P6231.WP Parte 7

Lista de Símbolos

1. Introdução

2. Descrição do equipamento

3. Parte teórica

4. Procedimento Experimental

1

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NOMENCLATURA OU SIMBOLOGIA A Área da secção transversal m2

D Diâmetro

m

De Diâmetro equivalente m

g Aceleração da gravidade m.s-2

h Altura de passagem

m

H Carga total

m

Hf Perda por atrito

m

L Comprimento do Tubo

m

m Caudal mássico

kg.s-1

P Pressão bar

Q Caudal volúmico m3.s-1

R Recuperação da pressão

S Distância

m

T Tempo s

V Velocidade m.s-1

w Largura de passagem m

Z Cota piezométrica m

ρ Massa volúmica

kg.m-3

µ Viscosidade absoluta N.s.m-2

2

P6231.WP Parte 7

1. Introdução

O escoamento de um fluido tem de estar de acordo com um número de

princípios científicos, nomeadamente a conservação de massa e a conservação de

energia.

O primeiro princípio, quando aplicado a um escoamento de fluido através de uma

conduta exige que para ser uniforme a velocidade seja inversamente proporcional à área

de escoamento.

O segundo exige que se a velocidade aumentar, então, a pressão tem de

diminuir.

O aparelho de Bernoulli (P6231) demonstra ambos os princípios atrás indicados e

também pode ser usado para examinar o começo da turbulência num caudal de fluido

em aceleração.

Tanto a equação de Bernoulli como a equação de continuidade são ferramentas

analíticas essenciais para a análise da maioria dos problemas referentes à mecânica dos

fluidos.

3

P6231.WP Parte 7

2. Descrição

O aparelho de Bernoulli consiste essencialmente num tubo de secção rectangular

convergente/divergente, bidimensional, concebido para se encaixar entre o Tanque de

Admissão de altura Constante Cussons P6103 e o Tanque de descarga com altura

Variável P6104. Ao tubo convergente/divergente encontra-se ligado um conjunto de

manómetros de pressão estática (através de onze tubos) (cf. figura 1). Existe um sistema

de injecção de tinta que permite que um único filamento de tinta seja introduzido na

abertura da secção convergente, a fim de possibilitar a visualização de regimes de

escoamento laminar e turbulento. A altura de estagnação sobre a secção de teste pode

variar de zero até um máximo de 450 mm. A secção de teste, que é fabricada a partir de

uma folha de acrílico, está ilustrada na figura 1.

Figura 1: Equipamento de Bernoulli

O tubo convergente / divergente é simétrico a partir da linha central, com uma

superfície superior horizontal plana, na qual se encaixam, por perfuração, as onze

tomadas de pressão estática. A superfície inferior fica num ângulo de 4º29’. A largura

do canal é de 6,35 mm. A altura do canal à entrada e à saída é de 19,525 mm e a altura

na garganta é de 6,35 mm. As tomadas estáticas estão colocadas a uma distância de

4

P6231.WP Parte 7

25 mm, distribuídas pelo centro e, portanto, pela garganta. A área de escoamento em

cada tomada é tabelada conforme as dimensões indicadas na figura 2.

Figura 2: Dimensões do aparelho de Bernoulli.

Tubo de medida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Área de escoamento

102,56 90,11 77,66 65,22 52,77 40,32 52,77 65,22 77,66 90,11 102,56

5

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3. Parte teórica

3.1 Teorema de Bernoulli (Daniel Bernoulli 1700-1782)

Considere um fluxo de tubo constante de um fluido de viscosidade nula como é

ilustrado na figura 3.

Figura 3: Fluxo de tubo

O comprimento do elemento δS é suficientemente pequeno, podendo-se

negligenciar qualquer curvatura do tubo de fluxo. A pressão e a velocidade variarão ao

longo do tubo de fluxo, mas uma vez que se parte do princípio de que o escoamento é

constante, estas propriedades não variarão com o tempo em qualquer ponto fixo. Na

extremidade de fluxo ascendente, assuma-se que a área com corte transversal é A, a

pressão estática P e a velocidade V. Na extremidade de fluxo descendente, estas

propriedades ter-se-ão alterado para δA, δP e Vδ, respectivamente. A altura da secção

de fluxo descendente será δZ mais alta do que a secção de fluxo ascendente. Considere

agora as forças que actuam sobre o elemento fluido na direcção de escoamento.

Pressão na parte de superior do fluxo = PA

Pressão nos lados = (P + δP) δA

Pressão na parte de inferior do fluxo = (P + δP) (A + δA)

Força gravítica = ρ g A δZ

6

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Não haverá forças de atrito assumindo que a viscosidade do fluido é nulo.

