Lista de Exercícios de Probabilidade

1) Lance um dado até que o valor 5 apareça pela primeira vez. Enumere todos os possíveis resultados deste experimento. Considerando que todas as faces do dado têm a mesma probabilidade de ocorrer atribua probabilidade a cada um dos eventos. Mostre que a soma das probabilidades para todos os eventos é igual a 1. (Sugestão: Escreva o espaço amostral em termos dos eventos A e de seu complementar) Seja os eventos: A = lançamento do dado resulta em número 5 A = lançamento do dado não resulta em número 5

O espaço amostral é dado por { ,......}A A A A,A A A,A A,AE =

A AA A ∩= não ocorre no. 5 no 1º. lançamento e ocorre no. 5 no 2º. lançamento Primeiro lançamento resulta em número 5: evento A Número 5 acontece pela primeira vez no segundo lançamento: evento A A Número 5 acontece pela primeira vez no terceiro lançamento: evento A A A e assem por diante Assumindo que os lançamentos são independentes

+++=

+++=+

+

+=

++++

====

===

.....65

65

65

61

.....65

65

161

....61

x65

x65

61

x65

61

....A)AAA(PA)AA(PA)A(P)A(P

diante por assim e

61

x65

x65

x65

A)AAP(A) A AAP( 61

x65

x65

A)AAP(A) A AP(

65

x65

A)AP(A)AP( 61

)A(P

2102

IIII

I

+++ ....

65

65

65 210

é uma progressão geométrica com quociente igual a 5/6

6

65

1

1quociente-1

termoprimeiro P.G uma de Soma =

−

==

16x

61

.....65

65

65

61

Logo210

==

+++

2) Um dado e uma moeda são lançados simultaneamente. Qual o número de resultados possíveis.

Considerando que ambos são equilibrados, associe probabilidades a cada um dos eventos.

Seja C = cara e C . O espaço amostral do experimento aleatório lançar um dado e um moeda são

{ }6c,5c,4c,3c,2c,1c,6c,5c,4c,2c,2c,1cE = onde

dado no 1 número e moeda da lançamento no cora1c1c =∩=

Assumindo que a moeda é equilibrada 2/1)C(P)C(P ==

Assumindo que o dado é equilibrado 6/1)6(P)5(P)4(P)3(P)2(P)1(P ======

É razoável assumir que os resultados dos lançamentos do dado e da moeda são independentes.

Logo

12

1

6

1x

2

1)1(xP)c(P)1c(P)1c(P ===∩=

Do mesmo modo temos que

12

1)6c(P...)1c(P)6c(P....)2c(P ======

Indique para cada um dos experimentos o espaço amostral.

a) Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas produzidas num intervalo de 1 hora. E={ 0,1,2,3,4,.....}

b) Investiga-se para uma família de 3 crianças o número de configurações com relação ao sexo.

E = {FFF, FFM, FMF, MFF, FMM, MFM, MMF, MMM} FFF = F∩F∩F = sexo feminino no primeiro, segundo e terceiro nascimentos.

c) Lança-se um moeda até aparecer cara e anota-se o número de lançamentos.

,....}CCCC,CCC,CC,C{E =

d) Seleciona-se 2 entre 5 pessoas (denotadas por A, B, C, D, E) com reposição e anota-se a configuração

obtida. Podemos representar os resultados na forma de uma tabela (em negrito) AA = A ∩A = A no primeiro e no segundo sorteio

Segundo sorteio Primeiro sorteio A B C D E A AA AB AC AD AE

B BA BB BC BD BE

C CA CB CC CD CE

D DA DB DC DD DE

E EA EB EC ED EE

e) Seleciona-se 2 entre 5 pessoas (denotadas por A, B, C, D, E) sem reposição e anota-se a configuração

obtida. Segundo sorteio Primeiro sorteio A B C D E A AB AC AD AE

B BA BC BD BE

C CA CB CD CE

D DA DB DC DE

E EA EB EC ED

3) Entre 6 números positivos e 8 negativos 2 são escolhidos ao acaso sem reposição e multiplicados. Qual a

probabilidade do produto ser negativo? E de ser positivo? O produto será negativo quando o primeiro número sorteado for positivo e o segundo for negativo ou quando o primeiro for negativo e o segundo for positivo. Seja os eventos P1 = primeiro número sorteado é positivo P2 = segundo número sorteado é positivo N1 = primeiro número sorteado é negativo N2 = segundo número sorteado é negativo Logo a probabilidade de que o produto seja negativo podem ser expressa em função dos eventos acima como

