Limites de sucessões O essencial
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SucessõesLimites de sucessões
O essencial
Dada uma sucessão (𝑢𝑛), um número real 𝑙 designa-se por limite
da sucessão (𝒖𝒏) ou limite de 𝒖𝒏 quando 𝒏 tende para +∞
quando, para todo o número real 𝛿 > 0, existir uma ordem 𝑝 ∈ 𝐼𝑁
a partir da qual todos os termos da sucessão 𝑢𝑛 verificam a
condição 𝑢𝑛 − 𝑙 < 𝛿.
Dizer que o limite da sucessão (𝑢𝑛) é 𝑙 é o mesmo que dizer que
𝒖𝒏 tende para 𝒍, o que se representa por 𝒖𝒏 → 𝒍 .
Limite de uma sucessão
Uma sucessão 𝑢𝑛 que tem como limite um número real 𝑙 designa-
-se por convergente.
Caso contrário, diz-se divergente.
Sucessão convergente/divergente
Uma sucessão (𝑢𝑛) convergente admite um único limite.
O limite de uma sucessão convergente representa-se por 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞
𝒖𝒏,
𝐥𝐢𝐦𝒏
𝒖𝒏 ou 𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏.
Teorema da unicidade do limite de uma sucessão
Toda a sucessão convergente é limitada.
Teorema
Uma sucessão crescente em sentido lato e majorada é convergente.
Uma sucessão decrescente em sentido lato e minorada é convergente.
Teorema sobre sucessões monótonas e limitadas e convergência
Dadas duas sucessões (𝑢𝑛) e (𝑣𝑛), se (𝑢𝑛) é limitada e lim𝑣𝑛 = 0,
então, lim 𝑢𝑛𝑣𝑛 = 0.
Teorema
Uma sucessão 𝑢𝑛 tem limite +∞, (lim𝑢𝑛 = +∞), quando, para todo o
𝐿 > 0, existe uma ordem 𝑝 ∈ 𝐼𝑁, tal que ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 𝑛 ≥ 𝑝 ⇒ 𝑢𝑛 > 𝐿 é
verdadeira, dizendo-se, neste caso, que 𝒖𝒏 tende para +∞ (𝒖𝒏 → +∞).
Uma sucessão 𝑢𝑛 tem limite −∞, (lim𝑢𝑛 = −∞), quando, para todo o
𝐿 > 0, existe uma ordem 𝑝 ∈ 𝐼𝑁, tal que ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 𝑛 ≥ 𝑝 ⇒ 𝑢𝑛 < −𝐿 é
verdadeira, dizendo-se, neste caso, que 𝒖𝒏 tende para −∞ (𝒖𝒏 → −∞).
Limites infinitos
O limite de uma progressão aritmética de razão 𝑎 é +∞ se 𝑎 > 0 ou
−∞ se 𝑎 < 0.
Limite de uma progressão aritmética
• Se 𝑐 ≠ 0, então, lim𝑎𝑛+𝑏
𝑐𝑛+𝑑=
𝑎
𝑐;
• Se 𝑐 = 0, então, lim𝑎𝑛+𝑏
𝑑= +∞ (respetivamente, lim
𝑎𝑛+𝑏
𝑑= −∞)
caso 𝑎 e 𝑑 tenham o mesmo sinal (respetivamente, sinais contrários);
• Se 𝑎 = 𝑐 = 0, então,lim𝑏
𝑑=
𝑏
𝑑. Em particular, o limite de uma
sucessão constante é a própria constante.
Limite de uma sucessão de termo geral
𝒖𝒏 =𝒂𝒏 + 𝒃
𝒄𝒏 + 𝒅(𝒄𝒏 + 𝒅 ≠ 𝟎)
Dado um número racional 𝑟, tem-se:
• lim𝑛𝑟 = +∞, se 𝑟 > 0;
• lim𝑛𝑟 = 0 𝑠𝑒 𝑟 < 0.
Limite de uma sucessão de termo geral 𝒖𝒏 = 𝒏𝒓, 𝒓 ∈ ℚ
Dadas duas sucessões (𝑢𝑛) e (𝑣𝑛) convergentes de limites 𝑎 e 𝑏,
respetivamente, tem-se que a sucessão (𝑢𝑛 + 𝑣𝑛) é convergente e
𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏 + 𝒗𝒏 = 𝒂 + 𝒃.
