Libro de matemática basica

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

1


2

Prefacio

El presente texto desarrolla el curso de matemática básica, teniendo en cuenta los

requerimientos temáticos que deben ser de conocimiento por los

alumnos de las diferentes especialidades.

Comprende temas en sus aspectos teórico y práctico, para lo

cual se han desarrollado los contenidos con sus respectivos

ejemplos de reforzamiento. Los alumnos al desarrollar

este curso estarán aplicando su razonamiento lógico

en el momento de solucionar problemas y realizar la

comunicación matemática necesaria.

Comprende cuatro Unidades de Aprendizaje:

Unidad I: Teoría De Conjuntos

Unidad II: Conjunto De Los Números Reales

Unidad III: Expresiones Algebraicas Y Polinomios

Unidad IV: Ecuaciones e Inecuaciones


3

Estructura de los Contenidos

La competencia que el estudiante debe lograr al final de la asignatura es:

“Identificar conjuntos y los elementos que lo

componen, realizar operaciones con números

reales expresando resultados a través de

intervalos, expresar el conjunto solución de

ecuaciones e inecuaciones, demostrando en todo

momento seguridad en sus procedimientos”.

Teoría de Conjuntos

Conjunto De Los Números

Reales

Expresiones Algebraicas y

Polinomios

Ecuaciones E Inecuaciones

Idea y

Determinación de

Conjuntos

Operaciones con

Conjuntos

Producto

Cartesiano

Relaciones

Los Números

Reales y sus

Axiomas

Intervalos

Operaciones

con Intervalos

Sistema de

Ecuaciones

Lineales con

Dos Variables

Expresiones

Algebraicas:

Polinomios

Leyes de

Exponentes

Factorización

Ecuaciones de

segundo grado o

cuadráticas

Inecuaciones de

segundo grado

e Inecuaciones

con Valor

Absoluto

Inecuaciones

Fraccionarias

Inecuaciones

con Radicales

Operaciones con

Polinomios y

Productos Notables


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Índice del Contenido

I. PREFACIO 02

II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS 03 – 169

UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: TEORIA DE CONJUNTOS 05-44

1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido

2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Idea y determinación de conjuntos. b. Tema 02: Operaciones con conjuntos. c. Tema 03: Producto Cartesiano. d. Tema 04: Relaciones.

3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen

06 06 06 06 06 06

07-38 07 18 27 32 39 39 42 44

UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES 45-75


2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Los Números reales y sus axiomas. b. Tema 02: Intervalos. c. Tema 03: Operaciones con intervalos. d. Tema 04: Sistema de ecuaciones lineales con dos variables.


46 46 46 46 46 46

47-70 47 52 58 63 71 71 73 75

UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS 76-131


2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Expresiones algebraicas: polinomios. b. Tema 02: Leyes de exponentes. c. Tema 03: Operaciones con polinomios y productos notables. d. Tema 04: Factorización.


77 77 77 77 77 77

78-127 78 89

100 117 128 128 129 131

UNIDAD DE APRENDIZAJE 4: ECUACIONES E INECUACIONES 132-165

1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido

2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. b. Tema 02: Inecuaciones de segundo grado e inecuaciones con valor absoluto. c. Tema 03: Inecuaciones fraccionarias. d. Tema 04: Inecuaciones con radicales.


133 133 133 133 133 133

134-161 134 140 150 156 162 162 164 165

III. GLOSARIO 166

IV. FUENTES DE INFORMACIÓN 168

V. SOLUCIONARIO 169


5


6

Introducción

a) Presentación y contextualización

La matemática como lenguaje se puede estructurar a partir de la Teoría de

Conjuntos. Los símbolos primitivos para armar expresiones matemáticas y

consecuentemente una red matemática, son los del modelo o Teoría de

Conjuntos cuyos entes, conectivos y puntuación se pueden presentar como

elementos y conjuntos. Por ello, aquí el alumno refuerza sus nociones básicas

sobre agrupación y operaciones entre conjuntos así como sus apreciaciones

críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.

b) Competencia

Identifica y determina conjuntos reconociendo sus elementos, así mismo

realiza operaciones para resolver situaciones problemáticas y representa

resultados en diagramas.

c) Capacidades

1. Identifica claramente la idea o noción de conjunto y determina conjuntos por

comprensión y extensión.

2. Realiza operaciones con conjuntos expresando resultados según sean los

casos de unión, intersección, diferencia o complemento

3. Identifica los elementos que componen un Producto Cartesiano y expresa

gráficamente sus resultados.

4. Expresa relaciones entre conjuntos siguiendo la regla de correspondencia que

se le da además de identificar el dominio y rango de las relaciones

d) Actitudes

Muestra perseverancia para el logro de su aprendizaje.

Valora los conocimientos que adquiere como parte de su formación profesional

y que además son de utilidad para resolver situaciones cotidianas.

Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de las tareas asignadas en el

desarrollo de los temas.

e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:

La Unidad de Aprendizaje 01: Teoría De Conjuntos, comprende el desarrollo de

los siguientes temas:

TEMA 01: Idea y Determinación de Conjuntos

TEMA 02: Operaciones con Conjuntos

TEMA 03: Producto Cartesiano

TEMA 04: Relaciones


7

TEMA 1

Identifica claramente la idea o noción de conjunto y determina conjuntos por comprensión y extensión.

Competencia:

y

Determinación Conjuntos

Idea

de

http://images.google.com.pe/imgres?imgurl=http://www.u-telesup.com/file.php/1/img/logo_circular_11.jpg&imgrefurl=http://www.u-telesup.com/&usg=__IZ_CCta55cSHkx6FUZKOmCOnhXA=&h=350&w=350&sz=47&hl=es&start=9&tbnid=CpAg0PRBS42UjM:&tbnh=120&tbnw=120&prev=/images?q=telesup&gbv=2&hl=es&sa=G


8

Desarrollo de los Temas

Tema 01: Idea y Determinación de Conjuntos

La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas

que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos.

El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el

matemático alemán Georg Cantor, GottlobFrege y Julius

Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde

reformulada por Zermelo.

1) IDEA Y DETERMINACIÓN DE CONJUNTO:

En matemática utilizaremos la idea de conjunto con el mismo significado

que se le da en la vida diaria, es decir, un conjunto es una colección,

agrupación o reunión de objetos llamados ELEMENTOS y que pueden ser

determinados ya sea POR EXTENSIÓN o por COMPRENSIÓN.

Generalmente designaremos los conjuntos con letras mayúsculas de

imprenta y anotaremos sus elementos entre llaves.

Diremos que un conjunto está definido por extensión si enumeramos

todos los elementos que lo forman.

Un conjunto está definido por comprensión si establecemos una

propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto y sólo a

ellos.

Ejemplo:

El conjunto de las notas musicales se escribe:

Por extensión: A = {do, re, mi, fa, sol, la, si}.

Por comprensión: A = {x / x es nota musical}.


9

Observación: “x / x” se lee “x tal que x”.

Por otra parte, un conjunto se puede representar gráficamente mediante

diagramas de Venn; éstos son curvas o polígonos cerrados, dentro de los

cuales se indican mediante puntos los elementos que pertenecen al conjunto.

En el ejemplo:

Un conjunto está bien definido si se puede establecer sin dudar si un elemento

pertenece o no al conjunto.

Si consideramos el siguiente conjunto: M = {x / x es mes del año} ¿M está

bien definido? Si es así, ¿cuáles son sus elementos?

Solución:

M sí está bien definido porque es fácil identificar sus elementos.

M = {enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, setiembre,

octubre, noviembre, diciembre}

Si consideramos el siguiente conjunto: M = {x / x es alto} ¿M está bien

definido? ¿Por qué?

Solución:

M no está bien definido porque no es fácil identificar sus elementos.

Si consideramos el siguiente conjunto: S = {a, e, i, o, u} podemos decir,

por ejemplo:

que a pertenece al conjunto S. En símbolos: aS.

que b no pertenece a S. En símbolos: bS.

do

re mi

fa

sol la

si

A

DIAGRAMA DE VENN


10

Observación:

Cardinal De Un Conjunto: es el número natural que indica la cantidad de

elementos que tiene un conjunto.

Así: A={ x/x Z, -2 < x ≤ 3}

Entonces el conjunto A por extensión será:

A = {-1; 0; 1; 2; 3}

El cardinal de A será entonces:

Card. (A) = n(A) = 5

ACTIVIDAD Escribir por extensión los siguientes conjuntos y representarlos mediante

diagramas de Venn.

1) A = {x / x es un número entero positivo de dos cifras iguales}

Solución:

A={11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99}

2) B = {x / x es un número entero positivo de dos cifras que suman 6}

Solución:

B= {15; 24; 33; 42; 51; 60}

3) Responder: ¿555 A? ¿–33 B? ¿33 A? ¿33 B? ¿45 B? ¿Por qué?

Solución:

555 A ( F ) porque A está conformado por números de dos cifras.

–33 B ( F ) porque B está conformado por números enteros positivos.

33 A ( V ) porque cumple con la característica del conjunto A.

33 B ( V ) porque cumple con la característica del conjunto B.

45 B ( F ) porque la suma de las cifras no es 6.


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CUANTIFICADORES: En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general,

los cuantificadores son símbolos utilizados para

indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen

con cierta propiedad. Existen muchos tipos de

cuantificadores, pero quizás los más estudiados y

utilizados sean:

Cuantificador universal

Para todo x, y...

Cuantificador existencial

Existe al menos un x, y...

Cuantificador existencial único

Existe exactamente un x, y...

Negación del cuantificador existencial

No existe ningún x, y...

2) CONJUNTOS ESPECIALES:

A) Universo o Conjunto Universal

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia

recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema

que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S

(espacio muestral ).


