Livro - Clculo 3 - Prof. Sinvaldo Gama

Cap. 03: Funes vetoriais Prof. Sinvaldo GamaUNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOASCENTRO DE TECNOLOGIACURSO DE ENGENHARIA QUMICA

Clculo Diferencial e Integral III

Professor: Sinvaldo Gama

Macei-ALOutubro/2007

Sumrio

CAPTULO 1 FUNES VETORIAIS DE UMA VARIVEL REAL 3Seo 1.1: Curvas Parametrizadas3Seo 1.2: Limite e Continuidade9Seo 1.3: Derivada10Seo 1.4: Interpretao Geomtrica da Derivada13Seo 1.5: Interpretao Fsica da Derivada15Seo 1.6: Curvas em R18Seo 1.7: Comprimento de uma Curva22Seo 1.8: Parametrizao pelo Comprimento de Arco25Seo 1.9: Curvatura de uma Curva28Seo 1.10: Toro de uma Curva32

CAPTULO 2 FUNES REAIS DE VRIAS VARIVEIS REAIS 40Seo 2.1: Funes e Grficos40Seo 2.2: Limite e Continuidade42Seo 2.3: Derivadas Parciais48Seo 2.4: Regra da Cadeia (1 Verso)55Seo 2.5: Derivada Direcional56Seo 2.6: Funes Diferenciveis58Seo 2.7: Regra da Cadeia (2 Verso)66Seo 2.8: Gradiente e Derivada Direcional71Seo 2.9: Funes Implcitas74Seo 2.10: Mximos e Mnimos de Funes Reais84

CAPTULO 3 FUNES VETORIAIS103Seo 3.1: Funes Vetoriais103Seo 3.2: Limite e Continuidade109Seo 3.4: A Regra da Cadeia114Seo 3.5: O Teorema da Funo Inversa119

CAPTULO 1

FUNES VETORIAIS DE UMA VARIVEL REAL Seo 1.1: Curvas ParametrizadasQuando olhamos curvas, no plano, como grficos de funes reais, encontramos certos inconvenientes. Um deles que curvas como crculos, elipses etc., no so grficos de funes (note que estas curvas no obedecem restrio de uma funo s retas verticais).

Para estudarmos estas curvas, teremos que utilizar grficos de mais de uma funo. Por exemplo, para estudarmos o crculo unitrio , teremos que considerar as funes e .

S que estas funes tm a desvantagem de no serem diferenciveis em e, por conseguinte, no podemos utiliz-las para estudar as tangentes verticais ao crculo nestes pontos. Estes e outros inconvenientes podem ser evitados se mudarmos nosso ponto de vista com respeito s curvas. Em lugar de pensarmos numa curva como o grfico de uma funo, uma curva agora ser vista como imagem de uma funo uma funo vetorial. Com este propsito, a trajetria de uma partcula no plano ou no espao um modelo muito til para t-lo em mente quando se estudam curvas. Em , por exemplo, para cada tempo a partcula est localizada no ponto . Em verdade, a trajetria da partcula descrita por uma funo definida por .

Descreveremos, de modo geral, este fato a seguir, salientando que o termo curva ser usado tanto para quando nos referirmos a uma figura, como para quando nos referirmos a uma funo.

Definio 1.1.1: Seja um intervalo da reta. Uma funo

dita uma funo vetorial de uma varivel real ou uma curva parametrizada.

As n funes, , so chamadas funes coordenadas de . A palavra parmetro se refere varivel independente t da funo .

Para cada , o vetor chama-se raio vetor ou vetor posio da curva no instante . Representaremos este vetor como o segmento orientado que vai da origem do sistema coordenado ao ponto de coordenadas .

De um modo geral, se uma curva grfico da funo ,

observe que a mesma imagem da curva

.

Definio 1.1.2: O trao ou a imagem de o conjunto

.

Em palavras, a imagem de corresponde ao conjunto de todos os pontos no espao gerados pela variao possvel de cada . Nesta situao, diz-se que a funo parametriza seu trao ou que uma parametrizao do mesmo.

Exemplo 1.1.1: Seja

.

Observe que um ponto do crculo unitrio, j que . E vice-versa; todo ponto do crculo unitrio da forma para algum t. Portanto, o trao de o crculo .

Note que o crculo representa a trajetria de um ponto mvel no plano. medida que t cresce no intervalo a trajetria vai se formando no sentido anti-horrio.

Exemplo 1.1.2: Seja

,

onde e so pontos de .

O trao de a reta que passa por e paralela ao vetor .

Para cada valor de , representa um ponto sobre tal reta, e vice-versa; dado um ponto desta reta, existe algum tal que .

Observe que e como , as funes coordenadas de so

e .

Exemplo 1.1.3: O trao da curva parametrizada definida por a elipse . De fato, se e , ento

e ,

e assim, .

Exemplo 1.1.4: Qual o trao da curva parametrizada definida por ; , ?

Soluo: Inicialmente note que a projeo ortogonal de cada ponto da curva, no plano xy, o ponto pertencente circunferncia , . Isto significa que a curva est contida no cilindro .

Vale destacar ainda que as coordenadas e dos pontos e so iguais para cada . De fato,

.

Portanto, e esto sobre uma mesma reta vertical. Finalmente observemos que constante e igual a , a distncia entre e . De fato,

.

A constante denominada passo da curva. O trao , pois, a hlice circular abaixo. (A figura ilustrada apenas um esboo da forma geomtrica da hlice.)

No devemos confundir o trao de uma curva (a imagem da funo vetorial) como seu grfico. Este ltimo o conjunto

.

Observe que s teremos uma imagem geomtrica do grfico de uma funo vetorial quando seu contradomnio estiver contido em . Em nosso estudo, entretanto, raras vezes teremos necessidade de considerar o grfico de tal funo.

Exemplo 1.1.5: (Cicloide). A cicloide uma curva descrita por um ponto de uma circunferncia quando esta gira ao longo de uma reta sem escorregar. Consideremos um crculo de raio e centro e um ponto da mesma nesta posio. Da Geometria Euclidiana, sabemos que um arco que mede radianos, num crculo de raio tem comprimento . A figura abaixo, direita, mostra o ponto numa posio correspondente a um arco cuja medida radianos. O ngulo central correspondente tambm mede radianos. Observe que o segmento e o arco tm o mesmo comprimento .

Vemos tambm que

e .

Se , ento

e .Portanto, a curva

; parametriza a cicloide.

Exemplo 1.1.6: Obtenha uma equao parametrizada da curva obtida pela interseo do cilindro com o plano .

Soluo: A projeo da curva interseo no plano xy a circunferncia

, .Desta forma,

para .

Por outro lado, como est sobre o plano , ento todos os seus pontos satisfazem a equao deste plano, isto , teremos: , do que resulta,

; .Seo 1.2: Limite e Continuidade

Definio 1.2.1: Seja uma curva parametrizada e . Definimos o

quando existem os limites , .

Teorema 1.2.1: Sejam e curvas parametrizadas que possuem limite em . Ento,i. ; ii.

, ; iii. ; iv.

, onde e tm seus traos contidos em ; v. .

Definio 1.2.2: Dizemos que a curva contnua em se

.Seo 1.3: Derivada

Definiremos a seguir a derivada de uma funo e mostraremos como ela nos leva definio de reta tangente ao trao de .

Definio 1.3.1: Uma curva parametrizada dita diferencivel em , se existe o

que denotaremos por .

Se o limite acima existe para cada , dizemos que diferencivel no intervalo . Neste caso, a funo

tambm uma funo vetorial, denominada derivada de 1 ordem de .

Se tambm diferencivel em , ento sua derivada , chamada derivada de 2 ordem de . Uma funo vetorial dita de classe , no intervalo , se a n-sima derivada de existe e contnua em cada ponto do intervalo . Dizemos que de classe se a mesma for de classe para todo n.

Exemplo 1.3.1: Seja . Ento

, isto , .

Observe que , e que e .

O exemplo acima sugere que uma funo tem derivada num ponto se, e somente se, cada funo coordenada de tem derivada neste ponto. Isto verdade, e de fato, temos o seguinte teorema. Teorema 1.3.1: Se a curva parametrizada

diferencivel em , ento existem as derivadas . Alm disso,

.

Reciprocamente, se existem as derivadas , ento diferencivel em e

.

Prova: Parte 1. Suponhamos que diferencivel em . Ento,

Parte 2. Suponhamos agora que existem . Ento,

Teorema 1.3.2: (Regras bsicas de derivao). Sejam e funes diferenciveis em . Ento, , , e tambm o so e tem-se:i. ; ii. ; iii. ; iv. (Regra da cadeia). Se uma funo real, diferencivel, ento

; v. Se , ento

.

Teorema 1.3.3: Seja uma curva parametrizada, diferencivel em e k uma constante real. Se , , ento , , isto , o vetor posio perpendicular ao vetor , para todo . Reciprocamente, se , , ento existe uma constante real k tal que , .

Prova: Parte 1. Suponhamos que , . Ento,

e assim .Derivando ambos os membros, obtemos:

e da, .Parte 2. Exerccio.

Exemplo 1.3.2: Seja , . Temos que

, para todo .

Ento, pelo Teorema 1.3.3 acima, .

Poderamos constatar diretamente este fato, pois e assim

.

Pergunta: Toda curva parametrizada cujo vetor posio tem norma constante para todo , est contida numa circunferncia?Seo 1.4: Interpretao Geomtrica da Derivada

Veremos nesta seo como a derivada de uma curva parametrizada est relacionada com o conceito de reta tangente, como no caso de uma funo real. Para isso, consideremos o quociente,

e analisemos o seu comportamento quando .

Note que o vetor paralelo ao vetor . Estes tero o mesmo sentido se (como na figura acima) e sentidos contrrios se . O vetor , por sua vez, tem uma direo que dever tender para o que denominaremos direo da reta tangente curva no ponto , quando . O vetor , se existe e no nulo, denominado vetor tangente curva em . Seu sentido guiado pelo movimento da extremidade do vetor ao crescer t. claro que qualquer mltiplo no-nulo de tambm denominado vetor tangente, e a reta que passa por e com direo de chamada reta tangente curva em e ter equao paramtrica:.O vetor tangente usualmente desenhado com sua origem em , como indica a figura acima.Exemplo 1.4.1: Considere a reta , e . Temos que, para todo .

Desta forma, a tangente reta em cada um de seus pontos coincide com a prpria reta , propriedade esta que, evidentemente, era de se esperar. Exemplo 1.4.2: Se descreve uma circunferncia de centro e raio , ento , para todo .

Uma vez que o vetor tem norma constante, sua derivada lhe perpendicular (Teorema 1.3.3) e, portanto, perpendicular reta tangente correspondente. Conclui-se ento que, para cada circunferncia, a definio dada de reta tangente coincide com a dada na geometria euclidiana. Exemplo 1.4.3: Consideremos a hlice . Ento e assim .A reta tangente hlice em tem, pois, equao vetorial.Do exposto acima, vemos que se para cada , ento existe uma reta tangente a curva que contm o ponto e tem por direo o vetor . Para o estudo das curvas, essencial que exista uma reta tangente a em cada um de seus pontos. Definio 1.4.1: Um ponto para o qual dito um ponto singular de .Definio 1.4.2: Uma curva dita regular sei. diferencivel em ; ii. .Seo 1.5: Interpretao Fsica da DerivadaSe descreve a posio de uma partcula que se move no espao como funo do tempo, ento conceitos fsicos como vetor velocidade, velocidade escalar e vetor acelerao podem ser definidos em termos das derivadas de .

Definio 1.5.1: Seja uma curva parametrizada cujo trao descreve a trajetria de uma partcula em funo do tempo t. Definimos a velocidade escalar dessa partcula como sendo onde o comprimento do arco AB, e . Como para pequeno, ento.Assim,.O vetor denominado vetor velocidade e o vetor denominado vetor acelerao. Esta terminologia razovel, pois mede a razo da mudana do vetor posio com respeito ao tempo, que precisamente o que entendemos por velocidade. Da mesma forma, mede a razo da mudana do vetor velocidade com respeito ao tempo. A velocidade escalar fornece a taxa de variao do comprimento do arco (medido sobre a curva) com relao ao tempo. Ou seja, a grandeza do vetor velocidade nos informa sobre a rapidez com que a partcula est a mover-se em cada instante e a sua direo e sentido diz-nos para onde a mesma se move nesses mesmos instantes. O vetor velocidade variar se modificarmos a sua direo ou a sua grandeza (velocidade escalar) ou ambas. O vetor acelerao, por sua vez, d a medida desta variao.Exemplo 1.5.1: Consideremos o movimento retilneo descrito pela funo ; , onde P e so vetores constantes e . Temos ento, vetor velocidade: e vetor acelerao: . Vemos que e so no nulos, e que os vetores velocidade e acelerao so paralelos. Exemplo 1.5.2: Consideremos o movimento circular uniforme, em que a trajetria um crculo e o mdulo da velocidade angular constante, de modo que a partcula descreve arcos de crculo iguais em tempos iguais. Este movimento pode ser descrito pela funo vetorial, onde , , , .

Observe que quando , a partcula se encontra no ponto e move-se no sentido anti-horrio ao longo da circunferncia de raio a, com velocidade angular , constante. Temos assim: Vetor velocidade: , eVetor acelerao: .Neste caso, o vetor acelerao paralelo ao vetor posio, mas de sentido contrrio, e como perpendicular a , pois constante, segue-se que o vetor acelerao perpendicular ao vetor velocidade:

Se representarmos o vetor acelerao com sua origem coincidindo com o ponto que se move sobre a curva em , v-se que ele fica dirigido deste para o centro da circunferncia que a partcula descreve. Neste caso, denominada acelerao centrpeta. A reao de mesma intensidade e sentido oposto (devido a 3 Lei de Newton), isto , a fora dita acelerao centrfuga. Como exemplo de acelerao centrpeta, podemos considerar a atrao da gravidade no caso de um satlite em volta da Terra ou a fora exercida pelo mecanismo de uma pedra girando numa funda. De modo geral, esta fora exercida pelo mecanismo que obriga a partcula a uma trajetria circular.Seo 1.6: Curvas em RNa seo anterior vimos que no movimento retilneo o vetor acelerao paralelo ao vetor velocidade e que no movimento circular, com velocidade angular constante, o vetor acelerao perpendicular ao vetor velocidade. Nesta seo, veremos que num movimento qualquer, o vetor acelerao a soma de dois vetores perpendiculares entre si, um paralelo ao vetor velocidade e o outro perpendicular a esse mesmo vetor. Se o movimento no retilneo, esses dois vetores definem um plano que passa pelo ponto correspondente da curva e que se chama plano osculador da curva. Definio 1.6.1: Se, o vetor chama-se vetor tangente unitrio.

Observe que sendo , ento . Definio 1.6.2: Se , o vetor chama-se vetor normal principal.

Observe que .Definio 1.6.3: O plano determinado pelos vetores e denominado plano osculador da curva.

Plano osculadorDe modo geral, o plano osculador varia em cada ponto da curva. Mas se a curva plana (isto , todos os seus pontos pertencem a um mesmo plano), o plano osculador em cada ponto coincide com o plano da curva. De fato, se a equao cartesiana do plano que contm a curva (onde P um ponto da curva e n um vetor normal a ), ento os pontos desta curva devero satisfazer esta equao, isto ,, .Derivando ambos os membros desta identidade, obteremos: , .Portanto, e . Isto mostra que paralelo a , bem como a . Assim, e definem um plano paralelo ao plano . Quando esses vetores so desenhados no ponto , tal plano coincidir, portanto, com , o que prova o que afirmamos.Definio 1.6.4: O vetor definido por denominado vetor binormal.

Note que tambm unitrio. Com efeito,.Os trs vetores unitrios , e formam, nesta ordem, um triedro positivamente orientado cujos vetores so dois a dois ortogonais e denominado triedro de Frenet-Serret. Este triedro constitui, naturalmente, uma base para o espao vetorial . Portanto, qualquer vetor de pode ser escrito como combinao linear do terno , o qual varia em cada ponto da curva. Por serem vetores unitrios e ortogonais entre si, o conjunto ternrio , e considerado uma base ortonormal do .O teorema seguinte nos informa que em qualquer movimento o vetor acelerao fica situado no plano osculador da curva.Teorema 1.6.1: Se a funo vetorial descreve o movimento de uma partcula com velocidade escalar, ento o vetor acelerao uma combinao linear de e da forma.Se , ento.Da igualdade acima, conclui-se que o vetor acelerao est contido no plano osculador da curva.

Componente tangencialComponente normalComo podemos observar o vetor acelerao pode ser expresso como uma combinao linear dos vetores e . Na figura, e . Os vetores e so denominados, respectivamente, componente tangencial e normal do vetor acelerao, conforme expresso.Seo 1.7: Comprimento de uma CurvaSeja uma curva diferencivel. Sejam uma partio de , os subintervalos de , o comprimento do subintervalo e os pontos correspondentes no trao de . Liguemos estes pontos atravs de uma linha poligonal como indicado na figura abaixo.

Tomando-se os vetores posio dos pontos , tem-se que o comprimento do i-simo segmento da poligonal e o comprimento total da poligonal .Como , e so funes reais de classe , pelo teorema do valor mdio aplicado s funes x, y e z em cada intervalo , existem , e tais que:.Logo, .A rigor, a expresso acima no uma soma de Riemann, pois os , e no so necessariamente iguais. Utilizando-se um teorema sobre integrao que no ser discutido aqui e sendo uma funo contnua e , ento onde existe a possibilidade de haver diferentes . Aplicando o referido teorema possvel mostrar que o comprimento de arco de entre e , denotado por l, dado por: se contnua.Exemplo 1.7.1: (Comprimento da circunferncia) Seja , . Temos e assim, . Da, .

Exemplo 1.7.2: (Comprimento de uma espira da hlice) Seja , , . Temos e assim, . .

Exemplo 1.7.3: Seja uma funo real diferencivel. O grfico de f uma curva contida em , a qual trao da funo vetorial, , .

Se contnua, ento tambm o , e que a frmula, j conhecida por ns, do estudo das funes reais de uma varivel real.Seo 1.8: Parametrizao pelo Comprimento de ArcoUma curva pode ter muitas representaes paramtricas, mas existe uma que , num certo sentido, particularmente simples e til. Nesta representao, o parmetro o comprimento da curva medido a partir de algum ponto da mesma. Vejamos como podemos obter esta representao.Seja uma curva parametrizada regular. A funo definida por, mede o comprimento da parte de correspondente ao intervalo .

Observe que e , se l representa o comprimento total de . Portanto, a funo vetorial possui como domnio o intervalo fechado e contradomnio, o intervalo . Em notao funcional, .Como [pois e a norma de qualquer vetor sempre um valor maior ou igual a zero], a funo estritamente crescente. Portanto, uma funo injetiva no intervalo sendo assim, inversvel neste intervalo. Denotando-se por r sua inversa, teremos imediatamente que .A funo composta descreve a mesma curva que descreve, porm, com uma nova parametrizao, na qual a varivel , , representa o comprimento de arco de a .

Dizemos ento que a curva est parametrizada pelo comprimento de arco. Proposio 1.8.1: A reparametrizao possui as seguintes propriedades:i. , para todo ; ii. O comprimento do arco da curva corresponde ao intervalo s.Prova: Pela Regra da Cadeia, .Por outro lado, o teorema da funo inversa nos informa que, onde .Logo, e da,.Quanto segunda parte do teorema, note que, de fato,.

Pelo que acabamos de ver, quando uma curva est parametrizada pelo comprimento de arco, o tempo gasto para percorrer um arco da mesma coincide exatamente com o nmero que exprime o comprimento deste arco, isto , a distncia percorrida. Isto equivale a dizer que a parametrizao transforma um segmento de reta (domnio de ) numa curva de comprimento igual a ele mesmo.Exemplo 1.8.1: Reparametrize o crculo , pelo comprimento de arco.Soluo: Temos que e . Assim: .Da, . Temos ento, .Observe que e que o intervalo domnio da funo tem o mesmo comprimento que o trao de (crculo de raio ).Exemplo 1.8.2: Reparametrize a curva abaixo usando o comprimento de arco s como parmetro. , .Soluo: Temos que e . Logo: .Assim, e .Mais uma vez note que .Observao: Como vimos se a parametrizao pelo comprimento de arco de uma curva regular , ento , onde para e , onde o comprimento de . Derivando a primeira igualdade em relao a t, obtemos:, onde .Assim, , ou seja, .Derivando novamente esta ltima igualdade em relao a t, vem:. Da, e , ou seja, .Como e , segue-se que .Em geral, e so funes diferentes, definidas em intervalos diferentes. Porm, elas do exatamente a mesma descrio de mudana de direo do trao comum de e h, visto que em qualquer ponto da curva, os vetores e so os mesmos, como vimos acima. Consideraes anlogas valem para os demais vetores do triedro de Frenet. Seo 1.9: Curvatura de uma CurvaNesta seo, estamos interessados em obter uma maneira de avaliar o quanto uma curva se dobra (ou se curva) em cada um de seus pontos. Tentaremos dar uma medida numrica desta mudana de direo num ponto da mesma; este nmero ser chamado curvatura da curva naquele ponto. de se esperar que os resultados obtidos desta medida venham coincidir com as nossas experincias anteriormente adquiridas. Por exemplo, que uma reta, que no se curva em ponto algum, tenha curvatura zero em cada ponto. Que um crculo tenha curvatura constante, j que o mesmo se dobra do mesmo modo em cada ponto.

