Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

Colégio Pedro II – Unidade Realengo II - 2012 Lista de exercícios de MATRIZES

Coordenador: Clayton Turno:Tarde Data:_____/_____

Aluno (a):________________________________________turma: 2202 n0:____

MATRIZES

Definição

Matriz de dimensão m x n é um conjunto de elementos

dispostos em m linhas e n colunas, escritos entre parênteses

(ou entre colchetes).

Exemplo: A =

095

372 matriz 2 x 3

Matriz Genérica

M = com m, n N:

m x n

ou ainda...

M = (aij) mxn com i {1, 2, ..., m} e j {1, 2, ..., n}

(lê-se: ordem m por n)

Exemplo: Seja A uma matriz definida por

𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )2𝑥2 = 𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗1 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗

1, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗

a soma dos seus elementos

é igual a:

a) –1 b) 1 c) 6 d) 7

Matriz Quadrada (m = n)

Exemplo:

M =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa Matriz quadrada de 3ª ordem

Diagonal principal: aij em que i = j, isto é, {a11 , a22 ,

a33}

Diagonal secundária: aij em que i + j = n + 1, isto é,

{a13 , a22 , a31}

Transposta de uma matriz A

Matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas

colunas e vice-versa.

Exemplo

𝐴= 0 2

−3 59 8

⟹ 𝐴𝑡 = 0 −3 92 5 8

Temos que a matriz At é a matriz transposta da A .

Matriz Identidade (In)

𝐼𝑛 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛=

1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗

Exemplos

I2 =

10

01 I3 =

100

010

001

Seja A uma matriz quadrada:

Se A = At, então dizemos que a matriz A é simétrica.

Se A = - At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.

Exemplo: Verifique se a matriz 𝐴 = 3 44 7

é simétrica.

Grau

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

Solução

Solução

Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

Operações

Igualdade: A = B ⟺ aij = bij

I) Adição: A + B = (aij + bij)mxn

II) Multiplicação por escalar: Seja A uma matriz m por n e

k um número real, temos que k. A = (k . aij)mxn.

III) Multiplicações de Matrizes

Dadas as matrizes Amxn e Bnxq, define-se como produto a

matriz Amxn.Bnxq = Cmxq, tal que o elemento cij é a soma dos

produtos da i – ésima linha de A pelos elementos

correspondentes da j – ésima coluna de B.

A . B só é possível quando o número de colunas de A é

igual ao número de linhas de B.

Em geral, A . B B. A, ou seja, o produto de matrizes não é comutativo.

Exemplo: Se M =

10

21 e N =

11

02 , então M.N – N.M

é:

a)

20

22 c)

11

24

b)

00

00 d)

10

01

Exemplo: Uma fábrica de doces produz bombons de nozes,

coco e morango, que são vendidos acondicionados em caixas

grandes ou pequenas. A tabela 1 abaixo fornece a quantidade

de bombons de cada tipo que compõe as caixas grandes e

pequenas, e a tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada

tipo produzidas em cada mês do 1° trimestre de um

determinado ano.

Se associarmos as matrizes

A =

73

84

52 e B =

180150120

130220150

às tabelas 1 e 2 respectivamente, o produto A.B fornecerá:

a) a produção média de bombons por caixa fabricada.

b) a produção total de bombons por caixa fabricada.

c) número de caixas fabricadas no trimestre.

d) em cada coluna a produção trimestral de um tipo de

bombom.

e) a produção mensal de cada tipo de bombom.

Exercícios

1) Seja A a matriz A = (aij)2x3, cuja lei de formação é dada

abaixo. É correto afirmar que:

2) (UFRJ) Seja a matriz A representada a seguir:

a) Determine A3 = A . A . A

𝐴 = 1 10 1

b) Se An denota o produto de A por A n vezes, determine o valor o valor do número natural K, tal que

𝐴𝑘2− 𝐴5𝑘 + 𝐴6 = 𝐼2

Onde In é a matriz identidade de ordem n.

Solução

Solução

Solução

Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

3) Uma matriz real A é ortogonal se AA = I, onde I indica a

matriz identidade e A indica a transposta de A. Se 𝐴 =

1/2 𝑥𝑦 𝑧

é ortogonal. Qual o valor de x2 + y2?

4) Considere a igualdade matricial a seguir

2 11 1

. 1 −1−1 𝑥

= 𝐼2

onde In é a matriz identidade de ordem n.

Determine o valor de x.

5) (UFRJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo.

As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um

consumiu e como a despesa foi dividida:

S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou

para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e

Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i,

coluna j de cada matriz).

Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio

bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da

matriz S).

a) Quem bebeu mais chope no fim de semana?

b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?

