Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

Colégio Pedro II – Unidade Realengo II - 2012 Lista de exercícios de Números Complexos

Coordenador: Clayton Turno:Tarde Data:_____/_____

Aluno (a):________________________________________turma______n0:____

1) Considere i a unidade imaginária dos números

complexos. O valor da expressão (i - 1)8 é:

a) 32i b) 32 c) 16 d) 16i

2) O valor do número complexo [(1 + i9)/[1 + i

27)]

20

é: a) 1 b) i c) – i d) -1 e) 2

20

3) Os três vértices de um triângulo equilátero com centro no plano de Argand-Gauss são números Z1, Z2

e Z3,complexos, sendo dois deles Z1 = 4i e Z2 = -2 3 -2i.

a) Encontre o número complexo Z3 que representa o terceiro vértice desse triângulo.

b) Encontre a medida da área desse triângulo.

4) Admitindo que o centro do plano complexo

coincida com o centro de um relógio analógico, se o

ponteiro dos minutos tiver 4 unidades de comprimento, estará, às 16 horas e 50 minutos, sobre

qual número complexo?

5) Mostre que, para qualquer número complexo Z =a

+ bi e 𝑍 o seu conjugado, temos que Z. 𝑍 = 𝑧 2.

6) A figura indica a representação dos números Z1 e Z2 no plano complexo.

Sendo Z1. Z2 = a + bi, calcule o valor de a + b.

7) Seja o complexo z = 2 [cos (π/6) + sen (π /6) i], calcule z

6.

8)Mostre que O valor de [(1/2) + (1/2)i]100

é igual a -2

-50.

9) Qual a medida, em radianos, do argumento do

quociente dos números complexos Z = 1 - i 3 por W = -1 + i?

10) Seja z≠1 um número complexo tal que z7 = 1.

Determine o valor numérico da expressão: 𝑍

1 − 𝑍2+

𝑍2

1 − 𝑍4+

𝑍3

1 − 𝑍6+

𝑍4

1 − 𝑍+

𝑍5

1 − 𝑍3+

𝑍6

1 − 𝑍5

11) Resolva:

a) Calcular ( 3 + i)12

b) Sendo z = 2

2 + i

2

2, calcular o valor de 1 + z + z

2 +

z3 + ... + z

15.

12) Um jantar secreto é marcado para a hora em que

as extremidades dos ponteiros do relógio forem representadas pelos números complexos z e w a

seguir: z = α.[cos 𝜋

2 + i.sen

𝜋

2 ], w = z

2, sendo α um

número real fixo, 0 < α < 1.

Determine a hora do jantar.

GABARITO

1 (c)

2 (a)

3 a) Z = -2 +2 3 i.

b) 12 3

4 -2 3 + 2i.

5 Demonstração

6 4(1 - 3).

7 -64

8 Demonstração

9 11 π/12

10 Zero

11 a) 4096

b) zero

12 21 horas

Grau

Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

Gabarito comentado da questão 10.

10) (ITA)Seja z≠1 um número complexo tal que z7 =

1. Determine o valor numérico da expressão: 𝑍

1 − 𝑍2+

𝑍2

1 − 𝑍4+

𝑍3

1 − 𝑍6+

𝑍4

1 − 𝑍+

𝑍5

1 − 𝑍3+

𝑍6

1 − 𝑍5

O enunciado nos diz que Z7 = 1, logo:

Z7 = 1 ⟹ Z6.Z = 1⟹Z=1

𝑍6

Z7 = 1 ⟹ Z5. Z2 = 1⟹Z2=1

𝑍5

Z7 = 1 ⟹ Z4. Z3 = 1⟹Z3=1

𝑍4

Z7 = 1 ⟹ Z3. Z4 = 1⟹Z4=1

𝑍3

Z7 = 1 ⟹ Z2. Z5 = 1⟹Z5=1

𝑍2

Z7 = 1 ⟹ Z6. Z = 1⟹Z6=1

𝑍

Vamos então substituir, na expressão: 𝑍

1−𝑍2 +𝑍2

1−𝑍4 +𝑍3

1−𝑍6 +𝑍4

1−𝑍+

𝑍5

1−𝑍3 +𝑍6

1−𝑍5 =

=𝑍

1−1

𝑍5

+𝑍2

1−1

𝑍3

+𝑍3

1−1

𝑧

+𝑍4

1−𝑍+

𝑍5

1−𝑍3 +𝑍6

1−𝑍5=

=𝑍6

Z5−1+

𝑍5

Z3−1+

𝑍4

Z−1+

𝑍4

1−𝑍+

𝑍5

1−𝑍3 +𝑍6

1−𝑍5=

Note que nas três últimas parcelas podemos dizer que 1-z

= -(z-1); 1-z3 = -(z3 -1); e 1-z5 = -(z5-1). Logo:

=𝑍6

Z5−1+

𝑍5

Z3−1+

𝑍4

Z−1−

𝑍4

𝑍−1−

𝑍5

𝑍3−1−

𝑍6

𝑍5−1=

Arrumando teremos....

=𝑍6

Z5−1−

𝑍6

𝑍5−1+

𝑍5

Z3−1−

𝑍5

𝑍3−1+

𝑍4

Z−1−

𝑍4

𝑍−1=

=𝑍6−𝑍6

Z5−1+

𝑍5−𝑍5

Z3−1+

𝑍4−𝑍4

Z−1 =

=0

Z5−1+

0

Z3−1+

0

Z−1= 0

Gabarito comentado da questão 11

a) Calcular ( 3 + i)12

Chamemos de Z = 3 + i. Na forma polar ele será escrito Z = 2.(cos 30

0+i.sen 30

0).

Como ele quer que calcule ( 3 + i)12

, façamos

Z12

= 212

.(cos 12.(300)+i.sen 12.(30

0)).Pela fórmula

D’Moivre.

Z12

= 4096.(cos 3600+ i.sen 360

0) =

= 4096.(1 +i.0) = 4096.

b) 1 + z + z2 + z

3 + ... + z

15 é uma soma de P.G. finita

de 16 termos...

Vamos lembrar da fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G. de razão igual a Z.

Sn= 𝑎1 .(𝑞16−1)

𝑞−1=

1.(𝑍16−1)

𝑍−1=

𝑍16−1

𝑍−1

Como z = 2

2 + i

2

2, temos, pela fórmula D´Moivre,

que z16

= 1. Logo...

𝑍16 − 1

𝑍 − 1=

1 − 1

𝑍 − 1=

0

𝑍 − 1= 0