Lista 13 - Desempenho no domínio do tempo
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13ª Lista de Exercícios – Desempenho no domínio do tempo
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QUESTÃO 1:
Solução:
11 qqedt
dV −=
200
)hh( qeh4 21
1
−−=
•
π
π π π 800
h
4
qe
800
hh 121 −+=
•
(13.1)
212 qqdt
dV −=
100
h
200
)hh( h4 2212 −
−=
•
π
π π 800
h3
800
hh 212 −=
•
(13.2)
Temos:
2e1
2
e1 H Q200 )1 s800( H 200
H Q )
200
1 s4( H +=+⇒+=+ π π (13.3)
)3 s800( H H 200
H )
200
3 s4( H 21
12 +=⇒=+ π π (13.4)
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Continuação... QUESTÃO 1:
Substituindo (13.4) em (13.3):
2e2 H Q200 )1 s800 )( 3 s800( H +=++ π π
2e
222
2 H Q200 )3 s3200 s800( H +=++ π π
e
222
2 Q200 )13 s3200 s800( H =−++ π π
P 2 s3200 s800
200
Q
H 222
e
2=
++
=
π π (13.5)
Como:
05 ,0* P G = (13.6)
Substituindo (13.6) em (13.5):
12 s3200 s800
10
G1
GT
222 ++
=
+
=
π π (13.7)
%Matlab%Matlab
clcclc
close all close all
clear all clear all
Nt=[10]; Nt=[10];
Dt=[800^2*pi^2 3200*pi 12]; Dt=[800^2*pi^2 3200*pi 12];
T=tf(Nt,Dt)T=tf(Nt,Dt)
t=0:100:15000;t=0:100:15000;
step(T,t) step(T,t)
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Continuação... QUESTÃO 1:
Figura 1 – Resposta ao degrau unitário da questão 1
A partir da figura 1, encontramos:
• Sobresinal (PSS)= 10,8%
• Tempo de subida (ts)=1310s
• Tempo de estabilização (t,e2%)= 4280s
• Erro estacionário=1-0,833=0,167m
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QUESTÃO 2:
Solução:Temos a partir da equação (13.3) e (13.4):
2e1
2
e1 H Q200 )1 s800( H 200
H Q )
200
1 s4( H +=+⇒+=+ π π (13.8)
3 s800
H H )3 s800( H H
200
H )
200
3 s4( H 1
2211
2+
=⇒+=⇒=+π
π π (13.9)
Substituindo a equação (13.9), na equação (13.8), temos:
3 s800
H Q200 )1 s800( H 1e1
+
+=+
π π
1e1 H Q200 )3 s800( )3 s800 )( 1 s800( H ++=++ π π π
1e
222
1 H Q )600 s160000( )3 s3200 s800( H ++=++ π π π
e
222
1 Q )600 s160000( )13 s3200 s800( H +=−++ π π π
) s( P 2 s3200 s800
600 s160000
Q
H 222
e
1=
++
+=
π π
π (13.10)
Como:
05 ,0* P K * P G == (13.11)
Então:
2 s3200 s800
30 s8000G05 ,0*
2 s3200 s800
600 s160000G
222222 ++
+=⇒
++
+=
π π
π
π π
π
(13.11)
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Continuação... QUESTÃO 2:
Logo:
32 s11200 s800
30 s8000
R
H T
222
1
++
+==
π π
π
(13.12)
%Matlab%Matlab
clcclc
close all close all
clear all clear all
Nt=[8000*pi 30]; Nt=[8000*pi 30];
Dt=[800^2*pi^2 11200*pi 32]; Dt=[800^2*pi^2 11200*pi 32];
T=tf(Nt,Dt)T=tf(Nt,Dt)
t=0:100:15000;t=0:100:15000;
step(T,t) step(T,t)
Figura 2 – Resposta ao degrau unitário da questão 2
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Continuação... QUESTÃO 2:
A partir da figura 2, encontramos:
• Sobresinal (PSS)= 0%
• Tempo de subida (ts)=557s
• Tempo de estabilização (t,e2%)= 1170s
• Erro estacionário=1-0,938=0,062m
QUESTÃO 3:
Solução:
Para Malha Aberta:
Wns2 sWn ) s( P
)Wn2 p( pWn P
2
22
ξ ξ +=⇒+= (13.13)
Substituindo 6 ,0=ξ ee 5Wn =
)6 s( s
25 ) s( P
s6 s
25 ) s( P
)6 p( p
25 P
2+
=⇒
+
=⇒
+
= (13.14)
Para Malha Fechada:
22
2
2
2
WnWns2 s
Wn ) s( P
Wn )Wn2 p( p
Wn P
++=⇒
++=
ξ ξ (13.15)
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Continuação... QUESTÃO 3:
Substituindo 6 ,0=ξ ee 5Wn =
25 s6 s
25 ) s( P
25 )6 p( p
25 P
2++
=⇒
++
= (13.16)
a) Erro estacionário do sistema de MA
