Universidade Federal de Ouro Preto

Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – Departamento de Matemática

MTM 510 – Estatística – Turma 22

Professor: Rodrigo Luiz Pereira Lara

LISTA DE EXERCÍCIOS 2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Questão 1 – Decida se a variável aleatória é discreta ou contínua. Explique seu

raciocínio.

a) representa o número de acidentes com motos durante um ano em Belo Horizonte.

b) representa o volume de sangue colhido para um exame de sangue.

c) representa o período necessário para chegar ao trabalho.

d) representa o número de dias chuvosos no mês de julho em Mariana, MG.

Parte I – Variáveis Aleatórias Discretas

Questão 2 – Decida se cada uma das tabelas a seguir representa uma distribuição de

probabilidade. Caso não seja, identifique a(s) propriedade(s) que não foram atendidas.

a) Uma empresa gravou o número de linhas telefônicas em uso por hora durante um dia

útil. A variável aleatória representa o número de linhas telefônicas em uso.

x 0 1 2 3 4 5 6

p(x) 0,135 0,186 0,226 0,254 0,103 0,64 0,032

b) Um sociólogo pesquisou as famílias em uma cidade pequena. A variável aleatória

representa o número de crianças por família.

x 0 1 2 3 4

p(x) 0,07 0,20 0,38 0,22 0,13

c) Um inspetor de qualidade verificou as imperfeições em rolos de tecido por uma

semana. A variável aleatória representa o número de imperfeições encontradas.

x 0 1 2 3 4 5

p(x) 4

3

10

1

20

1

25

1

50

1

100

1

d) Um centro de serviços do 911 (telefone para emergência dos Estados Unidos)

registrou o número de ligações recebidas por hora. A variável aleatória representa o

número de chamadas por hora durante um determinado dia.

x 0 1 2 3 4 5 6 7

p(x) 0,01 0,10 0,26 0,33 0,18 0,06 0,03 0,03

Questão 3 – Seja E o experimento referente ao lançamento de um dado não viciado. E

seja X a variável aleatória face obtida no lançamento desse dado.

a) X é uma variável aleatória discreta ou contínua? Justifique.

b) Obtenha a distribuição de probabilidade de X.

c) Obtenha a função de probabilidade de X.

d) Trace o gráfico da função de probabilidade de X.

Questão 4 – Seja E o experimento referente ao lançamento de um dado viciado de tal

forma que a probabilidade de obtenção de cada face é diretamente proporcional ao valor

de cada face. E seja X a variável aleatória face obtida no lançamento desse dado.

a) Obtenha a distribuição de probabilidade de X.

b) Obtenha a função de probabilidade de X.

c) Trace o gráfico da função de probabilidade de X.

Questão 5 – Uma comissão de formatura decide realizar uma rifa contendo 1500

bilhetes que serão vendidos a R$ 2,00 cada. Serão sorteados 4 prêmios nos valores de

R$ 500,00; R$ 250,00; R$ 150,00 e R$ 75,00. Você compra um bilhete.

a) Qual o valor esperado do seu lucro?

b) Interprete esse valor.

Questão 6 – Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4. Para dois

lançamentos consecutivos dessa moeda faça o seguinte estudo da variável aleatória :X

número de caras obtidas no experimento.

Obtenha:

a) A distribuição de probabilidade. d) )(XE .

b) A função de probabilidade. e) Interprete o valor )(XE .

c) O gráfico da função de probabilidade. f) )(XV .

Questão 7 – Um agricultor cultiva laranjas e também produz mudas para vender. Após

alguns meses a muda pode ser atacada por fungos com probabilidade 0,05 e, nesse caso,

ela é escolhida para ser recuperada com probabilidade 0,5. Admita que o processo de

recuperação é infalível. O custo de cada muda produzida é R$ 1,00; acrescido de R$

0,50 se precisar ser recuperada. Cada muda é vendida a R$ 3,00 e são descartadas as

mudas não recuperadas de ataque de fungos. Seja X a variável aleatória ganho por

muda produzida.

Obtenha:

a) A distribuição de probabilidade. d) )(XE .

b) A função de probabilidade. e) Interprete o valor )(XE .

c) O gráfico da função de probabilidade. f) )(XV .

Questão 8 – Um caminho para chegar a uma festa pode ser dividido em três etapas. Sem

enganos o trajeto é feito em 1 hora. Se enganos acontecem na primeira etapa, acrescente

10 minutos ao tempo do trajeto. Para enganos na segunda etapa, o acréscimo é 20 e,

para a terceira, 30 minutos. Admita que a probabilidade de engano é 0,1; 0,2 e 0,3 para a

primeira, segunda e terceira etapas, respectivamente.

a) É provável haver atraso na chegada à festa?

b) Determine a probabilidade de haver atraso.

c) Determine a probabilidade do atraso não passar de 40 minutos.

Parte II – Variáveis Aleatórias Contínuas

Questão 9 – Uma v.a.c. possui a seguinte função densidade de probabilidade:

10,0

105,)10(

50,

0,0

)(

xpara

xparaxk

xparaxk

xpara

xf

a) Determine o valor de k. c) Calcule )3( XP .

b) Trace o gráfico da f.d.p.