[ ] [ ]2P1N[P]2N1PP)2P1N()2N1P(P ∩+∩=∩∪∩

Usando a regra da multiplicação

( ) ( )

( ) ( )192

48

13

6x

14

81N|2P(xP)1NP2P1NP

192

48

13

8x

14

61P|2N(xP)1PP2N1PP

===∩

===∩

91

48

192

48

192

48)negativo ser produto(P =+=

91

48-1 negativo)ser P(produto-1ositivo)p ser produto(P ==

4) Expresse em termos de operações ente eventos as expressões:

a) A ocorre e B não ocorre BA ∩ b) Nem A nem B ocorrem BA ∪ c) Exatamente um dos eventos A e B ocorre )BA()BA( ∩∪∩

5) Considere um grupo de pessoas formados por 3 homens e 5 mulheres. a) Obtenha os resultados possíveis se 2 pessoas são retiradas com reposição b) Obtenha os resultados possíveis se 2 pessoas são retiradas sem reposição. A pergunta ficou mal formulada. Considere a seguinte redação. Duas pessoas são sorteadas e é anotado o sexo da primeira e da segunda. Os resultados possíveis serão os mesmos nas 2 situações E = { M∩M, M∩F, F∩M, F∩F} 6) Para cada uma das situações acima, obtenha as seguintes probabilidades dos eventos:

a) Homem no primeiro e segundo sorteios b) Homem em pelo menos um dos sorteios. c) Um homem e uma mulher nos 2 sorteios.

a) P( homem no 1º. sorteio ∩ homem no 2º. sorteio) = P(M1 ∩ M2) considerando os eventos M1 = homem no primeiro sorteio M2 = homem no segundo sorteio

Utilizando a regra da multiplicação P(M1 ∩ M2) = P(M1) x P(M1 | M1)

Situação com reposição: P(M1 ∩ M2) = 3/8 x 3 /8 = 9/64 Situação sem reposição: P(M2 ∩ M2) = 3/8 x 2 /7 = 6/56

b) Estamos interessados nos eventos M1∩M2 ou F1∩M2 ou M1∩F2 onde F1 = mulher no primeiro sorteio e F2 = mulher no segundo sorteio P((M1∩M2) U (F1∩M2) U (M1∩F2)) = P(M1∩M2) + P(F1∩M2) + P(M1∩F2) pois os eventos (M1∩M2), (F1∩M2) e (M1∩F2) são eventos disjuntos. Usando a regra da multiplicação: Com reposição: P(M1∩M2) = P(M1) x P(M2|M1) = 3/8 x 3/8

P(M1∩F2) = P(M1) x P(M2|M1) = 3/8 x 5/8 P(F1∩M2) = P(M1) x P(M2|M1) = 5/8 x 3/8 Sem reposição: P(M1∩M2) = P(M1) x P(M2|M1) = 3/8 x 2/7

P(M1∩F2) = P(M1) x P(M2|M1) = 3/8 x 5/7 P(F1∩M2) = P(M1) x P(M2|M1) = 5/8 x 3/7

c) Um homem e uma mulher nos 2 sorteios

Interessa-nos a ocorrência do evento (M1∩F2) ou (F1∩M2) P[(M1∩F2) ou (F1∩M2)] = P[(M1∩F2)]+P[(F1∩M2]

7) Uma empresa tem 15.800 empregados, classificados por idade e sexo segundo a tabela abaixo. Homens Mulheres Total < 25 anos 2.000 800 2.800 25 a 40 anos 4.500 2.500 7.000 > 40 anos 1.800 4.200 6.000 Total 8.300 7.500 15.800

Se um empregado é selecionado ao acaso, qual a probabilidade dele:

a) ter 40 anos ou menos (7000+2800)/15800 b) ter 40 anos ou menos e ser mulher (800 +2500) /15800 c) ter mais de 40 anos ou ser homem (6000 + 8300 – 1800)/15800 d) ter mais de 40 anos dado que é homem 1800 / 8300 e) ser mulher dado que possui menos de 25 anos. 800 / 2500

