Lista de Treinamento 2-Cone Sul 2015- Problema 15
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Lista de treinamento 2 - Cone Sul - 2015 – professor PONCE Problema 15 DEMONSTRAÇÃO Para que a equação (*), tenha solução, necessariamente, devemos ter y = a .p para al gum i nteiro p . Substituindo este valor de y em [*] , obtém-se: 63=1.7.9= a 2 (p 3 – 1 ) [**] . De [**],claramente, 1 p 3 – 1 63 . Além disso, 7 não pode dividir a , pois caso contrário, 63 seria divisível por 49; o que não é po ssível. Em consequência diss o, (p 3 – 1 ) deve ser divisível po r 7 . Mas como 1 p 3 – 1 63, segue-se (p 3 – 1) {7,14,21,63}, o que implica, p { 2,4}. Nestas condições, tem-se de [**]: p=2 a = 3 ou a = -3 e p=4 a = 1 ou a = -1. Deste modo, dos pares (a , p ), obtidos com valores de a e p já obti dos, tem-se de 2 7 a x e y = a. p : a = 3 e p =2 x = -2 e y = 6 a = -3 e p =2 x = -5 e y = - 6 a = 1 e p =4 x = -3 e y = 4 a = -1 e p =4 x = -4 e y = - 4 Substituindo os pares ordenados (x,y): (-2,6),(-5,-6),(-3,4) e (-4,-4) , obtidos acima, em [ * ],verifica-se que são soluções. Portanto, eles são as únicas solu ções inteiras para a equação dada. RESPOSTA: (-2,6),(-5,- 6),(-3,4) e (-4,-4) Nota: O inicio desta solução foi desenvolvida brilhantemente pelo amigo RODRIGO.
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RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 15
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Lista de treinamento 2 - Cone Sul - 2015 professor PONCE
Problema 15
DEMONSTRAO
Para que a equao (*), tenha soluo, necessariamente, devemos ter y = a .p para algum inteiro p.
Substituindo este valor de y em [*] , obtm-se: 63=1.7.9= a2 (p3 1 ) [**] .
De [**],claramente, 1 p3 1 63 . Alm disso, 7 no pode dividir a , pois caso contrrio, 63 seria
divisvel por 49; o que no possvel. Em consequncia disso, (p3 1 ) deve ser divisvel por 7 .
Mas como 1 p3 1 63, segue-se (p3 1) {7,14,21,63}, o que implica, p { 2,4}. Nestas condies,
tem-se de [**]: p=2 a = 3 ou a = -3 e p=4 a = 1 ou a = -1.
Deste modo, dos pares (a,p ), obtidos com valores de a e p j obtidos, tem-se de 2
7a
x e y = a. p :
a = 3 e p =2 x = -2 e y = 6
a = -3 e p =2 x = -5 e y = - 6
a = 1 e p =4 x = -3 e y = 4
a = -1 e p =4 x = -4 e y = - 4 Substituindo os pares ordenados (x,y): (-2,6),(-5,-6),(-3,4) e (-4,-4) , obtidos acima, em [ * ],verifica-se que so solues. Portanto, eles so as nicas solues inteiras para a equao dada.
RESPOSTA: (-2,6),(-5,- 6),(-3,4) e (-4,-4) Nota: O inicio desta soluo foi desenvolvida brilhantemente pelo amigo RODRIGO.
