Lista 4 ECT1303 – Computação numérica – Sistemas Lineares

1- Responda verdadeiro ou falso:

a) Um sistema linear Ax = b pode ter exatamente três soluções distintas.

b) A eliminação de Gauss pode falhar somente quando a matriz de coeficientes é mal-

condicionada ou singular.

c) Se uma matriz tem zero na diagonal principal, então ela é necessariamente singular.

d) Para qualquer vetor x, 𝑥 1 ≥ 𝑥 ∞ .

e) Em matrizes densas usam-se métodos exatos já que os iterativos não convergem.

f) Existem sistemas lineares que convergem para a solução exata quando qualquer valor

real é dado como aproximação inicial em métodos iterativos.

g) Métodos exatos para solução de sistemas lineares estão sujeitos a erro de

truncamento.

2- Para os sistemas abaixo, obtenha uma solução utilizando métodos gráficos, se possível.

Explique os resultados do ponto de vista geométrico.

a) 𝑥1 + 2𝑥2 = 3

𝑥1 − 𝑥2 = 0

b) 𝑥1 + 2𝑥2 = 3

2𝑥1 + 4𝑥2 = 6

c) 𝑥1 + 𝑥2 = 3

−2𝑥1 − 4𝑥2 = 6

3- Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares, se

possível, e determine se são necessárias trocas de linhas.

a) 𝑥2 − 2𝑥3 = 4

𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 6

𝑥1 − 𝑥3 = 2

b) 2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = 6

𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 5

𝑥4 = 5

𝑥3 − 𝑥4 = 3

4- Dado o sistema linear,

2𝑥1 − 6𝛼𝑥2 = 3

3𝛼𝑥1 − 𝑥2 =3

2

a) Encontre o(s) valor(es) de α para o(s) qual(is) o sistema não tem solução.

b) Encontre o(s) valor(es) de α para o(s) qual(is) o sistema tem um número infinito de

soluções.

c) Suponha que existe uma única solução para o sistema, encontre esta solução em

função de α.

5- Dado o sistema linear abaixo e utilize a aritmética flutuante com precisão de dois

algarismos.

𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 012𝑥2 − 𝑥3 = 4

2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5

a) Encontre as trocas de linhas que são exigidas para resolver o sistema utilizando Gauss

e pivotação parcial.

b) Encontre a solução utilizando Gauss e pivotação com dimensionamento.

c) Qual a ordem em que as variáveis 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3, seriam encontradas caso utilizemos

Gauss com pivotação completa?

6- Resolva o seguinte sistema linear utilizando apenas substituição direta e inversa.

2 0 0

−1 1 03 2 −1

1 1 10 1 20 0 1

𝑥1𝑥2𝑥3

= −130

7- Dado o sistema linear abaixo,

𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 012𝑥2 − 𝑥3 = 4

2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5

a) Encontre as matrizes triangulares L e U, de forma que todos os elementos da diagonal

principal de L sejam 1 e LU=A. (Decomposição de Doolittle)

b) Encontre as matrizes triangulares L e U, de forma que os elementos da diagonal

principal de U sejam iguais a 1 e LU=A. (Decomposição de Crout)

c) Encontre a solução do sistema utilizando as matrizes encontradas com a

decomposição de Crout.

8- Uma matriz A possui a decomposição LU a seguir (notação compacta),

2 −1/2 04 1 2

−6 −1 2

a) Calcule det(𝐴).

b) Resolva o sistema linear 𝐴𝑥 = 𝑏, em que 𝑏 = −2 14 12 𝑇.

9- Encontre as duas primeiras iterações do método de Jacobi para os seguintes sistemas

lineares, utilizando 𝑥0 = 0 0 0 . Verifique a convergência.

a) 3𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 13𝑥1 + 6𝑥2 + 2𝑥3 = 04𝑥1 + 3𝑥2 + 7𝑥3 = 4

b) 10𝑥1 − 𝑥2 = 9

−𝑥1 + 10𝑥2 − 2𝑥3 = 7−2𝑥2 + 10𝑥3 = 6

10- Para os sistemas da questão anterior, encontre as duas primeiras iterações e o erro

relativo, utilizando o método de Gauss-Seidel.

11- Dada a matriz de coeficientes,

A= 𝑥 5 29 11 17 𝑥 17

a) Quais valores inteiros e positivos que x pode assumir para que a matriz seja diagonal

estritamente dominante?

b) Existe algum valor para x de forma que seja comprovada a convergência de Jacobi e

não seja comprovada a convergência de Gauss-Seidel? Justifique com um exemplo.

c) Existe algum valor para x de forma que seja comprovada a convergência de Gauss-

Seidel e não seja comprovada a convergência de Jacobi? Justifique com um exemplo.