Limites
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Definição de Limites • Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de a (um número real), exceto talvez em a. c a d • Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a a e escrevemos
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Aula sobre Limites
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Definição de Limites
• Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de a (um número real), exceto talvez em a.
c a d
• Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a a e escrevemos
Lxfax
)(lim
Noção Intuitiva
Sucessões numéricas Dizemos que:
1, 2, 3, 4, 5, .... Os termos torna-se cada vez maior sem atingir um limite
x +
Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor
x 1
1, 0, -1, -2, -3, ... Os termos torna-se cada vez menor sem atingir um limite
x -
,.....6
5,
5
4,
4
3,
3
2,
2
1
• Exemplo: Tomemos a função .
Definição:
2 9
3
xf x
x
( )
Prof. Armando Paulo da SilvaProf. Armando Paulo da Silva
x f(x)2,5 5,52,8 5,82,9 5,92,99 5,992,999 5,9992,9999 5,9999... ...
Comportamento da função f(x) quando x se aproxima de 3
x f(x)3,4 6,43,2 6,23,1 6,13,01 6,013,001 6,0013,0001 6,0001... ...
Prof. Armando Paulo da SilvaProf. Armando Paulo da Silva
Note que:
- quanto mais x se aproxima de 3 por valores menores do que 3, mais o
valor de f(x) se aproxima de 6. - quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais o valor
de f(x) se aproxima de 6.Logo, Matematicamente, afirma-se:
3 lim ( ) 6
xf x
Prof. Armando Paulo da SilvaProf. Armando Paulo da Silva
Limites Intuitivos
>
<
=
)(lim)(
)(lim)(
1)(lim)(
0)(lim)(
0
0
xfd
xfc
xfb
xfa
x
x
x
x
)(b
)(a
)(d
)(c
]1,1[)(lim)(
)(lim)(
]1,1[)(lim)(
0)(lim)(
0
0
entrexfd
xfc
entrexfb
xfa
x
x
x
x
0)(lim)(
0)(lim)(
)(lim)(
)(lim)(
0
0
xfd
xfc
xfb
xfa
x
x
x
x
)(b
)(a
)(d
)(c
<
)(b
)(a )(d
)(c
Propriedades dos Limites
• Se L, M, a, c são números reais e n inteiro
eLxfax
)(lim ,)(lim Mxgax
Limites de Funções Polinomiais
Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser obtidos por Substituição:
Se 0
11 ...)( axaxaxP n
nn
n
então
....)()(lim
01
1 acacacPxPcx
nn
nn
Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial
322246496
224164)32(3
2)2()2()2(4)2(3
243
245
245
2lim
xxxxx
Limites de Funções Racionais
Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser obtidos por Substituição, caso o limite do denominador não seja zero:
Se e são polinômios e ,
então
)(xP )(xQ 0)( cQ
)(
)(
)(
)(lim
cQ
cP
xQ
xP
cx
Exemplo – Limite de Uma Função Racional
06
0
5)1(
3)1(4)1(
5
342
23
2
23
1lim
x
xx
x
Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum
xx
xx
x
2
2
1
2lim
Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um denominador zero. Testamos o numerador para ver se este tambémé zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma fraçãomais simples, com os mesmos valores da original para x 1:
x
x
xx
xx
xx
xx 2
)1(
)2)(1(22
2
Se x 1
Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores quando x 1 por substituição:
31
2122limlim
12
2
1
x
x
xx
xx
xx
15
Exemplos
14)24(lim3
xx
7)13(lim2
xx
?0
0
4
42
3
2lim
x
xx
x2
31
4
1lim
2
xx
?0
0
5
52
5lim
xx
x
x
Os “resultados” dos limites das funções 3 e 5 demonstram que o cálculo do limite não se faz por uma simples substituição direta do valor para o qual a variável tende. Veremos que existem resultados para tais limites
Problema 2
22x
4
1x x-4
2xlim2)
1-x
1xlim1)
Utilize as regras para calcular limites para determinar:
