Lista de Treinamento 1-Cone Sul 2015 - Problema 13
1
Lista de treinamento 1 - Cone Sul - 2005 – professor PONCE Problema 13: Sejam A e B dois inteiros positivos tais que B 2 + AB +1 divide A 2 + AB + 1. Prove que A = B. RESOLUÇÃO Inicialmente, lembremos que para quaisquer inteiros a e b, tem-se a propriedade: “ se x e y são inteiros positivos tais que x|y, então x | (ax + by ) “ De fato, sendo x | y, y = kx para algum inteiro k. Deste modo, ax + by = ax + bkx = (a+b.k).x. Consequentemente, como (a + bk ) é um inteiro, conclui-se que x| ( ax+by ). Desde que ( B 2 + AB +1 ) | ( A 2 + AB + 1) para inteiros positivos A e B, por hipótese, então da propriedade acima, tem-se: ( B 2 + AB +1 ) | [ A (B 2 + AB +1) + (– B )( A 2 + AB + 1) ], ou equivalentemente, ( B 2 + AB +1 ) | ( A – B ) Por outro lado, sendo A e B inteiros positivos, A(1 – B) 0. Dai, A AB e, portanto, A < AB + (B 2 + B +1 ), o que implica, A – B < B 2 + AB + 1. Deste modo, o inteiro ( B 2 + AB + 1 ) é maior que (A – B ) e também um divisor de (A – B). Entretanto, o único inteiro (A – B) que satisfaz simultaneamente estas condições é o zero. Portanto, A – B = 0, ou seja, A = B; o que finaliza a demonstração pedida.
-
Upload
luiz-ponce-alonso-ponce -
Category
Documents
-
view
8 -
download
0
description
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 13 -LISTA 01 -CONE SUL 2015
Transcript of Lista de Treinamento 1-Cone Sul 2015 - Problema 13
Lista de treinamento 1 - Cone Sul - 2005 – professor PONCE
Problema 13:
Sejam A e B dois inteiros positivos tais que B2 + AB +1 divide A2 + AB + 1. Prove que A = B.
RESOLUÇÃO
Inicialmente, lembremos que para quaisquer inteiros a e b, tem-se a propriedade:
“ se x e y são inteiros positivos tais que x|y, então x | (ax + by ) “ De fato, sendo x | y, y = kx para algum inteiro k. Deste modo, ax + by = ax + bkx = (a+b.k).x. Consequentemente, como (a + bk ) é um inteiro, conclui-se que x| ( ax+by ). Desde que ( B2 + AB +1 ) | ( A2 + AB + 1) para inteiros positivos A e B, por hipótese, então da
propriedade acima, tem-se:
( B2 + AB +1 ) | [ A (B2 + AB +1) + (– B )( A2 + AB + 1) ],
ou equivalentemente, ( B2 + AB +1 ) | ( A – B )
Por outro lado, sendo A e B inteiros positivos, A(1 – B) 0. Dai, A AB e, portanto,
A < AB + (B2 + B +1 ),
o que implica, A – B < B2 + AB + 1.
Deste modo, o inteiro ( B2 + AB + 1 ) é maior que (A – B ) e também um divisor de (A – B).
Entretanto, o único inteiro (A – B) que satisfaz simultaneamente estas condições é o zero.
Portanto, A – B = 0, ou seja, A = B; o que finaliza a demonstração pedida.