Erro estacionário da planta com sistema tipo 1 entrada degrau unitário:
[ ] [ ] ) s( R* ) s( T 1 slime ) s( Y ) s( R slime ) s( sE lime 0 sest 0 sest 0 sest −=⇒−=⇒=
→→→
∞=⇒=⇒
+−=⇒ → est est 0 sest e
0
25e
s
1*
)6 s( s
251 slime (13.17)
b) Erro estacionário do sistema de MF
Erro estacionário do sistema tipo 0 entrada degrau unitário:
[ ] [ ] ) s( R* ) s( T 1 slime ) s( Y ) s( R slime ) s( sE lime 0 sest 0 sest 0 sest −=⇒−=⇒= →→→
0e25
0e
s
1*
25 s6 s
251 slime est est 20 sest =⇒=⇒
++−=⇒ → (13.18)
c) Resposta de MF ao impulso
%Matlab%Matlab
clear all;clear all;
close all;close all;
clc;clc;wn=5;wn=5;
psi=0.6; psi=0.6;
Nt=[wn^2]; Nt=[wn^2];
Dt=[1 2*psi*wn wn^2]; Dt=[1 2*psi*wn wn^2];
T=tf(Nt,Dt);T=tf(Nt,Dt);
impulse(T)impulse(T)
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Continuação... QUESTÃO 3:
Figura 3 – Resposta ao impulso da questão 3
d) Resposta de MF a entrada )t 5cos( 3 )t ( r =
%Matlab%Matlab
clear all;clear all;
close all;close all;
clc;clc;
wn=5;wn=5;
psi=0.6; psi=0.6;
Nt=[wn^2]; Nt=[wn^2];
Dt=[1 2*psi*wn wn^2]; Dt=[1 2*psi*wn wn^2];
T=tf(Nt,Dt);T=tf(Nt,Dt);t=0:0.01:4;t=0:0.01:4;
r=3*cos(5*t);r=3*cos(5*t);
figure(2) figure(2)
lsim(T,r,t)lsim(T,r,t)
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Continuação... QUESTÃO 3:
Figura 4 – Resposta a uma entrada )t 5cos( 3 )t ( r =
e) Resposta a entrada degrau unitária
%Matlab%Matlab
clear all;clear all;
close all;close all;
clc;clc;
wn=5;wn=5;
psi=0.6; psi=0.6;
Nt=[wn^2]; Nt=[wn^2];
Dt=[1 2*psi*wn wn^2]; Dt=[1 2*psi*wn wn^2];
T=tf(Nt,Dt);T=tf(Nt,Dt); figure(4) figure(4)
st st ep(T)ep(T)
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Continuação... QUESTÃO 3:
Figura 4 – Resposta a uma entrada degrau
Figura 5 – Resposta a uma entrada degrau com suas características ____________________________________________________________________________
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Continuação... QUESTÃO 3:
f) Tempo de subida
A partir da figura 5, encontramos tempo de subida (ts)=0,371s
g) O instante de pico máximo
A partir da figura 5, encontramos o instante de pico máximo (tp)=0,791s
h) O valor de pico máximo
A partir da figura 5, encontramos o valor de pico máximo (Yp)=1,09
i) Tempo de estabilização a 2%
A partir da figura 5, encontramos o tempo de estabilização a 2% (Te2%)=1,19s
j) O percentual de sobresinal
A partir da figura 5, encontramos o percentual de sobresinal (pss)=9,47%
k) A constante de tempo
s / rad 333333333 ,06
1
W
1
n
=⇒=⇒= τ τ ξ
τ (13.19)
l) O ganho estático
1 K 0 =
m) O fator de amortecimento
59 ,0 )47 ,9 / 100( ln
)47 ,9 / 100ln(
) pss / 100( ln
) pss / 100ln(
2222=⇒
+
=⇒
+
= ξ π
ξ π
ξ (13.20)
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n) A frequência natural
s / rad 966 ,4W 59 ,01W
79 ,01W
T W
T n
nn
p
d
p =⇒−
=⇒−
=⇒=π
ξ
π π (13.21)
o) A equação diferencial de malha fechada
Para Malha Fechada:
22
2
2
2
WnWns2 s
Wn ) s( P
Wn )Wn2 p( p
Wn P
++=⇒
++=
ξ ξ (13.22)
Substituindo 59 ,0=ξ ee 966 ,4Wn = na equação (13.22)
66 ,24 s85 ,5 s
66 ,24 ) s( P
2++
=
25 s6 s
25 ) s( P
2 ++= (13.23)
Aplicando a transformada inversa de Laplace na equação (13.23)
25 s6 s
25
) s( R
) s( Y 2
++
=
) s( R25 ) s( Y )25 s6 s( 2=++
r 2 y2 5 y6 y =++
•••
(13.24)
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