Lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes (com respostas) 1. Quais dos valores abaixo não podem ser probabilidades?

0, 0,0001, -0,2, 3/2, 2/3, 2 , 2,0

r. -0,2; 3/2 ; 2 2. Respondas as questões que se seguem:

a. Quanto é P(A), se A é o evento "Fevereiro tem 30 dias este ano"? r. 0

b. Quanto é P(A), se A é o evento "Novembro tem 30 dias este ano"? r. 1 c. Um espaço amostral consiste em 500 eventos separados, igualmente

prováveis. Qual a probabilidade de cada um evento? R. 1/500 d. Em um exame de admissão, cada questão tem 5 respostas possíveis.

Respondendo aleatoriamente (por palpite) a primeira questão, qual a probabilida-de de acertar? R. 1/5 3. Determine a probabilidade do resultado "cara" ao jogar uma moeda. R. 0,5 4. Um experimento que consiste em jogar um par de dados comporta 36 resulta-dos possíveis que formam o espaço amostral: {1-1,1-2,1-3,...,6-6}. Determine a probabilidade de obter o total 4 no arremesso de um par de dados. R. 1/12 5. Um estudo de 500 voos da TAM selecionados aleatoriamente mostrou que 430 chegaram no horário. Qual é a probabilidade estimada de um vôo da TAM chegar no horário? R. 0,86 6. Determinada empresa está cogitando lançar uma campanha por computador junto aos jovens de 11 a 19 anos. Em uma pesquisa com1066 desses jovens, 181 tinham um serviço de computador com acesso à internet em sua residência. Você aconselharia a empresa promover tal campanha? 17%, não. 7. Em uma pesquisa entre estudantes de uma faculdade, 1162 afirmara que “cola-vam” nos exames, enquanto 2468 afirmaram não “colar”. Selecionando aleatoria-mente um desses estudantes, determine a probabilidade de ele ou ela ter “colado” em um exame. 0,319 8. Em um estudo efetuado em americanos com mais de 65 anos de idade, verifi-cou-se que 225 tinam o mal de Alzheimer enquanto 2302 não o tinham. Escolhido

aleatoriamente um americano com mais de 65 anos, qual a probabilidade estima-da de ele ou ela ter o mal? Com base neste valor encontrado, você acha que o mal de Alzheimer constituí uma preocupação para as pessoas com mais de 65? R. 0,089 9. Em um estudo feito com doadores de sangue, 225 foram classificados como grupo O e 275 obtiveram classificação não-O. Qual a probabilidade estimada de uma pessoa ter sangue do grupo O? r. 0,45 10. Em uma pesquisa Ibope em 3875 residências, constatou-se que 463 tinham sua televisão ligada no canal XYZ na segunda-feira à noite. Selecionada aleatori-amente uma casa, qual a probabilidade de ela estar ligada no canal XYZ na se-gunda-feira à noite? R. 0,119 11. Responda às seguintes questões:

a) Selecionada uma pessoa aleatoriamente, determine a probabilidade de ele ou ela fazer aniversário na data de hoje, ignore os anos bissextos. R. 0,0274

b) Determine a probabilidade de uma pessoa fazer aniversário em novem-bro. R. 0,0821

12. Determinada empresa aérea transportou 59377306 passageiros no ano pas-sado, desses 82796 foram deliberadamente impedidos de embarcar, enquanto outros 1664 passageiros foram involuntariamente impedidos, determine as seguin-tes probabilidades: a) de um passageiro não ter embarcado por força superior. 0,01394 b) de um passageiro ter embarcado ou não ter embarcado por vontade pró-pria. R. 0,9985 13. Determinada operadora de cartão de crédito efetuou um estudo de fraudes em cartões de crédito, o que resultou na tabela abaixo, determine a probabilidade de:

a) o tipo de fraude ter sido um cartão falsificado ou pedido por correi-

o/telefone. R. 0,3215 b) O tipo de fraude ter sido um cartão roubado e um cartão falsificado. R.

0,1138 14. Se a chance contra o evento A é a:b, onde a < b. Determine a probabilidade do evento A ocorrer.

r. b

ab −

15. Na questão 11, ignorou-se os anos bissextos, recalcule os itens a e b conside-rando que os anos bissextos ocorrem a cada 4 anos. R. 0,02738 e 0,08213 16. (questão muito complexa!!!) Escolhem-se aleatoriamente dois pontos em uma vara retilínea, a vara é então quebrada nesses dois pontos. Determine a probabili-dade de os 3 pedaços resultantes formarem um triângulo? r. vale 2 pontos para quem entregar primeiro. 17. Se P(A ou B) = 1/3, P(B) = 1/4 e P(A e B) = 1/5.

a) Determine P(A) r. 17/60 b) A e B são eventos mutuamente excludentes? sim

18. Se A e B são mutuamente excludentes e B e C também o são, os eventos A e C devem ser mutuamente excludentes? Dê um exemplo que confirme sua respos-ta. R. não. 19. Dado que P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B), estabeleça uma regra para P(A U B U C). r. fazer demonstração 20. Para os eventos abaixo, classifique-os como independentes ou dependentes.

a) Assistir a aulas de estatística e passar na disciplina de estatística. R. dependente

b) Furar um pneu no trajeto para a aula e acordar tarde demais para as au-las. R. indpendente

c) Eventos A e B com: P(A) = 0,4 P(B) = 0,6 P(A ∩ B) = 0,2. r. não há como afirmar.