12

Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U={ 1, 2, 3, 4, 5 }

Forma alternativa para indicar conjuntos de

gran importancia:

Conjunto de números naturales (enteros mayores o iguales que cero)

representados por la letra N donde

N={ 0, 1, 2, 3, .... }

Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la

letra Z donde

Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Conjunto de números racionales (números que se representan como el

cociente de dos números enteros {fracciones}). Estos números se

representan por una Q

Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse

como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.

Conjunto de los números reales que son los números racionales e

irracionales es decir todos, representados por R.

Ejemplos:

1) Denotar el Conjunto Universal conformado por

los números naturales menores que 60.

U = { x/x N ; x<60 }

2) Ahora si se desea trabajar con conjuntos que

manejen intervalos estos pueden ser

representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se

desea expresar el Conjunto Universal conformado por los números enteros

(Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:

U = { x/x Z ; -20 < x < 30 }


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B) Conjunto Infinito:

En teoría de conjuntos, un conjunto infinito

es cualquier conjunto que no pueda ponerse

en bisección con ningún número natural. Es

decir que no se puede contar sus elementos

o saber la cardinalidad del conjunto.

Ejemplo:

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito

C) Conjunto Finito:

Conjunto finito es un conjunto que tiene un

número finito de elementos Por

ejemplo es un conjunto

finito con cinco elementos. La cardinalidad o

número de elementos de un conjunto finito

es igual a un número natural. Todo conjunto

finito es un conjunto numerable. Si un

conjunto no es finito, entonces es infinito.

D) Conjunto Vacío:

El conjunto vacío es el único conjunto que no contiene elementos.

El conjunto vacío es denotado por cualquiera de estos símbolos:

derivada de la letra Ø (introducida especialmente por André Weil) en 1939.

Otra notación común para el conjunto vacío es:

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%98

http://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9_Weil


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Propiedades

Para todo conjunto A, el conjunto vacío

es subconjunto de A:

Para todo conjunto A, la unión de A con el

conjunto vacío es A:

Para todo conjunto A, la intersección de A con el

conjunto vacío resulta el conjunto vacío:

Para todo conjunto A, el producto cartesiano de A y el conjunto vacío es vacío:

El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo, el conjunto vacío:

El número de elementos del conjunto vacío (es decir, su número

cardinal) es cero, que se puede expresar:

3) RELACIONES ENTRE CONJUNTOS:

a) Inclusión:

Definición: Un conjunto A está incluido en otro

B si y sólo si todo elemento que pertenece a A,

pertenece también a B. En símbolos:

A ⊂ 𝐵 ⇔ ∀ 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵

Observaciones:

A B se lee “A está incluido en B”

se lee “si y solamente si”

x se lee “para todo x”

se lee “entonces”


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Ejemplo:

Sea A = {8, 20, 4, 10} y B = {20, 4}:

Decimos que B A ya que todo elemento de B está en A.

Gráficamente:

b) Igualdad:

Definición: Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A B y B A, es

decir, dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. En

símbolos:

A = B A ⊂ B y B ⊂ A

Actividad:

Sean: R = {x / x es una letra de la palabra RECITAL}

C = {x / x es una letra de la palabra CITA}

L = {x / x es una letra de la palabra LA}

A = {x / x es una letra de la palabra ALA}

Definir los conjuntos por extensión, graficarlos y decir qué inclusiones y qué

igualdades se verifican.

Solución:

Los conjuntos por extensión:

R={r, e, c, i, t, a, l}

C={c, i, t, a}

L={l, a}

A={a, l}

Gráficamente:

R

C

A

L

. c . i

. t

. a

. r

. e

. l

8 20 4

10

A B


16

Solución:

El conjunto A está formado por “x” tal que x = 2n - 1; además: x > 17

Los “n” son números naturales, recordemos que:

N= {0; 1; 2; 3; 4; 5;…….}

Para hallar el conjunto A, tendremos que encontrar los x = 2n – 1

Se puede verificar:

C R ( C está contenido en R)

A R (A está contenido en R)

L R (L está contenido en R)

A = L (A es igual a L)

Notemos que el conjunto vacío está incluido en

cualquier conjunto.

En símbolos: A, A conjunto.

¿Existe alguna relación de inclusión entre un conjunto A consigo mismo?

¿Por qué?

Si hay inclusión de un conjunto consigo mismo porque todo conjunto está

incluido o contenido en sí mismo.

.

Aplicaciones Prácticas:

1) Dar por extensión el conjunto A:

1712 xNnnxxA

Así tenemos:

X = 2 (0) – 1 = -1 A

X = 2 (1) – 1 = 1 A..

X = 2(9) – 1 = 17 A..

X = 2(10)- 1 = 19 A..

X = 2(11) – 1 = 21 A..

