Limite de uma sucessãoDe Wikipedia, a enciclopedia livre

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O limite de uma sucessão é um dos conceitos mais antigos da análise matemática. O mesmo dá uma definição rigorosa à ideia de uma sucessão que se vai aproximando para um ponto chamado limite. Se uma sucessão tem limite, diz-se que é uma sucessão convergente, e que a sucessão converge ou tende ao limite. Em caso contrário, a sucessão é divergente.

A definição significa que eventualmente todos os elementos da sucessão se aproximam tanto como queiramos ao valor limite. A condição que impõe que os elementos se encontrem arbitrariamente próximos aos elementos subsiguientes não implica, em general, que a sucessão tenha um limite (Se veja sucessão de Cauchy).

Que se entende por próximo dá lugar a diferentes definições de limite dependendo do conjunto onde se definiu a sucessão.

Índice

imite de uma sucessão de números reais

Definição formal

Exemplos

A sucessão 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge ao limite 0. A sucessão 1, -1, 1, -1, 1, ... é divergente. A sucessão 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge ao

limite 1. Se a é um número real com valor absoluto |a| < 1, então a sucessão an possui

limite 0. Se 0 < a ≤ 1, então a sucessão a1/n possui limite 1.

Propriedades

Se uma sucessão (an ) tem limite positivo, existe um termo a partir do qual todos os termos da sucessão são positivos.

Se uma sucessão (an ) tem limite negativo, existe um termo a partir do qual os termos da sucessão são negativos.

Se uma sucessão converge a zero, não se pode assegurar nada a respeito do signo da cada um dos termos da sucessão.

Se uma sucesion (an) tende a menos infinito e (an) < 0 então 1 / an tende a 0

Limite em um espaço métrico

Para uma sucessão de pontos em um espaço métrico M com função de distância d

(como por exemplo, uma sucessão de números racionales]], números reais, números complexos, pontos em um espaço normado, etc.): Se diz-se que L é o limite da sucessão e se escreve

i.e.:se e só se pára todo (hodap) número real , existe um número natural N

tal que para a cada , satisfaz-se que

Limite em um espaço topológico

Uma generalização desta relação, para uma sucessão de pontos em um espaço topológico T:

Se diz-se que L é um limite desta sucessão e se escreve

se e só se pára todo o Meio (topología)|meio]] S de L existe um número natural N

tal que para todo

De forma intuitiva, supondo que tem-se uma sucessão de pontos' (por exemplo um conjunto infinito de pontos numerados utilizando os números naturais) em algum tipo de objecto matemático (por exemplo os números reais ou um espaço vectorial) que admite o conceito de meio (no sentido de "todos os pontos dentro de uma verdadeira distância de um dado ponto fixo"). Um ponto L é o limite da sucessão se pára todo o meio que se defina, todos os pontos da sucessão (com a possível excepção de um número finito de pontos) estão próximos a L. Isto pode ser interpretado como se tivesse um

conjunto de esferas de tamanhos decrecientes até zero, todas centradas em L, e para qualquer destas esferas, só existisse um número finito de números fora dela.

É possível também que uma sucessão em um espaço topológico geral, possa ter vários limites diferentes, mas uma sucessão convergente possui um único limite se T é um espaço de Hausdorff, por exemplo a recta real (estendida), o plano complexo, seus subconjuntos (R, Q, Z...) e produtos cartesianos (Rn...).