E ainda mais, que a curvatura do crculo seja inversamente proporcional ao seu raio, j que quanto menor for seu raio, mais ele se curva.

Esta medida deve tambm nos informar que a curva abaixo, se curva mais no ponto A do que no ponto B. De modo geral, quanto mais a curva se dobra, maior ser sua curvatura a.

Para fazer valer tais observaes, lanaremos mo dos vetores tangentes curva. Melhor dizendo, levaremos em considerao a taxa de variao do vetor tangente. Inicialmente observamos que no caso da reta, os vetores tangentes em cada ponto tm a mesma direo: a da reta. Portanto, a taxa de variao dos mesmos nula, isto , .

Para uma curva mais suave, como abaixo, os vetores tangentes variam de direo em cada ponto, mas no to bruscamente como na curva prximo ao ponto A, isto , a taxa de variao de em , no ponto B, bem menor que em , no ponto A. Portanto, a rapidez com que o vetor muda de direo, nos informa como a curva est se curvando num determinado ponto. Daremos ento a seguinte definio.

Definio 1.9.1: Seja uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Definimos a curvatura no ponto como sendo.O vetor denominado vetor curvatura. Observe que este vetor sempre ortogonal ao vetor tangente e, portanto, normal a . Se no est parametrizada pelo comprimento de arco, ento a curvatura dada por.Com efeito, como , se derivarmos a expresso em relao a s, teremos.Portanto, , isto , .Exemplo 1.9.1: (Curvatura da reta) Seja , . Temos e .Portanto, . Logo, para todo t.Exemplo 1.9.2: (Curvatura do crculo) Seja , . Temos e .Da, e . Assim, e .Portanto, constante a curvatura do crculo. Alm disso, v-se que a curvatura inversamente proporcional ao raio. Exemplo 1.9.3: (Curvatura da hlice) Seja , , . Temos e .Logo, e.Da, .Portanto, a hlice tambm possui curvatura constante, ou seja, ela se dobra do mesmo modo em cada um de seus pontos. Definio 1.9.2: Quando , denominado o raio de curvatura da curva.Uma curva com pequena curvatura num ponto tem, nesse ponto, um grande raio de curvatura e numa certa vizinhana do mesmo, a curvatura difere pouco de uma reta. Isto permite interpretar a curvatura como uma medida da tendncia para uma curva se desviar da forma retilnea.

Das curvas acima, nos pontos que pertencem ao eixo r, teremos, genericamente, as seguintes curvaturas: .O teorema a seguir relaciona a curvatura, a velocidade e a acelerao.Teorema 1.9.1: Se descreve um movimento com velocidade escalar e curvatura , ento.Prova: Do Teorema 1.6.1, sabemos que.Como , ento, .Portanto, .O teorema a seguir apresenta outra maneira de se obter a curvatura de uma curva em termos dos vetores e . Teorema 1.9.2: Se uma curva regular, ento .Prova: Temos que

j que . Como , teremos, portanto, .

Seo 1.10: Toro de uma CurvaObservemos que uma reta ao se curvar descreve um movimento em . Contudo, para que a mesma venha a descrever um movimento em , faz necessrio torcer tal curva. Na seo anterior, abordamos o problema da curvatura de uma curva. Nesta seo, cuidaremos do problema de se avaliar quanto uma curva se torce em cada ponto. Como no caso da curvatura, atribuiremos um valor numrico a esta grandeza; este nmero ser chamado toro da curva. Resta saber agora, qual o elemento responsvel por esta medida.

A ilustrao acima nos mostra uma curva regular , plana no intervalo e seus respectivos vetores tangente, normal e binormal num ponto pertencente curva neste mesmo intervalo. Observe que a partir do ponto a curva sai do plano (que coincide com plano osculador da curva no intervalo ).Observemos inicialmente que se uma curva plana, ento o vetor binormal no sofre variao de direo, uma vez que perpendicular ao plano osculador, o qual coincide, em cada ponto, com o plano da curva. Neste caso . Por outro lado, se a curva sai do plano, ento o vetor binormal sofre mudana de direo, pois ele ser ortogonal ao novo plano osculador no novo ponto da curva. Neste caso . Portanto, pela figura, deve-se deduzir que no intervalo a-b o vetor binormal no sofre variao de direo, mas somente a partir do ponto b. Com isto, pode-se concluir que indica quo rapidamente a curva se afasta do plano osculador em s, isto , quo rapidamente a curva se torce. Analisemos melhor este vetor .i. Como , , ento perpendicular a [Teorema 1.3.3]. Portanto, pertence ao plano osculador gerado por e . ii. Como , segue-se que , o que indica que perpendicular a j que .De (i) e (ii) conclumos que paralelo a , isto , , para . (iii)Multiplicando-se escalarmente ambos os membros de (iii) por , obtemos.Definio 1.10.1: O nmero denominado toro da curva em s.Analogamente, se uma curva regular, ento o vetor tambm paralelo ao vetor e assim , para . Portanto, .Por outro lado, como , segue-se que

isto , .Como , conclumos que mede a toro de em t.Exemplo 1.10.1: (Toro da hlice) Seja , , . Temos que e .Agora, , e.Portanto, . Por outro lado, .Da, e assim, .Portanto, a toro da hlice constante em cada ponto e vale.Expressaremos a seguir as derivadas , e em termos dos vetores , e .Teorema 1.10.1: (Frmulas de Frenet) Se uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com curvatura e toro , ento, para cada s,i. ; ii. ; iii. .Prova: (i) Como , ento .(ii) Sendo uma base de , ento existem escalares a, b e c tais que:.Assim, .Encontraremos agora estes coeficientes. Diferenciando a identidade , obtemos:.Portanto, . Por outro lado, visto que , ento e assim . Finalmente, como para todo s, ento.Portanto, e . (iii) Esta relao j foi estabelecida anteriormente quando definimos toro de uma curva.Resultados parecidos com as frmulas acima podem ser obtidos para as curvas no necessariamente parametrizadas pelo comprimento de arco. o que mostra o teorema seguinte.Teorema 1.10.2: Se uma curva regular com curvatura , toro e velocidade escalar , entoi. ; ii. ; iii. .Prova: (i) Seja h a reparametrizao do trao de pelo comprimento de arco. Sabemos que , onde . Da, .Portanto, .(iii) Como , , ento.Por conseguinte, .(ii) Faamos . Segue-se que, e .Como , para todo t, ento e assim, .Por outro lado, para todo t, ento e assim . Finalmente, sendo para todo t, segue-se que e, portanto, .Da, .O prximo teorema mostra outra maneira de se avaliar a toro de uma curva em termos os vetores , e . Teorema 1.10.3: Se uma curva regular, ento.Como observamos no incio desta seo, se uma curva plana, ento sua toro ; se , a curva torce, saindo de seu plano osculador. Portanto, de se esperar que quando for identicamente nula, a curva permanea sempre no mesmo plano. Formalizaremos a seguir este fato que caracteriza as curvas planas.Teorema 1.10.4: Seja uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com curvatura , para todo s. Ento uma curva plana se, e somente se, sua toro , para todo s.Prova: Suponhamos inicialmente que uma curva plana. J observamos anteriormente que, neste caso, em cada ponto o plano osculador coincide com o plano da curva. Como o vetor ortogonal ao plano osculador e, portanto ao plano da curva, segue-se que constante e como tal, . Por conseguinte, , .Reciprocamente, suponhamos que , . Isto significa que e desta forma, um vetor constante. Afirmamos que est contida no plano que passa por , , e ortogonal a . Precisamos, pois, provar que , .Consideremos a funo real f definida por.Temos que, , pois e est parametrizada pelo comprimento de arco. Como , ento, , para todo s, o que demonstra nossa afirmao. O teorema seguinte constitui uma caracterizao do crculo. Teorema 1.10.5: Seja uma curva plana parametrizada pelo comprimento de arco com curvatura constante . Ento um arco de crculo de raio . Prova: Devemos provar que existe um ponto c tal que a distncia de a c , para todo , isto ,.Isto nos motiva escrever, onde um vetor unitrio, o que sugere que se ento .Tomemos e consideremos a funo.Temos ento .Como , pois plana, ento, .Portanto, a curva constante, isto ,, .Por outro lado, a distncia de ao ponto c . O teorema acima tambm vale se no est parametrizada pelo comprimento de arco (verifique!). Exemplo 1.10.1: Mostre que a curva um crculo. Ache o centro e o raio do mesmo.Soluo: Inicialmente, observemos que uma curva plana. De fato, sendo e , segue-se que o plano que a contm. Calculemos a curvatura de . Temos que .Da, .Assim, . Ento,.Portanto, , .Logo um crculo de raio 5 e centro no ponto

.

Cap. 01: Funes vetoriais de uma varivel real Prof. Sinvaldo Gama

Clculo III CAPTULO 2

FUNES REAIS DE VRIAS VARIVEIS REAIS Seo 2.1: Funes e GrficosNeste captulo estudaremos as funes reais definidas sobre subconjuntos de , ou seja, as funes reais de vrias variveis reais. Muitos fenmenos que ocorrem na natureza so traduzidos por funes que, geralmente, no dependem de uma s, mas de duas, trs ou mais variveis independentes. Por exemplo, o volume de um gs depende de dois valores, a saber, a presso e a temperatura; , portanto, uma funo de duas variveis, conforme indica a equao de estado dos gases ideais: , onde P a presso, V o volume, T a temperatura e n e R so constantes. O volume de um cilindro, uma funo que depende de duas variveis: o raio da base e a altura do cilindro. Com frequncia, funes de vrias variveis surgem tambm na biologia, fsica, matemtica e engenharia. Estes fatos justificam, pois, um estudo detalhado de tais funes. Estudaremos neste captulo, conceitos como limite, continuidade e derivabilidade dessas funes. Mais adiante, sero estudados conceitos como mximos, mnimos e integrao, dentre outros. Definio 2.1.1: Seja D um subconjunto de , X um ponto de D e y um nmero real. Uma funo denominada uma funo real de n variveis reais. Visto que, escrevemosou. Se, escrevemos em vez de e em vez de . O conjunto D o domnio de f e ser denotado por e o conjunto

a imagem de f.Definio 2.1.2: Se f uma funo real de uma varivel, o grfico de f o subconjunto de definido por Semelhantemente, se f uma funo real de duas variveis, o grfico de o subconjunto do , definido por Como meio de aumentar a compreenso pela visualizao, um grfico til apenas para as funes ou . No Clculo I, representamos, geometricamente, as funes reais de uma varivel por curvas; para as funes reais de duas variveis, em geral, elas so representadas geometricamente por meio de superfcies. Em nosso estudo, examinaremos apenas funes cujos grficos tm tal representao. Uma maneira de melhor esbo-los atravs dos chamados conjuntos de nvel de , que so subconjuntos do domnio de sobre os quais constante.Definio 2.1.3: Seja uma funo e seja k um elemento da imagem de . O conjunto

denominado um conjunto de nvel de associado a k.

