1. Sumrio a1 Tipos de Provas31.1 introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca31.2 Provas diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Provas por reduao ao absurdo c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 Conjuntos92.1 Introduao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c92.2 Denioes Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca102.3 Incluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a 122.4 Operaoes com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 153 Fam lias indexadas de conjuntos 214 Relaesco234.1 Pares ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234.3 Relaoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c254.4 Dom nio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264.5 Relaao Composta e Relaao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c c 264.6 Relaoes de Equivalncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c e295 Funes co 375.1 Denioes e nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 375.2 Imagens diretas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .395.3 Funoes injetoras, sobrejetoras e bijetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 435.4 Funao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 445.5 Composiao de Funoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cc 45 1

2. 2SUMARIO6 Cardinais476.1 Denioes e alguns exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c476.2 Nmeros Cardinais Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 496.3 Nmeros cardinais innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 546.4 Mais exemplos de nmeros cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .u606.5 Comparao de nmeros cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cau 636.6 Operaoes com nmeros cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cu 677 Ordinais 757.1 Introduao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c757.2 Conjuntos parcialmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.3 Conjuntos totalmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.4 Um pouco mais de nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .787.5 Conjuntos Bem Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .847.6 Conjuntos semelhantes e tipos ordinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.7 Operaoes com tipos ordinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c88 3. Matemtica Elementar - Primeiro Semestre de 2012 a 19 de maio de 2012 4. 2SUMARIO 5. Cap tulo 1Tipos de Provas1.1 introduo caUma das principais atividades dos matemticos classicar como verdadeiras ou falsas aeas sentenas que surgem em seu trabalho. A veracidade de uma sentena, em geral, c c obtida atravs de uma demonstraao. Uma demonstrao s considerada corretae ecca o ese todas as sentenas usadas na sua construo forem verdadeiras, ou admitidas comoccaverdadeiras em contextos anteriores. No existem regras para se fazer uma demonstraao.acE nem poderiam mesmo existir, pois o mistrio que envolve a sua elaboraao um dos e c emotores que faz da Matemtica um organismo vivo. Segundo o matemtico hngaroa auPaul Erds (1913-1996), Deus possuiria um livro no qual estariam guardadas as provasomais perfeitas dos teoremas matemticos. Ainda segundo Erds, voc poderia at nem aoe eacreditar em Deus, mas como matemtico deveria acreditar no Livro. Para o matemtico a aingls Goodfrey Hardy (1877-1947), o quesito beleza fundamental. No mundo, parae eele, no haveria lugar para matemtica feia. Depreende-se de sua armaao que, alm daaac ebusca pela verdade, pelo conhecimento da prova de um resultado, o matemtico tambm a epersegue a beleza. Uma bela prova de um resultado dif o sonho de todo matemtico. cil e a1.2 Provas diretasH basicamente dois tipos de demonstraoes: as que so diretas e aquelas em que se acarecorre ao mtodo da reduao ao absurdo. Em uma demonstraao direta mostramoseccque, a partir das informaoes fornecida(s) pela(s) hiptese(s), podemos concluir a tese. c oIsso em geral obtido atravs de relaoes entre os fatos que esto sendo admitidos na(s)e e c a 3 6. 4 CAP ITULO 1. TIPOS DE PROVAShiptese(s) e fatos que so conhecidos previamente. Veremos nos exemplos a seguir alguns o aexemplos desse tipo de demonstraao.c1. Imagine a seguinte armaao: Se um aluno est matriculado na turma de Matemtica caaElementar ento ele paraibano. Essa armao falsa pois temos alunos na aeca eturma que nasceram em outros estados. Basta um aluno que satisfaa a hiptesec odessa armaao mas que no satisfaa a tese dessa armaao para torn-la falsa. c a cc aAgora analisemos a outra armao: Se um aluno est matriculado na turma decaaMatemtica Elementar ento ele brasileiro. Como no temos alunos estrangeiros aae amatriculados no curso, somos levados a concluir que todos so brasileiros. Tambm a epoder amos ter perguntado, aluno por aluno, qual a sua nacionalidade e veramosque todos so brasileiros. Isso uma demonstraao direta desse fato. aec2. Se m e n so nmeros pares ento a soma m + n um nmero par. Vamos a u a e udemonstrar esse fato. Em primeiro lugar, vamos identicar claramente o nossoobjetivo. Queremos provar que um certo nmero par. Muito bem! Mas o queu esiginca um nmero ser par? Aqui precisamos recordar a deniao. Um nmero uc uinteiro b ser chamado par se puder ser escrito na forma b = 2a, onde a um aenmero inteiro. A sentena que assumimos como verdadeira que m e n so uceanmeros inteiros pares. Isso quer dizer que m = 2p e que n = 2q, com p e q sendo uinteiros. Portanto, m + n = 2p + 2q = 2 (p + q) , pela propriedade distributiva damultiplicao com relaao ` adiao. Como p + q tambm um nmero inteiro,cac a ce eupodemos cham-lo de r. Da temos que m + n = 2r, o que comprova ser m + n uma,nmero par. u3. Se n um nmero inteiro ento n2 +n um nmero inteiro par. Inicialmente vamose uae usupor que n seja um inteiro par. Ento n = 2k, onde k um inteiro. Portanto,a en2 + n = (2k)2 + 2k = 4k 2 + 2k = 2k (2k + 1) = 2m,onde m = k (2k + 1) , de modo que n2 + n par. eSuponhamos agora que n e mpar. Ento n = 2k +1, onde k um inteiro. Portanto, ae n2 + n = (2k + 1)2 + (2k + 1) = 4k 2 + 4k + 1 + 2k + 1 = 2 2k 2 + 3k + 1 = 2m,onde m = 2k 2 + 3k + 1, de modo que n2 + n par, tambm nesse caso. eexy4. Seja M = uma matriz triangular superior 2 2 e suponha que x, y e z0 zso inteiros. Vamos demonstrar que as seguintes armaoes so equivalentes. aca 7. 1.3. PROVAS POR REDUCAO AO ABSURDO 5(a) det M = 1,(b) x = z = 1, (c) x + z = 2 e x = z.O que se arma nesse resultado que a b, a c, b c. Para isso, dever eamosprovar que a b, b a, a c, c a, b c e c b. Na prtica no fazemos aaassim. A idia usar uma certa transitividade que existe nas implicaoes e provar, e e cpor exemplo, que a b c a. Poder amos provar tambm que a c, c b eeque b a. Tambm poder e amos, alternativamente, provar que a c, c a, a be b a. O que fundamental na escolha da seqncia que ela traduza o fato de eue eque as sentenas sejam equivalentes entre si. cVejamos ento a prova de que a b, b c e c a. aVamos provar que a b. Suponha que det M = 1. Da temos que xz = 1. Como ,x e z so nmeros inteiros, devemos ter x = 1 = z ou x = 1 = z. a uProvemos agora que b c. Suponha que x = z = 1. Primeiro vamos supor quex = z = 1. Ento x + z = 2. Suponhamos agora que x = z = 1. Ento x + z = 2.a aDa x = z e x + z = 2.Provemos agora que c a. Como x + z = 2, devemos ter (x + z)2 = 4. Assim,x2 + 2xz + z 2 = 4. Como x = z, devemos ter x2 = z 2 . Dessa forma, 4 = 4xz, ouseja, xz = 1. Como det M = xz, conclu mos que det M = 1.1.3 Provas por reduo ao absurdo caVejamos agora como se processa uma demonstraao por reduao ao absurdo ou porcccontradio. Vamos supor que estamos interessados em provar um determinado fato.caSe no soubermos como faz-lo diretamente, como nos exemplos acima, ento podemosae asupor que tal fato no ocorra. Usamos ento a hiptese - que admitida como verdadeiraaa o e- e essa informaao adicional, a negaao do que se est tentando demonstrar. Atravsc c a ede uma sucesso de argumentos usando fatos conhecidos e esses fatos novos, chega-se a aalgo contraditrio, absurdo, como por exemplo a negao da hiptese ou a violao deo cao cauma verdade anteriormente aceita. Veremos a seguir trs exemplos de demonstraoes por e creduao ao absurdo.c1. Se m2 um nmero par, vamos demonstrar que m um nmero par. Vamos negar e u e ua tese, isto , supor tambm que n seja ee mpar. Aqui precisamos da deniao. Um c 8. 6CAPITULO 1. TIPOS DE PROVASnmero inteiro b dito u empar quando ele puder ser escrito na forma b = 2a+1, sendoa um nmero inteiro. Assim, assumindo que m u e mpar, temos que m = 2a + 1,para algum inteiro a. Logo,m2 = 4a2 + 4a + 1 = 2 2a2 + a + 1.Mas 2a2 + a um inteiro. Chamando-o de p, temos que m2 = 2p + 1, ou seja,em2 um nmero e u mpar. Mas a hiptese era de que m2 era par. Logo isso que oobtivemos uma contradio, um absurdo. E de onde veio esse absurdo? Veio doe cafato de supormos que m era mpar. Logo, ele no pode ser a mpar e portanto ser anecessariamente par.2. Vamos provar que o nmero log10 3 irracional. Aqui cabe uma pergunta: o que u e um nmero irracional? Uma resposta meio evasiva poderia ser: um nmeroe uuirracional aquele que no racional. E um nmero racional aquele que pode ser a eue mescrito na forma n , com m e n sendo nmeros inteiros e n = 0. Portanto, vamosusupor que log10 3 seja racional, isto o mesmo que dizer que existem nmeroseu minteiros m, n tais que log10 3 = n . Usando as propriedades dos logar tmos, temos m10 n = 3. Elevando ambos os membros a n, temos 10m = 3n . Nessa igualdade temosalgo impossvel de acontecer, pois o nmero 10m par, enquanto que o nmero 3n u eue mpar. Esse absurdo veio de supormos que o nmero log3 10 era racional. Comous existem duas possibilidades para ele e, ele no pode ser racinal, ele s pode ser oa oirracional.3. Vamos mostrar que no existem nmeros inteiros a u mpares a, b, c, d, e, f tais que:1 1 1 1 1 1 + + + + + = 1.a b c d e fSuponhamos, por absurdo, que existam os tais nmeros. Ento usando as pro-uapriedades de soma de fraoes, temos que:cbcdef + acdef + abdef + abcef + abcdf + abcde= 1, abcdefou seja,bcdef + acdef + abdef + abcef + abcdf + abcde = abcdef.Agora vamos olhar para os dois lados dessa igualdade. Do lado esquerdo cadaparcela um nmero e u mpar, pois igual a um produto de nmeros eumpares. Como 9. 