A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições

Lição 6

Simultaniedade e Sincronização em TRR

Estrutura Pedagógica

Apresentação:

Nesta lição iremos (continuar) a explorar consequências da TRR, no tocante às relações espacio-temporais de eventos quando registados por observadores em RI com movimento relativo. Em particular, vamos estabelecer como o conceito de simultaniedade não é mais um facto absoluto.

Igualmente, iremos analisar como os conceitos de causalidade e sobretudo de sincronização são afectados no contexto da TRR.

Questões Centrais:

Se a TRR implica uma estrutura espacio-temporal em que conceitos de espaço e tempo se influenciam mutuamente (vide transformações de Lorentz), então:

“A própria noção de tempo que tenho é condicionada…Basta, por exemplo, analisar a Teoria da Relatividade para ver quão relativo é o conceito de tempo.”

A. Guterres, Entrevista ao Expresso 22-5-99

52

Paulo Vargas Moniz

Será que eventos simultâneos num RI, deixarão de o ser noutro RI (em movimento relativo)?

Pode essa situação ser determinada quantitativamente?

Pode a noção de causalidade (para eventos espacio-temporais) ser alterada ou encarada de forma diferente em TRR?

Se o conceito de simultaniedade absoluta é abandonado, como isso afecta registos de progresso de tempo em relógios inerciais?

Estrutura da Lição:

Esta lição terá uma estrutura mista clássica e sequencial. Nomeadamente, irá inicialmente consisitir numa série de definições e exemplificações que irão ser seguidas por várias conclusões e/ou questões, apresentadas como consequências das primeiras.

Sumário da lição:

Em termos mais precisos, iremos:

Iniciar extração de consequências da TRR com base na transformação de Lorentz - simultaniedade não é facto absoluto;

Determinar se conceito de causalidade é afectado e como pode ser interpretado em TRR;

Avaliar como a sincronização de relógios inerciais é afectada pelo conceito de simultanidade não absoluta em TRR. Em particular, como isso afecta registos do tempo (eventos) em RI em movimento relativo.

Objectivos Didácticos:

No fim da lição, ao aluno deverá ser possivel:

Estabelecer a partir das transformações de Lorentz como simultaniedade deixa de ser absoluta;

Comentar como conceito de causalidade tem que ser encarado em TRR;

Compreender como relógios inerciais inicialmente sincronos deixam de o ser quando em movimento relativo;

53

A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições

Compreender como relógios inerciais em movimento relativo não são sincronizáveis;

Compreender como problema de (de)sincronização afecta o modo como progressão de registos temporais é efectado - mais rápido ou lento.

uponhamos então um RI (observador) S que mede e regista dois eventos: 2 fontes de luz que se iluminam ao mesmo tempo em S mas com diferentes coordenadas

espaciais x1 e x2: E t x E t x1 0 1 2 0 20 0 0 0 ( , , , ); ( , , , ) .SPara observador em RI S', movendo-se com respeito a S com velocidade u ao longo do eixo dos xx, mediria uma diferença entre os instantes que luz se acende devido à equação (1.37d)! I.e.,

t tx x u c

uc

1 22 1

2

2

21

( )(1.49)

De acordo com observador inercial em S', se x x1 2 então os dois eventos não ocorrem ao mesmo tempo em S’. I.e., eventos que ocorrem simultaneamente num RI S não o são em outro RI que se move com velocidade relativa com respeito ao anterior: Não é possivel dois acontecimentos simultâneos mas que ocorram em pontos espacialmente diferentes, também serem simultâneos noutro referencial em movimento. Note-se ainda que:

Se x1 < x2 isso implica que t’1 > t’2 com u > 0. Se referencial S' tiver velocidade -u então conclui-se que t’1 < t’2.

Comentário: Como veremos adiante, a expressão (1.49) quantitativamente mede o afastamento de simultaniedade. Utilizar-se-à para determinar quanto afastado de sincronia estão relógios inerciais (e.g., construidos conceptualmente com raios de luz). A Eq. (1.44) dá pois uma indicação de ``erro'' ou desvio de sincronização.