Di. Se , denominado uma curva de nvel de associada a k. ii. Se , chamado uma superfcie de nvel de associada a k.Observe que se , os conjuntos de nvel de so as intersees do grfico de com os planos . Seo 2.2: Limite e ContinuidadeDefinio 2.2.1: Seja e r um nmero real positivo. Denominamos bola aberta de centro e raio r, o conjunto

i. Se , o intervalo aberto ;ii. Se , o crculo de centro e raio r, excetuando-se sua circunferncia;iii. Se , a esfera centrada em e raio r, excetuando-se sua superfcie;

Analogamente, denominamos bola fechada de centro e raio r o conjunto i. Se , o intervalo fechado ;ii. Se , o crculo de centro e raio r;iii. Se , a esfera centrada em e raio r;

Definio 2.2.2: Um subconjunto D do aberto quando em cada ponto existe uma bola aberta contida em D. Definio 2.2.3: Um subconjunto D do dito limitado se existe uma bola aberta de raio centrada na origem que o contenha. Caso contrrio, D dito ilimitado.

Definio 2.2.4: Dizemos que um ponto interior a um subconjunto D do se e se existe alguma bola aberta centrada em e contida em D.

Definio 2.2.5: Dizemos que um ponto exterior a um subconjunto D do se e se existe alguma bola aberta centrada em e tal que .

Definio 2.2.6: Dizemos que um ponto fronteira de um subconjunto D do se no nem interior e nem exterior a D.

Ex.:

Nota: O conjunto de todos os pontos fronteira de um conjunto chamado fronteira do conjunto. Quando todos os pontos fronteira de um conjunto pertencem a ele, o mesmo chamado um conjunto fechado (na figura, ponto fronteira e B um conjunto fechado).Definio 2.2.7: Seja D um subconjunto aberto do e uma funo definida em D exceto possivelmente em . Dizemos que tem limite em torno do ponto e escrevemos

se dado um nmero real qualquer, existe um nmero real tal que quando, ento .Com outras palavras, dado , existe uma bola aberta , centrada em e de raio tal queSe , ento .

Pergunta: O que significa dizer que a funo no tem limite L em torno de ? Resposta: Significa que existe um nmero real tal que para todo , existem pontos para os quais .

Nem sempre tarefa fcil provar a existncia do limite de uma funo usando-se a definio de limite. Uma dificuldade que se apresenta que tal definio no nos indica como obter o limite que ele existe. Observe que a definio, para ser usada, requer o conhecimento prvio do limite (!). Faremos a seguir uma lista de certas propriedades dos limites que nos indicar uma tcnica para o clculo do limite de uma funo a partir do conhecimento do limite de outras funes. Mais precisamente, temos o seguinte teorema:Teorema 2.2.1: Sejam , e funes definidas no subconjunto aberto D de , exceto possivelmente em . Se e , ento i. ; ii. ; iii. se ;iv. Se e g limitada, isto , para todo X em alguma bola aberta centrada em , ento ;v. Se , para todo , ento ;vi. Se , para todo e , ento h possui limite em e .ContinuidadeGrosso modo, uma funo contnua aquela cujos valores no sofrem variaes bruscas, isto , se X est prximo de ento deve estar prximo de . Como se observa essa ideia est relacionada ao conceito de limite. Entretanto, isso no significa dizer que se uma funo tem limite em torno de um ponto, que neste ponto ela seja contnua, uma vez que na definio de limite no se exige que a funo esteja definida no ponto no qual estamos considerando o limite. Mais precisamente, temos a seguinte definio:Definio 2.2.8: Seja D um subconjunto do , e uma funo. Dizemos que f contnua em se

isto , dado qualquer, existe tal que se , ento .Diz-se que contnua em D quando contnua em cada ponto de D.Teorema 2.2.2: Seja D um subconjunto aberto do . Se so funes contnuas em , ento so tambm contnuas em as funes e desde que .Teorema 2.2.3: (Continuidade da funo composta). Seja D um subconjunto aberto do . Se uma funo contnua em e se contnua em , onde , ento contnua em . Prova:

Como contnua em , dado existe tal que, se , ento .Portanto, se, ento .Como f contnua em , dado , podemos encontrar um tal que,se , ento e assim .Mostraremos no prximo teorema que todo funcional linear de em contnuo em todo ponto de .Teorema 2.2.4: Se um funcional linear, entoi. para algum inteiro ;ii. T contnuo em todo ponto do .Prova: (i) Sejaa base cannica de . Se , ento e pois T linear. Da, .Como , ento .Fazendo , obtemos .(ii) , pelo item anterior. Portanto, dado , tome . A continuidade de vrias funes pode ser deduzida facilmente com a aplicao repetida dos dois seguintes corolrios. Corolrio 2.2.1: As funes

, e

so contnuas em , onde . Prova: Observe que P1 e P2 so funcionais lineares e, portanto, pelo teorema anterior, so contnuas em . Mais geralmente, as funes

, onde .so contnuas em , pois so funcionais lineares.Corolrio 2.2.2: As funes

, e so contnuas em , pois so funcionais lineares. Prova: Como S um funcional linear, pelo teorema 2.4, S contnuo . Quanto funo P, observe que .Seo 2.3: Derivadas ParciaisPara estendermos as tcnicas do Clculo s funes definidas em precisamos do conceito de derivada parcial. Comecemos com uma funo real , definida em , isto ,

Se fixarmos uma das variveis, digamos , obteremos uma funo que depende de uma nica varivel .Definio 2.3.1: A derivada da funo no ponto , isto ,

quando existe, chamada a derivada parcial de f em relao a x no ponto .Notaes: .Pergunta: Qual o efeito, no domnio de , ao restringirmos a varivel ? Resposta: O domnio de fica reduzido a um segmento de reta (segmento na figura abaixo).

Pergunta: Qual o efeito, no grfico de , ao restringirmos a varivel ? Resposta: O grfico de fica reduzido curva a qual justamente a interseo do grfico de (que uma superfcie) com o plano . Note tambm que a curva o grfico da funo .

Nota: Observe que , onde e1 = (1,0). Como sabemos a expresso , representa a equao de uma reta que passa pelo ponto e paralela ao vetor . No caso em questo, devemos restringir os valores de h de modo que fique contida no domnio D da funo .

Podemos ento escrever:

e deste modo ao calcularmos a derivada , estamos restringindo o domnio de f a um segmento de reta que passa por X0 e tem direo do vetor e1 e calculando a a sua taxa de variao.Definio 2.3.2: A derivada da funo no ponto , isto ,

quando existe, chamada a derivada parcial de f em relao a no ponto .Notaes: .Pergunta: Qual o efeito, no domnio de , ao restringirmos a varivel ? Resposta: O domnio de fica reduzido a um segmento de reta (segmento na figura abaixo).

Pergunta: Qual o efeito, no grfico de , ao restringirmos a varivel ? Resposta: O grfico de fica reduzido curva a qual justamente a interseo do grfico de (que uma superfcie) com o plano . Note tambm que a curva o grfico da funo . Note tambm que a curva o grfico da funo .

Nota: Observe tambm que , onde e1 = (0,1). A expresso , representa a equao de uma reta que passa pelo ponto e paralela ao vetor . No caso em questo, devemos restringir os valores de h de modo que fique contida no domnio D da funo .

Podemos ento escrever: , isto , calcular significa obter a taxa de variao de ao longo do segmento de reta que passa por e tem direo do vetor . Interpretao Grfica das Derivadas ParciaisAssim como o valor da derivada ordinria num ponto o declive da reta tangente ao grfico naquele ponto, a derivada parcial o declive, no ponto , da reta tangente curva descrita no incio desta seo. Analogamente, podemos observar que o declive, no ponto , da reta tangente curva . (veja os grficos correspondentes nas pginas 52 e 53.)Plano TangenteDefinio 2.3.3: Definimos o plano tangente ao grfico de no ponto , como sendo o plano definido pelos vetores tangentes, e , respectivamente, s curvas e neste ponto.

Equao do Plano Tangente Sejam e . Os vetores tangentes a e so, respectivamente: e Agora, seja

o vetor normal ao plano tangente. Ento a equao do mesmo ser:, ou seja, , para.Derivadas Parciais e ContinuidadeSabemos que se uma funo real de uma varivel derivvel num ponto, ento ela contnua nesse ponto. O exemplo seguinte mostra-nos que a existncia das derivadas parciais num ponto, no implica necessariamente a continuidade da funo nesse ponto.A funo possui derivadas parciais em mas no contnua neste ponto. Com efeito,

Por outro lado, e . Portanto, no existe e no contnua em . Do exposto, resulta que o conceito de derivada parcial, embora seja uma ideia bastante til, no uma boa generalizao do conceito de diferenciabilidade para funes de vrias variveis reais. Acreditamos que uma boa generalizao dever implicar na continuidade da funo, porque isso o que acontece no caso das funes reais de uma varivel.Derivadas Pariciais de Ordem Superior Podemos repetir indefinidamente a operao que consiste em calcular derivadas de uma funo, contanto que as derivadas existam. Usaremos as seguintes notaes:i. ;ii. ; iii. ; iv. ; v. ; vi. .Exemplo 2.3.1: Seja . Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de .Soluo: ; ; ; ; ; .Note que , para todo .Exemplo 2.3.1: Seja . Determine e .Soluo: e . e .Note mais uma vez a igualdade entre as derivadas parciais mistas, isto , .Em geral, no certo que (basta, para isso, que a funo considerada seja descontnua em algum ponto de ). Contudo, sob hipteses de continuidade, estas duas derivadas parciais mistas so iguais. No teorema seguinte se estabelecer este resultado.Teorema 2.3.1: Seja D um subconjunto aberto de e uma funo tal que e so contnuas em D. Ento.Seo 2.4: Regra da Cadeia (1 Verso)Teorema 2.4.1: Seja uma funo cujas derivadas parciais existem no ponto . Seja uma funo real diferencivel em , onde . Ento tem derivadas parciais em e .Prova: Por comodidade, consideraremos .

Fazendo , tem-se

onde . Assim,

onde . Analogamente,.Seo 2.5: Derivada DirecionalComo vimos na Seo 3, a derivada parcial de uma funo real mede a taxa de variao da funo numa certa direo coordenada. Por exemplo, se , ento mede a taxa de variao de f em relao a x, na direo do vetor e mede a taxa de variao de f em relao a y, na direo do vetor . Geometricamente, elas descrevem o comportamento de f (crescimento e decrescimento) quando, a partir do ponto caminhamos na direo do eixo dos x ou na direo do eixo dos y. Quando desejamos medir a taxa de variao da funo f numa direo arbitrria, usamos a derivada direcional.Definio 2.5.1: Seja , D aberto, e seja u um vetor unitrio do . A derivada direcional de f no ponto na direo u, denotada por , o limite.

