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Lista de Exercícios 12 - DERIVADAS

1. Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:

a) 4xxy 2 R: 42xdx

dy

b) 2x

2xf R:

3x

4xf

c) 2

3x

2

xy

3

R: 1x2

3

dx

dy 2

d) 3 xy R: 3 2x3

1

dx

dy

e) 16xx

13xxf

R:

3

x

136x

dx

xdf2

f) xb

x

b

xy

25

aa

R: 1b

2x

b

5x

dx

dy 4

aa

g)

23

3

x

1xy

R:

25

2

2x

1x1x3

dx

dy

h) 23x12xxy R: 1x9x2dx

dy 2

i) 22

4

xb

2xy

R:

222

523

xb

xb2x4

dx

dy

j) x

xy

a

a R:

2x

2

dx

dy

a

a

k)

3

x

xy

a

a R:

4

2

x

x6

dx

dy

a

aa

l) x1

x1y

R:

2x1x1

1

dx

dy

m) 33 x1y R:

32

23

x

1x

dx

dy

n) 2

2

x1x

12xy

R:

322

2

x1x

4x1

dx

dy

o) 522xy a R: 422x10xdx

dya

2. Nos exercícios abaixo encontrar a derivada das funções dadas.

a) f(r) = r²

b) f(x) = 14 – 1/2 x –3

c) f(x) = (3x5 – 1) ( 2 – x4)

d) f(x) = 7(ax² + bx + c)


e) f(t) = 1t

15t3t²

a

f) f(s) = (s² − 1) (3s − 1)(5s² + 2s)

g) f(t) = 2t

t²2

h) 64 x

2

2x

1f(x)

3. Calcular a derivada.

a) f(x) = 10 (3x² + 7x +3)10

b) f(x) = 3 2)²6x(3x²

c) f(x) = 13x)13x2(

7x²5

d) f(x) = 2e3x² + 6x + 7

e) f(x) = 6x3x²

3x

b

a

f) f(s) = (a + bs)ln(a + bs)

g) f(x) = sen³ (3x² + 6x)

h) f(t) = 1e

1et

t

i) f(x) = 1/a (bx² + c) – lnx

j) f(x) = sen² x + cos² x

k) f(x) = e2x cos 3x

l) f(x) = sen² (x/2).cos² (x/2)

m) f(x) = log2 (3x – cos 2x)

n) f(t) = e2 cos 2t

4. Nos exercícios abaixo calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.

a) y = 3x4 – 2x; n = 5


b) y = 1/ex; n = 4

5. Calcule as derivadas abaixo através da definição

Δx

xfΔxxflim 00

0Δx

.

a) 23xf(x) f) 2x5xf

b) 24x1f(x)

g) 3xxf 2 , no ponto x = 2

c) 2x

1f(x)

h) 2xxxf 2 , no ponto x = 3

d) 1x2xf(x) 2 i) 3xxf

e) 34xxf

b)

Δx

xfΔxxflim 00

0Δx

RESOLUÇÃO 24x1y ..............................................................1

2Δxx41Δyy

22 Δx4Δx8x4x1Δyy ............................2

2 − 1

2Δx4Δx8xΔy

Δx48xΔx

Δy

8xdx

dy

Δx

Δylim

dx

dy0Δx

Respostas:

a) 3 b) − 8x c) 2

2

1

x

d) 4x – 1 e) 4 f) –2 g) 4 h) 8 i) 3x2

6. Utilize a definição de derivada

.xx

xfxflim

0

0

xx 00

nas atividades abaixo:

a) Determine a derivada de f(x) = 5x2 no ponto x0 = 5.

b) Determine a derivada de f(x) = −3x + 2 no ponto x0 = 2.

RESOLUÇÃO

0

0

xx xx

xfxflim

0

......................................................α

23xxf ..............................................................1

4223xf2x 00 ..................................2

1 – 2 em α


2x

63xlim

2x

423xlim

xx

xfxflim

Δx

Δylimy'

2x2x0

0

xxxx 000000

33lim

2x

2x3lim

2x2x 00

b) Determine a derivada de f(x) = x2 – 6x + 2 no ponto x0 = 3.

c) Determine a derivada de f(x) = x2 + 3x + 7 no ponto x0 = 0.

e) Determine a derivada de f(x) = 3 x no ponto x0 = 0.

7. Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado:

4xparaxf(x) a) 02

3xpara32xf(x) b) 0

1xpara3xf(x) c) 0

2xpara3xxf(x) d) 02

0xpara4xf(x) e) 02

0xpara49x6xx5xf(x) f) 0234

2xparax

1f(x) g) 0

6xpara43xxf(x) i)

5xpara5x

93x5xf(x) h)

02

02

2

Respostas:

a) 8 b) 2 c) -3 d) 1 e) 0 f) 9 g) -1/4 h) 14/45 i) 9

A equação da reta tangente é dada por: o0 xxmyy

8. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x3 + x + 3 no ponto de

abscissa x0 = 0.

9. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 −3 + 4 no ponto

(1, f(1)).

10. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 2x2 + 3 que seja

paralela à reta y = 8x + 3.

11. Encontre a reta tangente à curva x3

x6y

no ponto 20,P .

12. Encontre a reta tangente à curva 2

2

2

x

2x4x

no ponto 41,P .


13. Obter a derivada da função 3x5xy 23 em um ponto genérico.

14. Obter a derivada da função 22 32xy no ponto 11,P .

15. Obter a derivada da função 22xy a em um ponto genérico.

16. Obter a derivada da função 21

1v1v

1vf

no ponto 12,P .

