davis And I. M. Ward Frs, Cambridge University Press, 1993.
Lung, C. W. And Z. Q. Mu, Fractal Dimension Measured With Perimeter Area Relation And
Toughness of Materials, Physical Review B, Vol. 38, N. 16, P. 11781-11784, 1 December
1988.
Lung, 1988 C. W. And Z. Q. Mu, Fractal Dimension Measured With Perimeter Area Relation And Toughness of Materials, Physical Review B, Vol. 38, N. 16, P. 11781-11784, 1 December 1988.
Mandelbrot, Benoit B, Fractals: Form Chance And Dimension, W. H. Freeman And Company, San Francisco, Cal-Usa, 1977.
.Mandelbrot, 1982 Benoit B. Mandelbrot, the Fractal Geometry of Nature, Freeman, San Francisco - New York 1982.
Mandelbrot, Benoit B., the Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman And Company, San Francisco, Cal-Usa, - New York 1982(1983).
Mandelbrot, Benoit B.; Passoja, Dann E & Paullay, Alvin J., Fractal Character of Fracture Surfaces of Metals, Nature (London), Vol. 308 [5961], P. 721-722, 19 April, 1984.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
155
Mandelbrot, 1991 B. B. Mandelbrot, In: Dynamics of Fractal Surfaces, Edited By Family, Fereydoon. And Vicsék, Tamás, World Scientific, Singapore, Pp.19-39, 1991.
Mecholsky, 1989 J. J.; D. E. Passoja And K. S. Feinberg-Ringel, Quantitative Analysis of Brittle Fracture Surfaces Using Fractal Geometry, J. Am. Ceram. Soc., Vol. 72, N. 1, P. 60-65, 1989.
Mecholsky, 1988 J. J.; T. J. Mackin And D. E. Passoja, “Self-Similar Crack Propagation In Brittle Materials”. (In: Advances In Ceramics, Vol. 22, Fractography of Glasses And Ceramics, the American Ceramic Society, Inc), P. 127-134, Edited By J. Varner And V. D. Frechette. America Ceramic Society, Westerville, Oh, 1988.
Meakin, Paul And Tolman, Susan, Diffusion-Limited Aggregation: Recent Developments, Fractals Physical Origin And Properties, Edited By L. Pietronero, Plenum Press, New York P. 137-168, 1988.
Meakin, Paul; Li, G.; Sander, L. M.; Louis, E.; Guinea, F. - “A Simple Two-Dimensional Model For Crack Propagation”, J. Phys. A: Math. Gen. 22, 1393-1403, 1989.
Mecholsky, J. J.; Passoja, D. E. And Feinberg-Ringel, K. S.; Quantitative Analysis of Brittle Fracture Surfaces Using Fractal Geometry, J. Am. Ceram. Soc., Vol. 72, N. 1, P. 60-65, 1989.
Mecholsky, 1989 J. J., D. E. Passoja And K. S. Feinber-Ringel, J. Am. Ceram. Soc., 72, 1, (1989), pp. 60-65.
Mosolov, A. B., Zh. Tekh. Fiz. 61, 7, 1991. (Sov. Phys. Tech. Phys., 36, 75, 1991).
Mosolov, A. B. And F. M. Borodich Fractal Fracture of Brittle Bodies During Compression, Sovol. Phys. Dokl., 37, 5:263-265, May 1992.
Mosolov, A. B., Mechanics of Fractal Cracks In Brittle Solids, Europhysics Letters, Vol. 24, N. 8, P. 673-678, 10 December 1993.
Mu, Z. Q. And Lung, C. W., Studies on the Fractal Dimension And Fracture Toughness of Steel, J. Phys. D: Appl. Phys., Vol. 21, P. 848-850, 1988.
Mariano Paolo Maria O, Influence of the Material Substructure on Crak Propagation: A Unified Treatment, Arxiv:Math-Ph/0305004v1, May 2003.
Meakin, Paul, “The Growth of Rough Surfaces And Interfaces”, Physics Reports, Vol. 235, N. 485, P. 189-289, December 1993.
Meakin, Paul, Fractal Growth: , Cambridge Nonlinear Science Series, Vol. 5, England: Cambridge University Press, Cambridge 1995.
Morel, Sthéphane, Jean Schmittbuhl, Juan M.Lopez And Gérard Valentin, Size Effect In Fracture, Phys. Rev. E, V.58, N.6, Dez 1998.