Comentário: Não faz sentido questionar qual observador está ``correcto’’. O Principio da Relatividade estabelece que todos RI são equivalentes. Tal como não há movimento absoluto, também não há simultaniedade absoluta. Cada observador está correcto, ao definir e estabelecer operacional-mente medidas de vários obser-váveis no seu referencial.

54

Paulo Vargas Moniz

A situação é simétrica: se começarmos por considerar eventos em S' e os quisermos analisar no contexto de S, obtemos conclusões equivalentes.

endo então a simultaniedade um conceito não absoluto em TRR, intuitivamente isso leva a concluir que medições de instantes (ou intervalos de tempo) entre RI

em movimento relativo não podem permanecer sincronizados. Operacionalmente esta conclusão pode ser caracterizada de forma rigorosa como faremos de seguida. Essencialmente, é uma conclusão de que o tempo já não ser absoluto, facto que iremos também aprofundar em lições posteriores.

S

O conceito de simultaniedade absoluta de mecânica Newtoniana tem que ser abandonado em TRR. Analisemos então este assunto e as suas consequências em maior detalhe mas directamente dos Postulados de A. Einstein. Tal atitude ir-nos-à permitir sondar em profundidade a estrutura conceptual e física que implica a TRR.

Consideremos então a seguinte experiencia conceptual.

Um comboio move-se (com o qual um RI S' esta associado) com velocidade constante V com respeito a um laboratorio na Terra com o qual se associa um RI S. F', R', M' são observadores no comboio, que representam a frente, rectaguarda e meio do comboio. Num determinado instante t1', M' emite um flash ou impulso de luz (evento E1). E2 e E3 correspondem à chegada da luz à frente e rectaguarda, num tempo t2' e t3'. Estando F' e R' igualmente distanciados de M' e luz deslocando-se à mesma velocidade, então t2' = t3'. I.e., eventos E2 e E3 são simultâneos.

55

A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições

Mas como é observador(es) no RI de laboratorio constata(m) esta sequência de acontecimentos?

Observador M regista comboio em movimento e nota emissão de luz como evento E1

em t1, estando ponto M também situado a meio do comboio mas em RI S. Como o comboio está a mover-se, a luz está também em transito para a rectaguarda, e observador R testemunhá chegada em t2, como evento E2. O observador F testemunhá chegada de luz em t3, como E3. Das condições do problema, temos que MR < MF. Mas o segundo postulado determina que ambos os flashes, chegando a R e F, viajam à mesma velocidade, c. Assim, o flash que chega a R (evento E2) tem que estar num instante anterior ao que quando luz chega a F (E3): t2 < t3. I.e., no RI de laboratorio E2

e E3 não são simultâneos.

Esta é uma das implicações conceptuais mais profundas da TRR: a mudança acerca de como a natureza do tempo é apercebida.

Em particular, se M' estivesse colocado ao invés numa distância um pouco adiante do ponto médio onde luz foi atràs emitida, o flash de luz agora movendo-se para a frente do comboio deslocar-se-ia uma distancia menor e chegaria mais cedo no que respeita a observador no comboio. Mas poderá acontecer (se desvio de M' for suficientemente pequeno) que observador no laboratorio veria luz dirigindo-se para rectaguarda chegar primeiro! A ordem de E2 e E3 poderia ser invertida em S e S'.

A detecção de simultaniedade é pois procedimento complicado:

Se dois eventos ocorrem simultaneamente numa mesma localização então um único observador pode registar ambos directamente: esses eventos são simultaneos em qualquer RI. Dois eventos ocorrendo ao mesmo tempo e nas mesmas cordenadas espaciais podem ser ençarados como partes de um mesmo único evento.

Mas se dois eventos ocorrem em diferentes localizações num determinado RI, não há algum observador nesse determinado RI que testemunhe directamente ambos ocorrendo juntos.

Determinação de simultaniedade requer dois (!) observadores, cada um na localização dos eventos e registando os registos de relógio no local dos eventos -

Comentário: O seguinte deve ser igualmente referido acerca da noção de causalidade.