Rpta: A = {19; 21; 23; 25; 27; …}


17

2) Halla el valor de “x” para que estos conjuntos sean unitarios:

9;12

xZ ;

6;3

2xP

Solución:

Se sabe que un conjunto unitario sólo tiene un elemento,

entonces vamos a igualar los elementos:

En Z: En P:

20

102

912

x

x

x

6

182

63

2

x

x

x

3) ¿El conjunto A = {x2 + 3 / x N 0 < x < 5} y el

conjunto

B = {x - 3 / x N 7 ≤ x < 15} son iguales}

Solución:

A = {4; 7; 12; 19} ; B= {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}

Luego: A ≠ B


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TEMA 2

Realiza operaciones con conjuntos expresando resultados según sean los casos de unión, intersección, diferencia o complemento.

Competencia:

Conjuntos con

Operaciones



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Completar según

corresponda:

A = cualquiera sea el

conjunto A.

A A = A cualquiera sea

el conjunto A.

Tema 02: Operaciones con Conjuntos

Dados dos conjuntos cualesquiera, podemos definir ciertas operaciones que nos

den como resultado otro conjunto. A continuación, veremos algunas de ellas:

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: Dados dos conjuntos A y B,

denominamos “A intersección B” al conjunto formado por todos los elementos

que pertenecen a A y a B al mismo tiempo. En símbolos:

A B = { x / x A x B }

Ejemplo:

Sea A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} y B = {4, 8, 12, 16, 20}.

Luego A B = {4, 8, 12}.

Gráficamente:

2 4

6

8

10

12

16

20

A B


20

Unión de Conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, denominamos “A unión B” al

conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B. En símbolos:

A B = { x / x A x B }

Ejemplo:

Si consideramos el ejemplo anterior: A B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20}

Gráficamente:

Completar los siguientes casos particulares:

A = A cualquiera sea el conjunto A.

A A = A cualquiera sea el conjunto A.

PROPIEDADES PARA LAS OPERACIONES DE UNIÓN E INTERSECCIÓN:

La Unión e Intersección también se conocen como operaciones Booleanas.

2 4

6 8

10

12

16

20 A B


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Diferencia De Conjuntos:

Sean a y b dos conjuntos. la diferencia de conjuntos A - B es:

Los elementos que pertenecen a la diferencia de conjuntos a − b son aquellos

elementos que pertenecen a a y no pertenecen a b.

Ejemplos

o Si dados los conjuntos:

La diferencia de conjuntos A - B es:

o Si:

Entonces:

y

Complemento de conjuntos:

Cuando estudiamos algo en matemática, trabajamos todo

el tiempo con los elementos de un conjunto U al que

llamamos universal o referencial. Si tomamos un

conjunto A ⊂ U, denominamos “complemento de A”, y

notamos A’, al conjunto formado por todos los elementos de

U que no pertenecen a A.

U A B

a b

c d


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En símbolos:

A’ = { x / x U x A }

Ejemplo:

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {3, 6, 9}.

Luego A’ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}.

Gráficamente:

APLICACIONES PRÁCTICAS:

1) Dados los conjuntos:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, P = {1, 2, 3, 4, 5}, Q = {1, 2, 4, 5} y R = {3, 4, 5}

Hallar:

a) (Q ∪ R)

b) (P ∩ Q)

c) (Q’)

d) (P - Q)’

a) (Q ∪ R)

Solución:

(Q ∪ R) = {x/x ∈ Q o x ∈ R}

= {l, 2, 4, 5} ∪ {3, 4, 5}

= {l, 2, 3, 4, 5}

= P

3

4

5 2

7

9 8

6

1

A

U


23

b) (P ∩ Q)

Solución:

(P ∩ Q) = {x/x ∈ P y x ∈ Q}

= {l, 2, 3, 4, 5} ∩ {l, 2, 4, 5}

= {1, 2, 4, 5}

= Q

c) Q’

Solución:

El conjunto Q’ consiste en los elementos que están

en U pero no en Q.

Q’ = {x/x ∈ U ∧ x ∉ Q}

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Q = {1, 2, 4, 5}

Q’ = {3, 6}

d) (P - Q)’

Solución:

P - Q = {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 2, 4, 5}

P - Q = {3}

(P-Q)’= {1, 2, 4, 5, 6}

2) Una compañía tiene 350 empleados de los cuales 160 obtuvieron un

aumento de salario, 100 fueron promovidos y 60 fueron promovidos y

obtuvieron un aumento de salario.

a) ¿Cuántos empleados obtuvieron un aumento pero no fueron

promovidos?

b) ¿Cuántos empleados fueron promovidos pero no obtuvieron un

aumento?

c) ¿Cuántos empleados no obtuvieron ni aumento de salarios ni fueron

promovidos?


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Solución:

De los datos que nos dan realizamos el diagrama de Venn, consideremos que el

conectivo “y” hace referencia a la intersección.

Respuestas:

a) 100 empleados

b) 40 empleados

c) 150 empleados

3) En una encuesta aplicada a 1000 empleados de un centro comercial sobre el tipo

de transporte que utilizan para ir de sus casas al trabajo se obtuvo la siguiente

información:

431 empleados utilizan metropolitano.

396 empleados utilizan taxi.

101 empleados utilizan metropolitano y combi pero no taxi.

176 empleados no utilizan ninguno de los tres medios considerados.

341 utilizan combi.

634 utilizan metropolitano o combi.

201 utilizan sólo metropolitano.

a) ¿Cuántos empleados utilizan metropolitano o combi pero no taxi?

b) ¿Cuántos empleados utilizan sólo uno de los tres medios de transporte

mencionados?

c) ¿Cuántos empleados utilizan sólo combi?

d) ¿Cuántos empleados utilizan metropolitano, combi y taxi?

U=350 Aumento De salario = 160

Promovidos=100

60 100 40

150

100 – 60 = 40 160 – 60 = 100

350 – (100 + 60 + 40)


25

Solución:

Debemos tener en cuenta que el conectivo “o” hace referencia a la Unión.

634 utilizan metropolitano o combi: 201 + (101 + a + b + e) + d = 634

201 + 341 + d = 634

d = 92

431 empleados utilizan metropolitano: 201 + 101 + d + e = 431

201 + 101 + 92 + e = 431

e = 37

341 utilizan combi: 101 + e + a + b = 341

101 + 37 + a + b = 341

a + b = 203

396 empleados utilizan taxi: (d + e) + b + c = 396

129 + b + c = 396

b + c = 267

Los que utilizan transporte son: 1000 – 176 = 824

Entonces: 201 + 101 + ( a + b ) + c + (d + e) = 824

201 + 101 + ( 203 ) + c + (129 ) = 824

C = 190

Ahora hallamos b : b + c = 267

b + 190 = 267

b = 77

Ahora hallamos a: a + b = 203

a + 77 = 203

d

e

c

Combi = 341

a

101 b

U=1000 Metropolitano = 431 Taxi=396

201

Ninguno176


26

a = 126

En el gráfico:

Respuesta:

a) (201 + 101 + 126) = 428 empleados utilizan metropolitano o combi pero no

taxi.

b) (201 + 190 + 126) = 517 empleados utilizan sólo uno de los tres medios de

transporte mencionados.

c) 126 empleados utilizan sólo combi.

d) 37 empleados utilizan metropolitano, combi y taxi.

190

37

126

101

201

U=1000

Metropolitano = 431 Taxi=396

Ninguno1

76 Combi = 341

77

92


27

TEMA 3

Identifica los elementos que componen un Producto Cartesiano y expresa gráficamente sus resultados.

Competencia:

Cartesiano

Producto



28

Tema 03: Producto Cartesiano

PAR ORDENADO:

Se llama par ordenado a un conjunto formado por dos elementos y un criterio de

ordenación que establece cuál es primer elemento y cuál el segundo.

Un par ordenado de componentes a, b se denota (a, b). En general en el par

ordenado: (a, b) a "a" se le llama primera componente o abscisa y a "b" se llama

segunda componente u ordenada.

Ejemplo:

Son pares ordenados: (3; 5) , (-2; 7), etc.

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS:

Los pares ordenados (a, b) y (c, d) diremos que son iguales si sus

correspondientes componentes son iguales, esto es:

(a, b) = (c, d) a = c b = d.

Ejemplo:

Determinar los valores x e y, si los siguientes pares ordenados son iguales:

(4, 2x-10) = (x-1, y+2)

Solución: teniendo en cuenta el concepto de igualdad de pares ordenados, se

tiene:

4 = x – 1 ; 2x – 10 = y + 2

5 = x 2(5) – 10 = y + 2

-2 = y

PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS:

Consideremos dos conjuntos A y B arbitrarios; llamaremos producto

cartesiano de A y B, al conjunto formado por todos los pares

ordenados (a, b) de tal manera que la primera componente “a”

pertenece al conjunto A y la segunda componente “b” pertenece

al conjunto B.


29

Así tenemos:

A X B = {(a, b) / a A b B}

Ejemplo 1:

Sean: A = {1; 3; 5} y B = {2; 4} . Hallar AXB e indicar su cardinal. Representarlo

gráficamente.

Solución:

A X B = {(1; 2), (1; 4), (3;2), (3; 4), (5; 2), (5; 4)}

Además el cardinal de AXB será:

Card. (AXB) = n(AXB) = n(A) X n(B) = 3 X 2 = 6

Representación Gráfica:

A) Diagrama de Árbol: B) Diagrama Cartesiano:

El Plano Cartesiano:

Ejemplo 2:

Sean los conjuntos A y

B. A={a, b, c} y

B={m, n, o}

El producto

cartesiano A x B estará definido como:

B A

1

3

5

2

4 2

4 2

4

(1;2)

(1;4) (3;2)

(3;4)

(5;2)

(5;4) A

B

1 3 5

2

4 A X B


30

AxB={(a, m), (a, n), (a, o), (b, m), (b, n), (b, o), (c, m), (c, n), (c, o)}

El producto cartesiano BxA estará definido como:

BxA={(m, a), (m, b), (m, c), (n, a), (n, b), (n, c), (o, a), (o, b), (o, c)}

Ejemplo: Representar en el plano cartesiano AxB:

Sean A = {x / x R 1 x 3 }, B = {x / x R2 x 2 }.