Aplicações da Derivada (Taxas de variação ou taxas relacionadas)

17. Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do chão, com uma velocidade

inicial de 64 m/s. Se o sentido positivo da distância do ponto de partida for para cima,

a equação do movimento será dada pela expressão:

64t16ts 2

a) Determine a equação da velocidade

b) Determine o valor da aceleração

c) Quantos segundos a bola leva para atingir o seu ponto mais alto?

d) Qual a altura máxima atingida pela bola?

R: b) -32m/s2 c) 2 s d) 64 m

18. Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado

em metros e t em segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores

indicados:

a) 110t2ttS 2 Determine a velocidade no instante t = 3 s.

b) 3tttS 2 Determine a velocidade no instante t = 2 s.

c) 12ttttS 23

Determine a velocidade no instante t = 1 s e aceleração em t = 2 s.

19. O movimento de um objeto ocorre ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a

função horária:

s = f(t) = t2 + 2t – 3 sabendo-se que a unidade de comprimento é o metro e de tempo, o segundo, calcule a

velocidade no instante t0 = 2 s.

20. Dada a função horária de um movimento retilíneo s = f(t) = 2t2 – t, determine a

distância em km percorrida e a velocidade em km/h ao fim de 5 h.


21. Determine a aceleração de uma partícula no instante t0 = 5, sabendo que sua velocidade

obedece à função v(t) = 2t2 + 3t + 1. (velocidade: m/s; tempo: s)

22. Determine a aceleração, no instante t = 1 s, de um móvel que tem velocidade variável

segundo a expressão v(t) = t (t em segundos e v em metros/segundo).

23. O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função:

L(x) = −x2 + 14x − 40. Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o

lucro seja máximo? R: 7 peças

24. Uma cidade x é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam

que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em

dias a partir do primeiro dia da epidemia) é aproximadamente, dado por:

3

t64tf(t)

3

a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4?

b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8?

c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia?

R: 48 pessoas/dia b) a epidemia está totalmente controlada c) ≈43 pessoas

25. Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taxa de

8 cm3/min. Ache a taxa segundo a qual o raio está crescendo quando a bola de neve

tiver 4 cm de diâametro. R: cm/min2π

1

26. Suponha que quando o diâmetro da bola de neve do exercício anterior for de 6 cm, ela

pare de crescer e comece a derreter a uma taxa de ¼ cm3/min. Ache a taxa segundo a

qual o raio estará variando, quando o raio for de 2 cm. R: cm/min64π

1

27. Um tanque com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado a uma taxa de

6m3/min. A altura do cone é de 24 m e o raio da base é de 12 m. Ache a velocidade

com que o nível de água está baixando, quando a água tiver uma profundidade de 10

m. R: m/min25π

6

28. Um cocho tem 360 cm de comprimento e seus extremos têm a forma de triângulos

isósceles invertidos, com 90 cm de altura e 90 cm de base. A água está fluindo no

cocho a uma taxa de 60cm3/min. Com que velocidade estará se elevando o nível da

água quando a profundidade for de 30 cm? R: 1/180 cm/min Volume de um prisma triangular


29. Uma pipa está voando a uma altura de 40 m. Uma criança está empinando-a de tal

forma que ela se mova horizontalmente a uma velocidade de 3 m/s. Se a linha estiver

esticada, com que velocidade a linha estará sendo dada, quando o comprimento da

linha desenrolada for de 50 m? R: 9/5 m/s

30. Um automóvel aproxima-se de um cruzamento a uma velocidade de 30 m/s. Quando

o automóvel está a 120 m do cruzamento, um caminhão a uma velocidade de 40 m/s

atravessa o cruzamento. O automóvel e o caminhão estão em ruas que se cruzam em

ângulo reto. Com que velocidade o automóvel e o caminhão estarão se afastando um

do outro, 2 s após o caminhão ter passado pelo cruzamento? R: 14 m/s

31. Uma corda está amarrada em um barco no nível da água e uma mulher em um cais

puxa a corda a uma taxa de 15 m/min. Se as mãos da mulher estão a 5 m acima do

nível da água, com que velocidade o bote estará se aproximando do cais, quando o

comprimento da corda que resta é de 6 m? R: m/min11

90

32. Uma escada com 7 m de comprimento está apoiada numa parede. Se o pé da escada

for empurrado horizontalmente em direção à parede a 1,5 m/s, com que velocidade o

topo da escada será deslocado para cima quando o pé da escada estiver a 2 m da

parede? R: 0,447 m/s


REGRAS DE DERIVAÇÃO

ky → 0y'

xy a → ay'

bxy a → ay'

uy a → 10, 'lny' aauaau

n

n

xy

uy

→ 1n

1n

nxy

.u'nuy

k.uy → k.u'y'

vuy → v'u'y'

v

uy

u.vy

→ 2v

uv'vu'y'

u'.vu.v'y'

k

u

uy

y

a →

k 1k

u

uk

u'y'

u' lny'

aa

a

a

xlogy

lnuy

ulogy

→

lnx

lny'

u

u'y'

uln

u'y'

a

a

cosuy → u' u. seny'

u seny → u' cosu.y'

u tgy → u' u.secy' 2

u ctgy → u' u. tg secu.y'

u secy → u' u. tg secu.y'


u cosecy → u' u. cotg u. coscy'

u sen arcy → 2u1

u'y'

u cos arcy → 2u1

u'y'

u tg arcy → 2u1

u'y'

u cotg arcy → 2u1

u'y'

u sec arcy → 1uu

u'y'

2

u cosec arcy → 1uu

u'y'

2

vuy → v .lnu.uu v.y' v1v

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