O resultado destas forças é:

ZgAAAPPAPPPA δρδδδδ −++−++ ))(()(

Expandindo e negligenciando ordens secundárias de pequenas quantidades, a força

resultante reduz-se para

ZgAPA δρδ −−

Aplicando a segunda lei de Newton ao longo da corrente de fluxo

Força = Massa × Acelaração

tVSAZgAPAδδδρδρδ =−−

Dividindo ambos por ρ A δS

tV

SZg

SP

δδ

δδ

δδ

ρ=−−

1

Agora tVδδ pode ser substituída por

SVV

tS

SV

δδ

δδ

δδ

=

Daqui resulta

tVV

SZg

SP

δδ

δδ

δδ

ρ=−−

1

Visto que P, Z e V são ambas funções de S, logo as derivadas podem ser substituídas

pelas derivadas totais e rearranjando a equação esta pode ser escrita como:

01=++−

dSdZg

dSdVV

dSdP

ρ

Esta é conhecida como a equação de Euler, e pode ser integrada em ordem a S,

desde que a variação da densidade ρ entre a distância S ao longo do fluxo de tubo seja

conhecida.

Quando o comportamento do líquido que é essencialmente incompressível é obvia e

razoável a suposição de que a densidade seja assumida como constante.

7

P6231.WP Parte 7

Portanto integrando a equação de Euler para uma densidade constante vem:

=++ gZVP2

2

ρConstante

Ou dividindo ambos os membros por g

=++ Zg

Vg

P2

2

ρConstante

Este resultado é conhecido como a equação de Bernoulli. Esta é aplicada a um fluxo

constante e incompressível e de viscosidade nula. A equação de Bernoulli mostra a

soma de três quantidades

=g

Pρ

Altura piezométrica

gV2

2

= Altura cinética

Z = cota piezométrica

São constantes. Portanto os três termos podem ser permutáveis; por exemplo se num

sistema horizontal a altura cinética aumenta logo a altura piezometrica diminui.

3.2 Perda de carga pelo atrito

Se o fluido tem viscosidade nula então haverá uma pequena perda por atrito no

interior do fluido e entre o fluido e a parede do tubo. A equação de Bernoulli pode ser

modificada com a inclusão da perda de carga pelo atrito Hf.

HfZg

Vg

PZg

Vg

P+++=++ 2

22

1

211

22

2 ρρ

Onde a equação de Bernoulli pode ser escrita na forma de integrais e pode ser aplicada

entre a parte superior do fluxo, secção 1e a parte inferior do fluxo, secção 2.

8

P6231.WP Parte 7

3.3 – A equação da continuidade

A equação da continuidade é uma alegação à conservação de massa.

Considerar o fluxo de tubo constante que atravessa uma secção de área como se mostra

na figura 3. Para um fluxo constante a massa de fluido que entra no fluxo de tubo na

secção 1 tem de ser igual a massa de fluido que sai no tubo na secção 2. A taxa da

massa do fluxo de tubo em qualquer secção ao longo do tubo tem de ser constante logo: .

M = Constante

AVM ρ=.

= Constante

Para um fluido incompressível e de densidade constante a equação da continuidade pode

ser escrita como:

AV = Constante

Para um fluxo de fluido incompressível numa conduta convergente ela segue para onde

a área é mais reduzida e consequentemente a velocidade aumenta, enquanto que numa

conduta divergente a área aumenta e a velocidade diminui. Aplicando a equação de

Bernoulli se a velocidade aumenta então a pressão deve diminuir enquanto que se a

velocidade diminuir a pressão deve aumentar. Este processo é ilustrado na figura 4.

A diminui A aumenta

V aumenta V diminui

P diminui P aumenta

Este é o bocal Este é o difusor Figura 4: Bocal e difusor

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3.4 – Aplicação do equipamento de Bernoulli da Cussons P6231

No equipamento de Bernoulli da Cussons P6231, a passagem é feita em duas

dimensões com uma largura constante, mas com variação linear da altura. Contudo, o

fluxo da área da passagem varia linearmente. Da equação da continuidade

.

hwVAVM ρρ ==

Onde h = altura da passagem

w = largura da passagem

Para este canal w é constante no tamanho desde que o canal é formado entre duas

chapas paralelas, daqui o produto hV = constante. A altura cinética g

V2

2

será

proporcional a e consequentemente a . O gráfico da altura de estagnação versus S

será uma parábola invertida.