Se a ordem de eventos pode ser invertida, isso poderia traduzir-se em consequências importantes do ponto de vista de causalidade, i.e., relação causa-efeito. Mas TRR é perfeitamente consistente com Principio de Causalidade. Se dois eventos estão causalmente relacionados num RI, a causa precede o efeito em qualquer outro RI.

A esse propósito, note-se que E2 e E3 não estão causalmente relacionados na experiencia conceptual apresentada atràs.

56

Paulo Vargas Moniz

relembre-se a definição operacional de RI na lição 1. Uma comparação subsequente (se relógiosestiverem e se mantiverem sincronizados) pode então determinar simultaniedade (ou não) se os registos coincidem.

O aspecto essencial e fundamental em TRR é que a determinação de simultaniedade à distancia requer inferência, ao invés de simples observacões sensoriais.

Em particular, se observadores pertencentes a diferentes RI registam os tempos de dois mesmos eventos nos seus diferentes relógios (separados), os registos de relógio serão desiguais.

A simultaneidade absoluta é pois abandonada no caso de eventos espacialmente separados - é uma inferência operacional em vez de observações sensoriais estendidas a conclusões. Facto que é substancialmente mais pertinente ainda quando velocidade relativa de observadores é v ~ c. Simultaniedade só pode manter-se num dado RI e nem assim é absoluta - não faz sentido inquirir se dois acontecimentos são ``realmente’’ simultâneos. Observador S vê pois eventos simultâneos, enquanto outro RI vê-os separados no tempo. Mais ainda, não há modo operacional de responder esta questão. É consequencia do 2o Postulado de Einstein e e parte integrante da TRR.

esta analise extrai-se que TRR trata tempo e espaço numa base muito mais simétrica (de facto, equações da teoria não mudam quando se troca espaço com

tempo - quanto muito surgem alguns sinais ``+’’ ou ``-’’. Daí as afirmações:D

(i) Eventos que ocorrem no mesmo local (i.e., coincidentes) mas a instantes de tempo diferentes para um observador num dado RI, ocorrerão em localizações diferentes (i.e., não coincidentes) com respeito a observador (RI) movendo-se relativamente ao primeiro.

Exemplo é o de bola atirada verticalmente para cima dentro de um comboio em movimento, caindo na mesma localização e mais tarde, de acordo com observador no comboio. Observador no laboratorio vê bola seguir trajectória parabólica e cair à frente.

(ii) Eventos que ocorrem no mesmo instante mas em localizações diferentes de acordo com um determinado observador (RI), ocorrerão em instantes de tempo diferentes com respeito a observador (RI) movendo-se relativamente ao primeiro.

Um exemplo é o de atràs com o comboio e flashes de luz emitidos em M e M´.

m aspecto importante (e já referido) na analise de TRR é o conceito de sincronização de relógios. E como veremos, tal possui um papel fundamental

em como obter conclusões no que concerna o progresso de tempo acerca de RI em movimento relativo. Em particular, relógios têm que estar propriamente sincronizados de forma a avaliar acerca da simultaniedade de acontecimentos em localizações separadas: Leituras de relógio em cada evento tem que ser feita no local onde evento ocorre; igualdade de registos através de comparação determinará a simultaniedade (ou não).

U

57

A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições

Mas como sincronizar relógios? Podemos simplesmente dizer que dois relógios estão sincronos se os registos desses relógios são simultâneos? Mas isto e' um argumento “circular” ou também dito de “ciclo viciado” -- se simultaniedade é definida (operacionalmente) em termos de registos ou leituras de relógios, como pode simultaniedade de registos ou leituras de relógios ser então verificada?

Tome-se então 2 propostas:

Proposta A: Sincronizar relógios enquanto estes estão juntos (idealmente ``coincidentes’’). Então movem-se e deslocam-se, separando-se lentamente. Mas e se movimento afecta a sincronização? Este procedimento não é satisfatório.

