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Universidade de Braslia

Instituto de Fsica

Terceira Lista de Exerccios de Fsica I

Questo 1Um avio de transporte segue a rota indicada na figura.Primeiramente ele voa, a partir da origem do sistema de co-ordenadas mostrado, para uma cidade localizada a 175km nadireo 30.0o nordeste. Em seguida, ele voa 153km a 20.0o

noroeste para a cidade B. Finalmente o avio voa 195km aoeste para a cidade C. Encontre o local da cidade C relativo origem.

Soluo

Seguindo o sistema de coordenadas e os vetores mostrado na figuratemos:

ax = acos(30.0o) = (175km)(0.866) = 152km

ay = asen(30.0o) = (175km)(0.500) = 87.5km

analogamente para os vetores b e c:bx = bcos(110.0

o) = 52.3kmby = bsen(110.0

o) = 144kmcx = ccos(180.0

o) = 52.3kmcy = csen(180.0

o) = 0somando as componente:

Rx = ax + bx + cx = 152km 52.3km 195km

Rx = 95.3kmRy = ay + by + cy = 87.5km + 144km + 0

Rx = 232km

assim: R = (95.3i + 232j)km

Questo 2Uma pessoa anda ao longo de uma trajetria circular de raiode 5, 00m. Suponha que a pessoa caminhe somente metadedo crculo. Encontre: (a) a magnitude do vetor deslocamentoe (b) o quanto a pessoa andou. (c) Qual a magnitude dodeslocamento, se a pessoa andar por todo o crculo?

Soluo

a) |d| = |10, 0i| = 10, 0m uma vez que o deslocamento uma linhareta do ponto A ao ponto B.

b) A distncia real no igual ao deslocamento em linha reta.O quanto a pessoa andou segue a trajetria curva do semi-crculo(ACB).

s =1

2(2r) = 5 = 15, 7m

c) Se a pessoa andar todo o crculo, ento d comea e termina noponto A. Assim, |d| = 0

Questo 3O vetro A tem magnitude de 8, 00 unidades e faz um ngulode 45, 0o com o eixo x positivo. O vetor B tambm tem magni-tude de 8, 00 unidades e dirigido ao longo do eixo x negativo.Usando mtodos grficos, encontre: (a) o vetor soma A + Be (b) o vetor diferena B ASoluo

(a) Usando o mtodo grfico, coloque o fim do vetor B na ponta dovetor A. O novo vetor soma ter magnitude 6, 1 a 112o do eixo x.(b) O vetor diferena encontrado colocando o negativo do vetor Bna ponta do vetor A. O vetor diferena tem magnitude de 14, 8 a22o do eixo x.

Questo 4Em notao de vetores unitrios, (a) determine a soma dos ve-tores: a = 4i3j e b = 3i+2j. (b) Qual o mdulo e a direode a + b?Soluo

(a)Em notao vetorial o para determinar a soma de vetores bastasomar suas componentes. Assim sendo s = a + b, sx = ax + bx =4 3 = 1 e sy = ay + by = 3 + 2 = 1. Portanto s = ij(b)O mdulo do vetor

s =s2x + s2y =

(ax + bx)2 + (ay + by)2

substituindo valores, s =

2. A direo dada por

tg =sysx

=ay + byax + ay

substituindo os valores e isolando o ngulo: = 45

o

Questo 5Dois vetores so dados por a = 4i 3j + k e b = i +j + 4k.Encontre (a) a + b. (b) ab e um vetor c tal que ab + c = 0Soluo

Questo 6Dados dois vetores a = 4i3j e b = 6i+8j encontre os mdulose direes (Com relao ao eixo x) de (a) a, (b) b, (c) a - b e(d) b - a.

Soluo

Questo 7Use a definio de produto escalar e a propriedade a b =axbx + ayby + azbz para calcular o ngulo entre os dois vetoresa = 3i + 3j + 3k e b = 2i +j + 3k

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Soluo

Questo 8Dois vetores de mdulos a e b formam o ngulo entre siquando tm origem comum. Prove, tomando componentes aolongo de dois eixos perpendiculares, que o mdulo de sua soma

r =

a2 + b2 + 2abcos.

Soluo

Questo 9Um paraleleppedo tem dimenses a, b, e c como mostrado nafigura. (a) Obtenha a expresso para o vetor diagonal de faceR1. (b) Determine a magnitude deste vetor. (c) Obtenha aexpresso para o vetor diagonal do corpo R2. (d) Prove que amagnitude do vetor R2

a2 + b2 + c2.

Soluo

Pela figura, R1 = ai + bj. |R|1 =a2 + b2.

R2 = ai + bj + ck

cuja magnitude

|R1|2 + c2 =

a2 + b2 + c2

Questo 10Em geral, a posio instantnea de um objeto especificadopelo seu vetor posio P, que sai de uma origem fixa paraa localizao do objeto. Suponha que para um determinadoobjeto o vetor posio seja uma funo do tempo, dada porP = 4i + 3j 2tj, onde P dado em metros e t em segundos.Determine dP

dt. O que essa grandeza representa?