1.3. PROVAS POR REDUCAO AO ABSURDO 7 so seis parcelas, a sua soma resultar num nmero par. Do lado direito, temosaau um produto de nmeros umpares, cujo resultado um nmero e u mpar. Aqui temos uma contradiao: um nmero que ao mesmo tempo par e c u empar. Como essa contradio surgiu? Surgiu do fato de termos armado a existncia dos nmeros caeu mpares satisfazendo aquela propriedade. Portanto, os tais nmeros no existem. u a 4. Vamos mostrar que2 um nmero irracional. Negar que e u2 seja um nmero u irracional dizer que ele racional. Sendo ento ele racional, existem m e n in-e ea teiros tais que 2 = m . Esse ser o ponto de partida que nos conduzir a umaa an contradio. Como 2 = m , podemos supor que os fatores comuns de m e de ncan j foram cancelados. Isso absolutamente plausaevel, uma vez que estamos lidando com fraes. Vamos elevar ambos os membros ao quadrado. Feito isso, teremoscom2 2= n2 , ou seja, m2 = 2n2 . Essa ultima igualdade nos diz que m2 par. Como e vimos acima, isso acarreta que m tambm par, ou seja, m = 2p, para algume e inteiro p. De volta aquela igualdade, vemos que m2 = 4p2 = 2n2 , ou seja, 2p2 = n2 , ` o que acarreta que n2 par e pelo mesmo motivo, n par. Agora vemos que tanto ee m como n so ambos pares, ou seja possuem um fator primo em comum. Mas issoa est em contradio a nossa hiptese. Logo, 2 no pode ser racional, ou seja, eleaca ` o a irracional. e 5. Sejam m e n inteiros. Vamos provar que mn e mpar se e somente se ambos m e n so a mpares. Como se trata de uma equivalncia, interessante identicarmos as ee duas sentenas que a compem. Uma delas diz que: se m e n so c o a mpares ento a mn um nmero e u mpar. A outra diz que: se mn e mpar ento m e n so a a mpares. Comecemos pela primeira delas. Suponhamos que m e n sejam mpares. Ento a m = 2p + 1 e n = 2q + 1, onde p e q so nmeros inteiros. Agora note quea u mn = (2p + 1) (2q + 1) = 4pq + 2p + 2q + 1 = 2 (2pq + p + q) + 1 = 2r + 1, onde r = 2pq + p + q. Da podemos concluir que mn um nmero e u mpar. Suponhamos agora que o produto mn e mpar. Vamos supor, por absurdo, que pelo menos um deles - m ou n - par. Digamos que m seja par (se fosse n o racioc e nio seria anlogo). Ento m = 2k, onde k um nmero inteiro. Logo aa e umn = 2kn = 2r, onde r = kn. Assim, mn um nmero par. Mas isso uma contradiao, poise u e c 10. 8 CAP ITULO 1. TIPOS DE PROVASestamos supondo que o produto e mpar. Logo, nenhum dos dois - m e n - podeser par, donde ambos so a mpares, como queramos. 11. Cap tulo 2Conjuntos2.1 Introduo caO termo conjunto no ser denido. Para ns ele ser um sinnimo de coleao oua ao a ocagrupamento de objetos. Esses objetos sero chamados os seus elementos. A natureza ados elementos de um conjunto pode ser bastante diversa. Podemos ter conjuntos decanetas, cores, bolas, nmeros, funoes, matrizes, etc. Um dos pioneiros no estudoucdos conjuntos foi o matemtico alemo Georg Cantor (1845-1918) que fez relevantes a acontribuies ` Teoria dos Conjuntos quando estava estudando sries trigonomtricas. co a e e9 12. 10CAP ITULO 2. CONJUNTOSObservao 2.1.1 O ponto de vista aqui usado chamado de ingnuo, pois no se cae e afaz uso de axiomas para construir uma teoria. O outro ponto de vista o axiomtico, eaonde se enunciam axiomas para se construir de modo rigoroso toda a teoria. Dentre osmodos axiomticos de tratar a teoria dos conjuntos, destacamos o modelo axiomtico de a aZermelo-Fraenkel desenvolvido pelos matemticos Ernest Zermelo (1871-1953) e Adolf aFraenkel (1891-1965).2.2 Denioes Bsicas caIntroduziremos agora uma srie de termos e denioes que encontraremos pela frente noe cdecorrer do curso. Sejam A um conjunto e a um objeto. Se a for um elemento de Aescreveremos a A para simbolizar esse fato. Caso o elemento a no seja um elemento ade A, escreveremos a A, para simbolizar isso.Para repesentarmos um conjunto podemos escrever todos seus elementos entre chaves,quando isso for possvel. Tambm podemos descrever um conjunto por uma propriedadeecomum que todos os seus elementos possuam. Uma outra representao muito util dos caconjuntos feita atravs dos chamados Diagramas de Venn criados pelo lgico inglsee o eJohn Venn (1834-1923). Um Diagrama de Venn uma curva fechada no plano, tendo e 13. 2.2. DEFINICOES BASICAS11em seu interior os elementos do conjunto, conforme o conjunto da gura a seguir. Noconjunto M esto representadas as vogais.aVamos discutir agora alguns exemplos.Exemplo 2.2.1 Seja A o conjunto das letras da palavra Atordoado. Ento podemosaescrever simplesmenteA = {a, t, o, r, d} .Exemplo 2.2.2 Existem quatro conjuntos numricos que estudamos desde os primeiroseanos na escola. So eles o conjunto dos nmeros naturais, representado por a u N = {1, 2, 3, ...} .O conjuntos dos nmeros inteiros, representado por u Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, ...} .O conjunto dos nmeros racionais, representado poru m Q=; m, n Z com n = 0 . nE nalmente o conjunto dos nmeros reais, simplesmente representado por R.uExemplo 2.2.3 Seja A o conjunto dos nmeros reais maiores ou iguais a 2. Evident- umente no podemos listar todos os elementos de A como foi feito no exemplo precedente. aPorm, podemos escrever e A = {x R; x 2} . 14. 12 CAPITULO 2. CONJUNTOSNa notao acima utilizamos a propriedade comum aos elementos de A para, ao invs caede listar os seus elementos, darmos um critrio de quando um elemento pertence ou no e aao dito conjunto. Mais especicamente: para que um nmero real pertena ao conjuntoucA, preciso que ele seja maior que ou igual a 2. eObservao 2.2.1 Existe um conjunto muito importante em Matemtica que o con- caa ejunto que no possui elemento algum. Este conjunto ser chamado de conjunto vazio aae ser representado por que uma letra do alfabeto noruegus. Podemos descrever aeeo conjunto vazio atravs de uma propriedade que no satisfeita por qualquer objeto.ea ePor exemplo, o conjunto {x R; x > x + 1} vazio, uma vez que essa propriedade no ea satisfeita por nenhum nmero real.eu2.3 InclusoaUma importante relao entre conjuntos a relao de incluso que veremos a seguir. cae ca aDados dois conjuntos A e B, diremos que A um subconjunto de B se todo elementoe mbolo A B para denotar este fato.de A for tambm elemento de B. Usaremos o s eSimbolicamente podemos escrever: A B quando (x) (x A x B )Uma maneira de visualizar a incluso de conjuntos utilizando os diagramas de Venn estaamostrada abaixo. Na gura temos A B. 15. 2.3. INCLUSAO 13Quando A no for um subconjunto de B, simbolizaremos isso por A B. Isso siginicaaque existe pelo menos um elemento de A que no pertence a B.aObservao 2.3.1 Existem na literatura outros termos que tambm signicam que A caeeum subconjunto de B. Diz-se tambm que A est contido em B, que A uma partee a ede B, que B um superconjunto de A, ou que B contm A.e eObservao 2.3.2 A notao A B, no nosso curso indicar o fato de que A um caca a esubconjunto de B mas que diferente dele. Diz-se nesse caso que A um subconjunto e eprprio de B.o caObservao 2.3.3 E preciso ter bastante cuidado no uso dos smbolos e . Em algunscasos um conjunto pode ser, ele mesmo, elemento de um outro conjunto.Veremos agora alguns exemplos.Exemplo 2.3.1 Sejam A e B conjuntos dados respectivamente por A = {1, 3} e B ={1, 2, 3, 4} . Temos que A B e que B A.Exemplo 2.3.2 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} . Nesse caso no temos nem A Banem B A.Exemplo 2.3.3 Seja A = {a, b, c} . As armaes a A e {a} A so ambas ver- coadadeiras. Agora, se A = {{a} , b, c} , ento as armaes a A e {a} A so ambasacoafalsas.Veremos agora algumas propriedades da incluso de conjuntos.aTeorema 2.3.1 Se A, B e C so conjuntos ento valem as seguintes propriedades: a a(i) A A,(ii) A,(iii) Se A B e B C, ento A C, aDemonstrao: A primeira propriedade decorre imediatamente da deniao de in- caccluso.aProvemos a segunda. Ela equivale a provar que se a ento a A. Como umaaimplicaao deste tipo ser sempre verdadeira, uma vez que a hiptese nunca acontece, ca o 16. 14CAP ITULO 2. CONJUNTOSsomos levados a concluir que vale a propriedade (ii).Para mostrar que A C, devemos mostrar que, dado a A, temos que a C. Ora, masdado a A, segue que a B, por hiptese e, tambm por hiptese, segue que a C,oe ocomo quer amos.Surge agora uma importante pergunta: Quando dois conjuntos so iguais? A respostaamais simples dizer que eles so iguais quando tiverem os mesmos elementos. Para os e anossos propsitos usaremos uma deniao que bem mais fcil de se trabalhar que a oce aeseguinte: Dados dois conjuntos A e B diremos que ele so iguais e representamos issoapor A = B, se A B e B A.Exemplo 2.3.4 Os conjuntos A = {a, t, o, r, d} e B = { letras da palavra atordoado }so iguais. aExemplo 2.3.5 Os conjuntos A = {x R|x2 5x + 6 < 0} e B = {x R|2 < x < 3}so iguais. De fato, seja x A. Assim, x2 5x+6 < 0. Mas x2 5x+6 = (x 2) (x 3) . aAssim, se x A, ento (x 2) (x 3) < 0. Portanto, devemos tera 1. (x 2) > 0 e (x 3) < 0 ou 2. (x 2) < 0 e (x 3) > 0.No primeiro caso, devemos ter x > 2 e x < 3, ou seja, 2 < x < 3. No segundo caso,devemos ter x 2 < 0 e x 3 > 0. Como no existem nmeros satisfazendo as essas duas a ucondies simultaneamente, esse caso no pode ocorrer. Logo, devemos ter 2 < x < 3, co aou seja, x B.Seja x B. Ento x 2 > 0 e x 3 < 0, donde x2 5x + 6 = (x 2) (x 3) < 0, ou aseja, x A.Observao 2.3.4 A denio de igualdade entre conjuntos possui interessantes pro- ca capriedades, a saber: Se A, B e C so conjuntos ento vale o seguinte a a 1. A = A, 2. se A = B ento B = A,a 3. se A = B e B = C ento A = C.a 17. 2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS 15Como vimos anteriormente, um conjunto pode ser elemento de um outro conjunto. Vamosnos aprofundar um pouco mais nessa idia e denirmos um importante conjunto cujos eelementos so conjuntos. Seja A um conjunto. Denimos o Conjunto das Partes de A acomo sendo o conjunto cujos elementos so os subconjuntos de A. Vamos represent-lo a apor (A) . Em smbolos: (A) = {X|X A} .Exemplo 2.3.6 Se A = {a} ento (A) = {, {a}} .aExemplo 2.3.7 Se A = , ento () = {} . aExemplo 2.3.8 Se A = {a, b} ento (A) = {, {a} , {b} , {a, b}} . aObservao 2.3.5 O conjunto (A) nunca vazio pois o conjunto vazio subconjunto ca e ede todo conjunto.Observao 2.3.6 Se o conjunto A tiver n elementos ento o conjunto (A) ter 2n ca aaelementos. No vamos provar isso agora. Primeiro vamos entender o que signica teran elementos. Isso car para breve quando estivermos falando de conjuntos nitos eainnitos.2.4 Operaes com conjuntos coA nossa idia agora formar novos conjuntos a partir de outros. A formao desses novose e caconjuntos usar fortemente os termos e, ou e no vistos na disciplina de Argumentaaoa a cem Matemtica.aSejam A e B conjuntos. A unio de A e B o conjunto dos elementos que pertencem aa epelo menos um dos dois conjuntos A ou B. Vamos represent-la por A B. Em sa mbolostemos A B = {x|x A x B} .Em outras palavras, o conjunto A B o conjunto contendo todos os elementos que eesto em A, em B ou em ambos. Na gura a seguir temos uma representaao de A B acem um diagrama de Venn. Nessa gura A e B esto contidos num conjunto maior U adenominado Conjunto Universo. 18. 16 CAPITULO 2. CONJUNTOS Sejam A e B conjuntos. A interseo de A e B o conjunto dos elementos que ca epertencem a ambos os conjuntos A e B. Vamos represent-la por A B. Em s a mbolostemosA B = {x|x A x B} .Na gura a seguir temos uma representaao de A B em um diagrama de Venn. Nessacgura A e B esto contidos num conjunto maior U denominado Conjunto Universo. aExemplo 2.4.1 Sejam A = {x, y, z, p} e B = {x, q} . Ento A B = {x, y, z, p, q} e aA B = {x} .Exemplo 2.4.2 Sejam A = {p N|p um nmero par} e B = {p N|p um nmero e u e u mpar} .Ento A B = N e A B = . aObservao 2.4.1 Vemos imediatamente da denio que A, B A B e que A B cacaA, B.Observao 2.4.2 Se A e B so conjuntos tais que A B = , diremos que A e B so caa aConjuntos disjuntos. 19. 