Calculo 1 - Lista 1

1. Escreva os seguintes numeros em forma de fracao:

(a) 0, 232323 . . .

(b) 0, 777...

(c) 3, 0202...

(d) 0, 21507507...

(e) 0, 000272727...

Como dica, acompanhe um processo destes para 1, 5555..: Observe que 1, 555... =1+ 0, 555.... Seja x = 0, 555.... Observe que 10x = 5, 555... = 5+ x. Logo x = 5

9. E

daı, 1, 555... = 1 + 59= 9+5

9= 14

9.

2. Um numero par e um numero em Z da forma 2n, com n ∈ Z. Um numero ımpar eum numero em Z da forma 2m+ 1, com m ∈ Z. Por exemplo, 9 = 2 · 4 + 1. Logo 9e ımpar.

(a) Prove que soma de numeros pares e um numero par.

(b) Prove que a soma de dois numeros ımpares e par.

(c) Prove que o produto de numeros pares e par.

(d) Prove que o produto de numeros ımpares e ımpar.

(e) Prove que a soma de um numero par com um numero ımpar e ımpar.

(f) Prove que o produto de um numero par com um numero ımpar e par.

3. Um numero x ∈ R e racional quando existem p, q ∈ Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, ...},com q 6= 0 tais que x = p

q. Por exemplo, todas as dızimas periodicas do exercıcio

(1) sao numeros racionais. Denotamos Q = conjunto dos numeros racionais. Umnumero real que nao e racional e dito irracional.

(a) Prove que√2 nao e racional.

Dica: suponha que√2 e racional. Entao existem p, q ∈ Z tais que

√2 = p

q. E

claro que podemos supor que mdc(p, q) = 1, isto e, que a fracao p

qe irredutıvel

(pense em −24

= −12, por exemplo). Daı, elevando ao quadrado, 2 = p2

q2. E

ficamos com p2 = 2q2. Isto e, p2 e par e, portanto, p e par (use o exercıcio (2)).Isto e p = 2k, para algum k ∈ Z.

Lembrando ainda que p2 = 2q2, segue que 4k2 = 2q2. Daı q2 = 2k, seguindoque q e par, isto e, q = 2j, para algum j ∈ Z. Isto e, p = 2k e q = 2j. Mas istocontradiz o fato da fracao p

qser irredutıvel. Logo

√2 nao pode ser racional.

(b) Use a ideia acima para provar que√3 e irracional

(c) Generalise mais um pouco, provando que√p nao e racional, se p ∈ N for um

numero primo.

4. Mostre que produto de numeros racionais e racional.

5. Mostre que soma de numeros racionais e racional.

6. Mostre que a soma de um racional com um irracional e irracional.

7. A soma de irracionais e sempre irracional? E o produto?

8. Resolva as equacoes, isto e, encontre o conjunto dos x ∈ R que satisfazem asequacoes:

(a) |3x− 2| = 1

(b) |1 + 4x| = 1− 2x

(c) |x+ 1| = |2− x|(d) ax2 + bx + c = 0, onde a, b, c ∈ R. De condicoes em a, b, c para que exista

solucao.

9. Resolva as inequacoes, isto e, encontre o conjunto dos x ∈ R que satisfazem asinequacoes:

(a) |x− 5| < 2

(b) 3− 2x ≤ 5x+ 9 < 2(10− x)

(c) 1x> −1

(d) |2x− 1| ≤ 2

(e) 4x2 − 4 < 2x2 − 9 < x2

(f) (5x+ 3)(2x+ 9) ≥ 0

(g) |2x| ≤ |5− 2x|(h) Sendo a > 0, prove que |x| < a se, e somente se, −a < x < a.

(i) Sendo a > 0, prove que |x| ≥ a se, e somente se, x ≥ a ou x ≤ −a

10. Encontre a equacao da reta que passa pelos pontos (−2, 0) e (0, 2) e desenhe o seugrafico.

11. Encontre a equacao da reta que passa pelos pontos(

35, −2

3

)

e(

−13, 32

)

e desenhe oseu grafico.

12. Construa o grafico das retas abaixo, localizando as intersecoes delas com os eixosdos x e dos y.

(a) y = 2x− 1

(b) 5x+ 6y + 12 = 0

(c) 5x− 4y = 0

13. Encontre a intersecao das retas y = 3x− 2 e y = −x+ 1.

14. Dados os pontos A = (1, 2) e B = (2, 1), determine a equacao da reta que passapelo ponto C = (−1,−2) que e paralela ao segmento AB. Faca o grafico.

15. Determine m ∈ R tal que as retas (m + 1)x + my + 1 = 0 e mx + (m + 1)y = 0sejam paralelas. Faca os graficos das retas que encontrou.

16. Tres vertices consecutivos de um paralelogramo sao (−2,−1), (2, 3) e (−1, 4). En-contre o quarto vertice e desenhe o grafico.

17. Mostre que se tres pontos distintos (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3) estao alinhados (sobrea mesma reta) e se x1 6= x2, entao x1 6= x3 6= x2 e y1−y2

x1−x2

= y1−y3x1−x3

= y2−y3x2−x3

.