2h 2S

Legenda

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P6231.WP Parte 7

Como consequência da perda na conduta por atrito pode ser investigado pela

comparação da altura de estagnação das posições com igual área para convergir e

divergir em diversas partes da conduta. Aplicando a equação de Bernoulli

HfZg

Vg

PZg

Vg

P+++=++ 2

22

1

211

22

2 ρρ

Visto que a passagem é horizontal Z1 = Z2. As duas posições de igual área e

velocidades, desta maneira a equação fica reduzida a:

gP

gPHf

ρρ21 −=

A maior parte da pressão perdida que converge na conduta é convertida na parte

divergente da conduta. A classe de pressão convertida é dada por:

=Rçãoentrada

çãosaida

HHHH

sec

sec

−

−

Experimentalmente é mostrado claramente enquanto que é possível mudar a pressão

para altura cinética sem no entanto perder energia significativa, mas é impossível mudar

a altura cinética para a pressão sem perdas.

3.5- Escoamento laminar e turbulento

Os regimes laminares e turbulentos do fluxo podem ser vistos pelo

comportamento de uma linha fina de tinta injectada no centro da passagem convergente.

Se esta condição for satisfeita, ou seja, se no início da conduta convergente a velocidade

é elevada mas laminar então a velocidade aumenta e o fluxo torna-se turbulento e a sua

transição pode ser observada pelo comportamento da tinta.

O número de Reynolds é definido por:

ηρVD

=Re

11

P6231.WP Parte 7

Para uma conduta rectangular é incluído o diâmetro equivalente para calcular o número

de Reynolds

molhado perimetrofluxo de area4=eD

O valor dos Re em que a turbulência começa é indicativo do número crítico mais

elevado de Reynolds do líquido. Similarmente, o valor em que turbulência diminui

finalmente é indicativo do Reynolds crítico mais baixo. A manipulação cuidadosa da

taxa de fluxo mostrará que a turbulência nos aspectos importantes desta experiência está

na facilidade com que a variação aleatória do fluxo pode ser conseguida e os testes

padrões correspondentes do fluxo ser observada.

4. Experiências

4.1 O equipamento de Bernoulli Cussons P6231 permite a realização de duas

experiências

Experiência 1 Verificação do Teorema de Bernoulli

Experiência 2 Demonstração do escoamento laminar e turbulento

4.2 Preparação do Equipamento

Colocar o Tanque de Admissão P6103 e o Tanque de Saída Variável P6104 nas

roscas de montagem existentes na superfície de trabalho da Bancada Hidráulica e ligar o

Aparelho de Bernoulli entre ambos, usando as uniões de ligação. Ligar a mangueira da

bancada de Alimentação ao Tanque de Cabeça de Admissão e ligar uma mangueira de

descarga à saída de descargas do Tanque de Cabeça de Admissão. Ligar o Reservatório

da Tinta ao topo do tanque de cabeça de Admissão, usando o clip de montagem junto e

assegurar-se de que o clip de mola está ligado à mangueira de borracha, para que não

possa correr tinta para a agulha injectora. Encher o reservatório com uma tinta miscível

em água (recomenda-se tinta azul lavável). Certificar-se de que a tinta pode correr pela

agulha injectora de tinta quando se ajustar o clip de mola. Se ocorrer um bloqueio de

tinta na agulha injectora, este é normalmente causado por não se ter lavado toda a tinta

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P6231.WP Parte 7

na utilização anterior do equipamento. Consegue-se normalmente rectificar o bloqueio,

fazendo passar água abundantemente pelo sistema injector de tinta. Remover a tampa de

bloqueio em metal da parte lateral do Tanque de admissão e inserir a Agulha de

injecção de Tinta de modo a que a ponta saia aproximadamente 20 mm para a secção

transparente de Teste Bernoulli. Para registar a altura do nível de água em cada um dos

tubos do manómetro, deve-se posicionar uma folha de papel com escala.

Experiência 1- Verificação da equação de Bernoulli

Objectivo: Verificar a equação de Bernoulli demonstrando a relação entre a altura

piezométrica e a altura cinética.

Preparação do equipamento: preparar o equipamento seguindo as especificações.

Entrada: entrada principal constante do tanque P6103

Teste a secção: Equipamento de Bernoulli P6231

Saída: saída variável do tanque P6104

Manómetro: introduza uma folha de gráfico 440 mm de altura por 325 mm de

largura atrás dos tubos do manómetro para fornecer um método fácil de obter um

registo dos resultados.

Procedimento experimental.

1. Ligue a bomba e inicie um fluxo da água através da secção de teste. Regule o

fluxo da entrada do tanque P6103 de modo que este seja pequeno mas constante.

Ajustar o tubo do giro (descarga), de modo para obter uma altura de 50mm.