Limite da soma de sucessões convergentes
Dadas duas sucessões (𝑢𝑛) e (𝑣𝑛) convergentes de limites 𝑎 e 𝑏,
respetivamente, e 𝑘 ∈ 𝐼𝑅, tem-se que as sucessões (𝑢𝑛𝑣𝑛) e 𝑘𝑢𝑛
são convergentes e
𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏𝒗𝒏 = 𝒂𝒃 e 𝐥𝐢𝐦 𝒌𝒖𝒏 = 𝒌𝒂.
Limite do produto de sucessões convergentes
Dadas duas sucessões (𝑢𝑛) e (𝑣𝑛) convergentes de limites 𝑎 e 𝑏,
respetivamente, com 𝑣𝑛 ≠ 0, ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁 e 𝑏 ≠ 0, as sucessões
1
𝑣𝑛𝑒
𝑢𝑛𝑣𝑛
são convergentes e
𝐥𝐢𝐦𝟏
𝒗𝒏=
𝟏
𝒃e 𝐥𝐢𝐦
𝒖𝒏
𝒗𝒏=
𝒂
𝒃.
Limite do quociente de duas sucessões convergentes
Dada uma sucessão (𝑢𝑛) convergente e um número racional 𝑟 ≠ 0, se
𝑟 ∈ 𝐼𝑁 , ou se todos os termos da sucessão são não negativos e 𝑟 é
positivo, ou ainda se todos os termos da sucessão são positivos, então,
a sucessão de termo geral 𝑢𝑛𝑟 é convergente e
𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏𝒓 = 𝐥𝐢𝐦𝒖𝒏
𝒓.
Limite da potência de expoente racional de uma sucessão convergente
Dadas duas sucessões 𝑢𝑛 e (𝑣𝑛), se lim𝑢𝑛 = +∞ e lim𝑣𝑛 = 𝑙 ∈ 𝐼𝑅,
(ou lim𝑣𝑛 = +∞ ), lim 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 = +∞.
Esta propriedade representa-se por +∞+ 𝑙 = +∞ e
+∞+ +∞ = +∞, respetivamente.
Dadas duas sucessões 𝑢𝑛 e (𝑣𝑛), se lim𝑢𝑛 = −∞ e lim𝑣𝑛 = 𝑙 ∈ 𝐼𝑅,
(ou lim𝑣𝑛 = −∞ ), lim 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 = −∞.
Esta propriedade representa-se por −∞+ 𝑙 = −∞ e
−∞+ −∞ = −∞, respetivamente.
Álgebra de limites infinitos
Dadas duas sucessões, (𝑢𝑛) com limite 𝑙, e (𝑣𝑛) com limite +∞ ,
lim 𝑢𝑛𝑣𝑛 = +∞ se 𝑙 > 0 ou lim 𝑢𝑛𝑣𝑛 = −∞ se 𝑙 < 0 .
Estas propriedades representam-se por:
𝑙 × +∞ = +∞ se 𝑙 > 0 e por 𝑙 × +∞ = −∞ se 𝑙 < 0
Dadas duas sucessões, (𝑢𝑛) com limite 𝑙, e (𝑣𝑛) com limite −∞ ,
lim 𝑢𝑛𝑣𝑛 = −∞ se 𝑙 > 0 ou lim 𝑢𝑛𝑣𝑛 = +∞ se 𝑙 < 0 .
Estas propriedades representam-se por 𝑙 × −∞ = −∞ se 𝑙 >
0 e por 𝑙 × −∞ = +∞ se 𝑙 < 0.
Produto de uma sucessão convergente por uma com limite infinito
Dadas sucessões, (𝑢𝑛) com limite +∞ (respetivamente, −∞), e (𝑣𝑛)
com limite +∞, lim(𝑢𝑛𝑣𝑛) = +∞ (respetivamente, lim(𝑢𝑛𝑣𝑛) = −∞).
Esta propriedade representa-se, respetivamente, por:
+∞× +∞ = +∞ e −∞× +∞ = −∞
Dadas sucessões, (𝑢𝑛) com limite +∞ (respetivamente, −∞), e (𝑣𝑛)
com limite −∞ , lim(𝑢𝑛𝑣𝑛) = −∞ (respetivamente, lim(𝑢𝑛𝑣𝑛) = +∞)
Esta propriedade representa-se, respetivamente, por:
+∞× −∞ = −∞ e −∞× −∞ = +∞
Limite do produto de sucessões com limites infinitos
Expoente natural
Dada uma sucessão 𝑢𝑛 e um número natural 𝑟.