Como D aberto, para valores de t suficientemente pequenos. O domnio de o subconjunto do domnio de f para o qual o limite acima existe. Observao: Consideremos a reta , onde a e b so escolhidos de tal maneira que a imagem de esteja contida em D.

Seja , com . Temos, e isto , .Derivada Direcional e Continuidade Tivemos oportunidade de observar na Seo 3, que uma funo pode ter derivadas em um ponto e a mesma no ser contnua neste ponto. O fato surpreendente que mesmo sendo a derivada direcional uma generalizao do conceito de derivada parcial, uma funo pode ter num ponto derivadas direcionais em todas as direes e deixar de ser contnua neste ponto. Por exemplo, considere a funo

Seja e um vetor unitrio qualquer. Ento temos:

.Fazendo , encontramos, se .Se , entretanto,.Por conseguinte, existe para todas as direes u. Por outro lado, f assume o valor em cada ponto da parbola (exceto na origem), de forma que, claramente, f no contnua em uma vez que .Este exemplo nos mostra que derivadas direcionais bem como derivadas parciais no so generalizaes completamente satisfatrias, em , da noo de derivada em .Interpretao Grfica da Derivada DirecionalLembramos que a derivada parcial de f em relao a x a inclinao da tangente curva a qual a superfcie interceptada por um plano perpendicular ao plano xy, e paralelo ao vetor e1 = (1,0). Da mesma forma, a derivada direcional da funo f numa direo u, num ponto X0 = (x0, y0), d a inclinao da reta tangente curva segundo a qual a superfcie interceptada por um plano perpendicular ao plano xy e paralelo ao vetor u.

Sendo o ngulo dessa tangente com o plano xy, isso significa que

Esta derivada positiva se cresce medida que X se desloca, a partir de , na direo do vetor u, e negativa se decresce.Seo 2.6: Funes DiferenciveisO propsito desta seo fornecer uma generalizao adequada do conceito de derivada de uma funo real de uma varivel. Quando estudamos a diferenciao de funes de vrias variveis, considerando-as como uma funo de uma nica varivel (mantendo todas as outras fixas), isto nos levou ao conceito de derivada parcial. Na generalizao de um conceito, esperamos manter as propriedades consideradas importantes; no caso em questo, por exemplo, que a existncia da derivada de f implique na continuidade. Como observamos anteriormente, nem as derivadas parciais nem tampouco a derivada direcional preenchem este propsito. Passaremos, a seguir, a motivar uma definio de diferenciabilidade em que preencha os requisitos necessrios para uma boa generalizao do conceito de derivada em . Direfenciabilidade em Lembramos que uma funo diferencivel em se existe um nmero tal que.Esta equao certamente deixa de ter sentido no caso de uma funo definida em, pois estaramos a dividir por um vetor. Nossa tarefa a seguir, a de obter uma forma equivalente de diferenciabilidade em que seja passvel de generalizao. Para isso, consideremos a funo definida por, onde .Segue-se que, e

ou Fazendo , obtemos . Assim, , onde ou equivalentemente, . Por outro lado, sabemos que um espao vetorial e que as aplicaes lineares de em so da forma

onde uma constante real e determina T, sendo nica para cada aplicao linear de em . Desta forma, o termo que aparece na frmula acima pode ser interpretado como sendo o valor de h da aplicao linear

, onde .Por conseguinte, podemos tambm considerar a derivada de f em no como um nmero, mas como uma aplicao linear que transforma em . Sob este ponto de vista daremos a seguir outra definio de diferenciabilidade de uma funo.Definio 2.6.1: Dizemos que diferencivel em se existe um nmero real e uma aplicao linear , dada por , tal que, onde .T a chamada diferencial ou derivada de em que tambm denotamos por .Observe que fizemos uma mudana na nomenclatura: para ns agora, a aplicao linear que ser chamada de derivada de no ponto e no o nmero , como temos at agora usado. evidente que a existncia da aplicao linear exigida na definio acima, est condicionada existncia do nmero e vice-versa, como facilmente se verifica. Esta troca de nomenclatura se prende facilidade de expresso que teremos quando passarmos a considerar questes de diferenciabilidade de funes definidas em .Direfenciabilidade em Estamos agora em condies de definir diferenciabilidade para funes de duas ou mis variveis.Definio 2.6.2: Seja , D aberto e . Dizemos que diferencivel em , se existir um funcional linear tal que, onde .Note que .s vezes conveniente escrever o resto sob a forma , donde e .O funcional linear T denominado a diferencial ou a derivada de f em , que denotamos tambm por , isto , .Mostraremos mais adiante que o funcional linear T, quando existe, nico.Observe que se e so os vetores da base cannica de , ento.Teorema 2.6.1: Se f diferencivel em , ento f contnua em .Prova: Sendo f diferencivel em , existe um funcional linear tal que , onde .Assim, , pois sendo T linear, contnua em 0 e como tal, . Por outro lado, .Portanto, .Mostraremos a seguir que se f for diferencivel em , ento f admitir derivadas parciais em e ser o nico funcional linear que goza da propriedade.Mais precisamente temos o seguinte teorema.Teorema 2.6.2: Se diferencivel em , ento .Em particular, T nico.Prova: Sendo f diferencivel em , existe um funcional linear T tal que e .Pondo , vem:

Assim, e j que . A unicidade de T decorre da unicidade do limite. A igualdade do teorema acima bastante til, pois ela nos mostra que forma deve ter o funcional linear T, quando ele existe. Porm, vale ressaltar que a recproca do Teorema 6.2 falsa, isto , a existncia do limite no implica a existncia de T; isto est relacionado com o fato de que apesar do limite da expresso existir ele pode no depender linearmente de X como deveria ser, caso a funo fosse diferencivel. A utilidade da expresso no teorema acima a de nos indicar um candidato a funcional linear T, procedendo-se da seguinte maneira:1. Calcula-se o limite;2. Verifica-se se ele depende linearmente de X;3. Verifica-se se o limite encontrado satisfaz a definio de diferenciabilidade;4. Usando a unicidade de T, conclui-se que o limite encontrado o funcional linear procurado.Corolrio 6.2.1: Se f diferencivel em , ento todas as derivadas parciais, , existem e da forma .Prova: De fato, se no teorema acima, tivermos , , ento, e como j observamos antes, T da forma

.A matriz da aplicao linear T com relao base cannica de , portanto, , denominada matriz jacobiana de em .Conclui-se, portanto, do Corolrio acima, que para provar que uma funo f diferencivel em suficiente provar que admite derivadas parciais em e que.Corolrio 6.2.2: Se f diferencivel em , ento existe a derivada direcional em qualquer direo u e .Ademais, uma combinao linear das componentes de u. Mais precisamente, se , ento.Prova: Pelo Teorema 2.6.2, temos.A segunda parte do Corolrio decorre imediatamente do corolrio anterior.Critrio de Diferenciabilidade Assim como a derivada de uma funo de uma varivel pode no existir, tambm em geral, uma funo de vrias variveis no necessariamente diferencivel em todo ponto, como tivemos oportunidade de ver em exemplos anteriores. Por outro lado, se f diferencivel em , existem todas as derivadas parciais . No obstante, como sabemos a existncia de todas essas derivadas no implica necessariamente que f seja diferencivel em . O teorema a seguir fornece um critrio de diferenciabilidade conveniente. Este resultado bastante importante, pois em muitas ocasies mais fcil verificar a continuidade das derivadas parciais do que a diferenciabilidade diretamente pela definio.Teorema 2.6.3: Seja , D aberto e . Se existem as derivadas parciais e so contnuas em , ento f diferencivel em .Definio 2.6.3: Seja , D aberto. Dizemos que f de classe em D ou continuamente diferencivel se as derivadas parciais existem e so contnuas em D. de classe em D, se as derivadas parciais de ordem k existem e so contnuas em D. Se este fato ocorre para todo inteiro positivo k, ento dita de classe .Alm disso, o teorema anterior assegura que se de classe em D, ento f diferencivel em D.Fazemos agora uma pequena aplicao do conceito de diferenciabilidade.Aproximaes Sabemos que se diferencivel em , ento, com .Evidentemente, , pois de modo que para pequeno, .Portanto, a funo afim que aproxima f numa vizinhana de . A figura abaixo ilustra este fato para o caso de funes de uma varivel.

Note que .No caso limite, e desta forma, se h suficientemente pequeno, podemos afirmar que . a funo afim que aproxima numa vizinhana de.Exemplo 2.6.1: Obter um valor aproximando para . Soluo: Seja . Temos . Assim:.Exemplo 2.6.2: Obter um valor aproximando para .Soluo: Seja . Temos assim e deste modo:.Exemplo 2.6.3: Obter uma aproximao para .Soluo: Consideremos a funo . f diferencivel em j que e so contnuas.Assim, .Aqui, e . Temos ento:

e .Da, .O Vetor GradienteO vetor que iremos introduzir agora sugerido de modo natural pela expresso da segunda parte do Corolrio 6.2.2.Definio 2.6.4: Seja uma funo que admite derivadas parciais em . O vetor. denominado gradiente de em . Do exposto nesta seo, podemos concluir que a derivada de em dada por.Mais adiante, destacaremos as principais propriedades do vetor gradiente.Seo 2.7: Regra da Cadeia (2 Verso)Uma das frmulas mais teis no Clculo das funes de uma varivel a regra da cadeia, utilizada para calcular a derivada da composta de duas funes, a saber, . A generalizao para funes de vrias variveis igualmente valiosa e, devidamente formulada, bastante fcil de enunciar. Na Seo 4, analisamos a funo composta onde e . Nesta seo provaremos a regra de derivao da composta , de uma funo com uma curva parametrizada . Como veremos, o teorema seguinte fornece esta regra em termos do gradiente de f.Teorema 2.7.1: (Regra da Cadeia) Sejam , D aberto e tais que , para todo . Suponhamos que diferencivel em e que f diferencivel em . Ento a composta diferencivel em e tem-se.