Proposta B: Tome-se dois relógios identicos A e B que inicialmente estão no mesmo local e marcam “zero”. Estes são então separados por distancia L. O tempo de viagem entre relógios para a luz é de L/c. Se A emite sinal quando regista t0 no seu relógio, e sinal chega a B quando o seu relógio lê t0+L/c, então A e B estão sincronizados;

variante B1: Um observador M, a meio de A e B, recebe sinais simultâneos de A e B quando cada relógio A e B regista t0 e estes dizem-se sincronos. Por outras palavras (definindo operacionalmente sincronização num dado RI) 2 relógios inerciais num mesmo RI dizem-se sincronos se o intervalo de tempo registado pelos relógios para um sinal luminoso viajar entre eles é igual à sua separação espacial dividido pelo valor da velocidade da luz c.

variante B2: Observador A envia sinal luminoso a B (e regista a leitura do seu relógio) - evento E1. Quando sinal chega a B, este faz funcionar uma camâra de TV, ligada ao relógio de B. A imagem é enviada (a uma velocidade c) para A, que regista a leitura do seu relógio e nota a imagem de TV enviada. Se há

sincronização entre A e B, a leitura de relógio de B tem que ser exactamente a meio entre o registo inicial de A e a leitura final. Se não for, então A pode reajsutar o seu relógio de acordo a ter sincronia.

as e se relógio B se continuar a mover por exemplo relativamente a A? Pode

sincronia ser assim estabelecida? Sim ou não? Como e porquê?

M Comentário: Se relógio A está sincrono com B e B está sincrono com C, então C está sincrono com A, e por assim adiante para quaisquer relógios sincronos. Todos os relógios presentes num RI tem que estar sincronos um com outro.

58

Paulo Vargas Moniz

Vamos analisar processo de sincronização do ponto de vista do observador inercial A . B move-se para a sua direita. Um sinal de luz é enviado de A (evento E1) e outro sinal de luz é recebido depois em A (evento E3), enviado de B. Ambos os sinais viajam distancias iguais e assim têm igual tempo de viagem. A leitura de relógio de B para E2

(quando um sinal é recebido e outro imediatamente enviado) deve ser precisamente a meio entre leituras de E1 e E3.

Mas a mesma sequência de eventos no RI de B leva a conclusões diferentes.

A move-se para a sua esquerda e o sinal de resposta para A viaja uma distancia maior, i.e., tem um tempo de trânsito maior. Se relógios A e B eram sincronos, então registo por B de E2 tem que ser menor que o era a meio entre as leituras (em A!) de E1 e E3. No entanto esta conclusão não pode ser aceitável no contexto de TRR.

Porquê? Bem, porque em TRR não podemos distinguir se A ou B estão em movimento, i.e., qual se move e qual está em repouso - qualquer resultado só poderá depender da sua velocidade relativa. Se critério de sincronização é diferente de acordo com movimento sendo associado a A ou B, tal entra em conflicto com TRR. Assim, TRR implica forçosamente que relógios em movimento relativo não podem ser e permanecer sincronizados. Apenas relógios inerciais feitos sincronos num mesmo RI permanecem em sincronia.

59

A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições

s consequencias da TRR na forma dos postulados de Einstein assumem

contornos ainda mais surpreendentes no que diz respeito à comparação (i.e., o seu progresso e registo de tempo) entre relógios em movimento relativo. Analisemos então a progressão (relativa) de relógios em TRR.

A

Tomemos então 2 conjuntos de observadores - um no RI de laboratorio (em Terra) e outro em comboio em movimento, em que cada conjunto tem os relógios do seu RI respectivo sincronizados. Vejamos como é que observadores no comboio vão verificar (e operacionalmente inferir) sobre sincronização e relógios no laboratório de Terra.

Os observadores no laboratorio emitem sinais de luz em A e B, quando relógios (sincronos) em laboratorio registam 5:00 em A e B: eventos E1 e E2. Nesse dado instante (e do ponto de vista de conjunto de observadores de laboratorio) passa o comboio em que frente e rectaguarda coincidem com A e B respectivamente. Os pulsos ou flashes de luz encontram-se depois, a meio caminho entre A e B - acontecimento E3, registado no conjunto de laboratorio a 5:15. E comboio move-se enquanto luz está em trânsito - assim flashes de luz encontram-se na metade perto da rectaguarda do comboio.