Se lim𝑢𝑛 = +∞, a sucessão de termo geral 𝑢𝑛𝑟 tem limite +∞.
Se lim𝑢𝑛 = −∞, a sucessão de termo geral 𝑢𝑛𝑟 tem limite +∞ se 𝑟
for par e −∞ se 𝑟 for ímpar.
Esta propriedade representa-se por +∞ 𝑟 = +∞, −∞ 𝑟 = +∞
se 𝑟 for par e −∞ 𝑟 = −∞ se 𝑟 for ímpar.
Limite da potência de uma sucessão com limite infinito
Expoente racional positivo
Dada uma sucessão 𝑢𝑛 de termos não negativos e limite +∞, e um
número racional 𝑟 positivo, a sucessão de termo geral 𝑢𝑛𝑟 tem limite +∞.
Esta propriedade representa-se por +∞ 𝑟 = +∞.
Limite da potência de uma sucessão com limite infinito
Dada uma sucessão 𝑢𝑛 de termos não nulos, se lim𝑢𝑛 = −∞ ou
lim𝑢𝑛 = +∞, então, lim1
𝑢𝑛= 0.
Esta propriedade representa-se escrevendo 1
∞= 0.
Inversa de uma sucessão de limite infinito
Seja 𝑢𝑛 uma sucessão de termos não nulos e limite nulo.
Se a partir de certa ordem todos os seus termos são positivos
(respetivamente, negativos), lim1
𝑢𝑛= +∞ (respetivamente, lim
1
𝑢𝑛= −∞).
Dada uma sucessão 𝑢𝑛 de termos não nulos:
Se lim𝑢𝑛 = 0+, lim1
𝑢𝑛= +∞, representando-se por
1
0+= +∞.
Se lim𝑢𝑛 = 0−, lim1
𝑢𝑛= −∞, representando-se por
1
0−= −∞.
Inversa de uma sucessão com limite nulo
Se 𝑎 ≠ 0, a sucessão de termo geral 𝑢𝑛 = 𝑎𝑛 é uma progressão
geométrica de razão 𝑎.
Se 0 < 𝑎 < 1, tem-se que 𝑢𝑛 é uma sucessão decrescente de termos
positivos e lim𝑎𝑛 = 0.
Se 𝑎 > 1, lim𝑎𝑛 = lim11
𝑎𝑛
=1
0+= +∞.
Limite da sucessão de termo geral 𝒂𝒏, 𝒂 ∈ 𝑰𝑹+\{𝟏}
Dado um polinómio 𝑃(𝑥) de grau 𝑚 ≥ 1 com coeficiente do termo de
maior grau 𝑎𝑚, a sucessão 𝑃𝑛 de termo geral 𝑃𝑛 = 𝑃(𝑛) é tal que:
𝐥𝐢𝐦𝑷𝒏 = +∞, se 𝒂𝒎 > 𝟎
e
𝐥𝐢𝐦𝑷𝒏 = −∞, se 𝒂𝒎 < 𝟎.
Limite de polinómios
Dados números reais 𝑎𝑖 , 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 e 𝑏𝑗 , 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝, com 𝑎𝑚 ≠ 0 e
𝑏𝑝 ≠ 0 e a sucessão 𝑞𝑛 de termo geral
𝑞𝑛 =𝑎𝑚𝑛
𝑚 + 𝑎𝑚−1𝑛𝑚−1 +⋯+ 𝑎1𝑛 + 𝑎0
𝑏𝑝𝑛𝑝 + 𝑏𝑝−1𝑛
𝑝−1 +⋯+ 𝑏1𝑛 + 𝑏0
tem-se
𝟏) Se 𝑚 = 𝑝, lim𝑞𝑛 =𝑎𝑚𝑏𝑝
; 𝟐) Se 𝑚 > 𝑝 e𝑎𝑚𝑏𝑝
> 0, lim𝑞𝑛
= +∞;
𝟑) Se 𝑚 > 𝑝 e𝑎𝑚𝑏𝑝
< 0, lim𝑞𝑛 = −∞; 𝟒) Se 𝑚 < 𝑝, lim𝑞𝑛 = 0.
Limite de sucessões com polinómios
Dado um número real 𝑎 > 0, lim 𝑛 𝑎 = 1.
Limite de 𝒏 𝒂, com 𝒂 > 𝟎
+∞− (+∞)
∞
∞
0
0
0 × ∞
Indeterminações