Linhas de TransmissãoProfessor Jim Naturesa

Modelo da Linha

Todos os modelos serão por fase. As tensões serão expressas por tensões de fase. Os modelos podem ser para linha curta, média e longa.

1) Modelo da Linha Curta

A capacitância pode ser ignorada para linhas com até 80 km ou se a tensão for inferior a 69 kV. A impedância pode ser calculada como:

Z = ( r + jωL) l, onde:

r é a resistência por fase (Ohms);L é a indutânica por fase (mH) el é o comprimento da linha (km)

Logo:

Z = R + jX (Ohms)

O modelo fica:

Onde:S (sending) ou fonte e R (receiving) ou carga.

A corrente IR pode ser obtida por:

∗

∗

=R

RR

V

SI

3

)3( φ

A tensão da fonte (sending) pode ser calculada por:

VS = VR + Z IR

1

Como o efeito capacitivo pode ser excluído (IS = IR) temos:

Onde:VS = A VR + B IR

IS = C VR + D IR

Na forma matricial temos:

=

R

R

S

S

I

V

DC

BA

I

V

Para o modelo da linha curta temos: A = 1; B = Z; C = 0 e D =1 ou:

=

R

R

S

S

I

VZ

I

V

10

1

Resolvendo temos:

−

−=

S

S

R

R

I

V

AC

BD

I

V

Ou

−=

S

S

R

R

I

VZ

I

V

10

1

2

A regulação do sistema pode ser escrita como:

100)(

)()((%)Re

PCV

PCVSCVg

R

RR −=

Onde:

SC significa sem carga e PC plena carga

Sem carga IR = 0, logo:

VS = A VR(SC) ou VR(SC) = VS / A como A=1, VR(SC) = VS

A potência da fonte (sending) pode ser obtida por:

SS (3Φ) = 3 VS IS*

As perdas na linhas são:

SL(3Φ) = SS(3Φ) – SR(3Φ)

A eficiência da linha vale:

100100)3(

)3(

entrada

saída

S

R

P

Pou

P

P == ηφφη

2) Modelo da Linha Média

Para linhas acima de 80 km e abaixo de 250 km podemos utilizar o modelo de linha média. A capacitância pode ser dividida em duas partes iguais – uma próxima a fonte (sending) e outra próxima a carga (receiving).

Novamente a impedância Z vale:

Z = ( r + jωL) l, onde:

r é a resistência por fase (Ohms);L é a indutânica por fase (mH) el é o comprimento da linha (km).

A admitância vale (lembrando que a admitância é o inverso da impedância ou Y = 1/Z):

Y = (g + jωC) l, onde:

g normalmente é considerado nulo;C é a capacitância da linha (F) el é o comprimento da linha (km).

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O modelo π da linha média está indicado abaixo:

A corrente IL pode ser escrita como:

IL = IR + (Y/2) VR

A tensão VS vale:

VS = VR + ZIL

Substituindo o valor de IL na equação anterior temos:

RRS ZIVZY

V +

+=

21

A corrente IS pode ser escrita como:

IS = IL + (Y/2) VS

Substituindo os valores de IL e VS em IS temos:

RRS IZY

VZY

YI )2

1()4

1( +++=

Os parâmetros A, B, C e D ficam iguais a:

)2

1(ZY

A += B = Z

)4

1(ZY

YC += )2

1(ZY

D +=

Na forma matricial temos:

4

=

R

R

S

S

I

V

DC

BA

I

V

Resolvendo a equação anterior temos:

−

−=

S

S

R

R

I

V

AC

BD

I

V

3) Modelo da Linha Longa

Para linhas acima de 250 km temos o seguinte modelo abaixo. A tensão e a corrente do sistema são dadas por equações diferenciais:

zIdx

dV = e yVdx

dI =

Onde: z é a impedância por unidade de comprimento ey é a admitância por unidade de comprimento.

Podemos definir as seguintes constantes:

Z0 = √ (z/y) = impedância de surto eγ = √ (zy) = constante de propagação.

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O modelo fica igual a:

VS = A VR + B IR

IS = C VR + D IR

Onde:

( ))cosh(

2l

eeDA

ll

γγγ

=+==−

( ))sinh(

2 00 lZ

eeZB

ll

γγγ

=−=−

00

)sinh(

2

)(

Z

l

Z

eeC

ll γγγ

=−=−

Na forma matricial temos:

=

R

R

S

S

I

V

DC

BA

I

V

Na figura a seguir temos o modelo da linha longa. Detalhes sobre o modelo podem ser encontrados em (Kundur, 1994), (Saadat, 2002) e (Zanetta, 2005).

Referências

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Kundur, P. Power System Stability and Control. Editora McGraw-Hill. 1994.

Monticelli, A. & Garcia, A. Introdução a sistemas de energia elétrica. Editora da Unicamp. 1999.

Saadat, H. Power System Analysis – Second Edition. Editora McGraw-Hill. 2002.

Zanetta Jr., L. Fundamentos de Sistemas de Potência. Editora Livraria da Física. 2005.

Yamayee, Z. & Bala Jr., J. Electromechanical Energy Devices and Power Systems. John Wiley & Sons. 1994.

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