2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS 17Reuniremos no Teorema a seguir as principais propriedades das Unio e da Interseao de acconjuntos:Teorema 2.4.1 Sejam A, B e C conjuntos. Ento valem as seguintes propriedades: a1. Se X A e X B ento X A B, a2. Se A Y e B Y ento A B Y, a3. Comutatividade A B = B A, e A B = B A,4. Associatividade (A B) C = A (B C) , e (A B) C = A (B C) ,5. Distributividade A (B C) = (A B) (A C) e A (B C) = (A B) (A C)6. Identidade A = A e A = ,7. Idempotncia A A = A e A A = A,e8. Absoro Se A B ento A B = B e A B = A,caa9. Monotonicidade Se A B ento A C B C e A C B C.aDemonstrao: Todas as propriedades decorrem das denies. Vamos provar uma ca codas igualdades da propriedade (5), cando outra igualdade e as demais como exercciopara o leitor. Seja x A (B C) . Ento x A e x B C. Assim, x B ou ax C. No primeiro caso, temos que x A B, enquanto que no segundo, temos quex A C. Em qualquer dos casos teremos ento x (A B) ou x (A C) , ou seja,ax (A B) (A C) , provando que A (B C) (A B) (A C) . Seja agorax (A B) (A C) . Ento x A B ou x A C. No primeiro caso, temos que ax A e x B. Como x B, segue que x B C. Portanto, do primeiro caso, con- mos que x A (B C) . Por um raciocclu nio totalmente anlogo conclu a mos que,ocorrendo o segundo caso, teremos x A (B C) . Portanto, em qualquer dos casosteremos x A (B C) , mostrando que (A B) (A C) A (B C) . Portanto,a igualdade est provada. aObservao 2.4.3 Os adjetivos dados a algumas das propriedades acima vm dos mes- ca emos adjetivos dados a propriedades anlogas que os nmeros e as operaes com eles auco 20. 18CAP ITULO 2. CONJUNTOSdenidas possuem. Apenas a ttulo de curiosidade, vamos atentar para a propriedadedistributiva do produto com relao ` adio que nos diz que se x, y e z so nmerosca a ca a ureais, entoa x (y + z) = x y + x z.Perceba a analogia existente entre essa propriedade e aquela que vlida para conjuntos. e aSejam A e B conjuntos. A Diferena entre A e B o conjunto dos elementos quecepertencem ao conjunto A mas que no pertencem ao conjunto B. Vamos represent-la aapor A B. Em s mbolos temos A B = {x|x A x B} .Na gura a seguir temos uma representao de A B em um diagrama de Venn. Nessacagura A e B esto contidos num conjunto maior U denominado Conjunto Universo. aExemplo 2.4.3 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} . Ento A B = a{1, 2, 3} . Tambm vemos que B A = {7, 8, 9, 10} .eExemplo 2.4.4 Se A = N e B = {x N|x > 10} . Ento AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} . aNesse caso, B A = , uma vez que B A.Vejamos agora as principais propriedades da diferena de conjuntos. cTeorema 2.4.2 Sejam A, B e C conjuntos. Ento valem as seguintes propriedades: a 1. A B A, 2. (A B) B = , 3. A B = A B, 21. 2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS 194. Se A B, ento A C = A (B C) ,a5. Se A B, ento C B C A,a6. C (A B) = (C A) (C B) e C (A B) = (C A) (C B) ,Demonstrao: Vamos provar apenas uma das igualdades da parte (6), deixando a caoutra e as demais propriedades como exerc para o leitor. Seja x C (A B) . Ento cioax C e x AB. Assim conclu mos que x A e x B. Como x C e x A, temos quex (C A) . Analogamente, x C e x B, da x (C A) (C B) , acarretando ,que C (A B) (C A) (C B) . Suponha agora que x (C A) (C B) .mos que x C A e que x C B. Logo, x C e x A e x B. Assim,Conclux C (A B) . Isso acarreta que (C A)(C B) C (A B) , donde a igualdadeest provada. aObservao 2.4.4 A propriedade (6) conhecida como as Leis de De Morgan, em caehomenagem ao matemtico Augustus de Morgan.aA existncia de um conjunto de todos os conjuntos, ou um conjunto universo leva a ealgumas contradioes na Teoria dos Conjuntos. Entretanto, tomando-se o devido cuidado,cpodemos assumir essa hiptese sem problemas. Faremos isso a seguir para denirmosoum importante conjunto. Suponha que U seja um conjunto universo e que A U. OComplementar de A com relao a U o conjunto U A. Vamos represent-lo porcaeaA . Na gura a seguir temos uma representao de A em um diagrama de Venn. Nessacagura A e B esto contidos num conjunto maior U . aSupondo que A e B estejam contidos em um conjunto universo U, podemos dar algumaspropriedades dos complementares: 22. 20 CAPITULO 2. CONJUNTOSTeorema 2.4.3 Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo U. Ento valem as aseguintes propriedades: 1. A B = A B , 2. (A ) = A, 3. = U e U = , 4. A A = e A A = U, 5. A B B A , 6. (A B) = A B , 7. (A B) = A B .Demonstrao: A demonstrao feita usando as denies e o Teorema (2.4.2). Deix- caca e coamos para o leitor como exerc cio. 23. Cap tulo 3Fam lias indexadas de conjuntosVamos supor que I seja um conjunto no-vazio e que, a cada i I, esteja associado umaconjunto Ai . O conjunto F cujos elementos so os conjuntos Ai chamado de Famae liade conjuntos indexada pelo conjunto I. O conjunto I chamado de Conjunto deendices. Em geral usa-se a notaao {Ai }iI para se representar a fam F. Uma outraclianotaao F = {Ai |i I} .c eSe F uma fam indexada por I, diremos que A F se existir i I de tal modo que eliaA = Ai .Exemplo 3.0.5 A famlia A1 = {1, 2} , A2 = {2, 4} , ..., An = {n, 2n} , ... uma famlia ede conjuntos indexada pelo conjunto N.Exemplo 3.0.6 A famlia A = , A = N, A = Z, A = Q e A = R uma famlia eindexada pelo conjunto I = {, , , , } .Veremos agora como denir a unio e a interseo de elementos em uma fam a ca lia. Seja Fuma fam indexada pelo conjunto I. Denimos a Unio dos conjuntos de F como liaasendo o conjunto Ai = {x|x Ai , para algum i I} . iIA Interseo dos conjuntos de F o conjunto ca eAi = {x|x Ai , para todo i I} .iIExemplo 3.0.7 Seja F = {[n, n] |n N} . Ento aAn = RnN21 24. 22CAP ITULO 3. FAM ILIAS INDEXADAS DE CONJUNTOSe An = [1, 1] . nNExemplo 3.0.8 Para cada n N, considere a famlia1 1 F= ,|n N .n nEnto a nN Cn = [1, 1] enNCn = {0} .Reuniremos agora no Teorema abaixo as principais propriedades de unies, interseoes eo cdiferenas entre fam clias de conjuntos:Teorema 3.0.4 Sejam I um conjunto no-vazio, {Ai }iI uma famlia de conjuntos in- a dexada por I, e B um conjunto. Ento:a 1. iI Ai Ak , para todo k I. Se B Ak , para todo k I, ento B a iI Ai , 2. Ak iI Ai , para todo k I. Se Ak B, para todo k I, ento aiI Ai B, 3. Lei distributiva B iI Ai =iI (B Ai ) , 4. Lei distributiva B iI Ai =iI (B Ai ) , 5. Lei de De Morgan B iI Ai =iI (B Ai ) , 6. Lei de De Morgan B iI Ai =iI (B Ai ) .Demonstrao: Provaremos apenas a parte (3), deixando as demais como exerc ca cio.Seja x B iI Ai . Ento x B e x aiI Ai . Assim, x Ak para algumk I. Assim, x B Ak . Dessa forma, x iI (B Ai ) , pela parte (1). As-sim B iI Ai iI (B Ai ) . Agora seja x iI (B Ai ) . Assim, x B ex Ak . Dessa forma, x iI Ai pela parte (1). Assim, x B iI Ai . Portanto,iI (B Ai ) B iImos que B Ai . Da conclu iI Ai =iI (B Ai ) . 25. Cap tulo 4Relaesco4.1Pares ordenadosSejam A e B conjuntos e a A e b B. O Par ordenado cujo primeiro elemento ea e o segundo elemento b , por deniao, o conjunto {{a} , {a, b}} . Vamos denot- e e calo por (a, b) . A principal propriedade dos pares ordenados aquela que diz respeito ae `igualdade entre dois deles. Sendo mais especcos, temos o seguinteTeorema 4.1.1 (a, b) = (c, d) se e somente se a = c b = d.Demonstrao: De fato, se a = c e b = d ento (a, b) = (c, d) , imediatamente. Suponha caaagora que (a, b) = (c, d) . Ento os conjuntos {{a} , {a, b}} e {{c} , {c, d}} so iguais. Da aaconclumos que a = c e que b = d.Observao 4.1.1 Daqui por diante e, em praticamente toda a sua vida, voc s vai cae outilizar o smbolo (a, b) para falar do par ordenado cujo primeiro elemento a e o segundoe b.e4.2Produto cartesianoSejam A e B conjuntos. O Produto cartesiano de A por B, denotado por A B, oeconjunto dos pares ordenados cujo primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundoelemento pertence ao conjunto B. Em s mbolos:A B = {(a, b) | a A b B} . 23 26. 24 CAPITULO 4. RELACOESExemplo 4.2.1 Se A = {a, b} e B = {1, 2, 3} , ento aA B = {(a, 1) , (a, 2) , (a, 3) , (b, 1) , (b, 2) , (b, 3)} .Exemplo 4.2.2 Se A = {1, 3, 5} , entoaA A = {(1, 1) , (1, 3) , (1, 5) , (3, 1) , (3, 3) , (3, 5) , (5, 1) , (5, 3) , (5, 5)} .Algumas das principais propriedades do produto cartesiano de dois conjuntos esto lis- atadas no Teorema a seguir. Vamos provar apenas uma e deixar o restante como exerc cio.Teorema 4.2.1 Sejam A, B e C conjuntos. Ento valem as propriedades: a 1. Se A B C D ento A C B D,a 2. A (B C) = (A B) (A C) , 3. (B C) A = (B A) (C A) , 4. A (B C) = (A B) (A C) , 5. (B C) A = (B A) (C A) , 6. (A B) (C D) = (A C) (B D) .Demonstrao: Vamos provar a propriedade (2) . Seja (a, b) A (B C) . Ento ca aa A e b B C. Assim, b B ou b C. No primeiro caso, teremos (a, b) A B AB AC. No segundo teremos (a, b) AC AB AC. Portanto, em qualquerdos casos teremos A (B C) A B A C. Seja agora (a, b) A B A C.Ento h dois casos: (a, b) A B ou (a, b) A C. Se ocorrer o primeiro caso, ento a aaa A e b B B C, ou seja (a, b) A (B C) . Se ocorrer o segundo caso, entoa(a, b) A C. Da a A e b C B C, ou seja, (a, b) A (B C) . Portanto,,qualquer que seja o caso, temos A B A C A (B C) .Observao 4.2.1 Em geral A B = B A. D um exemplo para ilustrar isso. ca eObservao 4.2.2 Se B = A ento A B ser denotado por A2 ou B 2 . caa aObservao 4.2.3 Pode-se denir o produto cartesiano sem necessariamente se fazer cameno a pares ordenados. Esse ponto de vista ser abordado quando formos denir caaprodutos cartesianos de uma quantidade innita de conjuntos. Isso ser feito no curso ade Matemtica Elementar II.a 27. 4.3. RELACOES 254.3Relaes coSejam A e B conjuntos. Uma Relao binria ca a de A em B ou simplesmente umaRelaoca de A em B qualquer subconjunto de A B. eObservao 4.3.1 Se B = A ento diremos que caa uma relao em A ou sobre A.e caObservao 4.3.2 Se (x, y) ca, escreveremos x y. Caso contrrio, isto , se (x, y) ae , escreveremos x y, para simbolizar isso.Exemplo 4.3.1 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {x, y, z} e= {(1, y) , (1, z) , (2, y)} umaerelao de A em B.caExemplo 4.3.2 Sejam A = B = R e = {(x, y) R2 |x2 + y 2 1} . Ento a uma erelao de R em R ou simplesmente uma relao em R. Geometricamente ela pode sercacarepresentada por um crculo de centro na origem e raio 1, conforme a gura a seguir. Exemplo 4.3.3 Sejam A = B = R e denida por x y x + 2y = 1. Geometrica-mente podemos represent-la por uma reta no plano. aExemplo 4.3.4 Seja X = {1, 2, 3} . Em A = (X) = {, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3}}podemos denir a seguinte relao: P Q P Q. Observe que X, qualquer que sejacaX {1, 2, 3} . Temos {1}{1, 2} e {2}{1, 3} .Exemplo 4.3.5 Podemos denir em A = Z a seguinte relao caa b a b divisvel por 5.eObserve que 8 2, 4 6 e 39. Esa relao ser estudada bastante por ns em doisca aomomentos. O primeiro quando estudarmos Relaes de Equivalncia e o segundo, quando co eestudarmos Teoria dos Nmeros. u 28. 