UFMT - ICET - Prof. Israel Yoki Martins - Clculo Vetorial e G.A.2 Lista de Exerccios

Produto escalar, Projeo ortogonal e Produto vetorial

(1) Sem utilizar o produto escalar entre vetores, mostre que se dois vetores, no nu-los, ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) so ortogonais, ento x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0. (Dica:Faa o desenho da situao e utilize o teorema de pitgoras).

(2) Determinar o vetor ~v, paralelo ao vetor ~u = (2,1, 3), tal que ~v.~u = 42.

(3) Determinar ~v, sabendo que |~v| = 5, ~v ortogonal ao eixo Ox, ~v.~w = 6 e ~w = (1, 2, 0).

(4) Calcular ~u.~v + ~u.~w + ~v.~w, sabendo que ~u+ ~v + ~w = ~0, |~u| = 2, |~v| = 3 e |~w| = 5.

(5) Calcular |~u + ~v|, |~u ~v| e (~u + ~v).(~u ~v), sabendo que |~u| = 4, |~v| = 3 e o n-gulo entre ~u e ~v de 60.

(6) Mostrar que sendo ~u, ~v e ~w vetores dois a dois ortogonais, ento:

a) |~u+ ~v|2 = |~u|2 + |~v|2

b) |~u+ ~v + ~w|2 = |~u|2 + |~v|2 + |~w|2

(7) Seja o tringulo de vrtices A(3, 4, 4), B(2,3, 4) e C(6, 0, 4). Determine o ngulointerno ao vrtice B. Qual o ngulo externo ao vrtice B?

(8) Os ngulos diretores de um vetor podem ser 45, 60 e 90? Justifique.

(9) Sejam , e os ngulos diretores do vetor ~v e , e os ngulos diretoresdo vetor ~u. Mostre que se ~v ~u ento coscos + coscos + coscos = 0

(11) Determinar ~u.~v, sabendo que |~u ~v| = 12, |~u| = 13 e ~v unitrio.

(12) Calcular a rea do paralelogramo determinado pelos vetores ~u e ~v, sabendo quesuas diagonais so ~u+ ~v = (1, 3, 4) e ~u ~v = (1,1, 2).

(13) Calcular z, sabendo-se que A(2, 0, 0), B(0, 2, 0) e C(0, 0, z) so vrtices de um trin-gulo de rea 6.

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