8) Se A e B são independentes, então também são independentes Ac e Bc, Ac e B, A e Bc. Um aluno acerta uma

questão A com probabilidade 1/3 e uma questão B com probabilidade ¾. Se os eventos acertar a questão A e acertar a questão B são independentes, calcule a probabilidade de:

9)

a) acertar ambas as questões. )B(xP)A(P)BA(Pciaindependen por

=∩

b) errar ambas as questões. )B(xP)A(P)BA(P

ciaindependen por

=∩

c) acertar ao menos uma questão.

A probabilidade de acertar ao menos uma questão pode ser obtida como o complementar de errar todas as questões ou calculando

xP(A))BP( )BP( x P(A)P(B) x P(A))]B(AB)A(B)P[(A ++=∩∪∩∪∩

d) acertar somente uma das questões.

xP(A))BP( )BP( x P(A))]B(AB)AP[( +=∩∪∩

10) Se P(A|B)= 0,4, P(B)=0,8 e P(A) = 0,5, então os eventos A e B são independetes?

Se A e B são independentes P(A|B) = P(A) . Como P(A|B) = 0,4 ≠ P(A) = 0,8; logo os eventos não são independentes.

11) Uma amostra de 130 componentes recebida por certa empresa foi classificados quanto ao fornecedor e a

presença de defeitos. Fornecedor Defeituoso Não defeituoso Total 1 8 22 30 2 5 35 40 3 10 40 50 Total 23 97 120

Seja os eventos A: componente pertence ao fornecedor 1 e B: componente é defeituoso. a) Os eventos A e B são independentes? Justifique.

Se os eventos A e B são independentes P(A|B) = P(A) P(A | B) = 8/23 ≠ P(A) = 30/120

Você poderia também verificar a condição de independência P(A ∩ B) = P(A) x P(B) 8/120 ≠ (30/120) x (23/120)

Logo A e B são dependentes.

12) Uma companhia de seguros oferece aos seus clientes seguro automóvel, seguro residência e seguro de vida. Assuma que as vendas dos 3 produtos são mutuamente independentes. Os perfis dos clientes são os seguintes: 55% dos clientes compram seguro automóvel, 45% dos clientes compram seguro residência, 60% dos clientes compram seguro de vida.

Qual a probabilidade de um cliente comprar mais de um produto? (sugestão: calcule primeiro a probabilidade do evento complementar). P(comprar mais de um produto) = P(comprar 2 ou 3 produtos) O espaço amostral é dado por

}VRA,VRA,VRA,VRA,VAR,VRA,RVA,ARV{E =

onde ARV = A∩R∩V. Interessa-nos a ocorrência dos eventos VAR ou VRA ou RVA ou ARV )VAR(P)VRA(P)RVA (P)ARV(P)VAR VRA RVA ARV(P +++=∪∪∪

Mas como as compras dos 3 produtos são eventos independentes

diante.por assim e )V(P x )R(P x )A(PRVA P(

)V(P x )R(P x )A(P)ARV(P

=

=

13) Duas residências A e B são vizinhas. Para cada casa, a probabilidade de ser assaltada é 0,8. A

probabilidade de ambas não serem assaltadas é 0,7. Dado que ocorreu um assalto na casa A, qual a probabilidade de que a casa B também seja assaltada? A = casa A é assaltada B = casa B é assaltada P(A) = P(B) = 0,80 P(A∩B) = 0,70 P(B|A) = P(A∩B)/P(A) = 0,7/0,8.

14) Dez caixas com componentes frágeis são transportadas. Após o transporte sete apresentam-se intactas. Se

5 caixa são selecionadas ao acaso para inspeção, qual a probabilidade de que exatamente 3 estejam intactas? 10 caixas – 7 intactas – 3 avariadas P(3 caixas estarem intactas) = P(primeira estar intacta) x P(segunda estar intacta| primeira estava intacta) x P( terceira estar intacta | primeira e segunda estavam intactas) = (7/10) x (6/9) x (5/8)

Para facilitar organize as probabilidades numa arvore de probabilidades 15) Sinais digitais 1 e 0 são enviados e recebidos. A probabilidade de que um sinal 0 seja enviado é 30%.