Morel, Sthéphane, Jean Schmittbuhl, Elisabeth Bouchaud And Gérard Valentin, Scaling of Crack Surfaces And Implicaions on Fracture Mechanics, Arxiv:Cond-Mat/0007100, V.1, 6 Jul 2000 Or Phys. Rev. Lett. V. 85, N.8, 21 August, 2000.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
156
Morel, Sthéphane, Elisabeth Bouchaud And Gérard Valentin, Size Effect In Fracture, Arxiv:Cond-Mat/0201045, V.1, 4 Jan 2002 Or Phys. Rev. B, V. 65, 104101-1-8.
Morel, Sthéphane, Elisabeth Bouchaud, Jean Schmittbuhl And Gérard Valentin, R-Curve Behavior And Roughness Development of Fracture Surfaces, International Journal of Fracture, V.114, pp. 307-325, 2002.
Muskhelisvili, N. I., Some Basic Problems In the Mathemathical Theory of Elasticity, Nordhoff, the Netherlands, 1954.
Mecholsky, J. J.; T. J. Mackin And D. E. Passoja, “Self-Similar Crack Propagation In Brittle
Materials”. (In: Advances In Ceramics, Vol. 22, Fractography of Glasses And Ceramics, the
American Ceramic Society, Inc), P. 127-134, Edited By J. Varner And V. D. Frechette.
America Ceramic Society, Westerville, Oh, 1988.
Mishnaevsky Jr., L. L., “A New Approach To the Determination of the Crack Velocity Versus Crack Length Relation”, Fatigue Fract. Engng. Mater. Struct, Vol. 17, N. 10, P. 1205-1212, 1994.
Mu, 1988 Z. Q. And C. W. Lung, Studies on the Fractal Dimension And Fracture Toughness of Steel, J. Phys. D: Appl. Phys., Vol. 21, P. 848-850, 1988.
Nagahama, Hiroyuki; “A Fractal Criterion For Ductile And Brittle Fracture”, J. Appl. Phys., Vol. 75, N. 6, P. 3220-3222, 15 March 1994.
Odum, Howard T. And Richard C. Pinkerton, “Time’s Speed Regulator: the Optimum Efficiency For Maximum Power Output In Physical And Biological Systems”. American Scientist, 43, 1963.
Orowan, E., “Fracture And Strength of Solids”, Reports on Progress In Physics, Xii, P. 185, 1948.
Panagiotopoulos, P.D. Fractal Geometry In Solids And Structures, Int. J. Solids Structures, Vol. 29, No 17, P. 2159-2175, 1992.
Panin, V. E., the Physical Foundations of the Mesomechanics of A Medium With Structure, Institute of Strength Physics And Materials Science, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences. Translated From Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii, Fizika, No 4, P. 5-18, Plenum Publishing Corporation (305 - 315), April, 1992.
Ponson, L., D. Bonamy, H. Auradou, G. Mourot, S. Morel, E. Bouchaud, C. Guillot, J. P. Hulin, Anisotropic Self-Affine Properties of Experimental Fracture Surfaces, Arxiv:Cond-Mat/0601086, V.1, 5 Jan 2006.
Povstenko, Jurij, From Euclid´S Elements To Cosserat Continua, Ed. Jan Diugosz University of Czestochowa, Scientific Issues, Mathematics Xiii, Czestochowa, Pp.33-42, 2008.
Rice, J. R., “A Path Independent Integral And the Approximate Analysis of Strain Concentrations By Notches And Cracks”, Journal of Applied Mechanics, 35, P. 379-386, 1968.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
157
Richardson, L. F. the Problem of Contiguity: An Appendix To Statistics of Deadly Quarrels. General Systems Yearbook, N.6, P. 139-187, 1961.
Rocha, João Augusto De Lima, “Contribuição Para A Teoria Termodinamicamente Consistente De Fratura”, Tese De Doutorado, Eesc-Usp-São Carlos (1030639 De 12/03/1999), 1999.
Rodrigues, J. A.; Pandolfelli, V. C.; Cerâmica 42(275) Mai/Jun, 1996.
Rodrigues, 1998 José Anchieta; Pandolfelli, Victor Carlos, “Insights on the Fractal-Fracture Behavior Relationship”, Materials Research, Vol.1, N. 1, 1998b, pp. 47-52.
