Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

Colégio Pedro II – Unidade Realengo II Lista de exercícios de Polinômios e Equações Polinomiais

Coordenador: Turno:Tarde Data:_____/_____

Aluno (a):________________________________________turma______n0:____

Polinômios

Denominamos polinômios na variável x e indicamos por

P(x) a expressão do tipo:

P(x) = an.xn

+ an-1.xn-1

+ an-2.xn-2

+ ….....+a1.x + a0

Os números complexos a0, a1, a2, a3,....., an-1 e an são

números reis e os coeficientes desse polinômio.

Seus termos são:

an.xn

;an-1.xn-1

; an-2.xn-2

;…..;a1.x;a0 e o termo ao é chamado de

termo independente.

n é um número natural

A variável x∈ C.

Grau do polinômio.

É representado pelo maior expoente da variável x, que

possui coeficiente não-nulo e é indicado por gr(P).

Não se define grau num polinômio nulo.

Exemplo:

A(x) = 3x5 – 7x4 + 12x3 - 8x2 + x + 55 Gr(P) =________

B(x) = x6 – 9x3 + 56x2 + 3 Gr(P) =________

C(x) = 9x10 – 6x4 + 16 Gr(P) =________

Devemos levar em consideração que os polinômios A(x) e

B(x) não estão na forma completa. Coloque-os:

A(x) =__________________________________________

B(x) =__________________________________________

Valor Numérico.

Obtemos o valor numérico de um polinômio P(x) para x =

k, quando substituímos a variável x pelo número k e efetuamos

as operações indicadas.

Exemplo: Seja P(x) = x3 – 5x2 + 6x – 10, calcule o valor de

P(2)

Se P(k) = 0, diremos que k é uma raiz de P(x).

Exemplo: Verifique se uma das raízes de P(x) = 3x5 – 7x4 +

12x3 - 8x2 + x + 1 é igual a 1.

Igualdade (identidade de polinômios)

Sejam A(x) = a0xn + a1x

n–1 + a2x

n–2 + ... + an–1x + an e

B(x) = b0xn + b1x

n–1 + b2x

n–2 + ... + bn–1x + bn, temos que A(x)

= B(x) ou A(x) ≡ B(x), se, e somente se,

a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn e A(k) = B(K), para todo K

complexo.

Exemplo: Considere P(x)= x3+4x2- kx+1, onde -3 é uma de

suas raízes. Calcule o valor de k.

Exemplo: Num polinômio P(x), do 3º grau, onde

P(x) = x3 + mx2 + nx + p, sendo P(1) = P(2) = 0 e

P(3)=30.

Calcule o valor de P(-1).

Grau

Solução

Solução

Solução

Solução

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Divisão de polinômios

Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) sendo um

polinômio não nulo.

Devemos determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que

satisfaçam as duas condições abaixo:

I ) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)

II) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0

Chamamos P(x) de dividendo, D(x) de divisor, Q(x) de

quociente e R(x) é o resto da divisão.

P(x) é divisível por D(x) se, e somente se, R(x)=0

Exemplo: Determinar o quociente de P(x) =x4 + x3-7x2 + 9x -1

por D(x) = x2 +3x -2.

Divisão de P(x) por um binômio da forma ax+b

Exemplo: Calcule o resto da divisão de P(x) = x3 - 6x2 + 12x +

10 por D(x) = x-2.

Dispositivo de Briot-Ruffini.

Exemplo: Divida o polinômio P(x) = 3x³ - 8x² +5x + 6 por x-2.

Resposta: 3x² -2x +1 e resto R(x) = 8

Exemplo: Calcule o resto da divisão de P(x) = x3 - 6x2 + 12x +

10 por D(x) = x - 2.

Teorema do resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio

ax+b é igual a 𝑷 −𝒃

𝒂 .

Exemplo: Calcule o resto da divisão de P(x) = x3 - 6x2 + 12x + 10 por D(x) = x - 2.

Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se

𝑷 −𝒃

𝒂 .

Exemplo: Determine o valor de m no polinômio P(x) = x³ - 6x²

+ 11x + m seja divisível por x – 3.

3 -8 5 6 2

3 -2 1 8

x x x

+

+

+

Resto R(x)

Solução

Solução

Solução

Solução

Solução

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Exercícios

1) O resto da divisão de P(x) = ax3- 2x + 1 por Q(x) = x - 3 é 4.

Nessas condições, o valor de a é:

a) 1/3 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/2 e) 7

2) A divisão do polinômio p(x) = x5 - 2x4 - x + m por q(x) = x -

1 é exata. O valor de m é

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

3) Sejam P(x) = 2x3 – x2 - 2x + 1 e Q(x) = x - a dois

polinômios, com valores de x em IR . Um valor de a para que o

polinômio P(x) seja divisível por Q(x) é

a) 1. b) -2. c) - 1/2. d) 2. e) 3.