26 CAPITULO 4. RELACOESExemplo 4.3.6 Seja A = M22 (R) , o conjunto das matrizes quadradas 2 2. Em Adenimos a seguinte relao:caX Y x11 + x22 = y11 + y22 .Exemplo 4.3.7 Seja A o conjunto das retas no plano. Em A, podemos denir a seguinterelao:car s r paralela a s.eObservao 4.3.3 Observe que em quase todos os exemplos acima no dissemos quem caaeram explicitamente os pares ordenados que pertenciam ` relao. Ao invs disso, disse-a ca emos quando dois elementos se relacionam. E muito importante que voc se convena de e cque isso que zemos equivalente a dar os pares ordenados da relao.e ca4.4 Dom nio e ImagemSejauma relaao de A em B. O conjunto formado pelos primeiros elementos dos parescordenados que pertencem a chamado de Dome nio da relaocae representado porD ( ) ou por Dom ( ) . Em s mbolosD ( ) = {a A| Existe b B tal que (a, b) }.A Imagem de , por sua vez, o conjunto formado pelos segundos elementos dos pares eordenados que pertencem a. Vamos denot-la por I ( ) ou Im ( ) . Em sambolosI ( ) = {b B| Existe a A tal que (a, b) }.Exemplo 4.4.1 No caso do exemplo (4.3.1), temos que D ( ) = {1, 2} e I ( ) = {y, z} .Exemplo 4.4.2 No caso do exemplo (4.3.2), temos que D ( ) = [1, 1] e I ( ) =[1, 1] .Exemplo 4.4.3 No caso do exemplo (4.3.3), temos que D ( ) = I ( ) = R.4.5 Relao Composta e Relao Inversaca caSejam A, B e C conjuntos e R uma relaao de A em B e S uma relaao de B em C. A ccRelao Composta de S e R relao de A em C, denotada por S R, e denida porcae caS R = {(a, c) A C| Existe b B tal que (a, b) R (b, c) S} .Vejamos agora alguns exemplos: 29. 4.5. RELACAO COMPOSTA E RELACAO INVERSA27Exemplo 4.5.1 Sejam A = {1, 2, 3, 4} , B = {x, y, z, w} e C = {5, 6, 7, 8} e as relaescoR de A em B e S de B em C denidas, respectivamente, por R = {(1, x) , (1, y) , (2, x) , (3, w) , (4, w)}e S = {(y, 5) , (y, 6) , (z, 8) , (w, 7)} .Ento a S R = {(1, 5) , (1, 6) , (3, 7) , (4, 7)} .Exemplo 4.5.2 Sejam A = B = C = R e as relaes em A denidas por coR = (x, y) R2 |x2 + y 2 = 1eS = (y, z) R2 |2y + 3z = 4 .Se (x, y) R e (y, z) S, ento a x2 + y 2 = 1e 2y + 3z = 4.4 3z16 24z + 9z 2Portanto, y =o que acarreta y 2 = . Logo, 2416 24z + 9z 2 x2 + = 1,4ou seja, 4x2 24z + 9z 2 + 12 = 0e daS R = (x, z) R2 |4x2 24z + 9z 2 + 12 = 0 .Sejam A e B conjuntos euma relaao de A em B. A Relao Inversa de c ca a relaao e c1de B em A, denotada pore denida por 1 = {(b, a) B A| (a, b) }.Vejamos alguns exemplos 30. 28 CAPITULO 4. RELACOESExemplo 4.5.3 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b} e considere a relao de A em B cadenida por = {(1, a) , (1, b) , (1, c)} .Ento, por denio segue que aca 1= {(a, 1) , (b, 1) , (a, 3)} .Exemplo 4.5.4 Sejam A = B = R e considere a relao em A denida porca = (x, y) R2 |y = 2x .Vemos que1 = (y, x) R2 |y = 2x = (x, y) R2 |x = 2y .Exemplo 4.5.5 Sejam A = B = R e considere a relao em A denida porca= (x, y) |x2 + (y 2)2 1 .Ento vemos que a1 = (y, x) R2 |x2 + (y 2)2 1 ,ou seja,1 = (x, y) R2 | (x 2)2 + y 2 1 .Observao 4.5.1 Se ca uma relao de A em B ento valem as seguintes pro- e ca apriedades:1 1. D () = Im ( ), 1 2. I ( ) = D( )1 1 3. ( ) = .Todos esses fatos seguem das denies. Para treinar no uso delas sugerimos que vocco eprove-os como exerccio. 31. 4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 294.6Relaes de Equivalncia co eH dois tipos muito importantes de relaoes: as Relaes de Ordem e as Relaoes de a c o cEquivalncia. Aqui vamos estudar as Relaoes de Equivalncia. Para isso, deniremos ec ealguns termos.Denio 4.6.1 Seja A um conjunto e ca uma relao em A. Diremos queca uma erelao:ca Reexiva Se para todo x A, tivermos (x, x) A. Em outros termos, uma e relao reexiva se, para todo x A, tivermos x x. ca Simtrica Se (x, y) eimplicar (y, x) . Em outros termos, uma relao e ca simtrica se x y y x.e Transitiva Se (x, y) (y, z) implicar (x, z) . Em outros termos, uma e relao transitiva se x y y z x z. caVeremos agora vrios exemplos. aExemplo 4.6.1 Sejam A = {1, 2, 3, 4} ea relao em A denida porca= {(1, 1) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 1) ,Observe que:1. no reexiva pois (2, 2) .a e2. no simtrica pois (4, 1) a e e , mas (1, 4) .3. no transitiva pois (2, 4) a ee (4, 1) mas (2, 1) .Exemplo 4.6.2 Sejam A = R ea relao em A denida por x y x < y. Observe caque:1. no reexiva pois 1a e 1.2. no simtrica pois 1 2 mas 2a e e 1.3. transitiva pois se x, y, z R e x < y e y < z, ento x < z. eaExemplo 4.6.3 Sejam X = {1, 2, 3} e A = (X) . Dena em A a relao P Q P caQ. Observe que:1. reexiva pois, para cada P A, teremos P P uma vez que todo conjunto est ea contido em si mesmo. 32. 30CAP ITULO 4. RELACOES 2. no simtrica pois {1} mas {1} a e e. 3. transitiva pois se P Q e Q T ento teremos P Q e Q T e da P T,e a ou seja, P T.Exemplo 4.6.4 Sejam A = N ea relao denida em A por x y x divisor de y.1 Observe ca eque: 1. reexiva pois, para cada x A, temos que x divisor de x.e e 2. no simtrica pois 1 2 mas 2 a e e1. 3. transitiva pois se x y e y z ento y = k1 x e z = k2 y. Logo z = k1 k2 x, dondee a x z.Exemplo 4.6.5 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e a relao em A denida por ca= {(1, 3) , (4, 2) , (2, 4) , (2, 3) ,Observe que: 1. no reexiva pois (1, 1) . a e 2. no simtrica pois (2, 3) a e e mas (3, 2) . 3. no transitiva pois (1, 3) a e e (3, 1) mas (1, 1) .Exemplo 4.6.6 Sejam A = N ea relao em A denida por x y x + y = 8. caObserve que 1. no reexiva pois 3 a e3. 2. simtrica pois se x y ento x + y = 8 = y + x, logo y x.ee a 3. no transitiva pois 2 6 e 6 2 mas 2 a e 2.Exemplo 4.6.7 Sejam A = {a, b, c} e a relao em A porca = {(a, b) , (c, b) , (b, a) , (a, c)} .Observe que: 1. no reexiva pois (a, a) . a e 2. no simtrica pois (c, b) a e e mas (b, c) , 3. no transitiva pois (a, b) a e e (b, a) mas (a, a) . 1 Lembre que x ser divisor de y signica que existe um k N tal que y = kx. 33. 4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 31Agora podemos denir o que entendemos por uma Relao de Equivalncia.caeDenio 4.6.2 Sejam A um conjunto e cauma relao em A. Diremos que ca uma eRelao de Equivalncia se ela for reexiva, simtrica e transitiva.cae eVejamos alguns exemplosExemplo 4.6.8 Sejam A = Z e a relao denida em A por x y xy divisvel por 5.ca eObserve que:1. reexiva pois, para cada x A, temos que x x = 0 e 0 divisvel por 5. e e2. simtrica pois se x y ento x y divisvel por 5. Mas isso siginica que ee ae x y = 5k para algum k Z. Logo, y x = 5k = 5 (k) = 5p, donde conclumos que y x.3. transitiva pois se x y e y z ento x y = 5k1 e y z = 5k2 , com k1 , k2 Z. e a Da x z = 5 (k1 k2 ) = 5p, ou seja, x z. Exemplo 4.6.9 Sejam A o conjunto dos tringulos do plano ea a relao em A denidacapor S T S congruente a T. Observe quee uma relao de equivalncia em A.e caeExemplo 4.6.10 Sejam A = Q, o conjunto dos nmeros racionais e R a relao denidauca p sem A por pt = sq. Observe que:q t1. reexiva pois pq = pq. e pssp2. simtrica pois se ee ento pt = sq. Mas isso acarreta que a. qttq ps s u3. transitiva pois se eeento pt = sq e sv = tu. Logo pva = uq, ou seja, qt t v p u . q vExemplo 4.6.11 Sejam A o conjunto dos segmentos orientados do plano ou do espao eca relao em A denida por u v u e v tm o mesmo mdulo, mesma direo e mesmo sentido.cae ocaObserve que a relaoca de equivalncia.e eAps os exemplos, vamos denir alguns termos.oDenio 4.6.3 Sejam A um conjunto, cauma relao de equivalncia em A e a caeA. O conjunto dos elementos de A que se relacionam com a chamado Classe de eEquivalncia do elemento a e ser representado por [a] . Em smbolos: ea[a] = {b A|a b} . 34. 32 CAPITULO 4. RELACOESVejamos alguns exemplosExemplo 4.6.12 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e a relao de equivalncia denida em Acaepor = {(1, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (4, 4) , (1, 2) , (2, 1)} .Ento: a 1. [1] = {1, 2} , 2. [2] = {1, 2} = [1] , 3. [3] = {3} , 4. [4] = {4} .Exemplo 4.6.13 No exemplo (4.6.8) observe que: 1. [0] = {..., 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, ...} , 2. [1] = {..., 14, 9, 4, 1, 6, 11, 16, ...} , 3. [2] = {..., 13, 8, 3, 2, 7, 12, 17, ...} , 4. [3] = {..., 12, 7, 2, 3, 8, 13, 18, ...} , 5. [4] = {..., 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19, ...} ,Vamos agora provar uma importante propriedade das classes de equivalnciaeTeorema 4.6.1 Sejam A um conjunto,uma relao de equivalncia em A e a, b A,caedois elementos quaisquer. As seguintes condies sobre a e b so equivalentes:coa 1. a b, 2. a [b] , 3. b [a] , 4. [a] = [b] .Demonstrao: ca(1)(2) Suponha que a b. Ento, pela deniao de [b] , segue que a [b] .a c 35. 4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA33(2)(3) Suponha que a [b] . Ento a b. Como a simtrica, temos que b a. Da ee, b [a] .(3)(4) Suponha que b [a] e seja x [b] . Ento temos que b a e x b. Comoa e simtrica, segue que a b e b x. Pela transitividade dee segue que a x. Novamente usando a simetria de , segue que x a, e da x [a] . Logo [b] [a] . Seja x [a] . Da x a. Como b [a] e simtrica, temos que x b, ou seja, x [b] . Portanto ee [a] [b] .(4)(1) Como reexiva, segue que a [a] = [b] . Portanto, a b. e O teorema anterior traz algumas interessantes concluses:oCorolrio 4.6.1 [a] = [b] a b. aCorolrio 4.6.2 [a] [b] = [a] = [b] . aDenio 4.6.4 Sejam A um conjunto e cauma relao de equivalncia em A. O con- caejunto cujos elementos so as classes de equivalncia de a e chamado de ConjuntoeQuociente da relao ca e representado por A/ . Em smbolose A/ = {[a] |a A} .Vejamos alguns exemplos.Exemplo 4.6.14 No exemplo (4.6.8) temos A/ = {[0] , [1] , [2] , [3] , [4]} .Exemplo 4.6.15 No exemplo (4.6.12) temos A/ = {[1] , [3] , [4]} .Observao 4.6.1 Do Teorema (4.6.1) tiramos importantes concluses acerca das classes caode equivalncia:e1. Toda classe de equivalncia no vazia, isto , para todo a A, temos [a] = , e e a e2. Duas classes de equivalncia distintas so disjuntas, isto , [a] = [b] [a] [b] = .eae3. A unio de todas as classes de equivalncia igual ao conjunto A, isto ,ae e e aA [a] = A.Por causa das propriedades acima, diremos que o conjunto quociente de uma relao decaequivalncia e num conjunto A uma partio do conjunto A.eca 36. 34CAP ITULO 4. RELACOESDenio 4.6.5 Seja A um conjunto no vazio. Um subconjunto A (A) dito uma caaePartio do conjunto A se satiszer as seguintes condies: ca coP1 - X = para todo X A,P2 - Quaisquer que sejam X, Y A, vale X = Y X Y = ,P3 - XA = A.Exemplo 4.6.16 Seja A = {1, 2} . Ento as unicas parties de A so:a co a 1. A1 = {A} , 2. A2 = {{1} , {2}} .Exemplo 4.6.17 Seja A = {1, 2, 3} . Ento as unicas parties de A so: a co a 1. A1 = {A} , 2. A2 = {{1} , {2} , {3}} , 3. A3 = {{1} , {2, 3}} , 4. A4 = {{2} , {1, 3}} , 5. A5 = {{3} , {1, 2}} .Exemplo 4.6.18 Seja A = N e considere A = {A1 , A1 }, onde A1 = { naturais pares }e A2 = { naturais mpares } . Vemos que A uma partio de A. eca Se tivermos denida em um conjunto A uma relao de equivalncia ento o conjuntocaeaquociente fornece uma partio de A. Isso foi o que vimos anteriormente. O que provare- camos agora que dada uma partio de um conjunto A podemos denir uma relaao dee cacequivalncia em A e o conjunto quociente desta relaao justamente a partio dada. e c ecaTeorema 4.6.2 Seja A um conjunto no vazio e seja A uma partio de A. Dena emacaA a seguinte relao ca x y x, y pertencem ao mesmo conjunto da partio.caEnto a uma relao de equivalncia em A e A/ e cae = A. 37. 