Lista de Grupos - Algebra II

7/22/2019 Lista de Grupos - Algebra II

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Eduardo Ferreira Moraes 7 perodo Licenciatura em MatemticaLista de Exerccio lgebra II - Grupos

1) Mostre que se a,b (G,*) ento valem:a) Cancelamento direita a . c = b . c => a = b

tome c,d (G,*), temos que

a . c . c = b . c . c => a = ba . (c . c) = b . (c . c) => a = b (associativa)a . d// = b . d/// => a = b (cancelamento)

a = b => a = b

b) Cancelamento esquerda c . a = c . b => a = b

tome c,d (G,*), temos quec . a . c = c . b . c => a = b(c . c) .a = (c . c) .b => a = b (associativa)

d// .a = d// .b => a = b (cancelamento)

a = b => a = bc) A equao x . a = b tem uma nica soluo em GSoluo 1

Suponha por contradio que existem 2 solues tais que x . a = b e x . a = bportanto x . a = x . apelo cancelamento direita, temos que x = x, portanto a soluo nica.

Soluo 2Seja a = a-, temos x . a . a = b . a

=> x . e = b . a e = I = a . a- = 1=> x = b . a portanto a soluo nica

d) A equao a . x = b tem uma nica soluo em GSoluo 1

Suponha por contradio que existem 2 solues tais que a . x = b e a . x = bportanto a . x = a . xpelo cancelamento esquerda, temos que x = x, portanto a soluo nica.

Soluo 2Seja a = a-, temos a . a . x = a . b

=> e . x = a . b e = I = a . a- = 1=> x = a . b portanto a soluo nica

2) Sejam (G,*1) e (G,*2) grupos. Mostre que G x G = {(x,x); x G, x G} umgrupo com a operao * definida por (x,x) * (y,y) = (x*1 y, x*2 y) x,y G e x,y G

Pelo fechamento, se x,y G e x,y G, ento x*1 y G e x*2 y GPela associatividade

((x,x) * (y,y)) * (z,z) = (x,x) * ((y,y) * (z,z))(x *1 y, x *2 y) * (z,z) = (x,x) * (y *1 z, y *2 z)(x *1 y *1 z, x *2 y *2 z) = (x *1 y *1 z, x *2 y *2 z)

Elemento Neutro

((x,x) * (1,1) => (x,x)(x *1 1, x *2 1) => (x,x)(x , x) => (x,x)


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Inverso(x,x) * (x,x)-1 = I(x,x) * (x-1,x-1) = I

(x *1 x-1

, x *2 x-1

) = I( e , e ) = ILogo, G x G = {(x,x); x G, x G} um grupo com a operao *

3) Prove as proposies 1 e 2Proposio 1 Seja (G,*) um grupo, valem as propriedadesa) O elemento neutro nico

Seja e1 G, elemento neutro nico, tal que:a . e1 = asuponha por contradio que existe e2 # e1 tambm elemento neutro, assim:a . e1 . e2 = a . e2, pelo cancelamento esquerda, temos que:e1 . e2 = e2 e como e2 elemento neutro, teramos e1 = e2 contradio,logo e1 = e2 e portanto o elemento neutro nico.

b) O inverso de cada elemento G nico

Seja a G, elemento neutro nico, tal que:a = a-1 tal que a . a = a . a-1 = Isuponha por contradio que existe b# a inverso de a, assim:a . a = a . b = I, pelo cancelamento direita, temos que:a = b contradio, logo o inverso nico.

Proposio 2 Seja (G,*) um grupo. Sejam a,b G, ento:a) (a-1)-1 = a

Pela unicidade do inverso, existe somente um a tal que a-1 o seu inverso, assim oinverso do inverso de a o prprio a.

b) (a . b)-1 = b-1 . a-1

Temos que (a . b)-1 . (a . b) = e, ento b-1 . a-1 . (a . b) = ede (a . b)-1 temos: de (b-1 . a-1)) temos:(a . b)-1 . (a . b) = e b-1 . a-1 . (a . b) = e

d-1 . d = e a . a-1 . (b . b-1) = ee = e a . a-1 . e = e

e . e = eLogo (a . b)-1 = b-1 . a-1

4) Demonstre que:a) (Z,+) um subgrupo de (Q,+)Pelo fechamento,

se a,b (Z+) => a + b (Z+)Pela associatividade

(a + b) + c = a + (b + c)a + b + c = a + b + c

Elemento Neutroexiste um elemento neutro e = 0 tal que:a + 0 = a

Inverso


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existe um nico inverso para cada a,b,c (Z+) tal que:a + a-1 = a + (-a) = 0

Logo, (Z+) um sub-grupo de (Q+)

b) (Q,+) um subgrupo de (R,+)Pelo fechamento,

sea

b,

c

d (, +)

a

b+

c

d (, + )

Pela associatividadea

b+

c

d+

f

g=

a

b+

c

d+

f

g

( a+ cb+d) + fg = ab +( c + fd+g)

(a +c +fb+d+g) = (

a +c + fb+ d+g)

Elemento Neutro

existe um elemento neutro e =0

c= 0 com c 0 tal que :

a

b+ e =

a

b+ 0 =

a

b

Inverso

existe um nicoinverso para cadaa

b=( ab )

1

=( ab ) tal que :ab

+(ab )

1

= ab

+(ab ) = 0

Logo, (Q+) um sub-grupo de (R+)

c) (R,+) um subgrupo de (C,+)Sejam a +bi (,+)comb=0 (, +)Pelo fechamento,

se a , b , c , d (, +) ento(a +c ) e (b+d) (, +)(a +bi)+( c+ di) = ( a+ c)+(b +d)i (, + )

Pela associatividade((a+ bi)+(c +di))+( f+gi) = ( a+ bi)+((c+ di)+( f+gi))(a +c )+(b+d) i +( f+gi) = ( a+bi)+(c+ f)+( d+g)i(a +c +f)+(b+ d+g)i = ( a+c+ f)+(b+d+g)i

Elemento Neutroexiste umelementoneutro e = ( 0+0i)tal que :(a +bi)+e = ( a+bi)+(0+0i) = (a +0)+(bi+ 0i) = (a +bi)

Inversoexiste umnico inverso para cada a+bi=(a +bi)1=(a +bi) tal que :a+bi+(a+bi)1 = a+bi+(( a+bi)) =(a +bi)+(abi) = (aa)+(bibi)=0

Logo, (R+) um sub-grupo de (C+)


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d) (Z*,.) = ({-1,1},.) um subgrupo de (Q\{0},.)