Dado que um sinal foi enviado, a probabilidade dele ser recebido corretamente é igual a 0,80. Se um sinal 1 é recebido, qual a probabilidade de que 0 tenha sido enviado? (sugestão: represente as probabilidades

numa arvore de probabilidades)

São dados: P(enviar 0) = 0,3 P(enviar 1) = 0,7 P(receber 1| enviou 1) = 0,8 P(receber 0 | enviou 1) = 0,2 P(receber 0| enviou 0) = 0,8 P(receber 1 | enviou 0) = 0,2

Queremos calcular P(receber 1| 0 foi enviado)

( ) ( )8.0 x 7,02.0 x 3,0

2.0 x 3,0

1)enviou |1P(receber x 1) enviar(P0)enviou |1P(receber x 0) enviar(P0)enviou |1P(receber x 0) enviar(P

1)receber 1 enviar(P1)receber 0 enviar(P

1)receber 0 enviar(P

)1 receber(P

1)receber 0 enviar(P)enviado foi 0|1 receber(P

+

=+

∩+∩

∩=

∩=

Veja como fica fácil na arvore de probabilidade

16) Considere 3 caixas contendo ratos brancos e pretos

Caixa 1: 2 ratos brancos e 3 ratos pretos Caixa 2: 2 ratos brancos e 2 ratos pretos Caixa 3: 3 ratos brancos e 2 ratos pretos Um rato é retirado selecionado ao acaso da caixa 1, um outro é retirado ao acaso da caixa 2 e um terceiro é retirado ao acaso da caixa 3. Considere as 3 retiradas independentes.

a) Qual é a probabilidade de que o rato retirado da primeira caixa seja branco? 2/5 b) Qual a probabilidade de que os 3 ratos seja brancos? Por independência 2/5 x 2/4 x 3/5 c) Os ratos das 3 caixas são colocados numa única caixa e um rato é selecionado ao acaso. Qual é a

probabilidade dele originar-se da primeira caixa dado que ele é branco? 2/7 (dos 7 brancos 2 vieram da caixa 1)

17) Para estudar o comportamento do mercado de automóveis, as marcas foram agrupadas em 3 categorias: W, F e X. Um estudo sobre mudanças de marcas mostrou o seguinte quadro de probabilidades

Probabilidade de mudar para a marca Marca atual W F X

W 0,5 0,25 0,25 F 0,15 0,70 0,15 X 0,40 0,30 0,40

Considere que a compra do primeiro carro ocorre com as seguintes probabilidades: marca W com probabilidade 0,50, marca F com 0,30 e X com 0,20. a) Qual a probabilidade do 3 automóvel comprado por um indivíduo ser da marca W? b) Sabendo que o terceiro e da marca W, qual a probabilidade do terceiro ser da marca W? c) Qual a probabilidade do indivíduo permanece com a mesma marca nas 3 primeiras compras? (sugestão: represente as probabilidades numa arvore de probabilidades)

(não preocupe com este exercício - está aquém do ensinado na disciplina)

18) Suponha que os alunos formados anualmente numa faculdade apresentam a seguinte distribuição segundo o curso: Administração – 45%, Ciências Contábeis – 20% , Economia – 35%. Suponha também que a probabilidade de um aluno conseguir emprego na sua área de habilitação durante o primeiro ano após a

0

1

0

1

0

1

Sinal enviado enviado

Sinal recebido

envia

0,3

0,7

0,8

0,2

0,8

0,2

P(enviar 0 ∩ receber 1) = P(enviar 0) x P(receber 1|enviou 0) = 0,3 x 0,2

P(enviar 1 ∩ receber 1) = P(enviar 1) x P(receber 1|enviou 1) = 0,7 x 0,8

formatura varie com o curso e são dadas por: P(H | A) = 0,55 P(H | C) = 0,60 P(H | E) = 0, 50, onde os eventos A, C,E e H são definidos como:

A – formado em administração C – formado em ciências contábeis E – formado em economia H – empregado na área de habilitação no primeiro ano após a formatura Qual a probabilidade de um aluno ter se formado em Economia se ele conseguiu emprego em sua área de habilitação no último ano? Pode ser resolvido de forma análoga ao exercício 15. Sugestão: represente as probabilidades numa tabela de freqüência como segue Dos 45% formados em administração 55% foram empregados . Portanto do total de alunos 24,75% formou em administração e conseguiu emprego. (0,55 x 0,45 = 0,2475) (P(A) x P(H|A)