4) Se o polinômio x3 + px2 + q é divisível pelo polinômio x2 -

6x + 5, então p + q vale:

a) -1 b) 3 c) 5 d) -4 e) 10

5) Na divisão do polinômio P(x) = x5 – 10x3 + 6x2 + x – 7 por

D(x) = x(x – 1)(x + 1) encontrou-se como resto o polinômio

R(x). Calcule R(1).

6) Determine o valor de a sabendo que 2 é raiz de P(x) = 2x3 –

ax + 4

7) Qual o valor de m para que o polinômio x3 + 2x2 – 3x + m

ao ser dividido por x + 1, deixe resto 3?

8) Considere o polinômio P(x) = ax2 + bx + c, onde P(0) = 80,

P(20) = 65 e P(60) = 0. Com isso, determine o valor de a.

9) Sabendo-se que o polinômio x4 + 4x3 + px2 + qx + r é

divisível por x3 + 3x+2 + 9x + 3, segue que p é igual a

a) 3. b) 6. c) 9. d) 12. e) 15.

10) Sabendo-se que A(x) = x3 + ax2 + bx - 6 é divisível por

B(x) = x2 - 3x + 2, calcule a + b.

11) (UFMG) – O quociente da divisão de P(x) = 4x4 – 4x3 + x –

1 por q(x) = 4x3 +1 é:

a) x – 5 b) x – 1 c) x + 5

d) 4x – 5 e) 4x + 8

12) (UFPE) – Qual o resto da divisão do polinômio x3 – 2x2 + x

+ 1 por x2 – x + 2 ?

a) x + 1 b) 3x + 2 c) -2x + 3

d) x – 1 e) x – 2

13) (CEFET-PR) O quociente da divisão de P(x) = x3 – 7x2

+16x – 12 por Q(x) = x – 3 é:

a) x – 3 b) x3 – x

2 + 1 c) x

2 – 5x + 6

d) x2 – 4x + 4 e) x2 + 4x – 4

14) (UNICAMP-SP) – O resto da divisão do polinômio P(x) =

x3 – 2x2 + 4 pelo polinômio Q(x) = x2 – 4 é:

a) R(x) = 2x – 2

b) R(x) = -2x + 4

c) R(x) = x + 2

d) R(x) = 4x – 4

e) R(x) = -x + 4

15) (PUC-PR) – O resto da divisão de x4 – 2x3 + 2x2 + 5x + 1

por x – 2 é:

a) 1 b) 20 c) 0 d) 19 e) 2

16) (PUC-BA) – O quociente da divisão do polinômio P = x3 –

3x2 + 3x – 1 pelo polinômio q = x – 1 é:

a) x b) x – 1 c) x2 – 1

d) x2 – 2x + 1 e) x2 – 3x + 3

17) (UEM-PR) A divisão do polinômio 2x4 + 5x3 – 12x + 7 por

x – 1 oferece o seguinte resultado:

a) Q = 2x3 + 7x2 + 7x – 5 e R = 2

b) Q = 2x3 + 7x2 – 5x + 2 e R = 2

c) Q = 2x3 + 3x2 – 3x – 9 e R = 16

d) Q = 2x3 + 7x2 – 5x + 2 e R = 0

e) Q = 2x3 + 3x2 – 15x + 22 e R = 2

18) (CESGRANRIO-RJ) – O resto da divisão de 4x9 + 7x6 +

4x3 + 3 por x + 1 vale:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

19) (UFRS) A divisão de p(x) por x2 + 1 tem quociente x – 2 e

resto 1. O polinômio P(x) é:

a) x2 + x – 1

b) x2 + x + 1

c) x2 + x

d) x3 – 2x2 + x – 2

e) x3 – 2x2 + x – 1

20) (UFSE) Dividindo-se o polinômio f = x4 pelo polinômio g = x2 – 1, obtém-se quociente e resto, respectivamente, iguais a:

a) x2 + 1 e x + 1

b) x2 – 1 e x + 1

c) x2 + 1 e x – 1

d) x2 – 1 e -1

e) x2 + 1 e 1

21) (FATEC-SP) Se um fator do polinômio P(x) = x3 – 5x2 +

7x – 2 é Q(x) = x2- 3x + 1, então o outro fator é:

a) x – 2 b) x + 2 c)-x – 2

d) -x + 2 e) x + 1

22) Determine a e b de forma que, para todo x real e tal que | x |

≠ 1, se tenha 𝑎

𝑥−1+

𝑏

𝑥+1=

2𝑥

𝑥2−1

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Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