Solución:


31

Se debe tener en cuenta que los elementos de A y B son reales, por lo tanto en

el gráfico se tomarán en cuenta todos los puntos que corresponden a los

intervalos de valores para A y B.

La representación geométrica de A X B es:

A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los

puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR.

Propiedades Del Producto Cartesiano:

1) A X B ≠ B X A (está sujeto a los elementos de los conjuntos)

2) A x Ø = Ø x A = Ø

3) A X (B C) = A X B A X C

4) A X (B C) = A X B A X C

5) A X (B - C) = A X B - A X C

Ejemplo:

Se tiene los productos:


32

TEMA 4

Expresa relaciones entre conjuntos siguiendo la regla de correspondencia que se le da además de identificar el dominio y rango de las relaciones.

Competencia:

Relaciones



33

.

Tema 04: Relaciones

DEFINICIÓN:

Sean conjuntos no vacíos. Una relación binaria de A en B o relación entre

los elementos de A y B es todo subconjunto R del producto cartesiano , esto

es:

R es una relación de

Tal que:

R = {(x;y) A x B / p(x,y)}

Donde: p(x,y) es la REGLA DE CORRESPONDENCIA de la relación.

Si R es una relación y , decimos que está relacionada con b.

Ejemplo:

Dados los conjuntos: B={1; 3; 5} y C={2; 4; 6}

Hallar los elementos de las relaciones:

R1={(x;y) B X C / x + y = 7}

R2 ={(x;y) B X C / y = 6 }

Solución:

BXC ={(1;2), (1;4), (1;6), (3;2), (3;4), (3;6), (5;2),

(5;4), (5;6)}

Y las Relaciones R1 y R2 son:

R1={(1;6), (3;4), (5;2)}

R2={(1;6), (3;6), (5;6)}


34

a) Conjunto Solución

b) Dominio

c) Rango

d) Diagrama de Venn Euler

e) Diagrama de Coordenadas.

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN:

Dominio:

Rango:

Ejemplo:

1) Dados A = {2,3,4,5} y B = {4,6,9}, siendo , R : A —> B la relación tal

que "x + y 8” , determine:

Sea R una relación.

Definimos el dominio de R como el conjunto formado por las primeras

componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R y lo notamos D ( R )

o dom ( R ). Dicho conjunto lo representamos por comprensión así:

Sea R una relación.

Definimos el rango de R como el conjunto formado por

las segundas componentes de las parejas ordenadas

que pertenecen a R y lo notamos r ( R ) o ran ( R ).

Dicho conjunto lo representamos por comprensión así:


35

Solución:

a) El conjunto solución es

R = { ( x , y) A X B / x + y 8 } = { ( 2, 4 ) ( 2, 6 ) , ( 3, 4 ), ( 4, 4 ) } .

b) El dominio es Dom(R) = { 2, 3, 4 }

c) El rango es Ran(R) = { 4, 6 }

d) El diagrama de Venn – Euler (también llamado diagrama sagital o de flechas)

es:

A B

e) El Diagrama de Coordenadas es:

A

B

2 3 4 5

4

6

9

R


36

2) Siendo N el conjunto de los números Naturales, se define la siguiente

relación:

R={(x;y) N2 / x + y ≤ 4}

Hallar la relación R e indicar los elementos del dominio y rango.

Solución:

Tengamos en cuenta que: N x N = N2

Recordemos que el conjunto de los números Naturales es:

N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ………}

Usando la regla de correspondencia de la Relación: x

+ y ≤ 4 ; empezamos a dar valores naturales a “x” y

se puede hallar también los valores naturales de

“y” teniendo en cuanta que debe cumplir la Regla

de Correspondencia:

x + y ≤ 4

y ≤ 4 – x

Así tenemos: R={(0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0)}

Dom(R)={0; 1; 2; 3; 4}

Ran(R)={0; 1; 2; 3; 4}

3) Si: S={3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} y la relación R={(x,y) S x S / y es múltiplo

de x; x ≠ y} hallar la suma de todos los elementos del Dom(R)

Solución:

R={(3;6), (3;9), (4;8), (5;10)}

Dom(R)={3; 4; 5}

La suma pedida es: 3 + 4 + 5 = 12

x 0 1 2 3 4

y 4 3 2 1 0


37

4) Dado el universo U={1; 2; 3; 4} y las relaciones:

R1={(x;y) U2 / x = y}

R2={(x;y) U2 / x = 3}

R3={(x;y) U2 / x ≤ y}

Hallar: R3 – (R1 R2)

Solución:

R1={(1;1), (2;2), (3;3), (4;4)}

R2={(3;1), (3;2), (3;3), (3;4)}

R3={(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (2;2), (2;3), (2;4), (3;3), (3;4), (4;4)}

(R1 R2) = {(1;1), (2;2), (3;1),(3;3), (3;2), (3;4), (4;4)}

R3 – (R1 R2) = {(1;2), (1;3), (1;4), (2;3), (2;4)}

TIPOS DE RELACIONES:

Relación Reflexiva

R es una relación reflexiva en un conjunto A no vacío, si y sólo si cada elemento

de él está relacionado consigo mismo:

Ejemplo:

A = { 1 , 2 , 3 }

R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }

R es una relación Reflexiva porque todos los elementos de A están relacionados

consigo mismo.

