PRODUTO VETORIAL

01) Dados os vetores u =( –1,3,2),v =(1,5,–2) e w =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores:

a) uv b) vw c) v(uw )

d) (vu )w e)(u +v )(u +w ) f) (u –w )w

RESP: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48) e)(24,0,64)

f)(–3,–13,18)

02)Determinar o vetor x , paralelo ao vetor ao vetor w =(2,–3,0) e tal que x u =v , onde u =(1,–1,0) e v

=(0,0,2). RESP: x =(4.–6,0)

03) Determinar o vetor v , sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,3,1) e ao vetor b =(1,2,3) e que

satisfaz a seguinte condição; v⋅( i+2 j−7 k )=10 . RESP: v=(7,5,1 )

04)Determinar v , tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e que u=v×w ,sendo u=(1,1 ,−1 )e w=(2,−1,1) .

RESP: v =(1,0,1)

05)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores v1 =(–1,–1,0) ev2 =(0,–1–1).

RESP: ± 1

√3(1 ,−1,1 )

06) Dado o vetor v1 =(3,0,1). Determine o vetor v =(x,y,z), sabendo-se que v é ortogonal ao eixo OX, que

½½v v1 ½½=6√14 , e que v ·v1 =4. RESP: v=(0 ,±6, 4 )

07) Dados os vetores u =(1,1,1) e v =(2,3,4), calcular:

a) A área do paralelogramo de determinado por u e v ;

b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u .

RESP: a)A=√6u .a. b)h=√2u .c .

08)Dados os vetores u =(2,1,1) e v =(1,1,), calcular o valor de para que a área do paralelogramo

determinado por u e v seja igual a √62 u.a.(unidades de área).

RESP: =3

09) A área de um triângulo ABC é igual a √6 . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o vértice C pertence ao

eixo OY. Calcule as coordenadas de C.

RESP: (0,3,0) ou (0 , 15 ,0)

10)Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,1), B(2,0,1) e C(1,2,0). Determine a altura

relativa ao lado BC. RESP: h=3√35

7u .c .

11) Calcule a distância do ponto P(–2,1,2) à reta determinada pelos pontos M(1,2,1) e N(0,–1,3).

RESP: d=

3√357 u.c. (calcule a área do triângulo MNP; a distância entre o ponto P e a reta será a

altura)

PRODUTO MISTO

01) Qual é o valor de x para que os vetores a =(3,–x,–2), b =(3,2,x) e c =(1,–3,1) sejam coplanares.

RESP: x=14 ou x=–2

02) Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k) sejam vértices de

uma mesma face de um poliedro. RESP: k=– 1

03) Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u = 2 i – j +k e

v = i – j e w =x i + j –3k , seja unitário. RESP: x=–5 ou x= –3

04) Sejam os vetores u =(1,1,0), v =(2,0,1) e w1=3u−2 v , w2=u+3 v e w3= i+ j−2 k . Determinar o

volume do paralelepípedo definido por w1 , w2 e w3 . RESP: V=44 u.v.

05) Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3). Calcular as coordenadas

do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY.

RESP: D (0,–7,0) ou D(0,8,0)

06) São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de m para que seja de

20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB , AC e AD .

RESP: m=6 ou m=2

07) Sendo u =(1,1,0), v =(2,1,3) e w =(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o volume do tetraedro

ABCD, onde B=A+u . C=A+v e D=A+ w .

RESP: S=

√192ua

,V=

56uv

08) Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,2,4) ,C(2,1,3) e D(0,6,0).

RESP: h=4√6

11u .c .

09)Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) , B(1,1,–3) e C(–

1,–3,0). RESP:

5√17458 u.c.

10) Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto pertencente ao eixo

coordenado OZ. Calcule:

a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1 uv;

b)a área e o perímetro da face NMQ;

c)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ.

RESP: a)P(0,0,0) ou P(0,0,2) b)S=3√3u.a., 2p=3√6+3√12u.c. c)

13√3 u.c.

11) São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D, tal que O D ,O A

O B e O AO C sejam coplanares, O D ·O B = –28 e que o volume do tetraedro OABD seja igual a 14.

RESP: D(0,0,–28) ou D(12,24,8)