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UFS CCET DMA
Disciplina: Cálculo II
Professor: Almir Rogério Silva Santos
Período: 2011/2
Lista de Exercícios 10
1. Determine uma equação do plano tangete à superfície no ponto especicado.
a) z = ex ln y, (3, 1, 0) b) z =√
4− x2 − 2y2, (1,−1, 1)
2. Determine a aproximação linear da função f(x, y) =√
20− x2 − 7y2 em (2, 1) e use-a para
aproximar f(1, 95; 1, 08).
3. O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm, respectiva-
mente, com um erro de medida de no máximo 0,1 cm. Utilize os diferenciais para estimar o
erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo.
4. Se R é a resistência equivalente de três resistências conectadas em paralelo, com valores R1,
R2 e R3, então1R
=1R1
+1R2
+1R3.
Se as resistências medem em ohms R1 = 25 Ω, R2 = 40 Ω e R3 = 50 Ω, com precisão de 0, 5%
em cada uma, estime o erro máximo no cálculo da resistência equivalente de R.
5. Utiliza a Regra da Cadeia para determinar dzdt .
a) z =√x2 + y2, x = e2t, y = e−2t b) z = x2y + xy2, x = 2 + t4, y = 1− t3
c) z = xy + yz2, x = et, y = et sin t, z = et cos t d) z = x ln(x+ 2y), x = sin t, y = cos t
6. Utiliza a Regra da Cadeia para deteminar ∂z∂s e ∂z
∂t .
a) z = x2 + xy + y2, x = s+ t, y = st b) z = xy , x = set, y = 1 + se−t
c) z = exy tan y, x = s+ 2t, y = st d) z = sinx tan y, x = 3s+ t, y = s− t
7. Dado u = x+yy+z , x = p+ r + t, y = p− r + t, z = p+ r − t, determine ∂u
∂p ,∂u∂r e ∂u
∂t .
8. A temperatura num ponto (x, y) é T (x, y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de
modo que sua posição depois de t segundos seja dada por x =√
1 + t, y = 2 + 13 t, onde x e y
são medidas em centímetros. A função temperatura satisfaz Tx(2, 3) = 4 e Ty(2, 3) = 3. Quão
rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de 3 segundos?
9. Um carro A está viajando para norte na auto-estrada 16, e um carro B está viajando para
oeste na auto-estrada 83. Os dois carros se aproximam da intersecção dessas auto-estradas.
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Num certo momento, o carro A está a 0,3 km da intersecção viajando a 90 km/h, ao passo
que o carro B está a 0,4 km da intersecção viajando a 80 km/h. Qual a taxa de variação da
distância entre os carros nesse instante?
10. Determine a derivada direcional de f no ponto dado e a direção indicada pelo ângulo θ.
(a) f(x, y) = x2y3 + 2x4y, (1,−2), θ = π/3
(b) f(x, y) = xe−2y, (5, 0), θ = π/2
(c) f(x, y) =√
5x− 4y, (4, 1), θ = −π/6
11. Determine o gradiente de f . Determine a derivada direcional da função no ponto dado na
direção do vetor v.
(a) f(x, y) = 1 + 2x√y, (3, 4), v = (4,−3)
(b) g(x, y, z) = z3 − x2y, (1, 6, 2), v = (3, 4, 12)
(c) f(x, y) = xy+z , (4, 1, 1), v = (1, 2, 3)
12. Determine a derivada direcional de f(x, y) =√xy em P (2, 8) na direção de Q(5, 4).
13. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
(a) f(x, y) = xe−y + 3y, (1, 0)
(b) f(x, y, z) = x2y3z4
(c) f(x, y, z) = xy + y
z , (4, 2, 1)
14. Determine as direções em que a derivada direcional de f(x, y) = x2 + sinxy no ponto (1, 0)
tem valor 1.
15. A temperatura num ponto (x, y, z) é dada por
T (x, y, z) = 200e−x2−3y2−9z2
onde T é medido em C e x, y, z em metros.
(a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P (2,−1, 2) em direção ao ponto
(3,−3, 3).
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P .
(c) Encontre a taxa máxima de crescimento em P .
16. Determine equações do plano tangente e da reta normal a superfície dada por x2 + y2 − z2 −2xy + 4xz = 4 no ponto (1, 0, 1).
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17. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
(a) f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x2 − 4y2
(b) f(x, y) = e4y−x2−y2
(c) f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y
(d) f(x, y) = x2y2−8x+yxy
(e) f(x, y) = x2 + y2 + 1x2y2
18. Determine os valores máximo e mínimo absoluto de f no conjunto D.
(a) f(x, y) = 5− 3x+ 4y, D é a região triangular fechada com vértices (0,0), (4,0) e (4,5).
(b) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4, D = (x, y); |x| ≤ 1, |y| ≤ 1
(c) f(x, y) = y√x− y2 − x+ 6y, D = (x, y); 0 ≤ x ≤ 9, 0 ≤ 0 ≤ 5
(d) f(x, y) = 1 + xy − x− y, D é a região limitada pela parábola y = x2 e a reta y = 4.
(e) f(x, y) = 2x3 + y4, D = (x, y);x2 + y2 ≤ 1
19. Determine a distância mais curta entre o ponto (2,-2,3) ao plano 6x+ 4y − 3z = 2.
20. Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo.
21. Determine o volume da maior caixa retangular com arestas paralelas aos eixos e que pode ser
inscrita no elipsóide
9x2 + 36y2 + 4z2 = 36.
22. Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine as dimensões
que minimizem a quantidade de papelão utilizado.
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