4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA35Demonstrao: Vejamos a reexividade. Dado x A temos, pela deniao de partiao, ca ccque ele pertence a algum membro, digamos X de A. Da x x, portanto, reexiva.eVejamos agora a simetria. Suponha que x y. Ento x, y esto no mesmo membro daaapartiao, ou seja, y x. Suponha agora que x y e que y z. Ento x e y pertencem ao c amesmo membro da partiao e y e z tambm. Como dois membros quaisquer da partiao ce cno se interceptam, segue que x e z pertencem ao mesmo membro da partiao. Assim ac de equivalncia. Vamos provar agora a ultima armaao. Seja X A. Ento dadoe e cax X, temos que [x] = X, portanto X A/ , ou seja A A/ . Seja agora a A econsidere a classe de equivalncia determinada por a. Ento, pela denio da relaao e a ca c ,a classe de equivalncia [a] coincide com o conjunto ao qual a pertence. Logo, [a] A. ePortanto A/ A..Exemplo 4.6.19 Considere A o conjunto dos alunos de nossa sala de aula. Se agrupar-mos os alunos em conjuntos formados por alunos que nasceram no mesmo ano, teremosuma partio do conjunto A. A relao de equivalncia associada a essa partio : o ca cae ca ealuno x est relacionado com o aluno y quando x e y tiverem nascido no mesmo ano. aExemplo 4.6.20 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e A = {{1, 2}, {3, 5}, {4, 6, 7}}. Essapartio de A induz uma relao de equivalncia ca caeem A dada por= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5), (4, 4), (4, 6), (4, 7), (6, 4), (6, 6), (6, 7), (7, 4), (7, 6)Exemplo 4.6.21 Encontre as relaes de equivalncia associadas `s parties dadas nos co ea coexemplos (4.6.16),(4.6.17) e (4.6.18). 38. 36 CAPITULO 4. RELACOES 39. Cap tulo 5Funes co5.1Denioes e nomenclaturacDenio 5.1.1 Sejam A e B conjuntos e f uma relao de A em B. Diremos que f caca euma funo de A em B se, para cada a A, existir um unico b B tal que (a, b) f. caObservao 5.1.1 Se f uma funo de A em B usaremos a notao f : A B para ca eca cadenotarmos isso.Exemplo 5.1.1 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6} e f = {(1, 5) , (2, 4) , (3, 5)} . Nessecaso, f uma funo de A em B.ecaExemplo 5.1.2 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6} e g = {(1, 5) , (2, 4) , (1, 6)} . Nessecaso, g no uma funo de A em B pois no existe b B de modo que (3, b) f. Alm a e caa edisso, temos (1, 5) f e (1, 6) f.Exemplo 5.1.3 Sejam C o conjunto das cidades, P o conjunto dos pases e h = {(c, p) C P | a cidade c est no pas p} . aComo cada cidade pertence a exatamente um pas, temos que h uma funo de C em ecaP.Exemplo 5.1.4 Sejam P o conjunto das pessoas e i = {(p, q) P P | A pessoa p genitor(a) da pesseObserve que como existem pessoas que no so genitores ento i no funo. Alm doa a a a e ca emais, existem pessoas que so genitoras de mais de uma pessoa. a37 40. 38 CAP ITULO 5. FUNCOESExemplo 5.1.5 Sejam P o conjunto das pessoas e seja d = {(p, x) P (P ) |x conjunto de todos os lhos de p} . eNesse caso, d uma funo de P em (P ) .ecaExemplo 5.1.6 Sejam A um conjunto no-vazio e iA = {(a, a) A A|a A} . Nesse acaso, iA uma funo de A em A conhecida como funo identidade em A. ecacaExemplo 5.1.7 Sejam A = B = R e f = {(x, y) R2 |y = x2 } . Nesse caso temos quef uma funo de R em R, pois o dado x R, o seu quadrado assume apenas um valor.ecaExemplo 5.1.8 Sejam A = B = R e f = {(x, y) R2 |x = y 2 } . Nesse caso temos quef no uma funo de R em R. De fato, (1, 1) f e (1, 1) f. Alm disso, no existe a e caeab R tal que (1, b) f, j que o quadrado de qualquer nmero real positivo.a ueObservao 5.1.2 Seja f : A B uma funo de A em B. Ento dado a A, a cacaadenio de funo atesta que existe um unico b B tal que (a, b) f. Este unico b caca echamado de Valor de f em a ou imagem de a por f ou resultado de aplicar fem a ou apenas f de a. Vamos represent-lo de uma forma bem sugestiva, por f (a)) .aA relao mais importante entre a e f (a) cae (a, b) f b = f (a) .Observao 5.1.3 Em geral uma funo f : A B dada especicando um modo que cacaepermita obter, de maneira unica f (a) a partir de a. Essa maneira pode ser atravs ede Uma Frmula, como nos cursos de Clculo, no ensino mdio.o ae Uma Tabela, como nas copiadoras, padarias, etc. Um Grco, como nos eletrocardiogramas.aTanto assim que temos a seguinte denio alternativa de funao que tambm bastantee cace eutilizada, principalmente no ensino mdio e na maioria dos cursos universitrios. e aDenio 5.1.2 Dados os conjuntos A e B, uma funo de A em B (simbolizada por ca caf : A B) uma regra (uma maneira, um modo, um procedimento) que permite associar ea cada elemento a A, um unico elemento do conjunto B. 41. 5.2. IMAGENS DIRETAS E INVERSAS39 Vejamos alguns exemplos:Exemplo 5.1.9 Sejam A o conjunto de todos os tringulos do plano, B = R e f a regraaque associa cada tringulo ` sua rea. Essa regra determina una funo de f : A B.aa a caExemplo 5.1.10 Sejam S o conjunto dos segmentos de reta do plano, o conjunto dasretas desse mesmo plano e g a regra que associa cada segmento ` sua mediatriz (i.e. aareta que passa pelo seu ponto mdio e perpendicular a ele). Essa regra determina uma eefuno g : A . caExemplo 5.1.11 Sejam A = M22 (R), B = R e det a regra que associa cada matriz aoseu determinante. Essa regra determina uma funo det : A B.caExemplo 5.1.12 Sejam A = B = R e j a regra que associa cada nmero x ao seu uquadrado x2 . Essa regra determina uma funo j : A B.caDenio 5.1.3 Seja f : A B uma funo de A em B. O conjunto A chamado de cacaeDom nio da funo f e o conjunto B de Contra-domcanio da funo f . caDenio 5.1.4 Sejam f : A B e g : A B duas funes. Diremos que elas so cacoaiguais e representaremos isso por f = g, se f (a) = g (a) para todo a A.5.2Imagens diretas e inversasDenio 5.2.1 Seja f : A B uma funo e P A. A Imagem direta do con- cacajunto P pela funo f o conjunto representado por f (P ) e denido porcae f (P ) = {f (p) |p P } = {b B|b = f (p) para algum p P } .Em palavras, a imagem direta de um conjunto P por uma funo f o conjunto formado caepelos valores assumidos por f quando olhamos para a funao restrita ao conjunto P. cVejamos alguns exemplos:Exemplo 5.2.1 Sejam A = {a, b, c} , B = {1, 2, 3} e f : A B dada por f (a) =1, f (b) = 2 e f (c) = 1. Ento: a P = {a, b} f (P ) = {f (a) , f (b)} = {1, 2} , P = {b, c} f (P ) = {f (b) , f (c)} = {2, 1} = {1, 2} , 42. 40 CAP ITULO 5. FUNCOES P = {a, c} f (P ) = {f (a) , f (c)} = {1} .Exemplo 5.2.2 Sejam A = B = R e f : A B dada por f (x) = x2 . Ento: a P = {2, 1, 0, 1, 2} f (P ) = {0, 1, 4} . P = {x R|1 < x < 2} f (P ) = {x|1 < x < 4} = (1, 4) . P = R f (P ) = [0, +) = R+ .Denio 5.2.2 Seja f : A B uma funo de A em B. O conjunto f (A) chamado cacaede Imagem da funo f. Vamos denot-la por I (f ) .caaExemplo 5.2.3 Sejam A = B = R e f : A B a funo denida por f (x) = x2 + 1. caVeja que I (f ) = [1, +) . Para provarmos isso, seja y [1, +). Queremos encontrarx R tal que f (x) = y. Vamos ver quem deveria ser um x nessas condies. Precisamos coresolver a equao f (x) = y, ou seja, descobrir um x que a satisfaa. Mas isso equivale a cacdescobrir pelo menos um x R tal que x2 + 1 = y. Com isso temos que, x2 = y 1 e da x = y 1. Observe que x R, j que y [1, +). Isso nos mostra que f (x) = y.aNa realidade encontramos dois valores para x para os quais f (x) = y. Mas isso no a eproblema, j que dois elementos distintos no domnio podem ter a mesma imagem. aExemplo 5.2.4 Seja f : R2 R2 dada por f (x, y) = (x + y, x y) . Ento I (f ) = R2 . a De fato, podemos provar esse fato usando argumentos de Algebra Linear, mas preferire-mos fazer essa prova de uma maneira mais construtiva. Seja (a, b) R2 . Queremosencontrar um par (x, y) R2 tal que f (x, y) = (a, b). Para fazer isso, devemos encontrarum par (x, y) tal que x + y = a e x y = b. Isso equivale a resolver o sistema: x + y = a x y = bque um sistema possvel e determinado. Sendo assim, existe um par (x, y) tal queef (x, y) = (a, b) e, portanto, I(f ) = R2 .Denio 5.2.3 Seja f : A B uma funo e Q B. A Imagem inversa de Q pela cacafuno f o conjunto representado por f 1 (Q) e denido por caef 1 (Q) = {a A|f (a) Q} . 43. 5.2. IMAGENS DIRETAS E INVERSAS41Em palavras, a imagem inversa de um conjunto Q pela funo f o conjunto formado caepelos elementos do dom cuja imagem pertence ao conjunto Q. Vejamos alguns exem-nioplos:Exemplo 5.2.5 No exemplo (5.2.1) temos f 1 ({1}) = {a, c} e f 1 ({2, 3}) = {b} .Exemplo 5.2.6 No exemplo (5.2.2) temos: f 1 ({9}) = , f 1 ({4, 9}) = {2, 2, 3, 3} , f 1 ({x R|x 0}) = , f 1 ({x R|4 x 25}) = f 1 ([4, 25]) = [5, 2] [2, 5] ,Vamos agora enunciar algumas propriedades das imagens diretas e inversas de umafunao. cTeorema 5.2.1 Sejam f : A B uma funo, X, Y A e Z, W B. Ento valem as ca aseguintes propriedades:1. f (X Y ) = f (X) f (Y ) .2. f (X Y ) f (X) f (Y ) .3. X Y f (X) f (Y ) .4. f () = .5. f 1 (Z W ) = f 1 (Z) f 1 (W ) .6. f 1 (Z W ) = f 1 (Z) f 1 (W ) .7. f 1 (A ) = (f 1 (A)) , onde a indica o complementar.8. Z W f 1 (Z) f 1 (W ) .9. f 1 () = .Demonstrao: ca 44. 42CAP ITULO 5. FUNCOES 1. Seja b f (X Y ) . Ento b = f (a) , com a X Y. H ento dois casos: a X aaaou a Y. Se a X ento, como b = f (a) , segue que b f (X) f (X) f (Y ) .aSe a Y ento, como b = f (a) , segue que b f (Y ) f (X) f (Y ) . Portanto,af (X Y ) f (X) f (Y ) . Seja agora b f (X) f (Y ) . Ento h dois casos: a ab f (X) ou b f (Y ) . Se b f (X) , ento b = f (a) , com a X. Como a Xaacarreta a X Y, segue que b = f (a) , com a X Y, ou seja, b f (X Y ) . Seb f (Y ) ento b = f (a) com a Y. Como a Y acarreta a X Y, segue queab = f (a) , com a X Y, ou seja, b f (X Y ) . Assim f (X)f (Y ) f (X Y ) . 2. Seja b f (X Y ). Ento b = f (a), com a X Y. Como a X, temos queab f (X) e, como a Y, segue que b f (Y ). Logo, b f (X) f (Y ). 3. Seja b f (X). Ento b = f (a), onde a X. Como X Y, segue que a Y, e da ab f (Y ). 4. Se f () = , ento existiria b f (). Assim, b = f (a), com a . Mas o conjunto a no possui elementos e isso uma contradio. Logo f () = . ae ca 5. Seja b f 1 (Z W ). Ento f (b) Z W. Da f (b) Z ou f (b) W. Se ocorrer a o primeiro caso, temos que b f 1 (Z) e se ocorrer o segundo, b f 1 (W ), demodo que, em qualquer dos casos, temos que b f 1 (Z) f 1 (W ). Agora tomeb f 1 (Z) f 1 (W ). Ento b f 1 (Z) ou b f 1 (W ). Se ocorrer o primeiro acaso, temos que f (b) Z Z W, o que acarreta b f 1 (Z W ). Se ocorrero segundo caso, temos que f (b) W Z W, o que acarreta b f 1 (Z W ).Assim, em qualquer dos dois casos, temos que b f 1 (Z W ). 6. Seja b f 1 (Z W ). Ento f (b) Z W. Da f (b) Z e f (b) W. Assim, temos a que f (b) Z W e, dessa forma, temos que b f 1 (Z) f 1 (W ). Agora tomeb f 1 (Z) f 1 (W ). Ento b f 1 (Z) e b f 1 (W ). Dessa forma temos que af (b) Z e f (b) W, o que acarreta f (b) Z W e, portanto, b f 1 (Z W ). 7. Seja b f 1 (A ). Da f (b) A , o que signica que f (b) A, o que signica ainda,que f (b) A , o que nos permite concluir que b (f (A)) . 8. Seja b f 1 (Z). Ento f (b) Z. Como Z W, temos que f (b) W, o queaacarreta b f 1 (W ). 9. Se f 1 () = , existiria b tal que f (b) . Mas isso absurdo. Logo f 1 () = . e 45. 