18. Dados os pontos (1,−2), (0,−1) e (2, 1), determine o comprimento dos lados dotriangulo que tem estes pontos como vertice e faca o grafico.

2

19. Determine m ∈ R tal que o triangulo de vertices (0, 0), (2, 3) e (3, m) seja retangulono vertice (0, 0).

20. Determine o ponto da reta 2x− 3y + 6 = 0 que e equidistante dos pontos (0,−2) e(−4, 0).

21. Encontre a equacao da reta que passa pelo ponto (−1, 3) e e paralela a reta x−2y+1 = 0.

22. Determine m ∈ R tal que as retas (m + 1)x − 3y + 3 = 0 e (m − 1)x + y + 1 = 0sejam perpendiculares. Desenhe os graficos destas retas.

23. Calcule a distancia do ponto (4,−2) a reta que passa pelos pontos (−2, 3) e (2, 1).

24. Ache a area do quadrado que tem um de seus lados sobre a reta x − 2y + 7 = 0 etal que (2,−5) e um de seus vertices.

25. Mostre que a reta que passa pelo ponto (x0, y0) e que e perpendicular a reta ax +by + c = 0 e b(x− x0)− a(y − y0) = 0.

26. Encontre y0 ∈ R tal que a distancia do ponto (−1, y0) a reta x+ 2y − 4 = 0 seja 3.

27. Dada a funcao f : R → R definida por f(x) = x2 − 3x+ 1, calcule f(

−23

)

, f (−a),f (a− 1), f (a + h).

28. Dada a funcao f : R → R definida por f(x) = x2 + 1, mostre que f(

1a

)

= f(a)a2

.

29. Dada a funcao f : R → R definida por f(x) = |x| − 2x, calcule f(−1) e f(

−23

)

.Mostre que f(|a|) = −|a|.

30. Esboce os graficos das funcoes f : R → R definidas por y = f(x) abaixo:

(a) y = (x− 2)2.

(b) y = −3x2

2

(c) y = −2x2

3+ 4x− 6

(d) y = x3

(e) y = (x− 1)3

(f) y = |x− 3|3

(g) y =

{

x, x ≤ −1x+ 1, x > −1

(h) y =

{

(x− 2)2, x ≤ 0−3x2

2, x > 0

(i) y =

(x− 2)2, x < −14, x = −1−3x2

2, x > −1

7x− 1, −1 < x < 02x, x ≥ 0

31. Dada a regra y = f(x) abaixo, encontre o conjunto A ⊂ R que e o maior domıniopossıvel em que se pode definir a funcao f : A → R por y = f(x). Alem disso,esboce o grafico dessa funcao.

(a) y = −√x.

3

(b) y = −√

2x3

(c) y = 2 +√x

(d) y =√x+ a

(e) y =√−x

(f) y =√x2 + 3x− 10

(g) y = 1(x−1)(x−3)

(h) y = − 4x2

−3

(i) y =

{

1− x, x ≤ 0√1− x2, x > 0

(j) y =

√−x, x < 0

2, x = 0√x− 1, x > 0

32. Uma funcao f : R → R e dita par se f(−x) = f(x), para todo x ∈ R. Uma funcaof : R → R e dita ımpar se f(−x) = −f(x), para todo x ∈ R.

(a) Verifique que para desenhar o grafico de uma funcao par e suficiente conhecercomo e seu grafico para x > 0. Daı faz-se um “espelho” com o eixo dos y edesenha-se para x < 0 o mesmo que para x > 0. Interprete esta explicacaograficamente.

(b) E para funcoes ımpares?. Use dois espelhos: primeiro um espelho no eixo dosy e depois um espelho no eixo dos x. Interprete esta explicacao graficamente.

(c) Prove que dada uma funcao qualquer f : R → R, entao a funcao g : R → R

definida por g(x) = f(x) + f(−x) e par.

(d) Prove que dada uma funcao qualquer f : R → R, entao a funcao g : R → R

definida por g(x) = f(x)− f(−x) e ımpar.

(e) Conclua que uma funcao dada f : R → R pode ser escrita como soma de umafuncao par e de uma funcao ımpar.

33. Dada a funcao f : R\{1} → R definida por f(x) = 1+x1−x

, mostre que

(a) f(

11+x

)

= 2+xx, para todos x ∈ R\{−1, 0}.

(b) f(

11−x

)

= x−2x, para todos x ∈ R\{1, 0}.

(c) f(−x) = 1f(x)

, para todos x ∈ R\{−1, 1}.(d) f

(

1x

)

= −f(x), para todos x ∈ R\{1}.(e) f(f(x)) = − 1

x, para todos x ∈ R\{0, 1}.

34. Encontre a funcao f : A → R, com domınio maximo, que satisfaca f(x)−3f(x)+3

= x, paratodos x ∈ A.

35. Voce encontrara mais exercıcios de revisao nos primeiros capıtulos de qualquer livrode Calculo. Sinta-se a vontade para procurar mais exercıcios e resolve-los. Nossalista de bibliografias apresenta otimos livros de Calculo para pesquisa. A maior partedos exercıcios aqui propostos foi retirada e adaptada do livro do Geraldo Avila.

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