Instituto de Fsica da Universidade de Sao Paulo

FEP2196 - Fsica para Engenharia IILista de exerccios 2

1. Uma pequena plataforma oscila com uma frequenciade 4 Hz e com amplitude de 7 cm, presa numamola vertical. Uma pequenina conta e pousada naplataforma no exato momento em que esta se encon-tra na posicao mais baixa (figura abaixo). Admitaque a conta seja tao leve que nao altere perceptivel-mente a oscilacao.

(a) A que distancia da posicao de equilbrio daplataforma sobre a mola a conta perde con-tanto com a plataforma?

(b) qual a velocidade da conta no instante em queabandona a plataforma?

R: (a) y = 1, 55 cm acima da posicao de equilbrio.(b) v = 1, 72 m/s

2. Na figura abaixo, mostramos duas molas identicas(de constante k) ligadas a um mesmo bloco demassa m, sendo que as outras extremidades das mo-las estao fixas em suportes rgidos. Mostre que afrequencia de oscilacao do bloco sobre a superfciehorizontal sem atrito e dada por:

=12pi

2km

k km

Suponha agora que as duas molas sejam conectadasao bloco de massa m, conforme e indicado na figuraabaixo. Mostre que a frequencia de oscilacao e dadapor:

=12pi

k

2m

k km

3. A figura abaixo mostra um bloco de massa M , emrepouso sobre uma superfcie horizontal sem atrito,

preso a uma mola de constante k. Uma bala demassa m e velocidade v atinge o bloco em t = 0,conforme e indicado na figura. A bala permanecedentro do bloco. Determine:

(a) a velocidade do bloco imediatamente apos acolisao;

(b) a expressao do deslocamento x do sistema parat > 0.

kMm

v

R: (a) V = mm+M v. (b) x = Asen(t), com A =mv

(m+M) e =

k(m+M)

4. Um disco de massa M , preso por uma mola de con-stante elastica k e massa desprezvel a uma paredevertical, desliza sem atrito sobre uma mesa de arhorizontal. Um bloquinho de massa m esta colo-cado sobre o disco, com cuja superfcie tem um co-eficiente de atrito estatico e. Qual e a amplitudemaxima de oscilacao do disco para que o bloquinhonao escorregue sobre ele?

kM

m

R: xMAX =e(m+M)g

k

5. Certa mola sem massa esta suspensa no teto comum pequeno objeto preso a sua extremidade inferior.O objeto e mantido inicialmente em repouso, numaposicao yi tal que a mola nao fique esticada. Oobjeto e entao liberado e oscila para cima e parabaixo, sendo sua posicao mais baixa 10 cm de yi.

(a) Qual a frequencia da oscilacao?

(b) Qual a velocidade do objeto quando esta 8 cmabaixo da posicao inicial?

1

(c) Um objeto de massa 300 g e ligado ao primeiroobjeto; logo apos, o sistema oscila com metadeda frequencia original. Qual a massa doprimeiro objeto?

(d) Com relacao a yi, onde e o novo ponto deequilbrio (repouso) com ambos os objetos pre-sos a mola?

R: (a) = 14 rad/s, (b) v = 0, 56 m/s, (c) m =100 g e (d) 0, 2 m

6. (Poli 2007) Uma haste rgida de comprimento L emassa M esta suspensa, podendo girar em tornodo ponto O, por uma das suas extremidades, comomostra a figura. Na outra extremidade a barraesta ligada a uma mola de constante k que estana posicao relaxada quando a barra se encontrana posicao vertical. No instante t = 0, a barra edeslocada para a esquerda, ate um angulo 0 com adirecao vertical, e abandonada a partir do repouso.Dado: IO = 13ML

2 e considerando que a mola sem-pre permanece na horizontal,

(a) obtenha a equacao diferencial que descreve omovimento da barra.

(b) Determine a frequencia angular de oscilacaoda barra, considerando oscilacoes de pequenasamplitudes.

(c) Obtenha a equacao (t) que descreve o movi-mento de oscilacao da barra.

k

O

0

R: (a) d2dt2 +

[32gL +

3kM cos()

]sen() = 0,

(b) =

32gL +

3kM , (c) (t) = 0cos(t)

7. Uma mola horizontal sem massa esta ligada ao eixode rotacao que passa pelo centro de massa de umcilindro solido, de massa M , de forma que ele possarolar, sem deslizamento, sobre uma superfcie hor-izontal (figura abaixo). A constante da mola ek = 3, 0 N/m. Se o sistema for liberado de umaposicao de repouso em que a mola esteja esticadade 0, 25 m, ache

(a) a energia cinetica translacional e a energiacinetica rotacional do cilindro quando ele passapela posicao de equilbrio.

(b) Mostre que nessas condicoes o centro de massado cilindro executa um movimento harmonicosimples com perodo

= 2pi

3M2k

kM

R: (a) Ttrans = 0, 067 J e Trot = 0, 033 J

8. (Poli 2007) A figura mostra a oscilacao de um corpocom massa 0, 5 kg preso a uma mola.