Qual é então o ponto de vista do conjunto de observadores no comboio?

Uma primeira conclusão é que relógios de RI de laboratorio não podem estar sincronizados. Porquê? O conjunto de observadores no comboio analisa relógios de laboratorio da seguinte forma. Num dado instante de tempo (determinado no RI do comboio!) um observador no comboio vê e regista valor de relógio em A. No mesmo instante outro observador no comboio vê e regista valor do relógio em B. Se esses observadores no comboio comparam e afirmam que registos de 2 relógios são o mesmo, então conjunto de observadores no comboio confirma sincronização de relógios A e B do ponto de vista do comboio. Mas isso não pode ser possivel em face do que foi estabelecido (a partir dos postulados de Einstein). Eventos E1 e E2 são simultâneos no RI de laboratorio mas estão espacialmente afastados. Assim, não podem ser simultâneos noutro RI. Se relógio A lê 5:00, então relógio em B (no

Comentário: A razão para o facto que TRR implica forçosamente que relógios em movimento não podem ser sincronizados é que relógios em movimento relativo processam tempo a taxas diferentes de evolução ou passagem! Ainda que se sincronos num dado instante, relógios não se manterão sincronos - veremos isso brevemente a seguir.

60

Paulo Vargas Moniz

contexto de TRR para conjunto de observadores no comboio) tem que ter leituras ou registos diferentes.

Numa configuração alternativa, seja um RI S e outro S´, que se move na direcção negativa do eixo dos xx. Entre dois pontos A´ e B´ em S´, num ponto médio M´ emite-se um simal luminoso que se propaga para A´ e B´. Suponhamos que existem relógios sincronos em A´ e B´, colocados a “zero”, e o impulso luminoso chega de M´ ao mesmo tempo em S´, e relógios iniciam então funcionamento. Mas em S, esta situação é registada de forma diferente: luz move-se para A´, aproximando-se, enquanto ao mover-se para B´, este se afasta. Assim, S verificará que luz chega primeiro a A´ e só depois a B´. Os relógios em S´, do ponto de vista de S, não estão sincronos e relógios em S´ que se situam atràs (na direcção do movimento) como é o caso de A´ está adiantado em relação ao de B´.

nalisemos em maior detalhe estes 3 eventos do ponto de vista do contexto de observadores de comboio.A

Já determinámos que quando A lê 5:00, B não está sincrono com ele (de acordo com RI de comboio). I.e., o evento E2 tem que ocorrer (para o comboio) com um valor diferente de tempo. De facto, se E1 e E2 fossem simultâneos no comboio (i.e., emissão de luz por relógios em A e B), então da invariancia de velocidade da luz, esta teria viajado de forma a encontar-se a exactamente em metade do comboio. Daqui podemos então mais concluir que esses impulsos de luz no RI de comboio não se encontrarão a meio da carruagem. Impulsos ou flashes de luz devem assim encontrar-se na parte da rectaguarda, para que ambos os conjuntos de observadores concordem qualitativamente (ainda que quantitativamente os seus registos de comprimentos ou distâncias seja diferente1 [ver lição 8]).

1 Tal diferença quantitativa é devida à contração de comprimentos em TRR, registado em RI com movimento relativo. No entanto essa contração não tem qualquer efeito na análise se relógios estão em sincronia ou não. Um ponto médio entre A e B permanece intermédio também do ponto de vista do comboio.

61

A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições

Assim, como luz da rectaguarda percorre uma distancia menor isso implica que instante de emissão (para conjunto no comboio) de E2 tem que ser depois do evento E1 comparado com A (para conjunto no comboio):

Evento E2 ocorre mais tarde que E1, do ponto de vista do referencial do comboio;

O relógio B marcará 5:00 não quando A o marca, mas algum tempo depois com respeito a A (do ponto de vista de RI de comboio). Além disso,

Quando B lê 5:00, já A se deslocou e marca instante de tempo maior que 5:00 (e.g., 5:10).