5.3. FUNCOES INJETORAS, SOBREJETORAS E BIJETORAS 435.3 Funes injetoras, sobrejetoras e bijetoras coDenio 5.3.1 Sejam A e B conjuntos e f : A B uma funo de A em B. Diremos ca caque f Injetora se elementos diferentes em A tiverem imagens diferentes em B. Emes mbolos, f : A B injetora (a, b A) (a = b) (f (a) = f (b)) . eObservao 5.3.1 Se f : A B injetora, tambm usam-se os termos: Injetiva ou ca e eum-a-um para dizer isso.Observao 5.3.2 Uma maneira mais prtica de provar que uma dada funo injetora ca a ca e provar quee (a, b A) (f (a) = f (b)) (a = b) .Denio 5.3.2 Sejam A e B conjuntos e f : A B uma funo de A em B. Diremos ca caque f Sobrejetora se todo elemento de B for imagem de pelo menos um elemento deeA. Em s mbolos,f : A B sobrejetora (b B) (a A) (b = f (a)) .eObservao 5.3.3 Se f : A B sobrejetora, tambm usam-se os termos: Sobreje- ca eetiva ou Sobre para dizer isso.Denio 5.3.3 Sejam A e B conjuntos e f : A B uma funo de A em B. Diremos ca caque f Bijetora se f for injetora e sobrejetora.eVamos revisitar agora diversos exemplos vistos anteriormente.Exemplo 5.3.1 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6} e f = {(1, 5) , (2, 4) , (3, 5)} . Afuno f no injetora nem sobrejetora. ca a eExemplo 5.3.2 Sejam C = { conjunto de todas as cidades } , N = { conjunto de todos os pases}e h = {(c, n) C N | a cidade c est no pas n} . aEssa funo no injetora, mas sobrejetora.ca a eeExemplo 5.3.3 Sejam P o conjunto das pessoas ed = {(p, x) P (P ) |x = { conjunto de todos os lhos naturais de p}} .A funo d no injetora nem sobrejetora. ca a e 46. 44CAP ITULO 5. FUNCOESExemplo 5.3.4 Sejam A o conjunto de todos os tringulos do plano, B = R e f : A aB a regra que associa cada tringulo ` sua rea. Essa funo no injetora mas aa a ca a e esobrejetora.Exemplo 5.3.5 Sejam S o conjunto dos segmentos de reta do plano e o conjuntodas retas do mesmo plano. A funo que associa cada segmento ` sua mediatriz no caaa einjetora e sobrejetora. eExemplo 5.3.6 Seja f : Z R denida por f (x) = 2x + 3. A funo f injetora mascaeno sobrejetora pois no existe elemento x Z que satisfaz f (x) = . Por outro lado, a ease considerarmos g : R R denida por g (x) = 2x + 3, ento g injetora e sobrejetoraaee, portanto, bijetora.2xExemplo 5.3.7 A funo f : R {1} R dada por f (x) = ca injetora, mas no ea x+1 sobrejetora.e5.4Funo InversacaEm geral, mesmo que uma dada relao seja funao, pode no acontecer o mesmo cac acom a sua relao inversa. Por exemplo, se A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c, d} e f =ca{(1, a) , (2, a) , (3, c) , (4, d)} . A relaao f uma funao de A em B. Agora note quecec ef 1 = {(a, 1) , (a, 2) , (c, 3) , (d, 4)} , NAO uma funo de B em A. Um interessantecaresultado que estabelece quando a relaao inversa de uma funo tambm funo occae e ca eseguinte:Teorema 5.4.1 Sejam A e B conjuntos e f : A B uma funo bijetora. Ento f 1 ca a uma funo de B em A. Alm disso, f 1 bijetora.eca eeDemonstrao: Primeiro vamos provar que f 1 uma funao de B em A. Para isso, caecseja b B. Devemos mostrar que existe um unico a A tal que (b, a) f 1 . Vamosl. Como f sobrejetora, existe a A tal que b = f (a) . Da (a, b) f e, portanto, a e (b, a) f 1 . Mostraremos agora que esse a unico. Suponha que (b, a1 ) f 1 e que e (b, a2 ) f 1 . Logo, (a1 , b) f e (a2 , b) f. Assim, f (a1 ) = b = f (a2 ) . Como f einjetora, segue que a1 = a2 . Portanto, f 1 funao. ecAgora vamos provar que f 1 uma funo bijetora. Comeamos mostrando que elaecac injetora. Suponha que f 1 (a) = f 1 (b) . Digamos que esse valor comum seja c, oueseja,f 1 (a) = c = f 1 (b) . Portanto, (a, c) f 1 e (b, c) f 1 . Da (c, a) f e , 47. 5.5. COMPOSICAO DE FUNCOES 45(c, b) f. Como f funo, devemos ter a = b, o que mostra que f 1 injetora. ecaeMostremos agora que f 1 sobrejetora. eSeja a A. Ento, b = f (a) tal que a e(a, b) = (a, f (a)) f. Portanto, (b, a) f 1 , ou seja, f 1 (b) = a e da f 1 sobre- ejetora.Observao 5.4.1 Quando f : A B bijetora, a funo f 1 : B A chamada de ca eca eFuno Inversa de f . ca5.5 Composio de Funoes cacComo as funoes so casos particulares de relaes ento faz sentido falarmos na composta c a coade duas funoes. O fato mais importante agora que a composta de duas funoes uma c e c efunao. De fato, se f : A B e g : B C so duas funoes, a relaao composta de g e caccf a relaao de A em C denida pore c g f = {(a, c) A C| Existe b B tal que (a, b) f (b, c) g} .Para provarmos que ela uma funo, precisamos provar duas coisas: eca 1. Todo elemento de A se relaciona com algum elemento de C.De fato, seja a A. como f funao de A em B temos que existe b B tal queec(a, b) f. Por outro lado, g : B C funao e da existe c C tal que (b, c) g.ec,Logo, pela denio de composta, (a, c) g f.ca 2. Todo elemento de A se relaciona com um unico elemento de C. Suponha que (a, c1 ) g f e (a, c2 ) g f. Ento, por denio, existem b1 Bacatais que (a, b1 ) f e (b1 , c1 ) C, bem como b2 B tal que (a, b2 ) f e (b2 , c2 ) g.como f funao, devemos ter b1 = b2 . Como g funao, devemos ter c1 = c2 . ececAgora sim, podemos denir a Funo Composta de g e f denida como sendo a carelaao composta de g e f. Pelo que provamos acima ela de fato uma funao.c ecExemplo 5.5.1 Considere A = {a, b, c, d} , B = {1, 2, 3, 4, 5} e C = {x, y, z, w, t} e asfunes f : A B e g : B C denidas respectivamente por f = {(a, 1) , (b, 1) , (c, 4) , (d, 5)} coe g = {(1, x) , (2, y) , (3, y) , (4, w) , (d, x)} . Ento gf dada por gf = {(a, x) , (b, x) , (c, w) , (d, x)} .aeObservao 5.5.1 Se f : A B e g : B C so funes dadas por regras ento g f caa co a denida pela regra g f (x) = g (f (x)) , para cada x A.e 48. 46 CAP ITULO 5. FUNCOESExemplo 5.5.2 Se f : R R dada por f (x) = x + 1 e g : R R por g (x) = x2 , eento g f (x) = g (f (x)) = (x + 1)2 e f g (x) = f (g (x)) = x2 + 1. aRecordamos que, dado um conjunto A = , a funao iA : A A dada por i (x) = x ceconhecida como funo identidade de A.caTeorema 5.5.1 Suponha que f : A B uma funo. Ento f bijetora se e somenteecaaese, existe uma funo g : B A tal queca g f = idA e f g = idB .Demonstrao: Suponhamos que f : A B seja bijetora. Vamos mostrar que a funao cacg = f 1 satisfaz g f = idA e f g = idB . Vamos l. Seja x A. Ento (x, f (x)) f. a aDa (f (x) , x) f 1 . Logo, por deniao, c g (f (x)) = f 1 (f (x)) = x,donde segue que g f = idA . Seja agora y B. Ento (y, f 1 (y)) f 1 . Logo a(f 1 (y) , y) f. Portanto, f 1 (f (y)) = f (g (y)) = y. Portanto f g = idB .Suponha agora que exista g : B A tal que g f = idA e f g = idB . Vamosprovar primeiro que f injetora. Para isso, sejam a, b A tal que f (a) = f (b) . Logoeg (f (a)) = g (f (b)) , ou seja, a = b. Portanto f injetora. Mostremos agora que f e esobrejetora. Seja b B. Ento sabemos que f (g (b)) = b. Se zermos g (b) = a teremosaf (a) = b e, portanto, f sobrejetora. e 49. Cap tulo 6CardinaisEstudaremos neste texto a noo de nmero cardinal de um conjunto. Para conjuntoscaunitos ele corresponde ao que esperamos: o nmero cardinal de um conjunto nito au esua quantidade de elementos. Para conjuntos innitos isso j muda. O nmero cardinal auno ser denido. Diremos apenas quando dois conjuntos tm o mesmo nmero cardinal. a ae uA partir disso podemos comparar nmeros cardinais e fazermos operaoes aritmticas uceentre eles.6.1Denioes e alguns exemploscDenio 6.1.1 Sejam A e B conjuntos. Diremos que A e B tm a mesma cardi- caenalidade ou que so equivalentes ou que tm o mesmo n mero cardinal se existe a e uuma funo bijetora f : A B. Denotaremos isso por A B. caExerc cio 1 Sejam A, B e C conjuntos. Prove que:1. A A,2. Se A B ento B A, a3. Se A B e B C ento A C. aObservao 6.1.1 Na denio acima no est dito o que nmero cardinal de um caca a ae uconjunto. O que est dito quando dois conjuntos possuem o mesmo nmero cardinal. aeuObservao 6.1.2 Logo mais ser conveniente tratar o nmero cardinal de um con- ca a ujunto A como um nmero no sentido em que entendemos. Portanto, ser conveniente uaadotarmos uma notao para ele. A mais usada |A|.ca e47 50. 48CAP ITULO 6. CARDINAISVejamos alguns exemplosExemplo 6.1.1 Sejam A = {1, 2, 3} e B = { , , } . Observe que os conjuntos A eB tm o mesmo cardinal. Nesse caso, bem como no caso de qualquer conjunto nito, epodemos interpretar o nmero cardinal como sendo o nmero de elementos do conjunto. uuAssim, podemos dizer que |A| = 3, onde o smbolo 3 tem o signicado de que qualquerconjunto equivalente ao conjunto A possui essa mesma quantidade de elementos. Porum raciocnio anlogo, o conjunto {1, 2, ..., n} tem nmero cardinal igual a n. Faremos a ua conveno de que || = 0. Trataremos dos conjuntos com nmero cardinal nito maiscaudetalhadamente na prxima seo.o caExemplo 6.1.2 Seja A = N {0} = {0, 1, 2, ...} e B = N = {1, 2, 3, ...} . Aqui as coisascomeam a car diferentes porque aparentemente o conjunto A tem mais elementos queco conjunto B, j que ele tem o elemento 0 a mais. Entretanto, a funo f : A B dada a capor f (x) = x 1 bijetora . Assim A e B tm o mesmo cardinal.e eExerc cio 2 Prove que a funo do exemplo anterior bijetora caeExemplo 6.1.3 Em seu livro Dilogo sobre duas novas cinciaso cientista italianoaeGalileu Galilei j discutia acerca de conjuntos com a mesma cardinalidade. O seguinte adilogo foi extrado da traduo [2]:a caSalviati: ...Portanto se digo que todos os nmeros, compreendendo os quadrados e osuno-quadrados, so mais [numerosos] que os simples quadrados, enunciarei uma proposio aa caverdadeira, no assim? a eSimpl cio: No se pode dizer de outro modo.aSalviati: Se pergunto a seguir, quantos so os nmeros quadrados, pode-se responder aucom certeza que so tantos quanto so as razes, posto que cada quadrado tem sua raiz, a a cada raiz tem seu quadrado, nem existe quadrado que possua mais que uma s raiz, nem oraiz com mais que um s quadrado.oSimpl cio: Assim . eSalviati: Mas se pergunto quantas so as razes, no se pode negar que elas so tantas a aaquanto os nmeros, visto que no existe nenhum nmero que no seja raiz de algum ua uaquadrado. Sendo assim, conveniente dizer que temos tantos nmeros quadrados quanto e unmeros, porque so tantos quanto suas razes, e as razes so todos os nmeros. u a auEm uma terminologia moderna, Galileu estabelece que o conjunto dos nmeros naturaisu 51. 6.2. NUMEROS CARDINAIS FINITOS49N = {1, 2, 3, ...} e o conjunto dos quadrados S = {1, 4, 9, 16, ...} tm o mesmo nmeroe ucardinal. O argumento de Galileu precisamente o mesmo que usamos, ou seja, a funo ecah : N S dada por h(n) = n2 para todo n N bijetora. Isso segue do fato de que e k : S N dada por k(n) = n para todo n S, a inversa de h. eExemplo 6.1.4 Os conjuntos N e Z tm o mesmo nmero cardinal. De fato, a funoe u caf : N Z dada porn2, se n par, ef (n) = n1 ,2se n mpar. e bijetora.eExerc cio 3 Prove que a funo denida no exemplo anterior bijetora. caeExemplo 6.1.5 Sejam [a, b] e [c, d] dois intervalos fechados em R, com a < b e c < d.Ento [a, b] [c, d]. Seja g : [a, b] [c, d] dada por adc g(x) = (x a) + c,bapara todo x [a, b]. No difcil mostrar que a funo g bijetora. Um argumento a e caesemelhante mostra que intervalos abertos da forma (a, b) e (c, d) tm o mesmo nmero e ucardinal.Exerc cio 4 Prove que a funo g do exemplo anterior bijetora. caeExerc cio 5 Prove que: 1. [c, +) [a, b], 2. (, c] [a, b], 3. (1, 1) R.6.2 N meros Cardinais Finitos uVeremos agora um importante tipo de nmero cardinal que aquele associado aos conjun- uetos nitos. J possu amos contato com ele desde pequenos quando efetuamos contagens.Seja n N. Vamos denotar por In o conjunto dos nmeros naturais entre 1 e n, ou seja, uIn = {1, ..., n} = {x N; 1 x n} . Assim, I1 = {1} , I2 = {1, 2} , etc. 52. 