(a) Quanto vale a constante de forca da mola?

(b) Escreva a equacao que descreve x(t).

(c) Obtenha expressoes para as energias poten-cial, cinetica e mecanica total do oscilador emfuncao do tempo.

t (s)

x (cm)

10

10

5 2

R: (a) k = 50 kg/s2 = 50 N/m,(b) x(t) = 10cos

(10t pi4

)cm,

(c) U(t) = 14cos2(10t pi4

)J ,

T (t) = 14sen2(10t pi4

)J , E = 14J

9. Uma esfera solida de 95 kg com um raio de 12 cme suspensa por um fio vertical preso ao teto de umasala. Um torque de 0, 02 Nm e necessario paragirar a esfera de um angulo de 0, 85 rad. Qualo perodo da oscilacao, quando a esfera e liberadadessa posicao?

R: T = 9, 6 s

10. (Poli 2006) Uma plataforma de massa m esta presaa duas molas iguais de constante elastica k. Aplataforma pode oscilar sobre uma superfcie hor-izontal sem atrito. Um bloco de massa M = 2m ecolocado sobre a plataforma. O sistema bloco +plataforma oscila com frequencia angular .

kM

m

k

(a) Determine, em funcao de m e , o valor daconstante k das molas.

2

(b) Calcule, em termos da amplitude A, a forcahorizontal maxima exercida no bloco de massaM durante o movimento.

(c) Se o coeficiente de atrito estatico entre o blocoe a plataforma e e, encontre o valor maximoda amplitude para o qual o bloco nao deslizasobre a plataforma durante a oscilacao.

R: (a) k =32m2, (b) FMAX = 2m2A e (c)

AMAX =eg

2

11. Ache o movimento resultante de dois movimentosharmonicos simples na mesma direcao, dados por:x1 = cos

(t pi6

), x1 = sen(t). Represente grafi-

camente os respectivos vetores girantes.

12. Um pendulo com fio de comprimento 1,00 m e aban-donado do repouso de um angulo inicial de 15.Apos 1000 s, sua amplitude e reduzida para 5, 5.Qual e o valor da constante de amortecimento ?

R: = 0, 002 s1

13. Um oscilador harmonico amortecido consiste em umbloco (m = 2 kg), uma mola (k = 10, 0 N/m) euma forca de amortecimento F = v. Inicial-mente, ele oscila com amplitude de 25,0 cm; devidoao amortecimento, a amplitude e reduzida para tresquartos do seu valor inicial, quando sao completadasquatro oscilacoes.

(a) Qual o valor de ?(b) Quanta energia foi perdida durante essas os-

cilacoes?

R: (a) = 0, 102 kg/s e (b) E = 0, 136 J

14. Em um sistema oscilatorio com uma forca de atritotemos:

Fmola + Fatrito = kx dxdt

onde k e a constante da mola e e a constante deamortecimento. Logo a equacao de movimento fica:

Md2x

dt2+

dx

dt+ kx = 0

Considere o oscilador como estando no regimesubcrtico e resolva a equacao de movimento parat = 10 s tomando como x0 = x(t = 0) = 0 ev0 = v(t = 0) = 0, 15 m/s.

R: x(10) = 0,15 e 5M sen(10), com =

kM

2

4M2

15. (Poli 2007) Um corpo de massa 40 g esta preso auma mola de constante elastica K = 100 N/m.Este sistema e colocado para oscilar e depois imersonum meio cujo coeficiente de atrito viscoso e =0, 08 kg/s.

(a) Determine a frequencia natural do sistema.

(b) Escreva a equacao diferencial que descreve omovimento, explicitando os valores numericosdos coeficientes (indicando suas unidades).

(c) Qual e o regime de oscilacao? (justifique)

(d) Qual e a frequencia de oscilacao?

R: (a) 0 = 50 rad/s, (b)d2x

dt2+

dx

dt+ 20x = 0,

=

m= 2 s1, 20 = 2550 rad

2/s2, (c) Regime

Subcrtico pois, 20 >

4, (d) =

2499 rad/s

16. (Poli 2006) Um corpo de massa m = 1, 0 kg os-cila livremente, quando preso a uma mola, comfrequencia angular 0 = 2, 0 rad/s. Posteriormenteeste conjunto e colocado num lquido, cujo coefi-ciente de resistencia viscosa e = 2

3 kg/s.

(a) Escreva a equacao diferencial do movimentoharmonico amortecido, e a sua solucao com ascondicoes iniciais x(0) = 0, 50 m e v(0) = 0.

(b) Determine o tempo necessario T para que aamplitude do movimento diminua de um fator1/e em relacao ao valor inicial.

R: (a)d2x

dt2+ 23dx

dt+ 4x = 0,

x(t) = e3t cos

(t+

pi

3

)(m),

(b) T =33

s

3