Relación Simétrica

R es una relación simétrica en un conjunto A no vacío, si y sólo si cada par de

elementos de él satisface lo siguiente: a R b b R a

Ejemplo:

A = { 1 , 2 , 3 }

R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }

R es una relación simétrica porque para todo par (a; b) que pertenece a la

relación también se tiene el par (b; a) que pertenece a la relación.


38

Relación Antisimétrica R es una relación anti simétrica en un conjunto A no vacío, si y sólo si cada par

de elementos de él satisface lo siguiente: a R b b R a a = b

Ejemplo:

A = { 1 , 2 , 3 }

R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) }

R es una relación Anti simétrica porque para todo par (a; b) que pertenece a la

relación, no se tiene el par (b; a) en la relación.

Relación Transitiva

R es una relación transitiva en un conjunto A no vacío , si

y sólo si cada trío de elementos de él satisface lo

siguiente: a R b b R c a R c

Ejemplo:

A = { 1 , 2 , 3 }

R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , (

3 , 3 ) }

R es una relación Transitiva porque para todo par

(a; b) y (b; c) que pertenecen a la relación, también

el par (a; c) pertenece a la relación.


39

Ingresa al Link: “Teoría de conjuntos” lee atentamente las

indicaciones, desarrolla los ejercicios y envíalo por el mismo medio:

1) Expresar B por extensión: 132 xnnxxB

a) B={1; 3; 5; 7; 9; 11; 13……} b) B={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8…….} c) B={0; 2; 4; 6; 8; 10; 12} d) B={0; 2; 4; 6; 8; 10……} e) B={0; 3; 6; 9; 12……}

2) En una reunión se determina que 40 personas son aficionadas al juego, 39 son aficionadas al vino y 48 a las fiestas, además hay 10 personas que son aficionadas al vino, juego y fiestas, existen 9 personas aficionadas al juego y vino solamente, hay 11 personas que son aficionadas al juego solamente y por último nueve a las fiestas y el vino solamente.

Determinar:

I. El número de personas que es aficionada al vino solamente. II. El número de personas que es aficionada a las fiestas

solamente. a) 11 ; 19 b) 10 ; 19 c) 11 ; 10 d) 11 ; 29 e) 39 ; 48

Lecturas Recomendadas

CONJUNTOS

http://ccognoscitiva.iespana.es/rrr_conjuntos.pdf

RELACIONES http://www.itchetumal.edu.mx/paginasvar/Maestros/mduran/Archivos/Unidad%20

4%20Relaciones.pdf

TEORÍA CONJUNTOS http://vimeo.com/6608280

Actividades y Ejercicios


http://www.itchetumal.edu.mx/paginasvar/Maestros/mduran/Archivos/Unidad%204%20Relaciones.pdf


http://vimeo.com/6608280


40

3) Una encuesta realizada a 2000 hombres reveló lo siguiente respecto

a sus gustos por distintos tipos de mujeres:

800 preferían las rubias;

950 preferían las morenas;

750 preferían las colorinas;

150 preferían las rubias y morenas;

300 preferían las morenas y colorinas

250 preferían las rubias y colorinas

200 sólo morenas y colorinas

Determine el número de hombres que:

I. Preferían los tres tipos de mujeres encuestados.

II. No preferían estos tipos de mujeres.

a) 150 ; 100

b) 250 ; 100

c) 100 ; 100

d) 1900 ; 100

e) 100 ; 50

4) Sean A = {x / x ÎN 1 ≤ x < 4}, B = {x / x ÎR 1 ≤ x ≤ 3}.

Representar A x B en el plano cartesiano.

1

3

1 3

A

B

2

2

1

3

1 3

A

B

2

2

1

3

1 3

A

B

2

2

1

3

1 3

A

B

2

2

1

3

1 3

B

A

2

2


41

5) Sea R : N → N una relación definida por:

R = {(n, m)/n + 3m = 12; n, m ∈ N}

I. Exprese R como un conjunto de pares ordenados

II. Hallar Dom R y Ran R

a) R={(3;3) ; (6;2) ; (9;1) ; (12;0)}

D(R) = {3;6;9;12}

R(R) = {0;1;2;3;4}

b) R={(0;4) ; (3;3) ; (6;2) ; (9;1) ; (12;0)}

D(R) = {0;3;6;9;12}

R(R) = {0;1;2;3;4}

c) R={(0;4) ; (6;2) ; (9;1) ; (12;0)}

D(R) = {0;6;9;12}

R(R) = {0;1;2;3;4}

d) R={(0;4) ; (3;3) ; (6;2) ; (9;1) }

D(R) = {0;3;6;9}

R(R) = {0;1;2;3;4}

e) R={(0;4) ; (3;3) ; (6;2) ; (9;1) ; (12;0)}

D(R) = {0;3;6;9}

R(R) = {1;2;3;4}


42

Autoevaluaciones

Ingresa al Link: “Mi autoevaluación 1” lee atentamente las indicaciones,

desarrolla los ejercicios y envíalo por el mismo medio.

