Lista Navier Stokes-Resolvida
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MEC / UFRGS / IPH / DHH 22/03/04IPH01-107 - MECNICA DOS FLUDOSLISTA DE EXERCCIOS IX - EQUAES DE NAVIER-STOKESProfa Nara M. Luzzi RosauroSolues simplificadas das equaes de Navier-Stokes1)Umfludoviscoso eincompressvelescoa entreduasplacas planasverticaisconformemostraafigura 1.Assumaqueoescoamento laminar, permanente e uniforme.a)determine,usandoasequaesdeNavier-Stokes,umaexpressoparaogradientedepressesnadireo do escoamento. Expresse dp/dy como uma funo da vazo por unidade de largura (q).b) diga qual seria a vazo se dp/dy = 0 ?Resp: a) dp/dy = -[ +(3 q / 2 h3 )];b) q = - 2h3 / (3 )2) Na instalao da figura 2, a esteira mvel tem uma velocidade perifrica U. Sendo o peso a nica fora decampoqueatuanoescoamento,determineavazo(q)emfuno:daespessuradefludoentreaesteiramvel e oplanoinclinado(e), da diferena de altura entre a entrada e a sada (h) e docomprimento total(L).Resp: 3eLh12e2Uq =3)Umaesteiralargamovendo-secomvelocidadevertical,passaatravsdeumrecipientequecontmumlquido viscoso (figura 3). Devido s foras viscosas a esteira "pega" uma lmina de fludo de espessura h. Agravidadetendeadrenarofludoparabaixo.UseasequaesdeNavier-Stokesparadeterminarumaexpressoparaavelocidademdia da lminade fludomedidaqueela arrastadaparacimapelaesteira.Assuma que o escoamento laminar, permanente e uniforme.Resp: V = Vo - ( h2 / 3 )Soluo:1)Nesteproblematemosapenasacomponenteemydavelocidadeeestaumafunoapenasdexparaescoamento plenamente desenvolvido. Assim, temos:u = w = 0v = v (x)Para que haja escoamento devemos ter um gradiente de presso na direo y, ou seja, devemos ter0yp.As equaes de Navier-Stokes ficam:22yz zx xxvypg 0 : y em0 g que j 0zpzpg 0 : z em0 g que j 0xpxpg 0 : x em + == = == = = (1.1)a)Substituindo gy = -g em (1), e sendo v = v(y) :dydp 1dxv d22+= (1.2)22Integrando uma primeira vez temos:1C xdydp 1xdxdv++(1.3)Sabendo que = 0 em x = 0 e j que dydv , temos que C1 = 0.Integrando uma segunda vez temos:22 2C xdydp21x2v ++(1.4)Sendo v = 0 em x = h , temos:22 2C hdydp21h20 ++ , donde:1]1
+ dydp2hC22Substituindo C2 em (4) temos:( )2 2h xdydp21v 1]1
+A vazo por unidade de largura :;'1]1
+ +++hhhh2 2hhdx h dx xdydp21dx v qou;'1]1
+3 3h 2 h32dydp21qdonde temos:1]1
+ dydp3h 2q3donde tiramos que: 3h 2q 3dydpou:1]1
+ 3h 2q 3dydpPara dp / dy = 0 temos um escoamento devido apenas gravidade e dado por: 3h 2q32) Neste caso temos: u = u (y)v = w = 0e 0xp=A equao de Navier-Stokes em y fica: cos ypypg ! 0y = =A equao de Navier-Stokes em x fica:Lhgsen g g ondeyu g ! 0x22x + (2.1)De (1) temos:oudyu dsen022+ Lh
dyu d22 (2.2)Integrando (2) vem:1C yLh
dydu+
,_
e integrando novamente:2 12C y C yLh 2
u + +
,_
(2.3)Introduzindo em (3) as condies de contorno:em y = 0,u = 0em y = e, u = Uobtemos: C2 = 0e1]1
Lh 2
eUC1(2.4)Donde, o perfil de velocidades dado por:44y eLh 2
eUyLh 2
u21]1
,_
+
,_
(2.5)A vazo por unidade de largura :e02e02e0e032yeLh 2
ye 2U3yLh 2
dx u q
,_
+
,_
o que nos leva a:3eLh 12
e2Uq1]1
3) Neste caso temos: v = v (x)u = w = 0e tambm: 0zpypxpA equao de Navier-Stokes em y fica:22yxv g ! 0+ sendo gy = -g temos:
dxv d22 (3.1)Integrando uma vez:1C x
dxdv+ (3.2)Podemos considerar que = 0 em x = h ( interface fluido/ar), o que nos leva a:h
C 0 C h
1 1 = =+ = (3.3)Integrando outra vez:o2V x h
x 2
v +
,_
A vazo por unidade de largura :: donde dx V x h
x 2
dx v qh0h0o2 1]1
+
,_
,_
: donde x V2xh
3x 2
qh0oh02h03+
h 31h V q3o A velocidade mdia fica, portanto: 3h VhqV2o 66Figura 1Figura 2Figura3