21. Dez por cento das pessoas são canhotas. a) Qual é a probabilidade de selecionar aleatoriamente 2 pessoas canho-tas? R. 0,01 b) Qual é a probabilidade de que a partir de um grupo de pessoas, sejam selecionadas ao acaso 1 pessoa após a outra sem reposição e que as duas sejam canhotas? R. 0,01 c) Qual é a probabilidade no caso b, que a 1ª seja canhota e a 2ª não seja canhota? R. 0,09 22. Determine a probabilidade de responder corretamente, por palpite, as duas primeiras questões de um teste, se: a) as duas primeiras questões são do tipo verdadeiro / falso. R. 0,25 b) as duas primeiras questões são do tipo múltipla escolha com 5 possibili-dades. R. 0,04

23. Quatro estudantes que chegaram atrasados para o exame deram a clássica desculpa do pneu furado. No teste de 2ª chamada, o professor pede que os estu-dantes identifiquem o pneu que furou. Qual a probabilidade de todos eles escolhe-rem o mesmo pneu? R. 0,039 24. A tabela abaixo relaciona o tipo de crime e o o nível de conhecimento do cri-minoso pela vítima.

a) Determine a probabilidade de que, quando se escolhe 1 dos 2000 indi-

víduos, a pessoa escolhida tenha sido vitimada por 1 conhecido ou por um parente, sabendo-se que foi vítima de furto. R.0,209

b) Determine a probabilidade de que, quando se escolhe 1 dos 2000 indi-víduos, a pessoa escolhida tenha sido furtada por um conhecido ou por um parente. R. 0,053

c) Determine a probabilidade de que, quando se escolhe 1 dos 2000 indi-víduos, a pessoa escolhida tenha sido roubada ou vitimada por um co-nhecido ou parente. R. 0,593

d) Escolhidos aleatoriamente 2 indivíduos diferentes, determine a probabi-lidade de ambos terem sido vítimas de furto. R. 0,0637

e) Escolhida aleatoriamente uma das vítimas de crime constantes da tabe-la, determine a probabilidade de obter uma pessoa que tenha sido viti-mada por alguém desconhecido ou que tenha sido vitima de homicídio. R. 0,583

f) Escolhida aleatoriamente uma das vítimas de crime constantes da tabe-la, determine a probabilidade de obter uma pessoa que tenha sido vítima de homicídio, dado que o criminoso é um estranho. R. 0,173

g) Escolhida aleatoriamente uma das vítimas de crime constantes da tabe-la, determine a probabilidade de obter uma pessoa que tenha sido viti-mado por um estranho, dado que foi vítima de homicídio. R. 0,0107

h) Escolhidos aleatoriamente 2 indivíduos distintos, determine a probabili-dade de ambos terem sido vítimas de criminosos desconhecidos. R.0,154

25. Para os itens abaixo, utilize a seguinte informação: a Secretaria de Saúde de determinado estado reporta uma taxa de 10% de incidência do vírus HIV na popu-lação considerada de risco, e uma taxa de 0,3% de incidência de HIV para a popu-lação em geral. Os resultados dos testes de laboratório do vírus HIV são corretos 95% das vezes. Com base nesses resultados, se selecionarmos aleatoriamente 5000 pessoas do grupo de risco e 20000 pessoas da população geral, esperamos obter os resultados da tabela abaixo.

a) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população de risco, qual é a probabilidade de estar infectada com o vírus HIV? R. 0,095

b) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população geral, qual é a pro-babilidade de seu teste de HIV dar resultado positivo? R. 0,00285

c) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população de risco, qual é a probabilidade de seu teste ser positivo ou de ela estar infectada com HIV? R. 0,145

d) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população geral, qual é a pro-babilidade de seu teste ser positivo ou de ela estar infectada com HIV? R. 0,0528

e) Considerando apenas a amostra de risco, determine a probabilidade de uma pessoa ter o vírus HIV, dado que seu teste de HIV foi positivo. R. 0,95

f) Considerando apenas a amostra da população geral, determine a pro-babilidade de uma pessoa ter o vírus, dado que o seu teste de HIV foi negativo. R.0,05

26 Os arquivos da polícia revelam que, das vítimas de acidente automobilístico que utilizam cinto de segurança, apenas 10% sofrem ferimentos graves, enquanto que essa incidência é de 50% entre as vítimas que não utilizam o cinto de segu-rança. Estima-se em 60% o percentual dos motoristas que usam o cinto de segu-rança. A polícia acaba de ser chamada para investigar um acidente em que houve um indivíduo gravemente ferido. Calcule a probabilidade de ele estar usando o cinto no momento do acidente. Se a pessoa que dirigia o outro carro não sofreu ferimentos graves. Calcule a probabilidade de ela estar usando o cinto no momen-to do acidente. 27. Sua firma recentemente apresentou proposta para um projeto de construção. Se seu principal concorrente apresenta uma proposta, há apenas 0,25 de chance de a firma do leitor ganhar a concorrência. Se seu concorrente não apresenta pro-posta, há 2/3 de chance de a firma ganhar. A chance de seu principal concorrente apresentar proposta é de 50%. a) Qual a probabilidade de sua firma ganhar a concorrência? b) Qual a probabilidade de seu concorrente ter apresentado proposta, dado que a firma do leitor ganhou a concorrência?

28. Três máquinas fabricam moldes não-ferrosos. A máquina A produz 1% de de-feituosos, a máquina B 2% e a máquina C 5%. Cada máquina é responsável por 1/3 da produção total. Um inspetor examina um molde e constata que está com perfeito. Calcule a probabilidade de ele ter sido produzido por cada uma das má-quinas. 29 – Um fazendeiro estima que quando uma pessoa experimentada planta árvo-res, 90% sobrevivem, mas quando um novato as planta, apenas 50% sobrevivem, se uma árvore plantada não sobrevive, determine a probabilidade de ela ter sido plantada por um novato, sabendo-se que 2/3 das árvores são plantadas por nova-tos.