Pelo fechamento,sejam a=1, b=1 ento a .b=1.1=1 (*, .)sejam a=1, b=1 ento a . b=1 .1=1 (*, .)sejam a=1, b=1 ento a . b=1. 1=1 (*, .)assim se a , b (*, .)ento a . b (*, .)

Pela associatividadesejam a=1, b=1 e c=1(a .b) . c = a .( b . c)(1 .1). 1 = 1 .(1 . 1)1 . 1 = 1. 11 = 1sejam a=1, b=1e c=1(a .b) . c = a .( b. c )

(1. 1).1 = 1. (1 .1)1 .1 = 1 .11 = 1

Elemento Neutroexiste um elemento neutro e = 1 tal que :tomandoa=1, entoa . e = a . 1 = a = 1tomandoa=1, entoa . e = a . 1 = a = 1

Inversoexiste um nicoinverso para cada a=a1 tal que : a . a1 = ese a=1, a1=1 pois , a . a1 = 1 . 1 = e = 1se a=1, a1=1 pois , a . a1 = 1 . 1 = e = 1

Logo, (Z*,.) = ({-1,1},.) um sub-grupo de (Q\{0},.)

e) (Q\{0},.) m subgrupo de (R\{0},.)Pelo fechamento,

a

b.

c

d ( \{0},.)

ac

bd ( \{0},.)

Pela associatividadea

b

.c

d

.f

g

=a

b

.c

d

.f

g

( acbd) . fg = ab .( cfdg)( acfbdg) = ( acfbdg)

Elemento Neutro

existe um elemento neutro e =c

c= 1 c ( \{0}, .)

a

b. e =

a

b.

c

c=

a

b. 1 =

a

b

Inverso


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existe um nicoinverso para cadaa

b= ( ab )

1

=b

ac o m a , b0 tal que :

a

b .(a

b )1

=a

b .b

a = e = 1

Logo (Q\{0},.) m subgrupo de (R\{0},.)

f) (R\{0},.) m subgrupo de (C\{0},.)falta fazer esta demonstrao

5) Considere o grupo multiplicativo (C\{0},.) Prove que S1 = {z = a+bi C; a + b = 1} um subgrupo de (C\{0},.).

Tome z=a+bi com a=1 e b=0, 1 S1

Pelo fechamento,como z=a +bi S1, tomamos w=c +di S1 tal que a2+b2=1 e c2+ d2=1z. w = (a+bi).( c+ di) = ac+ adi+bci+bdi2 = ac+(ad+bc )idb = ( acbd)+(ad+bc )i

Para verificar se (acbd)+( ad+bc) i S1, utilizamos a2+b2=1 e c2+d2=1(acbd)2 +(ad+bc)2 = a2 c22abcd+ b2 d2+a2 d2+2abcd+b2 c2

(acbd)2 +(ad+bc)2 = a2 c2+ b2 d2+ a2d2+ b2 c2

(acbd)2 +(ad+bc)2 = a2(c2 +d2)+b2(c2+d2)(acbd)2 +(ad+bc)2 = ( a2 +b2) .(c2+d2)(acbd)2 +(ad+bc)2 = 1. 1 = 1logo z. w S1

Pela associatividade


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tome z=a+b i , w=c+d i , x= f+gi S1,

(z. w).x = z.(w .x)(I) (z. w) .x =

= ((a +bi ). (c+ di)).( f+gi)= (ac+adi+bci+ bdi2) .( f+gi)= (acbd+adi+ bci).( f+gi)= acf+acgibdfbdgi+adfi +adgi 2+ bcfi+ bcgi2

= acfbdf+ acgibdgi+adfiadg+bcfibcg= f(acbd)+ fi(ad+bc)g(ad+bc )+gi(acbd)= f[(acbd)+(ad+bc) i ]+g[(adbc )+(acbd) i ](II) z.(w .x ) == (a+bi) .((c+ di).( f+gi))

= (a+bi) .(cf+cgi+dfi+ dgi2)

= (a+bi) .(cf+cgi+dfidg)= acf+acgi+ adfiadg+ bcfi+bcgi 2+bdfi2bdgi= acf+acgi+ adfiadg+ bcfibcgbdfbdgi= f(acbd)+ fi(ad+bc)+g(adbc)+gi (acdg)= f[(acbd)+(ad+bc) i ]+g[(adbc )+(acdg)i ]Assim I=II tal que (z. w) .x = z.(w .x) S1

Elemento Neutroexiste um elemento neutro e =1+ 0i tal que z.e = 1z. e = (a +bi) .(1+0i) = a.1+a.0i+ bi.1+bi.0i = a+0i +bi+0i = a +bi

Inverso

existe um nicoinverso para cada z=z1

tal que :z

(1)= 1a +bi

.(abi)(abi)

= abi

a2abi+abib2i2

= abi

a2+b2

= 11

= 1

logo z1 S1

Portanto S subgrupo de (C\{0},.)

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