Questão 10 – Uma v.a.c. possui a seguinte função densidade de probabilidade:

contráriocaso

xparaxk

xparak

xf

,0

21,)2(

10,

)(

Pede-se:

a) A constante k para que )(xf seja uma f.d.p. d) )1( XP .

b) O gráfico da f.d.p. e)

1

2

1XP .

c)

2

3

2

1XP f) )2( XP .

Questão 11 – Suponha que uma variável aleatória contínua possua a seguinte f.d.p:

..,0

32,3

5

2

1

21,3

1

2

1

10,6

1

)(

cc

xx

xx

x

xf

Determine: a) )(XE . b) )(XV .

Questão 12 – Uma variável contínua tem função densidade de probabilidade dada por:

..,0

31,4

1

)(

cc

xxxf

a) Faça o gráfico da função acima e verifique que ela satisfaz as condições para ser

f.d.p.

b) Determine )2( XP , )2( XP e )2( XP .

c) Calcule

2

30 XP ,

2

3XP ,

2

3XP .

d) Obtenha

2|

2

5

2

3XXP .

Questão 13 – Suponha que uma variável aleatória contínua tenha densidade de

probabilidade dada por:

..,0

30,6

1

)(

cc

xkxxf

a) Qual é o valor de k ? b) Quanto vale b, tal que 9

5)( bXP ?

Questão 14 – Suponha que o peso de recém-nascidos (em kg) pode ser considerado uma

variável aleatória com a seguinte f.d.p:

..,0

62,20

9

40

3

20,10

1

10

1

)(

cc

xx

xx

xf

Qual a probabilidade de, escolhendo ao acaso uma criança, ela ter peso:

a) Inferior a 3 kg? b) Entre 1 e 4 kg? c) Pelo menos 3 kg?

Questão 15 – Suponha que o tempo, em meses, para a recuperação de pacientes

submetidos a um certo tipo de cirurgia do aparelho digestivo pode ser modelado por

uma variável aleatória contínua X, cuja f.d.p. é dada por:

..,0

51,12

5

12

1

10,3

1

)(

cc

xx

x

xf

a) Determine o tempo médio de recuperação.

b) Calcule a variância.

Questão 16 – Suponha que o comprimento de fósseis encontrados em uma certa região,

dado em centímetros, pode ser representado por uma variável aleatória X com função

densidade de probabilidade dada por:

..,0

2012,)4(192

1

120,24

1

)(

cc

xx

x

xf

a) Calcule a média e a variância de X.

b) Se um museu decide comprar os fósseis encontrados pagando R$ 100,00 para os de

comprimento menor que 10 cm e R$ 200,00 para os demais, quanto paga em média por

exemplar?

Questão 17 – O consumo de combustível de um certo automóvel é uma variável

aleatória, medida em quilômetros por litro. Admita que a densidade de probabilidade

dessa variável é expressa pela seguinte função:

..,0

1211,12

1110,10

)(

cc

xx

xx

xf

a) Determine a média e a variância do consumo.

b) Sendo R$ 0,70 o preço do litro do combustível, qual será a média da despesa em uma

viagem de 100 quilômetros com esse automóvel?

ALGUMAS RESPOSTAS OU AUXÍLIO DE SOLUÇÃO:

Questão 1 a) v.a.d. b) v.a.c. c) v.a.c. d) v.a.d.

Questão 2 a) Não. b) Sim. c) Não. d) Sim.

Questão 3 b) x 1 2 3 4 5 6

p(x)

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

c)

x

xxP

de valoresoutros para,0

6 5, 4, 3, 2, 1,,6

1

)(

Questão 4 a) x 1 2 3 4 5 6

p(x)

21

1

21

2

21

3

21

4

21

5

21

6

b)

x

xx

xP

de valoresoutros para,0

6 5, 4, 3, 2, 1,,21)(

Questão 5 – Seja X a variável aleatória lucro obtido por um comprador.

Distribuição de probabilidade:

x – 2 73 148 248 498

p(x) 1500

1496

1500

1

1500

1

1500

1

1500

1

a) )()( xpxXE – R$ 1,35

b) Como o valor esperado é negativo, você pode esperar perder R$ 1,35 por cada bilhete

que comprar.

Questão 6

a) X 0 1 2 d) 0,8.

p(x) 0,36 0,48 0,16 f) 0,48.

Questão 7

a) x –1 1,5 2,0 d) R$ 1,91.

p(x) 0,025 0,025 0,95 f) 0,23315 reais2.

Questão 8 – Seja A a variável aleatória atraso (minutos) para chegar à festa.

a 0 10 20 30 40 50 60

p(a) 0,504 0,056 0,126 0,23 0,024 0,054 0,006

a) 496,0)0( AP b) 436,0)400( AP

Questão 9 a) 25

1 c)

50

41

Questão 10 a) 3

2 c)

12

7 d) 0 e)

3

1 f) 0

Questão 11 a) 4

7 b)

48

25

Questão 12 b) 8

5,

8

5 e 0. c)

32

5,

32

27 e

32

27. d)

12

7.

Questão 13 a) 12

1k . b) 86,1b .

Questão 14 a) 80

53. b)

10

7. c)

80

27.

Questão 15 a) 1,72 meses. b) 1,369 meses2.

Questão 16 a) 21,11)( XE ; 11,36)( XV . b) R$ 158,33.

Questão 17 a) 11)( XE ; 167,0)( XV . b) R$ 6,36.