Básicamente, confirma-se que para conjunto de observadores no comboio, relógios no laboratorio não estão sincronizados. Mas deduzimos outro aspecto fundamental: Se um conjunto de relógios está sincrono num RI onde estão em repouso e são examinados por outro RI (em movimento relativo), os relógios não são encontrados sincronos e relógios que ficam para tràs na direcção do movimento marcam tempo posterior aos da frente - no nosso exemplo, relógio em A está a correr à frente do em B.

Se observadores no laboratorio forem verificar se os relógios no comboio estão sincronos, eles chegariam igualmente a conclusões equivalentes: relógios no comboio não estão sincronizados e relógios na rectaguarda de comboio estariam à frente de relógio na frente do comboio. De acordo com primeiro postulado de Einstein cada conjunto de observadores tem que chegar às mesmas conclusões acerca um do outro.

62

Paulo Vargas Moniz

Estas conclu-sões estão su-mariadas nas figuras juntas.

A primeira representa a observação ou registo de reló-gios no labo-ratório e comboio do ponto de vista do comboio: todos os relógios do comboio estão sincronos mas em termos de progresso A está à frente de B, e assim subsequentemente. A figura seguinte é similar e o ponto de vista é o de laboratorio (com relógios sincronos). Básicamente, representam simplesmente a relatividade da simultaniedade: registos PQR de relógios são simultâneos no comboio na primeira figura, e similarmente os registos dos relógios de laboratorio na segunda (CBA) são acon-tecimentos simultâneos.

não sincronia de relógios em TRR é um pilar fundamental, tal que para relógios em movimento, aqueles que estejam para tràs ao longo da direccção do

movimento estão à frente nos seus registos ou leituras! ANo entanto é crucial referir que a questão da sincronia se refere unicamente a como relógios inerciais são registados num determinado instante particular. A questão subsequente é estabelecer uma taxa quantitativa para o progresso de um relógio

Comentários:

(i) Note-se que em (a) e (b) o relógio B está opostamente situado junto de Q, com os mesmos registos em (a) e (b). I.e., estamos a assumir que ambos os relógios B e Q estão na mesma localização e os registos são considerados o mesmo acontecimento: I.e., a afirmação que registo de B é 10:00 e Q é 8:00 será o mesmo em qualquer RI.

Mas se perguntarmos que registo tem A quando Q lê 10:00, isto é equivalente a inquirir que acontecimento envolvendo A é simultâneo com outro acontecimento a que corresponde Q lendo 10:00? Só que A e Q são acontecimentos espacialmente separados e assim respostas em dois RI devem diferir.

(ii) Note-se que propositadamente se associou C com M e não com P, nas figuras (a) e (b). A razão física (como veremos na lição 8) é que se dá uma contracção dos comprimentos e o relógio P está algures entre Q e M: distancia entre relógios em movimento contrai-se.

63

A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições

inercial com respeito a um outro. I.e., se relógio em movimento se atras (por exemplo) relativamente a relógio em repouso, de quanto é esse atraso?

Esse é o propósito da próxima lição. Nela iremos verificar que relógios em movimento progridem mais lentamente e quantitativamente determinar isso no efeito de dilatação dos tempos. Note-se no entanto o seguinte:

Embora do ponto de vista de comboio (em movimento) os relógios no laboratório (em repouso) progridem mais lentamente (como veremos), este efeito não tem consequências na análise da sincronia. O efeito de dilatação do tempo afecta todos os relógios no laboratório igualmente. Em particular, os efeitos de dilatação do tempo estão quantitativamente presentes no desvio particular de sincronia para cada relógio.

Refira-se também que o desvio de sincronia (ou quanto relógios em movimento estão à frente de outros nos registos) vai depender da posição de relógios. O desvio é tanto maior quanto maior fôr a separação de relógios em movimento.

64