Curso H H Total A 0,2475 0,2025 0,45 C 0,15 0,10 0,25 E 0,175 0,175 0,35 Total 0,5725 0,4275 1

Logo P(E| H) = P(E ∩ H) / P( H) = 0,2475 / 0,5725 19) Uma empresa possui 2 máquinas utilizadas na fabricação de um componente de um circuito elétrico. Sabe-se

que a probabilidade da máquina A produzir um componente defeituoso é 0,20 e que a probabilidade da máquina B produzir um componente defeituoso é 0,05. Qual a probabilidade de um componente defeituoso produzido no último mês ter sido produzido pela máquina A se no último mês a) 30% dos componentes foram produzidos pela máquina A? b) 50% dos componentes foram produzidos pela máquina A? c) 70% dos componentes foram produzidos pela máquina A?

A solução segue o mesmo procedimento do exercício anterior. 20) Os alunos de uma universidade são classificados segundo a área de concentração de seu curso nas categorias:

CH – ciências humanas, CB- ciências biológicas e CE- ciências exatas. Suponha que os alunos desta universidade são jubilados caso apresentem rendimento insuficiente. Sabe-se que 40% dos alunos são de ciências exatas, 25% são de ciências biológicas e 35% são de ciências humanas. Sabe-se também que dos alunos de ciência exatas, 15% são jubilados; dos alunos de ciências biológicas, 10% são jubilados e dos alunos de ciências biológicas, 8% são jubilados. Qual a probabilidade curse ciências humanas dado que

ele foi jubilado? A solução segue o mesmo procedimento do exercício anterior.

21) Um experimento foi realizado para avaliar a eficácia do polígrafo em detectar mentiras. A tabela abaixo mostra os resultados para 98 pessoas submetidas ao polígrafo.

Sujeito mentiu? Resultado do poligrafo não sim

total

mentiu (+) 15 42 57 Não mentiu (-) 32 09 41 Total 47 51 98

Calcule as probabilidades:

a) do sujeito ter mentido. 57/98 b) do polígrafo acusar que a pessoa mentiu? 47/98 c) da pessoa mentir e o polígrafo acusar que ela mentiu? 15/98 d) da pessoa mentir ou o poli grafo acusar que ela mentiu? (57+48-15)/98 e) do polígrafo acusar corretamente que ela mentiu? 15/47

f) do polígrafo indicar corretamente que ela não mentiu? 09/41 g) o resultado do polígrafo depende do status mentiroso ou não mentiroso do sujeito?

Vamos verificar a condição de independência. Seja A = pessoa mentir B = pessoa ser classificada como mentirosa. Se A e B são independentes P(A∩B) = P(A) x P(B P(A) = 57/98 P(B) =47/98 P(A∩B) = 15/98 = 0,1530 ≠ P(A) x P(B) = 0,2789 22) Um teste diagnóstico foi proposto para uma doença infecciosa que acomete cavalos adultos. Para avaliar a qualidade do teste, ele foi aplicado a 200 animais doentes e a 500 animais não doentes.

Resultado do teste Doença

Positivo Negativo Total Doentes 150 50 200 Não doentes 20 480 500 Total 170 530 700

Considerando os dados acima estime as probabilidades a) Qual a probabilidade dele estar doente? 200/700 prevalencia b) Qual a probabilidade dele ser positivo dado que ele é doente? 150/200 - sensibilidade c) Qual a probabilidade dele ser negativo dado que ele é não doente? 480/500 - especificidade d) Qual a probabilidade dele ser doente dado que é positivo? 150/170 VPP e) Qual a probabilidade dele ser não doente dado que é negativo? 480/530 VPN d) Quais os nomes técnicos das probabilidades calculadas nos itens acima?

e) p = 0,02 VPP=? Use a expressão abaixo com p 0.02, sens. e esp. calculados acima.

)e)(p1(ps

psVPP

−−+=

f) p = 0, 7 VPP=? Igual ao item anterior com p = 0.7