Prova: Por definio, .Visto que D aberto, existe uma bola aberta contida em D. Por outro lado, sendo diferencivel em , ela contnua nesse ponto. Ento podemos escolher de modo que quando , tem-se . Se , ento. Observe que quando , pois contnua em . Temos agora, .Como f diferencivel em , ento, com .ou . Da, . Mas .Portanto, quando , . Isto , . Observao: Fazendo e , ento e .Resulta, ento, a regra da cadeia em termos das componentes , que escreveremos mais sucintamente: . Melhor ainda; note que se com , ento, ficando subentendido que calculada em quando for calculada em t.Exemplo 2.7.1: Seja , onde e , sendo f uma funo diferencivel em . Verifique que:.Soluo: Considerando constante, obtemos:.Considerando agora r constante, obtemos:.Resolvendo o sistema formado nas variveis e obtemos:.Exemplo 2.7.2: Suponha de classe , , e . Admita que a imagem da curva , , esteja contida no grfico de f. (a) Calcule . (b) Ache a equao da reta tangente a no ponto .Soluo: O grfico de f o conjunto . Se ento . Da, .(b) , mas . Portanto,.Como , a equao da reta tangente a no ponto :.Exemplo 2.7.3: Sendo uma funo definida por , onde e , determine .Soluo: Temos e . Portanto,. Temos assim: e .Da mesma forma, e .Alm disso, e . Desta maneira, e . Logo, .Exemplo 2.7.4: Considerando a funo , calcule .Soluo: Tomemos e , onde representa a funo h sob os novos parmetros x e y, isto , . Usando a regra da cadeia, obtemos:.Em , , para e .Como , ento .Sendo , ento.Alm disso, como e , ento e .Substituindo-se os valores obtidos na equao inicial do problema, obtm-se.Seo 2.8: Gradiente e Derivada DirecionalO gradiente, por ser um vetor, apresenta aspectos geomtricos muito convenientes para dar informaes a respeito do comportamento da funo, como veremos a seguir. O gradiente tambm particularmente til na anlise dos conjuntos de nvel de uma funo. Inicialmente recordemos que um conjunto de nvel S de uma funo f um conjunto de pontos X satisfazendo , para alguma constante . Como vimos no incio deste captulo, se , o conjunto S se chama curva de nvel e se , S se chama superfcie de nvel. Antes de enunciarmos as propriedades do gradiente, veremos as seguintes definies.Definio 2.8.1: Um vetor v dito perpendicular a uma curva num ponto , se v perpendicular ao vetor velocidade de em .Definio 2.8.2: Dizemos que um vetor v perpendicular a uma superfcie S, num ponto , se v perpendicular ao vetor velocidade, em , de qualquer curva diferencivel contida na superfcie e que contm .

Teorema 2.8.1: Seja uma funo diferencivel num conjunto aberto D. Seja se . Entoi. A derivada direcional , a componente escalar de na direo do vetor unitrio u;ii. O valor mximo de e ocorre quando ;iii. O vetor gradiente de f em perpendicular superfcie (ou curva) de nvel de f que contm .Prova: (i) Pelo Corolrio 6.2.2, .

(ii) . Desta forma, ter o valor mximo quando , isto , quando a direo do vetor u coincidir com a direo de . Neste caso, . O valor mximo de , pois, . Como a derivada direcional mede a taxa de variao de f numa certa direo, o teorema acima nos diz que a direo do gradiente a de crescimento mais rpido da funo. (iii)

Seja S um conjunto de nvel de . Seja , isto , , . Consideremos uma curva arbitrria contida em S, definida parametricamente por e tal que e , . Temos ento que para todo . Portanto, .Isto nos diz que , se no nulo, perpendicular ao vetor tangente . Desta forma, normal em aos vetores tangentes de toda curva diferencivel passando por esse ponto e contida em S. Da definio anterior, , por conseguinte, normal a S em . Estes vetores tangentes determinam um plano, e o vetor gradiente, , normal ao mesmo. Tal plano denominado plano tangente superfcie S em . Exemplo 2.8.1: Seja . Determine u de modo que seja mximo e encontre esse valor.Soluo: Como visto anteriormente, mximo quando . O e . Assim, e .Alm disso, .Exemplo 2.8.2: Determinar a equao do plano tangente superfcie de nvel da funo que passa pelo ponto . Soluo: Como , a superfcie de nvel passa pelo ponto . O vetor gradiente e . Desta forma, a equao do plano tangente superfcie de nvel em , pois:, ou seja, .Seo 2.9: Funes ImplcitasJ estamos bastante familiarizados com a ideia de uma curva dada como grfico de uma funo explcita, . Entretanto, a equao de uma curva no plano geralmente dada na forma . Por exemplo, as equaes , , ,representam uma reta, uma circunferncia e uma hiprbole, respectivamente. Elas so relativamente simples, podendo ser resolvidas em relao a y, o que resulta na definio de uma ou mais funes, em cada caso:, , , respectivamente.s vezes, embora seja impossvel explicitar y, pode-se, no entanto, resolver a equao em relao a x, e obter a funo como ocorre no seguinte exemplo: de onde se obtm . No caso mais geral, no se pode resolver a equao nem em relao a y, nem em relao a x e o exemplo seguinte ilustra esta situao: .No obstante, muitas vezes ainda possvel interpretar y como funo de x ou x como funo de y em equaes como essa.Convm observar, entretanto, que nem toda funo define y como funo de x ou x como funo de y. Por exemplo, a equao verificada apenas para e , ao passo que no satisfeita para nenhum par de valores reais. , portanto, necessrio estudarmos este assunto mais detalhadamente, a fim de sabermos quando uma equao do tipo define a funo ou a funo , e, tambm, para conhecermos as propriedades particulares destas funes. O objetivo desta seo proporcionar condies suficientes sobre F que garantam que a equao define uma funo ou derivvel, e obter uma frmula para e em termos de F. Analisaremos tambm o caso numa situao geral, onde o nmero de variveis qualquer. Este o teorema das funes implcitas.Definio 2.9.1: A funo est definida implicitamente pela equao se para todo . Da mesma forma, est definida implicitamente pela equao se para todo y no domnio de g.Note que F uma funo real definida em . O zero que aparece no segundo membro da equao acima pode ser substitudo por qualquer constante c. Mas como equivalente a , costume absorver a referida constante na funo F.Em certos casos (como aqueles mostrados no incio desta seo), fcil definir funes tais que . Contudo, se, por exemplo,, no de nenhuma maneira bvio que existe uma funo tal que .Analisaremos a seguir o problema em pauta. Inicialmente estudaremos o caso em que . Se considerarmos que define uma superfcie em , ento a equao representa uma curva de nvel de F. Seja um ponto desta curva.

Na figura acima, evidente que para x prximo ao ponto a existe uma funo que satisfaz . Isto se deve ao fato de que prximo do ponto , cada reta vertical intercepta a curva uma s vez. Esta precisamente a condio necessria e suficiente para garantir que se pode escrever e ter , para x prximo de a. Analogamente, se y est prximo de b, ento existe aparentemente uma funo que satisfaz , visto que prximo de , cada reta horizontal intercepta o grfico de uma nica vez. A situao em torno do ponto algo diferente. Na vizinhana deste ponto, retas verticais interceptam o grfico de duas vezes (para ) ou nenhuma vez (para ). Assim, no existe uma funo definida na vizinhana do ponto que satisfaa . Contudo, existe uma funo definida numa vizinhana de que satisfaz . A figura parece indicar que, se a reta tangente no vertical, pode se encontrar a funo desejada na forma . Da mesma forma, se a reta tangente no horizontal ento se pode encontrar uma funo da forma que satisfaz . O teorema seguinte formaliza o exposto acima.Teorema 2.9.1: Seja , D aberto, uma funo continuamente diferencivel. Seja tal que e . Ento existe um intervalo aberto I, centrado em a e uma nica funo tal quei. ; ii. , para todo ;iii. f continuamente diferencivel e.Prova: Ser feita no captulo seguinte.Este resultado simtrico em x e em y, isto , se , ento existe um intervalo aberto J, centrado em b e uma nica funo tal quei. ; ii. , para todo ;iii. g continuamente diferencivel e.Observao: Se ou , o teorema nada pode afirmar. Com efeito, se , ento F de classe , , e . Entretanto a funo identicamente nula, , est definida implicitamente por . Exemplo 2.9.1: Suponha que e so funes diferenciveis e que , para todo x no domnio de f, isto , f definida implicitamente pela equao . Use a regra da cadeia para calcular . Soluo: Considere . A regra da cadeia aplicada identidade produz , isto , e assim, .Analogamente, se temos , ento e, portanto .Exemplo 2.9.2: Seja e seja . Sendo e e , ento pelo teorema da funo implcita, existe uma funo definida numa vizinhana de , onde: i. ; ii. , isto , , e da . (Como , a raiz negativa no satisfaz);iii. f continuamente diferencivel e .(Observe que a expresso acima pode ser obtida diretamente da funo f.)Analogamente, como , e, existe tambm uma funo definida numa vizinhana de , tal que: (i) ; (ii) , isto , ou seja, ; e da(iii) .Exemplo 2.9.3: Seja . Mostre que a equao define implicitamente uma funo numa vizinhana do ponto e obtenha . Soluo: (1) ; (2) e . Portanto, existe uma funo definida implicitamente pela equao e .Da, .Exemplo 2.9.4: Calcular o declive da curva de nvel do parabolide elptico que passa pelo ponto . Soluo: Convm observar inicialmente que pertence de fato ao parabolide j que para e tem-se . A curva de nvel dada , pois, da forma .

Basta ento mostrar que a equao define implicitamente uma funo numa vizinhana do ponto . Para isso, veja que , e . Portanto, existe uma funo tal que , e . De modo que . Exemplo 2.9.5: Em quais pontos a equao define implicitamente ? Obtenha nesses pontos. Soluo: Temos . Portanto, nos pontos onde e , a equao dada define implicitamente uma funo do tipo .Considerando , sua derivada nestas condies :.Generalizamos agora o teorema da funo implcita para o caso das funes de duas variveis.Teorema 2.9.2: (Teorema da funo implcita) Seja uma funo continuamente diferencivel definida no subconjunto aberto D de . Seja e suponha que , mas . Ento existe uma bola aberta B contida em centrada em e uma nica funo tal quei. ; ii. , para todo ;iii. f continuamente diferencivel e e .Exemplo 2.9.6: Mostre que a equao define implicitamente uma superfcie no ponto . Ache a equao do plano tangente mesma neste ponto.Soluo: Seja que . Temos ento, ; e . Portanto, existe um aberto contendo o ponto e uma nica funo tal que e . Isto significa dizer que a equao define implicitamente a funo , . Seu grfico , portanto, uma superfcie.Observe que um ponto da superfcie j que . O grfico de est contido na superfcie de nvel , precisamente aquela em que . Como o perpendicular a esta superfcie em e sendo e , ento a equao do plano tangente em ser, isto , .Exemplo 2.9.7: Seja . Verifique se existe uma superfcie que passa pelo ponto e que seja definida implicitamente mediante a equao . Em caso afirmativo, determine a equao do plano tangente superfcie em A. Soluo: Como , consideremos a funo , isto , . Temos: ; e .Isso mostra que define implicitamente uma superfcie (grfico da funo ) que passa por e seu plano tangente tem equao, com , ou .Exemplo 2.9.8: Seja . (a) Mostre que a equao acima define z como funo de x e y, isto , no ponto .(b) Achar o valor de c para que .(c) Calcular e .Soluo: e , o que prova o item (a). (b) Para , e , tem-se e assim . Da, . (c) e ; e .Curvas Definidas Implicitamente como Intersees de Superfcies Consideremos duas superfcies com representaes implcitas dadas por

