Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de...

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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 1/Cap.11-ParteANovembro.2006

Projecto de controladores

CONTROLO3º ano – 1º semestre – 2006/2007

Transparências de apoio às aulas teóricas

Capítulo 11 (Parte A) – Projecto de CompensadoresMaria Isabel Ribeiro

António Pascoal

Setembro de 2001Revisões em Março de 2002, Setembro 2003, Novembro 2005

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)

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Projecto de controladoresProjecto no domínio da frequência

EXEMPLO

0>K 21s

+_

ControladorSistema a controlar

C(s)Diagrama de Bode da f.t.ca.=1/s2

K=1

s/rad.c 01

G(s)

frequência de cruzamento

=ω

º)j(Garg c 180=ω

margem de fase

ºM 0=Φsistema marginalmente estável

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Projecto de controladoresEXEMPLO

0>K 21s

+_

C(s)


G(s)Critério de Nyquist

Contornode Nyquist

xxpólo

duplo

A

-1

A imagem do contornode Nyquist passa peloponto crítico -1

º*)j(C*)j(Garg*)j(C*)j(G:* 180 1 =ωω∧=ωωω∃

01 =ωω+ *)j(C*)j(G

*jω é um pólo em malha fechadasistema marginalmente estável

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0>K 21s

+_

C(s)


G(s)Root-Locus

xpólo

duplo

sistema marginalmente estável

x

2 pólos da f.t.c.f. no eixoimaginário

Estratégia de Controlo

zzsK)s(C +

=

xxo

efeito estabilizador

Introdução de amortecimento artificial

devido ao termo derivativo

(PD)

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zzsK +

21s

+_

C(s)


G(s)K=1, z=0.1rad/s

exemplo

ºM 90=Φ

-1

sistema em c.f. estável

∞=MGPode aumentar-se o ganhoindefinidamente sem que se percaestabilidade

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Projecto de controladoresAnálise do compensador PD

zzsK)s(C +

=

)s/rad(ω

arg C(s)

45º

90º

benefício de avanço de fase

z

compensador por avanço de fase

-1

sistemaoriginal

sistemacompensado

nova margem de fase

Diagrama de Nyquist

O compensador de avanço de faseafasta o diagrama do ponto -1

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Projecto de controladoresCompensador PD

zzsK)s(C +

=

Compensador de avanço de fase

pszs

zpK)s(C

++

=

sistemarealizável (com um pólo e um zero)

pszs

zpK

++

21s

+_


C(s) G(s)avançode fase

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Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase

Ts

Ts

K)s(C

β+

+

β=

1

1

1

1 <β

Ganho estático = K

zero = - 1/T

pólo = - 1/βΤ

xT1

Tβ1

T1

Tβ1

dB

K⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

o90

maxφ

maxω

)j(Clim ω∞→ω

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?max =φ? =ωmax

Máximo (benefício) do AVANÇO DE FASE

11

11

+ωβ+ω

=+β+

=ωω= Tj

TjKTsTsK)j(C

js

)T(arctg)T(arctg)()j(Carg c ωβ−ω=ωφ=ω

( ) ( )22 11 TT

TT

d)(d c

ωβ+

β−

ω+=

ωωφ

Cálculo de

⇔=ωωφ

0d

)(d c

( ) ( )⇔=

ωβ+

β−

ω+ 0

11 22 TT

TT

maxω

β=ω 2

2 1T

β=ω

T1 maxEm escala logarítmica, equidistante das

frequências de corte do zero e do pólo

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?max =φ

)T(arctg)T(arctg)( maxmaxmaxcmax βω−ω=ωφ=φ

β=ω

T1 max

)(arctgarctg β−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β=

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β

β−=φ

21arctgmax ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+β−

=φ11arcsinmax

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)( maxc ωφ Máximo AVANÇO DE FASE

β1

90º

Tz 1

−=Tp

β−=

1

1<β

x 0→β zp >>

º)( maxc 90→ωφ

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T1

Tβ1

T1

Tβ1

dB

K⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

o90

maxφ

maxω

β=ω

T1 max

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+β−

=φ11arcsinmax

?)j(C Kmax =ω=1 Porque é importante

conhecer ?

• O compensador de avanço de fase usa-se para aumentar a margem de fase, ou sejasomar fase na frequência em que o ganho da f.t.c.a. é unitário.

• Ao somar fase em wmax, também se aumentao ganho. De quanto?