50CAP ITULO 6. CARDINAISDenio 6.2.1 Diremos que um conjunto A nito se A = ou se existir n N tal caeque A In . Um conjunto que no nito ser chamado de innito.a e aExemplo 6.2.1 O conjunto N innito. De fato, seja f : N In , onde n N. eUsaremos o seguinte truque para mostrarmos que f no pode ser bijetora: suporemosaque ela sobrejetora e mostraremos que ela no pode ser injetora. Vamos l. Comoeaaf sobrejetora, existem x1 , x2 , ..., xn N tais que f (x1 ) = 1, f (x2 ) = 2, ..., f (xn ) = n.eComo o conjunto {x1 , ..., xn } nito, ele possui maior elemento, digamos xk . Comoexk + 1 > xk , segue que xk + 1 {x1 , ..., xn } . Agora note que f (xk + 1) {1, 2, ..., n} . Da,f (xk + 1) = f (xj ), mas xk + 1 = xj , donde conclumos que f no injetora. Portanto a eela no pode ser bijetora. Da, N innito. a eObservao 6.2.1 Se A um conjunto nito no vazio ento, por denio, existe uma ca ea acabijeo entre In e A para algum n N. Essa bijeo pode ser pensada como uma contagemcacados elementos de A. Podemos perguntar: Pode existir m N, com m = n de modo queexista uma bijeo entre Im e A? Dito de outra maneira: Ser que duas contagens dos caaelementos de A podem fornecer diferentes resultados? Bom, caso as contagens tenhame sido feitas corretamente a resposta a essa pergunta NAO e a demonstrao ser dada ca alogo adiante. Portanto, o nmero n que aparece na denio anterior unico para cada u ca econjunto A e ser chamado o seu Nmero de elementos.auObservao 6.2.2 Denotaremos por n o nmero cardinal de um conjunto nito com n ca uelementos.Observao 6.2.3 Se A for um conjunto nito, ento tanto existe uma bijeo entre ca a caIn e A como uma entre A e In . No que segue sempre usaremos esse fato sem maiorescomentrios.aO Teorema a seguir ser muito importante para o restante de nossa discusso.aaTeorema 6.2.1 Sejam m e n nmeros naturais com m > n e f : Im In uma funo. ucaEnto f no injetora. a a eDemonstrao: Usaremos induao em n. O que queremos provar que, para todo cacenmero natural m > n, se f : Im In uma funao, ento f no injetora. Comecemos u eca a ecom o caso n = 1. Temos que se m > 1 ento f : Im {1} tal que f (1) = f (m) = 1.a eComo m = 1, temos que f no injetora. Suponhamos agora que o resultado seja vlido a e a 53. 6.2. NUMEROS CARDINAIS FINITOS51para n e vamos prov-lo para n + 1. Seja f : Im In+1 uma funao, com m > n + 1. acSuponhamos, por absurdo, que f seja injetora. Considere k, com 1 k m, o uniconmero para o qual f (k) = n + 1. Dena ento a seguinte funao g : Im In+1 por: ua c f (x) , se x = k, m g (x) = n + 1, se x=m f (m)se x=kVeja que a unica diferena entre f e g nos valores em k e em m. Como m > n + 1, temos ceque m 1 > n e podemos denir uma funo h : Im1 In por h (x) = g (x) . Note quecah injetora, pois g o . Mas isso uma contradiao. Logo f no pode ser injetora e oee e c aresultado est provado. aVeremos agora algumas conseqncias desse resultado.ueCorolrio 6.2.1 Se f : Im In injetora ento m n. a e aDemonstrao: Imediatamente a partir do Teorema 1. Pois se m > n ento f no ca a apode ser injetora, um absurdo.Corolrio 6.2.2 Se f : Im In sobrejetora ento m n. a eaDemonstrao: Suponha que no, isto , que m < n. Como f sobrejetora, podemos caaeedenir g : In Im da seguinte maneira g (x) = y, onde y algum elemento de Im cujo f evale x. A funo g injetora porque se g (a) = g (b) = c, ento pela deniao de g segue caeacque a = f (c) = b. Mas o que encontramos foi uma funao injetora de In em Im comcn > m. Isso um absurdo pelo Teorema 1.eCorolrio 6.2.3 Se f : Im A e g : In A so bijees ento m = n. aacoa ca Demonstrao: E imediata a partir dos dois corolrios anteriores.aCorolrio 6.2.4 Se f : A B bijeo e um dos dois conjuntos for nito, o outro a e catambm o ser.e aDemonstrao: Suponha que A seja nito e que f : A B seja uma bijeao. Como ca cA nito, existe uma bijeo g : In A. Ento f g : In B uma bijeo pois e ca a e ca ecomposta de bijees. Logo B nito. Se B for nito, usa-se o mesmo argumento paraco emostrar que A tambm nito.e e 54. 52CAP ITULO 6. CARDINAISTeorema 6.2.2 Se B A e A nito, ento B nito. e aeDemonstrao: Primeiro vamos provar no caso particular de A ser algum In . O que caqueremos provar que se B In ento B nito. Se B = , ento ele nito poreae aedeniao. Suponhamos ento que B = . Vamos provar que B nito por induao em n. c ae cComecemos pelo caso n = 1. Se n = 1 ento I1 = {1} e, como B = , temos que B = I1 , asendo, portanto, nito. Suponhamos agora o resultado vlido para n e vamos prov-loaapara n + 1. Seja B In+1 , no-vazio. Se n + 1 B, segue que B In e nito, pela a/ ehiptese de induo. Se n + 1 B, ento B {n + 1} In sendo, pois, nito. Assim, ocaaexiste f : Ik B {n + 1} , para algum k. Dena agora a funao g : Ik+1 B por: c f (x) se x=k+1g (x) =n+1se x=k+1 aE fcil ver que a funo g uma bijeao. Logo o resultado vale para n + 1 e pelo princ cae cpiode induao, ele vale para todo n N. Suponha agora que A no seja necessariamente caIn . Como A nito, existe f : A In bijetora. Ento se considerarmos g como sendo ae arestriao de f a B, vemos que g : B I (g) bijetora. Como I (g) In , segue que ele ce enito. Logo, pelo Corolrio anterior temos que B nito. a eTeorema 6.2.3 Sejam A um conjunto nito e B A com B = A, no pode existirabijeo entre A e B.caDemonstrao: Comecemos como antes, provando no caso particular de A = In . Se caB = , ento no existe nenhuma funo entre In e B, muito menos alguma que sejaa acabijetora. Vamos provar por induo em n. Aqui um detalhe, a induao comea em n = 2. ca ccObserve que B I2 e B = I2 . Como B nito, existe uma bijeao entre B e I1 e portanto, e cse houver uma bijeo entre B e I2 , teremos encontrado uma bijeo entre I1 e I2 , o quecacano poss pelo Corolrio (3). Assim, provamos o caso n = 2. Suponhamos agora o a evelaresultado vlido para n e vamos prov-lo para n + 1. Seja ento B In+1 e suponhamos, aaapor absurdo, que exista f : In+1 B, bijetora. Aqui h dois casos a considerar:a 1. Se n + 1 B, temos que B {n + 1} In e B {n + 1} = In . Seja k In+1 tal que f (k) = n + 1. Dena g : In+1 B por: f (x) sex = n + 1, k g (x) =f (n + 1) , se x=k n + 1, se x=n+1 55. 6.2. NUMEROS CARDINAIS FINITOS 53 Observe que essa construao continua consistente, mas desnecessria, para o que c a vem em seguida se f (n + 1) = n + 1. A funao g s difere da f nos pontos k e c o n + 1. Agora dena h : In B {n + 1} , como sendo a restriao de g a In . Vemosc que g bijetora e, conseqentemente h. Portanto, acabamos de violar a hiptese e u o de induao, ocasionando um absurdo.c2. Se n + 1 B, ento B In , mas j no podemos armar que eles so diferentes./ aa aa Se eles forem iguais, temos que f uma bijeao entre In e In+1 , o que absurdo. e ce Ento podemos trabalhar sossegados com a hiptese de que B In e B = In .ao Considere ento k = f (n + 1) , e dena h : In B {k} , como sendo a restrioaca de f a In . Como h a restrio de f que estamos supondo bijetora, segue que he ca tambm o . Assim, outra vez a hiptese de induo foi violada. eeocaLogo, como em ambos os casos temos uma contradio, no podemos ter f uma bijeao, caacdonde o resultado est provado para n + 1 e, ento ele vale para todo n N. aaSuponhamos agora que A no seja necessariamente In . Como ele nito, existe umaa ebijeao f entre A e algum In . Sendo B A, com B = , vamos supor, por absurdo, quecexista uma bijeo h entre B e A. Como B um subconjunto prprio de A, segue que I (g) caeo um subconjunto prprio de In , onde g a restrio de f a B. Da f hg 1 : I (g) Ineoe ca, uma bijeao, o que imposse c e vel, pelo que provamos antes . Logo, no pode existir aabijeao h como armado. Portanto, o resultado est provado.c aObservao 6.2.4 O Teorema anterior nos d um critrio muito bom para dizer quando caaeum conjunto innito: basta que sejamos capazes de exibir uma bijeo entre ele e umaecaparte prpria sua. Checar se um conjunto innito apenas usando a negao da deniooe cacade conjunto nito algo por vezes difcil. Tente, por exemplo, sem recorrer ao referidoe teorema, mostrar que Z innito. eObservao 6.2.5 O matemtico alemo Julius Dedekind, baseado no resultado acima, ca a adeniu conjunto innito como sendo aquele que possui uma bijeo com uma parte prpria caosua. Para ver como a teoria se desenvolve a partir dessa denio, consulte [3].caExemplo 6.2.2 N innito. De fato, basta ver que f : N P dada por f (n) = 2n e euma bijeo, onde P o conjunto dos nmeros naturais pares.cae uExemplo 6.2.3 Z innito. De fato, considere a funo dada pelo exemplo 6.1.4.eca 56. 54CAP ITULO 6. CARDINAISExerc cios 1. Se A nito e b A, prove que A b nito. e /e 2. Se A e B so conjuntos nitos, prove que A B nito e encontre uma frmulaae o para o seu nmero cardinal. u 3. Se A e B so conjuntos nitos, prove que A B nito.ae 4. Suponha que f : A B uma funao injetora e que B nito. Prove que Aec e tambm nito. Vale a rec e e proca desse resultado ? 5. Suponha que f : A B uma funo sobrejetora e que A nito. Prove que Becae tambm nito. Vale a rec e e proca desse resultado ? 6. A ideia agora generalizar o exerc 2. Prove que a unio de uma quantidadeecioa nita de conjuntos nitos tambm um conjunto nito. Pesquise sobre uma frmula e e o para o nmero cardinal dessa unio. u a 7. Se A um conjunto nito prove que f : X X injetora se e somente se e ee sobrejetora.6.3 N meros cardinais innitos uNa seao anterior denimos os conjuntos nitos e denotamos o nmero cardinal associado c uao conjunto In , ou a qualquer conjunto a ele equivalente, por n. Galileu Galilei em seutrabalho Discurso sobre duas novas cincias, postulou que todos os conjuntos innitoseteriam o mesmo nmero cardinal, conforme o trecho abaixo extra de [2]:u doSalviati: No vejo que se possa chegar a outra concluso: que innitos so todos os aa anmeros, innitos os quadrados, innitos suas ra uzes, que a quantidade dos quadradosno menor que aquela de todos os nmeros, nem esta maior que aquela; e nalmente, a euque os atributos de maior, menor e igual no se aplicam aos innitos, mas apenas asa`quantidades nitas. Desse modo, quando o Sr. Simplcio me prope linhas desiguaisoe me pergunta como pode acontecer que nas maiores no existem mais pontos que nas amenores, respondo-lhe que no existem nem mais, nem menos, nem outros tantos, mas ainnitos em cada uma. Se sinceramente respondesse que os pontos de uma linha so tan-atos quanto so os nmeros quadrados, que noutra linha maior so tantos quanto todosau aos nmeros, e que na menor tantos quanto so os nmeros cubos, no estaria dando umau aua 57. 