(I) e

Pergunta-se, ento, sob quais condies impostas a F e G, possvel obter funes e , tais que

para todo num certo intervalo aberto ? Com outras palavras, possvel resolver o sistema (I) acima com respeito varivel , isto , possvel expressar as variveis e em funo de , obtendo-se assim a curva-interseo das superfcies de nvel dadas em (I)? Em caso afirmativo, a curva soluo do sistema ser dada localmente por . Usando a regra da cadeia, podemos escrever as derivadas e sem um conhecimento explcito de e . Com efeito,, isto , .Nos pontos onde o determinante principal desse sistema no nulo, o mesmo admite uma s soluo (segundo a regra de Cramer) a qual pode expressar-se por e .O exposto acima pode se resumido no seguinte teorema.Teorema 2.9.3: Sejam funes continuamente diferenciveis no conjunto aberto D. Seja , onde . Se o determinante, em ,ento existem um intervalo aberto I com e um nico par de funes e definidas e continuamente diferenciveis em I tais que:i. e ;ii. , para , isto , as equaes e definem implicitamente y e z como funes de x e e , onde os determinantes so calculados no ponto . Exemplo 2.9.9: Dadas as equaes (a) Mostre que numa vizinhana do ponto cada uma delas define implicitamente superfcies em . (b) Mostre que numa vizinhana do ponto elas definem as funes e .(c) Calcule e .(d) Calcule a equao da reta tangente curva de interseo das superfcies definidas em (a), no ponto .Soluo: (a) Temos que: , e .Isto prova (a).(b) , e ,o que prova (b).(c) e .Estes resultados podem tambm ser encontrados derivando-se implicitamente as equaes dadas, com relao a x, resolvendo-se o sistema obtido.(d) Sendo , , e , a equao da reta tangente .Exemplo 2.9.10: O sistema define implicitamente x e y como funes de z em uma vizinhana do ponto ?Soluo: Designando por e a primeira e a segunda equaes respectivamente, temos: e em .Portanto, o sistema acima define e . Alm disso, e .Seo 2.10: Mximos e Mnimos de Funes Reais1. Extremos Locais e AbsolutosAs definies abaixo nos mostram que as definies de mximo e mnimo para funes de vrias variveis so as mesmas que no caso de funes de uma varivel, isto :Definio 2.10.1.1: Dizemos que uma funo real tem um valor mximo absoluto em , se para todo , . dito ponto de mximo de f e o valor mximo absoluto de f. Analogamente, dizemos que f tem um valor mnimo absoluto em , se para todo . dito ponto de mnimo de f e o valor mnimo absoluto de f. Definio 2.10.1.2: Diz-se que um valor mximo local ou um valor mnimo local de f, se existe uma vizinhana de tal que ou , respectivamente, para todo .Um valor mximo ou mnimo de chama-se valor extremo de . Um ponto onde assume um valor extremo chama-se ponto extremo de .Estabeleceremos, a seguir, as condies que devem ser satisfeitas por uma funo f, no ponto , para que a mesma tenha valor extremo em tal ponto.2. Caracterizao de Extremos LocaisTeorema 2.10.2.1: Se uma funo definida no conjunto aberto D, tem um valor extremo local num ponto e se as derivadas parciais de primeira ordem existem em , ento .Prova: Suponhamos que f tem um valor mximo local em . Como D aberto, , , pertence a D, para valores pequenos de h, e.Se , ; Se , .Os limites laterais acima existem e so iguais uma vez que as derivadas parciais de f existem em . Desta forma,.O argumento no caso de mnimo local anlogo.Definio 2.10.2.1: Um ponto no qual chama-se um ponto crtico de f. Geometricamente, se ponto crtico de , ento o grfico de f possui um plano tangente horizontal nesse ponto. A recproca do teorema anterior falsa. Ou seja, a anulao de todas as derivadas parciais em no implica necessariamente que haja um valor extremo de f em . Isto acontece nos chamados pontos de sela.Definio 2.10.2.2: Um ponto crtico chama-se um ponto de sela, se toda bola aberta centrada em contm pontos e para os quais e .Ou seja, um ponto crtico um ponto de sela de uma funo f se toda bola centrada em contiver dois pontos e tais que . Note que pelo teorema acima, para localizar extremos locais de uma funo com derivadas parciais no interior do seu domnio basta restringirmos nossa ateno aos pontos crticos de . Esta definio anloga quela de ponto de inflexo para o caso de funes reais de uma varivel real como j vimos. 3. Mximo e Mnimos de Funes ContnuasDefinio 2.10.3.1: Um ponto dito um ponto fronteira do conjunto , se toda bola aberta centrada em contm pontos de D e pontos que no pertencem a D. A fronteira de D, denotada por , o conjunto cujos elementos so os pontos fronteira de D.Definio 2.10.3.2: Um subconjunto D do dito fechado, quando o mesmo contm todos os pontos de sua fronteira. Um conjunto dito limitado quando o mesmo est contido em alguma bola aberta centrada na origem. Caso contrrio, ele dito ilimitado. Teorema 2.10.3.1: Seja uma funo contnua, onde D um subconjunto fechado e limitado. Ento assume um valor mximo e um valor mnimo em D, isto , existem pontos tais que, para todo .O Teste HessianoO teorema a seguir fornece uma condio suficiente, sob determinadas condies, para decidir se um ponto crtico ponto de mximo local, mnimo local ou ponto de sela. Apresentaremos o teste para funes de duas variveis. O caso de funo de mais de duas variveis ser visto posteriormente (Teorema 2.10.3.3). Antes, porm, faremos a seguinte definio:Definio 2.10.3.3: Seja uma funo de classe . A matriz hessiana de f num ponto definida como .O determinante da matriz acima ser denotado por e denominado de o hessiano de em . Note que uma matriz simtrica. No caso , o hessiano dado por .Teorema 2.10.3.2: Seja, D aberto, uma funo cujas derivadas parciais de segunda ordem so contnuas em D (como no caso acima). Se ponto crtico de f entoi. Se e , ento ponto de mnimo local;ii. Se e , ento ponto de mximo local;iii. Se , ento ponto de sela;iv. Se , no podemos afirmar nada sobre a natureza do ponto crtico . Na hiptese iv, pode ser um ponto de mximo local ou de mnimo local ou pode ser um ponto de sela. Com efeito,a) Se , ento ponto crtico e . fcil ver que ponto de mnimo.b) Se , ponto crtico e , mas ponto de mximo.c) Se , ponto crtico e , mas ponto de sela j que toda vizinhana de contm pontos (os do 1 quadrante) para os quais e outros (os do 2 quadrante) para os quais .Antes de enunciarmos o caso geral, relembremos o seguinte fato da lgebra Linear:Proposio 2.10.3.1: Seja uma matriz com coeficientes reais simtrica. Ento possui n autovalores reais (contados conforme sua multiplicidade). Alm do mais, podemos escolher os n autovalores de modo que formem uma base ortonormal de . Em suma, existem nmeros reais e vetores tais que e onde deve ser entendido como o produto da matriz pelo vetor coluna .Teorema 2.10.3.3: (Caso geral) Seja uma funo de classe . Suponha que um ponto crtico de f. Sejam os autovalores da matriz hessiana de em e o hessiano de em . Temos:i. Se para todo , ento ponto de mnimo local;ii. Se para todo , ento ponto de mximo local;iii. Se existirem dois autovalores e com sinais opostos, ento ponto de sela de f;iv. Nos demais casos, isto , (a) , para todo e existe um autovalor ou(b) , para todo e existe um autovalor no podemos afirmar nada sobre a natureza do ponto crtico .Exemplo 2.10.1: Classifique os pontos crticos de .Soluo: Temos que se e somente se ou .A matriz hessiana de .Assim temos: e .Da primeira matriz conclumos que todos os autovalores so positivos. Portanto, ponto de mnimo local. Da segunda, vemos que ponto de sela, pois a matriz hessiana possui um autovalor positivo e um negativo.Exemplo 2.10.2: Classifique os pontos crticos de .Soluo: Temos que se e somente se .Temos .O polinmio caracterstico desta matriz :.Note que um autovalor da matriz acima. Como e , vemos que existe tal que , ou seja, eiste tambm um autovalor positivo. Portanto, um ponto de sela. O teorema a seguir, que um resultado da lgebra Linear, fornece uma condio necessria e suficiente para decidir se uma matriz simtrica apresenta todos os autovalores positivos ou todos negativos.Definio 2.10.3.4: Seja uma matriz de ordem n. O menor principal de ordem da matriz definido como o determinante da submatriz e denotado por . Teorema 2.10.3.4: Seja uma matriz simtrica de ordem n. i. A fim de que todos os autovalores de A sejam positivos necessrio e suficiente que para todo ;ii. A fim de que todos os autovalores de A sejam negativos necessrio e suficiente que para todo k mpar, e para todo k par, .Observao: A parte (ii) segue de (i) notando que .Exemplo 2.10.3: Deseja-se construir uma caixa sem tampa com a forma da um paraleleppedo regular com certo volume V. Determine as dimenses da caixa para que se gaste o mnimo de material possvel.Soluo: Denotemos por x e z as dimenses da base da caixa e por y a sua altura. Desta forma e a rea total da caixa . Logo, como V dado, teremos.O nosso problema se resume em achar o ponto de mnimo de A. Note que a regio que estamos trabalhando e .Vamos procurar os pontos crticos de A:, ou seja, .Logo e voltando s equaes, obtemos , e .Agora, .Assim, e .Logo, pelo critrio do hessiano vemos que um ponto de mnimo local de A. Na verdade, trata-se de um mnimo global. A verificao pode ser vista da seguinte maneira. Para cada fixo a funo

Possui um mnimo global, pois e e ele ocorre em (note que esta a nica soluo de ). O valor mnimo .Logo, .Por outro lado, a funo , que representa o mnimo de para cada fixado, tambm possui um mnimo global, pois e e este mnimo ocorre para y tal que , isto , quando , ou seja, quando . Isto nos d .Assim, para todo e , temos.Portanto, um ponto de mnimo global. Finalmente, as dimenses da caixa so:, e .4. Extremos CondicionadosEm muitas aplicaes o problema de achar os extremos de uma funo apresenta-se sujeito a certas condies nas variveis independentes. O fato interessante nisso que apesar de algumas funes no possurem, por natureza, valores extremos (como ocorre em planos, retas, circunferncias e elipses horizontais), se restringirmos o domnio destas funes a um conjunto especial de valores, ou seja, se as condicionarmos a certos conjuntos de funes, a situao pode ser revertida e estas podem passar a t-los.Exemplo 2.10.1: Determinar os extremos da funo definida no conjunto .Soluo: Temos que e . Portanto o nico valor extremo de f no interior da elipse ocorre quando . Claramente este valor um mnimo, visto que . Analisemos agora os extremos de f na fronteira de D, isto , na elipse , cuja parametrizao dada por ; .Temos ento: e . Deste modo, quando , ou . Portanto, F pode ter valores extremos em , , , e . Como, , , , , , conclumos que f tem um valor mnimo absoluto igual a em e um valor mximo absoluto igual a nos pontos e . Observe que os dois extremos de F correspondentes a e so apenas extremos locais de f em D. Apresentaremos a seguir outra soluo do exemplo anterior. Temos que e assim:.Portanto, f quando restrita elipse reduz-se a uma funo F de uma varivel. Analisemos os extremos de F. e seu ponto crtico. Como , segue-se que ponto de mximo de F. Fazendo-se em obtemos . Temos, portanto, . Visto que , conclumos que o valor mnimo absoluto de f no ponto e o valor mximo absoluto e ocorre nos pontos e .Exemplo 2.10.2: Uma caixa retangular sem tampa dever ter de rea de sua superfcie. Determine as dimenses que lhe asseguraro um volume mximo.Soluo: Sejam x, y e h o comprimento, a largura e a altura da caixa, respectivamente.

Como a mesma no possui tampa, sua rea total ser dada por e assim, . Desta forma, . Temos ento: e .O sistema , isto , fornece como ponto crtico de V, o qual no satisfaz ao problema proposto. Por outro lado, se , temos.Da, , ou seja, , pois e . Disto decorre que e assim . Portanto, . Como s h um ponto crtico, ento ponto de mximo de V, cujas coordenadas so as dimenses procuradas da caixa.

5. O Mtodo dos Multiplicadores de LagrangeO Problema de Um VnculoSuponha que e sejam funes de duas variveis com derivadas parciais contnuas em um aberto de . O problema que passaremos a estudar encontrar os extremos da funo quando esta est sujeita condio que . Isto , queremos encontrar os pontos dentro do domnio de e restritos ao vnculo (ou condio lateral) que maximizem ou minimizem os valores de . Note que o vnculo representa uma curva de nvel da funo , que assumiremos ser tal que . Para cada a equao tambm representa uma curva de nvel da funo e variando obteremos uma famlia de curvas de nvel de . Se tal curva de nvel de , digamos de nvel , intercepta a curva transversalmente, isto , de modo que uma no seja tangente outra, ou ainda, os vetores e so linearmente independentes no ponto de interso, ento para valores de prximos a a curva de nvel tambm interceptar . Isto significa que no pode ser valor de mnimo nem de mximo de sobre o vnculo. Desta maneira, s pode atingir um valor extremo (mximo ou mnimo) sobre a curva num determinado ponto se a curva de nvel for tangente a em , ou seja, se para algum . Observe as situaes ilustradas na figura abaixo.

Reta tangente comumNote que as observaes acima podem ser verificadas da seguinte forma: Suponha que a curva seja representada na forma paramtrica por , tal que . Sobre esta curva, a funo dada por . Desta forma, para anilisar os extremos de sobre basta encontrar os extremos de que uma funo de uma varivel. Supondo que ento um extremo d , caso exista, deve ocorrer em algum tal que . Mas.Assim, substituindo e colocando , vemos que , ou seja, deve ser ortogonal a . Como ortogonal s curvas de nvel de , segue-se que em as curvas de nvel e devem ser tangentes e, portanto, para algum .Observe que as condies para algum e so equivalentes a que seja um ponto crtico da funo de trs variveis dada por .De fato, um ponto crtico de F se e somente se.Mas as duas primeiras equaes acima so equivalentes a e a terceira a . Concluso Alternativa: Sabemos que e . Alm disso, como para algum , ento: ou, equivalentemente, (declive da tangente comum)Do resultado acima podemos concluir que a constante (aquela que transforma e em vetores de igual comprimento, direo e sentido) corresponde tambm inclinao da reta tangente comum s curvas e , no ponto .

Reta tangente comumCoeficiente angular da reta tangente comum

Da equao anterior, segue-se que .Jutando-se ao sistema a condio , teremos equivalentemente, , que representa o ponto crtico da funo .O raciocnio acima pode ser aproveitado para o caso de mais variveis. Vejamos quando e so funes de trs variveis satisfazendo as mesmas hipteses anteriores, isto , so funes de classe e . Esta ltima condio garante que define uma superfcie de nvel tal que para cada existem duas curvas , tais que e e so linearmente independentes.

Vetores tangentes linearmente independentes.Superfcie de nvel Se um extremo de restrita condio ento as funes e tambm alcanaro um extremo quando , correspondente a . Derivando, obtemos as relaes: e .Como e so linearmente independentes, vemos que deve ser ortogonal ao plano gerado por estes dois vetores em . Como ortogonal a esse plano, segue-se que para algum . Este resultado se estende para variveis e o argumento a ser usado anlogo, bastando tomar curvas contidas em passando por um mesmo ponto e cujos vetores tangentes formam um conjunto linearmente independente. Com estes resultados, afirmamos o seguinte teorema.Teorema 2.10.5.1: (Multiplicador de Lagrange) Se um ponto extremo de uma funo diferencivel sujeita condio , onde continuamente diferencivel e , ento ponto crtico da funo , para algum , isto , .Este sistema serve para determinar , e . Teremos assim, um candidato a ponto extremo, a saber, . Isso porque, em geral, no se sabe se existe ou no tal ponto. Exemplo 2.10.1: Encontre o ponto sobre o plano mais prximo ao ponto e encontre tambm esta distncia.Soluo: Devemos minimizar a funo sujeita condio . Convm observar, entretanto, que se satisfaz o vnculo e minimiza a funo F, ento este mesmo ponto minimiza a funo . Esta observao facilita nos clculos das derivadas parciais, pois basta trabalharmos com , que no envolve radicais. Desta forma, o problema se resume a encontrar o mnimo de sujeita condio , isto , encontrar o ponto crtico da funo .De acordo com o teorema 2.10.5.1, um ponto que satisfaz estas duas condies deve satisfazer, para algum , as equaes.Temos assim,

ou ainda, .Com este resultado encontramos:.Logo, o ponto encontrado o ponto situado sobre o plano cuja distncia at o ponto mnima, a qual dada por: , de onde obtemos finalmente: ou seja, .Exemplo 2.10.2: Determine os pontos da elipse para os quais a reta tangente forma com os eixos coordenados um tringulo de menor rea. Em seguida, calcule essa rea.Soluo: Devemos aqui minimizar a rea do tringulo formado pela interseo da reta tangente com os eixos coordenados (a regio em destaque na figura abaixo) sujeita condio . Pela figura, esta rea dada por .

Devemos, pois, encontrar os pontos crticos de . Temos:.Dividindo-se a primeira equao pela segunda, obtemos:.Assim, ou ,do que resulta, em ambos os casos: e .Logo, os pontos , , e so os pontos da elipse que tornam o tringulo com a menor rea possvel. Alm disso, em qualquer um desses pontos, a rea correspondente ser .O Problema de Dois VnculosVamos considerar o problema de achar os extremos de uma funo de trs variveis sujeita s condies e .Teorema 2.10.5.2: Suponha que as funes , D aberto, sejam funes continuamente diferenciveis. Seja e suponha que os vetores e sejam linearmente independentes em . Ento, se um extremo de restrita a , existem constantes e tais que .Prova: Seja um extremo de sobre . Vamos assumir que um ponto de mximo de sobre . A condio que os gradientes de e so linearmente independentes em garante que os pontos de prximos a podem ser descritos por uma curva suave , com satisfazendo , e . Assim, a funo que escalar e de uma varivel atinge um mximo em e, portanto, devemos ter . Mas, pela regra da cadeia, e assim, . Como , temos que . Derivando estas duas ltimas igualdades (use a regra da cadeia) e colocando , obtemos que e . Desta forma, vemos que o vetor no-nulo ortogonal aos vetores e e como estes dois ltimos so linearmente independentes, o conjunto forma uma base para o . Logo, existem constantes , e tais que o que implica em , onde denota o comprimento do vetor que no-nulo. Portanto, e obtemos o que queramos provar:.Exemplo 2.10.3: Determine os semi-eixos da elipse dada pela interseo do cilindro com o plano .Soluo: Como o plano passa pela origem e o eixo do cilindro dado por , vemos que o centro da elipse a origem. Assim, precisamos encontrar os pontos sobre a elipse que esto mais prximos e mais afastados da origem. Tendo em vista observaes anteriores, basta encontrarmos os extremos de (o quadrado da distncia) sujeita aos vnculos e . Note que e so claramente linearmente independentes: basta observar a componente de dos dois vetores. Pelo teorema 2.10.5.2, os extremos de sujeita aos vnculos devem satisfazer, para algum e algum , as equaes .Assim, que para nos fornece . Pelas restries (vnculos), obtemos e que resultam nos pontos e .Agora, se ento e, portanto, . Desta forma, os vnculos se reduzem a ou ,dando os pontos e . Temos e . Assim, o semi-eixo maior dado pelo segmento ou e tem comprimento igual a e o menor dado pelo segmento ou e tem comprimento igual a . Os vrtices da elipse so os pontos e .

Cap. 02: Funes reais de vrias variveis reais Prof. Sinvaldo Gama

CAPTULO 3

FUNES VETORIAIS Seo 3.1: Funes VetoriaisNeste captulo estudaremos as funes definidas sobre subconjuntos de com valores em ; so as chamadas funes vetoriais. As mais simples destas funes so as transformaes lineares as quais, como sabemos, podem ser representadas por matrizes e cuja estrutura estudada na lgebra Linear. Estudaremos agora as funes vetoriais que no so necessariamente lineares. Definio 3.1.1: Seja um subconjunto do . Uma funo vetorial uma funo onde e um vetor com m coordenadas, isto , , onde so as funes coordenadas de f e , .Quando no informamos explicitamente o domnio de uma funo f, convencionamos que o mesmo ser o conjunto de valores para os quais um vetor bem definido em , ou seja, as coordenadas de so nmeros reais. Definio 3.1.2: Se , a imagem de , denotada por ou , o conjunto.Se , indicaremos por o conjunto , e diremos que transforma o conjunto A no conjunto .Exemplo 3.1: (Coordenadas polares). Seja . Consideremos como coordenadas de X os nmeros r e como indicados na figura abaixo, isto , os quais denominamos as coordenadas polares de X.

Se x e y so as coordenadas cartesianas de X, ento Consideremos agora a seguinte funo definida por.(a) Qual a imagem por T do retngulo , contido no plano ?(b) Qual a imagem por T do retngulo , contido no plano ?(c) Que figura geomtrica transformada por T, no crculo , em ?(d) Prove que T injetiva se e .Soluo: (a) Observe que T deve ser aplicada a todos o