2. Meça a altura do nível de água em cada tubo do manómetro marcando no papel

posicionado atrás dos tubos e registe a medição na folha de teste e o tempo

demorado para encher o tanque de medição de zero a 10 litros.

13

P6231.WP Parte 7

3. Aumente a altura entre a entrada e a saída do tanque em incrementos de 50 mm,

até que o nível de água no centro do manómetro esteja fora da escala. Registar

outra vez as alturas do líquido nos tubos do manómetro no papel posicionado

atrás destes e medir o caudal de escoamento.

4. Analise de resultados

1. Registe os resultados na cópia da folha de resultados fornecida.

2. Calcule o caudal de escoamento para cada conjunto de resultados.

3. Para cada conjunto de resultados, calcule na secção transversal junto a cada tubo

do manómetro, a velocidade do fluxo e o número de Reynolds.

4. Trace um gráfico da altura versus distância e também gVH

2

2+ versus distância.

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P6231.WP Parte 7

Folha de resultados do equipamento de Bernoulli P6231

Experiência 1 Verificação da equação de Bernoulli

Análise de resultados

Temperatura da água 0C Densidade da água

kg/m3

Viscosidade da água

Ns/m2

Quantidade de água

(litros)

Tempo de recolha da

água (seg)

Caudal volumétrico

Q (Litros/min)

Tubo de

medida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Área de

escoamento

(mm2)

Altura de

elevação

(mm)

Velocidade

m/s

Numero de

Reynolds

Observações:

15

P6231.WP Parte 7

Experiência 2 – Demonstração do regime laminar e turbulento

Objectivo: Demonstrar visualmente o fluxo laminar e a sua transição para turbulento a

uma velocidade particular.

Preparação do equipamento. Preparar o equipamento seguindo as especificações:

Entrada: entrada principal constante do tanque P6103

Secção de teste: Equipamento de Bernoulli

Saída: saída variável do tanque P6104

Manómetro: introduza uma folha de gráfico 440 mm de altura por 325 mm de

largura atrás dos tubos do manómetro para fornecer um método fácil de obter um

registo dos resultados.

Injecção da tinta: adaptado

Procedimento experimental.

1. Ligue a bomba e inicie um fluxo da água através da secção de teste. Regule o

fluxo da entrada do tanque P6103, de modo que este seja pequeno mas

constante. Ajustar o tubo do giro (descarga), para obter uma altura de

20 mm.

2. Deixe passar a tinta para o escoamento.

3. Abra a pequena válvula na base do reservatório da tinta para esta fluir do

bocal até a entrada a canal. Isto será visível por uma corrente colorida ao

longo do aparelho. Se a tinta acumular em torno do bocal, aumentar a

velocidade do fluxo na passagem e/ou verificar o nível de tinta no depósito

de tinta.

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P6231.WP Parte 7

4. O regime laminar do fluxo será visível ao longo do comprimento da

passagem. Se isto não acontecer, reduzir o fluxo até que um a corrente de

tintura esteja visível ao longo da passagem.

5. Aumente de forma constante o caudal de escoamento, aumentando a

elevação total, com o cuidado de observar o estado do líquido na conduta,

tentando visualizar o início da instabilidade no escoamento de tinta. Anotar a

posição na passagem e medir o valor correspondente do caudal de

escoamento.

6. Mantenha uma observação atenta da passagem durante o aumento do fluxo

até o sistema estar completamente turbulento, sem se poder distinguir

qualquer mancha de tinta no tubo.

7. Reduza o caudal em escoamento ao ponto da turbulência desaparecer e as

condições estáveis de fluxo laminar reaparecem ao longo de toda a

passagem. Meça o caudal em escoamento e anote a posição dos últimos

traços da turbulência.

8. Manipulação contínua do caudal em escoamento, quando observadas as

condições do fluxo, pode conduzir a uma apreciação visual útil do regime

laminar e turbulento.

9. Desligue a bomba e permita que o equipamento drene para o reservatório

principal.

Nota: o uso contínuo da tinta irá tingir a água da circulação. Quando este se

torna severo a água deve ser mudada. Não use água que contenha tintura noutro

equipamento.

10. Limpe completamente todo equipamento de todo o traço da água que contém

a tinta antes de voltar a utilizar.

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P6231.WP Parte 7

Análise de resultados:

1- Registe os resultados na folha fornecida.

2- Calcule o caudal em escoamento para cada conjunto de resultados.

3- Para cada conjunto de resultados, calcule na secção junto ao tubo do

manómetro, a velocidade do escoamento e o número de Reynolds.

4- Para um conjunto de resultados em que o fluxo mudou de laminar a

turbulento, determine o número crítico mais elevado de Reynolds

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