Rupnowski, Przemysław; Calculations of J Integrals Around Fractal Defects In Plates, International Journal of Fracture, V. 111: pp. 381–394, 2001
Sahoo Prasanta And Ghosh, Niloy, Finite Element Contact Analysis of Fractal Surfaces, J. Phys D: Appl. Phys. Vol. 40, P. 4245-4252, 2007
Salvini, V. R.; Pandolfelli, V. C.; Rodrigues, J. A.; Vendrasco, S. L., Comportamento De Crescimento De Trinca Após Choque Térmico Em Refratários No Sistema Al2o3-3al2o3.2sio2-Zro2, Cerâmica, Vol. 42, N. 276, Jul/Ago, P. 357-360, 1996.
Swanson, Peter L.; Fairbanks, Carolyn J.; Lawn, Brian R.; Mai, Yiu-Ming And Hockey, Bernard J.; Crack-Interface Grain Bridging As A Fracture Resistance Mechanism In Ceramics: I, Experimental Study on Alumina, J. Am. Ceram. Soc., Vol. 70, N. 4, P. 279-289, 1987.
Su, Yan; Lei, Wei-Cheng, International Journal of Fracture, V. 106: L41-L46, 2000.
Tanaka, M., “Fracture Toughness And Crack Morphology In Indentation Fracture of Brittle Materials”, Journal of Materials Science, Vol. 31. P. 749-755, 1996.
Tarasov, Vasily E. Continuous Medium Model For Fractal Media, Physics Leters A 336, P.167-174, 2005.
Timoshenko, Theory of Elasticity, 3th Ed, McGrow Hill, 1951
Trott, M. (2000). Numerical Computations. The Mathematica Guidebook. New York, Springer-Verlag. 1.
Trovalusci, P. And Augusti, G., A Continuum Model With Microstructure For Materials With Flaws And Inclusions, J. Phys. Iv, France, 8,.Pp.353-, 1998.
Underwood, 1992 Erwin E. And Kingshuk Banerji, Fractal Analysis of Fracture Surfaces,. Engineering Aspects of Failure And Failure Analysis - Asm - Handbook - Vol. 12, Fractography - the Materials Information Society (1992) , pp. 210-215.
Vicsék, Tamás, Fractal Growth Phenonmena, World Scientific, Singapore, 1992.
Voss, 1991 Richard F. In: Dynamics of Fractal Surfaces, Edited By Family, Fereydoon. And Vicsék, Tamás, World Scientific, Singapore, (1991), pp. 40-45.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
___________________________________________________________________________
158
Xie, Heping; Effects of Fractal Cracks, Theor. Appl. Fract. Mech. V.23, Pp.235-244, 1995.
Xie, J. F., S. L. Fok And A. Y. T. Leung, A Parametric Study on the Fractal Finite Element Method For Two-Dimensional Crack Problems, International Journal For Numerical Methods In Engineering, Vol. 58, P. 631-642, 2003. (Doi: 10.1002/Nme.793).
Xie, 1989 Heping, the Fractal Effect of Irregularity of Crack Branching on the Fracture Toughness of Brittle Materials, International Journal of Fracture, Vol. 41, 1989, pp. 267-274.
Yavari, Arash, the Fourth Mode of Fracture In Fractal Fracture Mechanics, International Journal of Fracture, Vol. 101, 365-384, 2000.
Yavari, Arash, the Mechanics of Self-Similar And Self-Afine Fractal Cracks, International Journal of Fracture, Vol. 114, 1-27, 2002.
Yavari, Arash, on Spatial And Material Covariant Balance Laws In Elasticity, Journal of Mathematical Physics, 47, 042903, 1-53, 2006.
Zaiser, 2004 Michael, Frederic Madani Grasset, Vasileios Koutsos, And Elias C. Aifantis, , Self-Affine Surface Morphology of Plastically Deformed Metals, Phys. Rev. Lett. 93, 195507 (2004) .
Westergaard, H. M., “Bearing Pressures And Cracks” Journal of Applied Mechanics, Vol. 6, pp. 49-53, 1939.
Weiss, Jérôme; Self-Affinity of Fracture Surfaces And Implications on A Possible Size Effect on Fracture Energy, International Journal of Fracture, V. 109: P. 365–381, 2001
Willner, K 2008
Wnuk, Michael P.; Yavari, Arash, A Correspondence Principle For Fractal And Classical Cracks, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 72 (2005) 2744-2757.
Williford, 1990 R. E., Fractal Fatugue, Scripta Metallurgica Et Materialia, Vol. 24, 1990, pp. 455-460.