6.3. NUMEROS CARDINAIS INFINITOS 55resposta satisfatria. oGalileu estava essencialmente dizendo que todos os conjuntos innitos tm o mesmo enmero cardinal. Um dos principais feitos do grande matemtico alemo Georg Cantor u a afoi perceber que, na categoria dos conjuntos innitos, existem aqueles que possuem difer-entes nmeros cardinais, como, por exemplo N e R. Provaremos esse fato mais adiante. uIntroduziremos agora um novo nmero cardinal. Ele vai estar associado ao conjunto dosunmeros naturais e a todos os conjuntos a ele equivalentes. uDenio 6.3.1 Diremos que um conjunto enumervel quando for nito ou, no caso cae ade ser innito, existir uma bijeo entre ele e N.caExemplo 6.3.1 Por denio In enumervel, pois nito. Tambm so enumerveis ca e aee aaN e Z. Veremos logo mais outro exemplo importante de conjunto enumervel, a saber,aQ.Observao 6.3.1 O nmero cardinal do conjunto N ser denotado por 0 , que lemos ca u aalef-zero. Assim, o nmero cardinal de qualquer conjunto innito e enumervel ser u a a0 .Observao 6.3.2 Dois fatos sero usados aqui repetidas vezes. caaFato 1 Se f : A B uma funo injetora ento f : A f (A) bijetora. Lembre:ecaae f (A) indica a imagem do conjunto A por f.Fato 2 Se f : A B uma funo sobrejetora ento existe uma funo injetora g :eca aca B A.Veremos agora algumas importantes propriedades dos conjuntos enumerveis. Doravante, apara evitar trivialidades, suporemos que os nossos conjuntos enumerveis sero sempre aainnitos. Quando no for assim, chamaremos a atenao.a` cTeorema 6.3.1 Todo conjunto X contm algum subconjunto innito enumervel.eaDemonstrao: Vamos denir uma funao injetora f : N X. Se zermos isso, s ca c e olembrar do fato 1 e ver que entre f (N) e N vai existir uma bijeao. A pronto, f (N) sercao nosso conjunto procurado. Ento vamos l. Como X innito, existe um elemento a a ex1 X. Dena f (1) = x1 . Como X innito, X {x1 } innito. Ento existe umee ax2 X {x1 } . Dena f (2) = x2 . Agora s prosseguir. De uma maneira geral, oe o 58. 56CAP ITULO 6. CARDINAISconjunto X {x1 , ..., xn } innito e portanto existe xn+1 X {x1 , ..., xn }. Denimos eento f (n + 1) = xn+1 . Veja que essa funo injetora, pois se m, n N, com m = n, aca edevemos ter necessariamente f (m) = f (n) . De fato, se m = n, ento, digamos, m > n.aDa na hora de encontrar o xm , vamos escolh-lo no conjunto X {x1 , ..., xn , ..., xm1 } .,eDa no h perigo em coincidirem os valores de xn e xm pois este ultimo vai ser escolhido, a a num conjunto onde o primeiro no est. Como f (n) = xn e f (m) = xm , segue quea af (n) = f (m) , e a demonstrao acabou. caTeorema 6.3.2 Todo subconjunto de N enumervele aDemonstrao: Seja X N. Se X for nito, ento por denio ele ser enumervel e caa ca a aacabou a demonstrao. Se ele for innito, vamos denir uma funo bijetora f : N X.ca caComo X =, existe, pelo (PBO) o menor elemento de X. Dena f (1) como sendoo menor elemento de X. Como X {f (1)} = , pelo (PBO), ele possui menor ele-mento. Dena f (2) como sendo o menor elemento de X {x1 } . Como X {x1 , x2 } =, pelo (PBO), ele possui menor elemento. Dena f (x3 ) como sendo o menor ele-mento de X {x1 , x2 } . Agora s prosseguir. De uma maneira geral, o conjuntoe oX {x1 , ..., xn } = e portanto possui menor elemento. Dena f (n + 1) como sendoo menor elemento de X {x1 , ..., xn } . Vamos provar agora que essa funo bijetora. ca eComo f (1) < f (2) < f (3) < ... ento f injetora. Agora,vamos ver que ela tambmae e sobrejetora. Suponha que no seja. Ento existe k N que no pertence a imageme a aa `de f. Da temos k > f (1) , k > f (2) , ... ou seja k > f (n) , para todo n N. Mas oconjunto N possui uma propriedade muito importante que diz que um subconjunto de N innito se e somente se ele no possuir cotas superiores. Logo, o que ns encontramosea ocom o nmero k foi uma cota superior para um conjunto de nmeros naturais innito. uuNo pode pela propriedade que acabamos de citar! Concluso: um tal k no existe e, aa aportanto, f sobrejetora. Logo, X enumervel.ee aTeorema 6.3.3 Se f : A B injetora e B enumervel, ento A tambm o . ee aaeeDemonstrao: Se B enumervel, ento existe g : B N bijetora. Logo, g f : cae aaA N injetora. Portanto, pelo fato (1), g f : A g f (A) uma bijeao. Masee cg f (A) N, logo enumervel, donde conclue a mos que A tambm enumervel. e eaTeorema 6.3.4 Se f : A B sobrejetora e A enumervel, ento B tambm o . e e aaee 59. 6.3. NUMEROS CARDINAIS INFINITOS 57Demonstrao: Comece lembrando do Fato 2. Agora veja que temos uma funo inje- ca catora de B em A. Use agora a propriedade anterior, trocando A por B. Acabou.Exemplo 6.3.2 Vamos mostrar neste exemplo que N N enumervel. Considere ae afuno f : N N N dada por f (m, n) = 2m 3n . No difcil mostrar1 que f injetora. ca a e eLogo, pelo teorema 6.3.3 temos que N N enumervel. e aTeorema 6.3.5 Se A e B so enumerveis ento A B tambm o .aaaeeDemonstrao: Como A e B so enumerveis, existem f : N A e g : N B ca aaambas bijetoras. Agora considere a funao F : N N A B, dada por F (m, n) =c(f (m) , g (n)) . Observe que F sobrejetora, pois f e g o so. Logo, pelo teorema 6.3.4,eatemos que A B enumervel.e aExemplo 6.3.3 J vimos que Z enumervel. No difcil mostrar que Z tambm a e aa e e eenumervel. Pelo teorema 6.3.5, temos que Z Z tambm enumervel. Agora denaa e eaf : Z Z Q por f (m, n) = m/n. Veja que f sobrejetora. Logo, pelo teorema 6.3.4, etemos que Q enumervel.e aTeorema 6.3.6 Seja {Ai }iN uma familia de conjuntos enumerveis indexada por N. aEnto ai=1 Ai enumervel. e aDemonstrao: Para cada m N temos que existe uma funao bijetora, em particular ca c sobrejetora, fm : N Am . Dena f : NN i=1 Ai por f (m, n) = fm (n) . Essa funaoc sobrejetora. De fato, seja x e i=1 Ai . Ento x Am para algum m N. Logo, comoafm sobrejetora, segue que fm (n) = x, para algum n N. Assim, f (m, n) = fm (n) = x. eAssim, como N N enumervel, o teorema 6.3.4 nos garante quee a i=1 Ai tambm o eser. aExemplo 6.3.4 Vamos ver outra prova da enumerabilidade de Q. Considere os conjun-tos A1 = {0/1} , A2 = {1/1, 1/1} , A3 = {1/2, 2/1, 1/2, 2/1} , A4 = {1/3, 3/1, 1/3, 3/1} , A5 ={1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1} . De uma maneira mais geral, Ar = {1/ (r 1) , 2/ (r 2) , ..., (r 1) /1 e seus negativos } ,1No mesmo! a 60. 58 CAPITULO 6. CARDINAISde onde exclumos o 1 e o 1 pois eles j aparecem em A2 . Observe duas coisas. A aprimeira que qualquer nmero racional pertence a algum dos Ai . A segunda que cada e ueAi nito, sendo, portanto, enumervel. Logo, temos Q = e ai=1 Ai e, pelo teorema 6.3.6,temos que Q enumervel.e aExemplo 6.3.5 O conjunto R no enumervel. Para provarmos isso, suponhamos quea eaR o fosse. Ento teramos uma funo bijetora f : N R. Denotando por f (n) = xn ,a catemos que R pode ser representado por uma lista, ou seja, R = {x1 , x2 , x3 , ...} . Agoraseja I1 um intervalo fechado que no contenha x1 . Agora seja I2 um intervalo fechadoaque no contenha x2 e que esteja contido em I1 . Seja agora I3 um intervalo fechado que ano contm x3 e que esteja contido em I2 . Agora continuamos com esse processo. Vamos aeencontrar um nmero real que no est na lista acima, logo ela no poder conter todosu a a a a os nmeros reais. Vamos olhar para a interseo dos intervalos In . Observe queu ca n=1 Inno pode conter nenhum dos nmeros da lista acima, porque xn In j que eles foram auaescolhidos assim. Ento nenhum dos xn pode pertencer ` a an=1 In . Mas existe em R aseguinte propriedade, cuja demonstrao foge um pouco ao nvel do nosso curso:2caTeorema 6.3.7 Para cada n N, suponha que sejam dados intervalos fechados In =[an , bn ] , que satisfazem ` propriedade de que In+1 In . Ento a interseo dessa famliaa a ca de intervalos no vazia.e a Logo, pela propriedade acima,n=1 In no vazia e, pelo que vimos, contm um elementoe aeque no est na lista dos nmeros reais. Mas isso um absurdo, porque supomos que a a ueesta lista continha todos os nmeros reais. Logo, R no pode ser enumervel.ua aExerc cios 1. Suponha que f : A B uma funo injetora e que A innito. Prove que Beca e tambm innito. Vale a rec e e proca desse resultado ? 2. Suponha que f : A B uma funao sobrejetora e que B innito. Prove que Aece tambm innito. Vale a rec e e proca desse resultado ? 3. Seja Aum conjunto e suponha que B um subconjunto innito de A. Prove que Ae tambm innito. e e 4. Sejam A, um conjunto innito, B, um conjunto nito e f : A B uma funao.c Prove que existe b B tal que f 1 ({b}) innito. e 2 Veja a demonstrao no Curso de Anlise, volume 1, de Elon Lages Lima. caa 61. 6.3. NUMEROS CARDINAIS INFINITOS595. Se A B innito, prove que pelo menos um deles deve ser innito.e6. Se B A, com B nito e A innito, mostre que A B innito. Se B for innito e esse resultado ainda continua vlido ?a7. Prove que Q, R e o intervalo (a, b) , com a < b, so conjuntos innitos. a8. Prove que se A innito, ento A A tambm innito.e ae e9. Pode a interseao de uma quantidade innita de conjuntos innitos ser um conjunto c nito, mesmo se essa interseao for no-vazia ? c a 10. Prove que se A um conjunto innito e B um conjunto nito, existem f : A Be e sobrejetora e g : B A injetora. 11. Sejam A um conjunto innito e enumervel e B A um conjunto nito. Mostre a a que A B innito e enumervel. E poss e vel, nas condies anteriores, termosco A B innito e enumervel se B fosse innito ? a 12. Sejam A um conjunto no enumervel e B A um conjunto innito e enumervel.a a aa Mostre que A B no-enumervel. E posse a vel, nas condies anteriores, termos co A B no-enumervel se B fosse no-enumervel ?aaaa 13. Mostre que C no-enumervel.e a a 14. Mostre que o conjunto das funoes de N em {0, 1} no-enumervel.ce a a 15. Mostre que se f : A B uma bijeao. Mostre que se um dos conjuntos for c enumervel o outro tambm ser. Se trocarmos a palavra enumervel pela expresso ae a aa no-enumervel chegamos ` mesma concluso ?aa aa 16. Mostre que existe uma bijeao entre (N) e o conjunto das funes f : N {0, 1} . cco O que se pode dizer a respeito da enumerabilidade do primeiro ? 17. Mostre que o conjunto de todos os intervalos no degenerados de R no-enumervel. a e a a 18. Descubra o erro na seguinte demonstraao de que o conjunto da questo anterior ca e enumervel: Denotemos por {x1 , x2 , x3 , ...} o conjunto dos nmeros racionais e seja au I qualquer intervalo no degenerado. Cada I contm innitos nmeros racionais a eu xn , porm entre eles haver aquele que fornecer o menor ndice n. Denamos uma eaa funao f denida no conjunto dos intervalos no-degenerados em N por f (I) = n,ca 62. 60 CAPITULO 6. CARDINAISonde xn o nmero racional com menor eundice no intervalo I. Esta funao injetora c ee, portanto, o conjunto dos intervalos de R enumervel.e a6.4 Mais exemplos de n meros cardinaisuNo que segue, denotaremos o nmero cardinal de um conjunto A por |A|. uExemplo 6.4.1 Um nmero complexo z ser dito algbrico se for raiz de um polinmiou a e o p (x) = an xn + an1 xn1 + ... + a1 x + a0 ,onde an , an1 , ..., a0 Z e an = 0. Um nmero que no algbrico chamado de ua e eeTranscendente. No difcil vericar que todo nmero racional algbrico (provea euee como exerc cio). Alguns irracionais como 2 ou 2 + 3 so algbricos (prove a ecomo exerccio). Entretanto nem todos os irracionais so algbricos. Pode-se mostrar,a eveja [1], que e e so transcendentes. Nosso propsito nesse exemplo mostrar que ao eo conjunto dos nmeros algbricos enumervel e, portanto, tem cardinal 0 . Parau e e aisso, vamos introduzir a denio de altura de um polinmio com coecientes inteiros.ca oSeja p (x) = an xn + an1 xn1 + ... + a1 x + a0 . Denimos a sua altura como sendoh (p) = |an | + |an1 | + ... + |a1 | + |a0 | + n. Por exemplo calcule a altura dos polinmios op (x) = 2x3 + 5x2 e p (x) = x2 2, para voc se familiarizar com a noo. Agora ob