UFS – CCET – DMA

Disciplina: Cálculo II

Professor: Almir Rogério Silva Santos

Período: 2011/2

Lista de Exercícios 9

1. Determine e esboce o domínio da função f(x, y) =√1 + x− y2 Qual é a imagem de f?

2. Seja f(x, y, z) = e√

z−x2−y2 . Calcule f(2,−1, 6). Determine o domínio de f . Determine a

imagem de f .

3. Determine e faça um esboço do domínio da função.a) f(x, y) = ln(9− x2 − 9y2) b) f(x, y) =

√y − x ln(y + x)

c) f(x, y) =√

y − x2

1− x2d) f(x, y) =

√1− x2 −

√1− y2

4. Esboce o gráfico da função

a) f(x, y) = 3 b) f(x, y) =√

16− x2 − 16y2 c) f(x, y) = y

5. Determine se o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.a) lim

(x,y)→(5,−2)(x5 + 4x3y − 5xy2) b) lim

(x,y)→(6,3)xy cos(x− 2y)

c) lim(x,y)→(0,0)

y4

x4 + 3y4d) lim

(x,y)→(0,0)

x2yey

x4 + 4y2

e) lim(x,y)→(0,0)

xy cos y

3x2 + y2f) lim

(x,y,z)→(0,0,0)

x2 + 2y2 + 3z2

x2 + y2 + z2

6. Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.a) f(x, y) = 3x− 2y4 b) f(x, y) = x5 + 3x3y2 + 3xy4

c) f(x, y) =x− y

x+ yd) f(x, y) = xy

e) f(x, y) =∫ y

xcos t2dt f) f(x, y, z) = x

yz

g) f(x, y, z, t) = xyz2 tan(yt) f(x, y, z, t) =xy2

t+ 2z

7. Use derivação implícita para determinar ∂z∂x e ∂z

∂y quando yz = ln(x+ z) e quando sin(xyz) =

x+ 2y + 3z.

8. Determine todas as derivadas de segunda ordem de z = exey

9. Verifique que a função

u(x, y, z) =1√

x2 + y2 + z2

é uma solução da equação de Laplace tridimensional uxx + uyy + uzz = 0.

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