• É o preço a pagar pelo avanço de fase

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T1

Tβ1

T1

Tβ1

dB

K⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

o90

maxφ

maxω

β=ω

T1 max

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+β−

=φ11arcsinmax

11 +ωβ+ω

=ωTj

TjK)j(C

1

11

+β

+β

=ωj

jK)j(C max

maxω=ω

1 K)j(C maxβ

=ω

?)j(C Kmax =ω=1

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1. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador2. Erro de seguimento a rampa unitária3. Margem de fase4. Margem de ganho

0250.)(eramp ≤∞o

M 48≈ΦdBGM 6≥

Objectivos a atingir

EXEMPLO 1Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)

)s(K100

100+s 36

1+s s

1+_

motor com cargaamplificadorcontrolador

velocidade

posiçãoangular

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Projecto de controladoresEXEMPLO 1

)s(K )s)(s(s 10036100

+++

_

G(s)a projectar

)s(K~K)s(K =

ganho estático unitário

10 =)(K~

2. Erro de seguimento a rampa unitária 0250.)(eramp ≤∞

401

1

0s

≤=∞→

)s(K)s(sGlim)(eramp

40 0s

≥→

)s(K)s(sGlim

4036

10036 100

0s≥=

++→

K)s)(s(

Klim

1440≥K

escolha-se

1440=K

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)s(K~ )s)(s(sx

100361440 100++

+_

a projectar

)s(GK

)s(GK

diagrama de Bode de

ºM 34≅Φ

dB.GM 610≅s/rad.959=ωπ

s/rad.dB 5290 =ω

Os valores seriam diferentes se tivesse sido usado o diagrama de Bode assimptótico

Só com este ganho, o sistema emcadeia fechada é estável, emboranão satisfaça a margem de fasepretendida

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)s(K~ )s)(s(sx

100361440 100++

+_

a projectar )s(GK

Confirmação da estabilidade em cadeia fechada usando critério de Nyquist

xxx-100 -36

P=0

Contorno de Nyquist

1=)s(K~

-134º

módulo=1

N=0

Z=P+N=0

com

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)s(K~ )s)(s(sx

100361440 100++

+_

a projectar )s(GK

3. Margem de fase oM 48≈Φ

ºM 34≅ΦPara 1=)s(K~Aumento nominal de

48º - 34º = 14ºNo entanto é necessário“dar” FASE ADICIONAL

0 db

-180º

sistemaoriginal

sistemaoriginal

Compensadorde avanço

nova frequência de cruzamento

Como a frequência de cruzamento aumenta é preciso

+ aumento de fase

Não basta um aumento de 14º

34º

figura não à escala. Apenas ilustrativa

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)s(K~ )s)(s(sx

100361440 100++

+_

a projectar )s(GK

3. Margem de fase oM 48≈Φ

ºM 34≅ΦPara 1=)s(K~Aumento nominal de

48º - 34º = 14º

Aumento total de fase = Nominal + “Factor de Segurança” = 14º + 10º = 24º

maxω

ºmax 24=φ

avanço

Determinação das características do compensador de avanço de fase

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+β−

=φ11arcsinmax

420.=β

O parâmetro β define o afastamentoentre o zero e o pólo do compensador

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ºmax 24=φ

?max =ω

5411 .=β

dB.dB

7731=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β

preço a pagar peloavanço de fase

onde se coloca ?maxω

T1

Tβ1

maxω

wmax é a frequência a que o avanço de fase é maiorβ

=ωT

1 max

• Conhecendo β

• Escolhendo wmax

• Calcula-se T

Ganho estático do compensador unitárioTodo o ganho necessário jáfoi considerado

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onde se coloca ?maxω

maxω Frequência à qual o ganho de malha

dB.)s(GKjs

773−=ω=

s/radmax 39=ω

420

391

.

s/radT

max

=β

=β

=ω

s/rad.T

s/rad.T max

2601

325 1

=β

=ωβ=

maxω

EXEMPLO 1

+3.77dB

-3.77dBf.t.c.a sistema original

f.t.c.a sistema compensado

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)s(K )s)(s(sx

100361440 100++

+_

)s(Ga projectar

Ts

Ts

K)s(K~K)s(K

β+

+

β==

1

11

2603253821440

.s

.s.)s(K++

××=

2603257342

.s

.s.)s(K++

×=

f.t.c.a. do sistemacompensado

f.t.c.a. do sistemaoriginal*1440

f.t. do compensador com ganho estático unitáro

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)s(K )s)(s(sx

100361440 100++

+_

ºoM 4846 <≈Φ

dBdB.GM 6511 >=

Se não for satisfatório, refaça os cálculos

f.t.c.a. do sistema compensado

f.t.c.a. do sistema original f.t. do compensador

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)s(K )s)(s(sx

100361440 100++

+_

oM 46≈Φ

ºM 34≈Φ

nova margem de fase

Repita o projecto com base no diagrama de Bode assimptótico

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Compensador de avanço - Sumário

• Introduz fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamentoa 0dB do sistema original, aumentando a margem de fase e melhorando assim a estabilidade relativa