6) Se as matrizes A= (aij) e B= (bij) estão assim definidas:

𝑎𝑖𝑗 = 1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗

𝑏𝑖𝑗 = 1, 𝑠𝑒 𝑖 + 𝑗 = 40, 𝑠𝑒 𝑖 + 𝑗 ≠ 4

onde i≤1 e j≤3, então a matriz A + B é:

7) (UFF) Toda matriz de ordem 2 x 2, que é igual a sua

transposta, possui:

a) pelo menos dois elementos iguais.

b) os elementos da diagonal principal iguais a zero.

c) determinante nulo.

d) linhas proporcionais.

e) todos os elementos iguais a zero.

8) Cláudio anotou suas médias bimestrais de matemática,

português, ciências e estudos sociais em uma tabela com

quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como

mostra a figura.

Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o mesmo peso, isto é, para calcular a média anual do aluno em cada

matéria basta fazer a média aritmética de suas médias

bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos elementos

representem as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem

da matriz apresentada, bastará multiplicar essa matriz por:

9) (UFF) Em uma plantação, as árvores são classificadas de

acordo com seus tamanhos em três classes: pequena (P),

média (M) e grande (G).

Considere, inicialmente, que havia na plantação p0 árvores da classe P, m0 da classe M e g0 da classe G.

Foram cortadas árvores para venda.

A fim de manter a quantidade total de árvores que havia na

floresta, foram plantadas k mudas (pertencentes à classe P).

Algum tempo após o replantio, as quantidades de árvores das

classes P, M e G passaram a ser, respectivamente, p•, m• e

g•, determinadas segundo a equação matricial:

Observando-se que p• + m• + g• = p0 + m0 + g0, pode-se

afirmar que k é igual a:

a) 5% de g0 b) 10% de g0 c) 15% de g0

d) 20% de g0 e) 25% de g0

10) Seja aij uma matriz quadrada de ordem n, onde aij = i + j.

Nessas condições, a soma dos elementos da diagonal

principal desta matriz é

a) n2 b) 2n + 2n2 c) 2n + n2

d) n2 + n e) n + 2n2

11) (UFF) Um dispositivo eletrônico, usado em segurança,

modifica a senha escolhida por um usuário, de acordo com o procedimento descrito abaixo.

A senha escolhida S1S2S3S4 deve conter quatro dígitos,

representados por S1 ,S2 ,S3 e S4. Esses dígitos são, então,

transformados nos dígitos M1 ,M2 , M3 e M4, da seguinte

forma:

Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

𝑀1

𝑀2 = 𝑃.

𝑆1

𝑆2 𝑒

𝑀3

𝑀4 = 𝑃.

𝑆3

𝑆4 onde P é a matriz

0 11 0

Se a senha de um usuário, já modificada, é 0110, isto é, M1•

= 0, M2 = 1, M3 = 1 e M4 = 0, pode-se afirmar que a senha

escolhida pelo usuário foi:

a) 0011 b) 0101 c) 1001

d) 1010 e) 1100

12) (UERJ)A temperatura corporal de um paciente foi

medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco

dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à

temperatura observada no instante i do dia j.

Determine:

a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior

temperatura;

b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de

observação.

13) Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de

fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-

roupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e

requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o

mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de

fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo

mês.

A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo

requinte nesse mês foi de

a) 170. b) 192. c) 120.

d) 218. E) 188.

14) Três barracas de frutas, B1, B2 e B3, são propriedade de

uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio

de uma matriz, na qual cada elemento bij representa a soma

dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj, em milhares

de reais, ao final de um determinado dia de feira.

𝐵 = 𝑥 1,8 3,0𝑎 𝑦 2,0𝑑 𝑐 𝑧

Calcule, para esse dia, o valor, em reais:

a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2;

b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.

15) Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é

por meio de códigos matemáticos, seguindo os passos:

1) Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma

matriz chave C;

2) O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que

MC = P, onde M é a matriz mensagem a ser decodificada;

3) Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto: 1 = a, 2 = b, 3 = c,..., 23 = z;

4) Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as letras

k, w e y;

5) O número zero corresponde ao ponto de exclamação;

6) A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo a

correspondência número/letra e ordenando as letras por linhas

da matriz conforme segue: m11m12m13m21m22m23m31m32m33

Considere as matrizes:

Com base nos conhecimentos e nas informações descritas,

assinale a alternativa que apresenta a mensagem que foi

enviada por meio da matriz M.

a) Boasorte!

b) Boaprova!

c) Boatarde!

d) Ajudeme!

e) Socorro!

Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

GABARITO

1 (d)

2 𝑎) 1 3

0 1

b) k = 2 ou k = 3

3 3/2

4 2

5 a) Cláudio

b) 2 chopes

6 (d)

7 (a)

8 (e)

9 (a)

10 (d)

11 ©

12 a) Na segunda medição

do 40 dia.

b) 37,3°C.

13 (d)

14 a) 1.200 reais.

b) 3.400 reais

15 (a)