Soluo

dP

dt=

d(4i + 3j 2tj)dt

= 0 + 0 2j = (2, 00m/s)jO vetor posio em t = 0 4i + 3j. Em t = 1 4i + 1j e assim pordiante. O ob jeto move-se em trajetria descendente 2m/s.

dP

dtrepresenta o vetor velocidade.

Questo 11Mostre que ab pode ser expresso por um determinante 33como

a b =

i j k

ax ay akbx by bk

.

Soluo

Questo 12

Na figura abaixo, uma mquina pesada foi erguida com o aux-ilio de uma rampa inclinada de um ngulo = 20, 0o, onde amquina deslizou ao longo de uma distncia d = 12, 5m. (a)De quanto a mquina foi erguida verticalmente? (b) De quantoa mquina foi deslocada horizontalmente?

Soluo

Por decomposio de vetores temos: (a) hy = d sin substituindoos valores encontramos h = 4, 28m. (b) hx = d cos substituindo osvalores encontramos h = 11, 7m.

Questo 13

Dois vetores so dados por: a = 4, 0mi 3, 0mj + 1, 0mk eb = 1, 0mi+ 1, 0mj + 4, 0mk Em termos de vetores unitrios,encontre (a) a +b,(b) a b e (c) um terceiro vetor c tal queab + c = 0.Soluo

(a)

a +b = (4 + (1))i + (3 + 1)j + (1 + 4)k

a +b = (3)i + (2)j + (5)k

(b)

ab = (4 (1))i + (3 1)j + (1 4)k

ab = (5)i + (4)j + (3)k

c) b a = c sendo assim c = (5)i + (4)j + (3)k.

Questo 14

Em um jogo de xadrez de gramado, onde as peas so movidasentre os centros de quadrados de 1, 00m de lado, um cavalo movido da seguinte forma: (i) dois quadrados para frente, umquadrado para a direita; (ii) dois quadrados para a esquerda,um quadrado para frente; (iii) dois quadrados para frente, umquadrado para a esquerda. Qual o modulo do deslocamentoresultante do cavalo ao final da srie de trs movimentos?

Soluo

Com i direcionado para a frente e j direcionado para a esquerda,encontramos pela soma de vetores d = 5i + 2j.

Questo 15Na figura abaixo um cubo de lado a tem um de seus vr-tices posicionado na origem de um sistema de coordenadas xyz.Uma diagonal de centro uma linha que vai de um vrtice aoutro passando pelo centro. Em termos dos vetores unitrios,qual a diagonal de centro que se estende a partir do vrticede coordenada (a, 0, 0)?

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Soluo

Do ponto (a, 0, 0) com correspondente vetor posio ai, o ponto diametricamente oposto o ponto (0,a ,a) com vetor posio aj + ak.Assim o vetor ao longo da linha a diferena ai + aj + ak.

Questo 16

Um vetor A tem mdulo igual a 6, 00 unidades, outro vetor Btem mdulo igual a 7, 00 unidades, e A B vale 14, 0. Qual ongulo entre eles?

Soluo

Pela definio de produto vetorial temos : cos = A B/AB substi-tuindo os valores temos = 70, 5o.

Questo 17

Um vetor a de mdulo igual a 10 unidades e um outro vetor bde mdulo igual a 6, 0 unidades diferem em sentidos por 60o.Encontre o produto escalar dos dois vetores e o mdulo doproduto vetorial ab.Soluo

O produto escalar dos dois vetores a b = ab cos =10.6, 0. cos 60o = 30. A magnitude do produto vetorial dos doisvetores |ab| = ab sin = 10.6, 0. sin 60o = 52.

Questo 18Se d1 d2 = 5d3, d1 d2 = 3d3, d3 = 2i+ 4j, ento, quais so,em termos de vetores unitrios, (a) d1 e (b) d2?

Soluo

Resolvendo as equaes simultneas temos:(a) d1 = 4 d3 = 8i + 16j. (b) d2 = d3 = 2i + 4j.

Questo 19Um homem sai para caminhar, partindo da origem de um sis-

tema de coordenadas xyz, com o plano xy horizontal com oeixo x para o leste. Carregando uma moeda sem valor, elecaminha 1000m para o leste, 2000 para o norte, e ento deixacair a moeda em um penhasco de 500m de altura. Em termosde vetores unitrios qual o deslocamento da moeda do pontode partida ao ponto de aterrissagem?

Soluo

Orientando i ao leste, j ao norte e k. O deslocamento em metro consequentemente 1000i + 2000j 500k.

Questo 20

Mostre que a rea do tringulo contido entre a, b e a linha quepassa por suas extremidades na figura abaixo 1

2|ab|.

Soluo

A rea de um triangulo o produto de sua base e altitude. A base formada pelo vetor a. Enquanto que a altitude b sin e rea A = 1

2ab sin = 1

2|ab|.

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