• Preço a pagar é um aumento do ganho de alta frequência

• O compensador de avanço é equivalente ao controlador PD no intervalo de frequências em que o efeito do pólo é poucosignificativo

• O compensador de avanço é uma representação mais realista do controlador PD em que o pólo tem a função de limitar o ganho de altas frequências do controlador

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Projecto de controladoresCompensador de Atraso de Fase

Ts

Ts

)s(K~

α+

+

α=

1

1

1

1 >α

Ganho estático = 1

zero = - 1/T

pólo = - 1/αΤ

x

Tα1

T1

0 dB

α− 1020 log

Diagrama de Bode de )s(K~

)s(K~K)s(K = 1 0 =)(K~

O compensadorque vai ser apresentadotem ganhoestático unitário

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Projecto de controladoresCompensador de atraso – Princípio de utilização

• Tirar partido da atenuação do ganho de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0dB para a frequência que conduz à margem de fase desejada.

• Preço a pagar é uma diminuição da fase na zona de influência do compensador– Até uma década após o zero

• Procura-se que a característica de fase original não sejasignificativamente alterada na vizinhança da nova frequência de cruzamento a 0dB.– Zero do compensador colocado, pelo menos, uma década antes

da frequência de cruzamento a 0dB desejada.

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Projecto de controladoresCompensador de Atraso de Fase

Ts

Ts

)s(K~

α+

+

α=

1

1

1

Tα1

T1

0 dB

α− 1020 log

Diagrama de Bode de )s(K~

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1. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador2. Erro de seguimento a rampa unitária3. Margem de fase4. Margem de ganho

21621 ./)(eramp ≤∞º.M 259≥ΦdBGM 12≥

Objectivos a atingir

EXEMPLO 2Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)

)s(K100

100+s 36

1+s s

1+_

motor com cargaamplificadorcontrolador

velocidade

posiçãoangular

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)s(K )s)(s(s 10036100

+++

_

G(s)a projectar

)s(K~K)s(K =

ganho estático unitário

10 =)(K~

2. Erro de seguimento a rampa unitária 21621 ./)(eramp ≤∞

21621

1

0s.)s(K)s(sGlim

)(eramp ≤=∞→

2162 0s

.)s(K)s(sGlim ≥→

216236

10036 100

0s.K

)s)(s(Klim ≥=++→

5839≥K

escolha-se

5839=K

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)s(K~ )s)(s(sx

100368395 100++

+_

a projectar

)s(GK

)s(GK

diagrama de Bode de

714 s/rad.=ω

dB)j(GK,ºM 20 59 =ω=Φ

Chegará diminuir o ganho de 20dB nestafrequência com um compensador de atraso?

Qual terá que ser a frequência de cruzamento a 0dB parater a margem de fasepretendida?

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)s(K~ )s)(s(sx

100368395 100++

+_

a projectar

)s(GK

)s(GK

diagrama de Bode de

s/rad.º.M 789 para 269 =ω≅Φ

º.ºº.desejadaM 26910259 =+=Φ

factor de segurança

Porque é necessário o factor de segurança?

24dB 9.78rad/s

=ω=ω

)j(GK

O compensador de atraso deve providenciarum ganho de -24dB àfrequência de 9.8rad/s

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0 dB

Dimensionamento do compensador de atraso

-90º

-24dB

define o afastementoentre o pólo e o zero

T.T 841511

=α T

1

8415 2420 10 .dBlog =α⇒−=α−

Fase negativa = preço a pagarpela diminuiçãode ganho

Onde “colocar” o compensador?

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0º

EXEMPLO 2

Várias hipótesspossíveis de “colocação” do compensador

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0 dB

Estratégia de “colocação” do compensador de atraso

-90º

-24dB

T.T 841511

=α T

1

Fase negativa = preço a pagar peladiminuiçãode ganho

Zero do compensador 1 década abaixo da frequência de cruzamento desejada

s/rad.T

9801=s/rad.

T 06201

=α

Na frequência de cruzamentodesejada, a fasenegativaintroduzida pelocompensador já épequena, emboranão nula

Isto justifica a introdução de fase adicional no cálculo da margem de fasedesejada

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)s(K )s)(s(s 10036 100++

+_

)s(Ga projectar

11( ) ( ) 1

sTK s K K s K

sT

αα

+= =

+

1 0.98( ) 583915.84 0.062

sK ss+

= ×+

0.98( ) 368.60.062

sK ss+

= ×+

f.t.c.a. do sistemacompensado

f.t.c.a. do sistemaoriginal*5839

f.t. do compensador

dBG,º MM 22 64 ==Φ

especificações verificadas

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-100

-50

0

50

100

System: sysFrequency (rad/sec): 10Magnitude (dB): -0.175

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

10-270

-180

-90

0

Pha

se (d

eg)

System: sysFrequency (rad/sec): 10Phase (deg): -116

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