Lista de treinamento 1 - Cone Sul - 2005 professor PONCE

Problema 1:

Determine os valores reais de x para os quais o nmero a = 32

122

xx

x um inteiro.

RESOLUO

Primeiramente, note que para x = 2

1 , o nmero a o inteiro 0 .

Em segundo lugar, claramente, para todo x real, temos as desigualdades [ I ] e [ II]:

[ I ] 01 2 x , com a igualdade ocorrendo somente para x = 1.

e [ II ] 02 2 x , com a igualdade ocorrendo somente para x = -2.

Por outro lado, como consequncia destas desigualdades, tem-se para todo x real:

De [I]: 01 2x 0122 xx

023422 xxx

0122322 xxx Mas, 322 xx = IRxxxx ,021212 22 .

Dai, a =2

1

32

122

xx

x; com a igualdade ocorrendo para x = 1.

De [II]: 04402 22 xxx

013222 xxx

012322 xxx Desde que: 322 xx IRx ,0 , a= 1

32

122

xx

x, com a igualdade ocorrendo para x = - 2.

Dos resultados, encontrados acima, conclui-se que: 2

11 a . Consequentemente, os valores inteiros

possveis de a pertencem ao conjunto { -1,0 }.

Entretanto, como a = - 1 x = 2 e a = 0 x = 2

1 , conclui-se que 2;

2

1 so os nicos

valores reais de x para que o nmero a seja um inteiro.

RESPOSTA: 2

1 ; 2.