23) Reduzir a expressão mais simples:

bcac

c

abcb

b

caba

a

333

24) O retângulo ABCD da figura abaixo tem base igual a yx

. O segmento AF tem medida z . Sabe-se que

3,54 z y x 222 e que 0,62 y x zy zx . A área do

quadrado FBCE é

a) 2,10

b) 2,20

c) 2,30

d) 2,40

e) 2,50

25) Se a expressão 𝑥+5

4𝑥2−1=

𝑎

2𝑥=1+

𝑏

2𝑥−1, onde a e b são

constantes, é verdadeira para todo número real x · •1/2, então

o valor de a + b é:

a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3

Equações Polinomiais.

a0xn

+ a1xn-1

+ a2xn-2

+ ….....+an–1x+ an = 0, com

números complexos a0, a1, a2, a3,....., an-1 e an são os coeficientes desse polinômios e n pertence aos naturais.

Pode ser escrita na forma fatorada.

a0(x – x1). (x – x2). (x – x3). (x – x4)...... (x – xn)=0

Teorema Fundamental da álgebra.

Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n≥1 admite, pelo menos, uma raiz complexa..

Relações de Girard.

I) x1+ x2+ x3=a

b

II) x1. x2+ x2.x3+ x1.x3=a

c

III) x1. x2. x3=a

d

Exemplo: Uma das raízes da equação x3 – 6x2 +11x – 6 = 0 é igual a 1. Determine as suas outras raízes.

Rascunho

Solução

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Multiplicidade da raiz de um polinômio

Sabendo-se que 3 é raiz da equação x7-15x6+94x5-330x4 +765x³-1323x² +1620x- 972 = 0,

a) Determine a multiplicidade dessa raiz.

b) Encontre as outras raízes desse polinômio.

Exercícios

26) O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = 2x3 – mx2 + 4x + 3 é igual a -1. Determinar

a) o valor de m.

b) as raízes de p.

27) Uma das raízes da equação x3 - 2x2 + ax + 6 = 0 é 1. As

outras raízes são:

a) -2 e 2 b) 2 e 4

c) -2 e 3 d) 3 e 4

28) Se 3 + 2 i é raiz da equação x2 + mx + n = 0 com a e b

números reais, então m + n vale:

a) 7 b) – 4 c) – 6 d) 19 e) 2

29) Dada a equação polinomial com coeficientes reais

x3 - 5x2 + 9x - k = 0:

a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número

complexo 2 + i seja uma das raízes da referida equação.

b) Para o valor de k encontrado no item anterior, determine as

outras duas raízes da mesma equação.

30) Os zeros do polinômio a seguir formam uma P.A.

p(x) = x3 - 12x2 + 44x - 48

O conjunto solução da equação p(x) = 0 pode ser descrito por:

a) {0, 4, 8} b) {2, 4, 6}

c) {-1, 4, 9} d) {-2,- 4,- 6}

31) Sejam p, q, r as raízes distintas da equação x3 - 2x2 + x - 2

= 0. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a

a) 1. b) 2. c) 4. d) 8. e) 9.

32) As dimensões, em metros, de um paralelepípedo retângulo

são dadas pelas raízes do polinômio x3 - 14x2 + 56x - 64.

Determine, em metros cúbicos, o volume desse paralelepípedo.

33) Uma loja de produtos de beleza construiu sua vitrine em

acrílico, com as dimensões representadas na figura. A equação

matemática do volume desse paralelepípedo, definido quando x

> 4, sendo conhecidos a, b e c, é dada pelo polinômio

P(x) = x3 - 7x2 + 14x - 8. Sabendo que a soma de duas das raízes do polinômio é igual a 5, pode-se afirmar, a respeito

das raízes, que:

a) nenhuma é real.

b) são todas iguais e não-nulas.

c) somente uma delas é nula.

d) constituem uma progressão aritmética.

e) constituem uma progressão geométrica.

Solução

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GABARITO

1 (a)

2 (e)

3 (a)

4 (a)

5 -9

6 10

7 -1

8 -7/480

9 (d)

10 5

11 (b)

12 (c)

13 (d)

14 (d)

15 (d)

16 (d)

17 (a)

18 (c)

19 (e)

20 (d)

21 (a)

22 a = b = 1

23 0

24 (c)

25 (c)

26 a) m = 7 b) 3/2; 1 - 2 e 1 + 2

27 (c)

28 (a)

29 a) k = 5 b) 2 - i e 1

30 (b)

31 (e)

32 64 m2

33 (e)