1) Hallar por extensión: nnxxC 5

a. ={0; 5; 10; 20; 30; …}

b. C={0; 1; 2; 3; 4; 5}

c. C={0; 5; 10; 15; 20; …}

d. C={1; 5; 10; 15; 20; …}

e. C={0; 5; 15; 25; 35; …}

2) Sean los conjuntos gedbCgfedcBdcbaA ,,,y ,,,, ,,, Determine:

)( CBA

a. {d; e; g}

b. {a; b; c}

c. {a; b; c; d; e; g}

d. {d; e; g; a}

e. {a; d}

3) En una encuesta realizada a 320 alumnos de Ingeniería Comercial de la

Universidad de Valparaíso, se descubrió que estos prefieren tres lugares

para sus “carretes” de fin de semana:

95 prefieren ir al “Kamikaze”;

90 prefieren ir al “Playa”;

120 prefieren ir al “Bar de los Cuatro Vientos”;

30 prefieren ir al “Kamikaze” y al “Playa”

10 prefieren ir al “Kamikaze” y al “Bar de los Cuatro Vientos”

40 prefieren ir al “Playa” solamente

60 prefieren ir al “Kamikaze” solamente

Determine el número de estudiantes que prefieren:

I. Sólo ir al “Bar de los Cuatro Vientos”

II. Ir a los tres lugares

III. No salir y quedarse estudiando el fin de semana


43

a. 90; 75; 5

b. 75; 90; 5

c. 90; 65; 25

d. 90; 50; 75

e. 90 ; 5; 75

4) Dados los conjuntos A={xN/ x<3} ; B={ xN/ x es par y x< 5} ; C={ xN/ x

es impar, x≤6} Hallar el conjunto ( A ∩ B) x (C – A)

a. {(0;3);(0;5);(2;3);(2;5)}

b. {(0;1);(0;5);(2;1);(2;5)}

c. {(0;2);(0;5);(2;2);(2;5)}

d. {(2;2);(2;5)}

e. {(1;2);(1;5);(2;2);(2;5)}

5) Dado el universo U={1; 2; 3; 4} y las relaciones R1={(x;y)U2/ x = y} ;

R2={(x;y)U2/ y=3} ; R3={(x;y) U2/x≤y}

Hallar: R3 – (R1 U R2)

a. {(1;2); (1;4); (2;4); (3;4)}

b. {(1;1); (2;2); (3;3); (4;4)}

c. {(1;2); (2;3); (3;4); (4;4)}

d. {(2;2); (2;3); (2;4); (4;4)}

e. {(1;2); (1;4); (2;4)}


44

Resumen

1. Idea Y Determinación De Conjuntos: Un conjunto está bien definido si se sabe si

un determinado elemento pertenece o no al

conjunto. Usualmente los conjuntos se

representan con una letra mayúscula:

Llamaremos elemento, a cada uno de los

objetos que forman parte de un conjunto, no

habiendo elementos duplicados o repetidos.

Los representaremos con una letra minúscula:

De esta manera:

Al conjunto se llama determinación por

extensión y cuando se cita sólo las

características de los elementos, será la

determinación por comprensión.

Escribimos (léase " en ", "

pertenece a " o bien " es un elemento

de ").

La negación de se escribe

(léase " no pertenece a ").

2. Operaciones Con Conjuntos:

Unión ∪: lo forman todos los

elementos de los conjuntos que se

están uniendo.

Intersección ∩ : lo forman todos los

elementos comunes de los conjuntos.

Diferencia: lo forman todos los

elementos que quedan después de

quitar un conjunto.

A - B

Complemento: conjunto de todos los

elementos que no pertenecen a A pero

forman parte de su universo.

U – A = A´

3. Producto Cartesiano: Dados dos conjuntos y , definimos al conjunto producto:

Y solo se da el caso:

4. Relaciones: Decimos que R es una relación de A

en B si R es un subconjunto de A × B.

Decimos que

R es una relación en A si R es una

relación de A en A, es decir, un

subconjunto de A × A.

Si R es una relación de A en B

también escribiremos a R b en lugar

de (a, b) ∈ R.

Sea R una relación en un conjunto A.

Decimos que R es

reflexiva si a R a para todo a ∈ A

simétrica si a R b ⇒ b R a

antisimétrica si a R b ∧ b R a ⇒ a = b

transitiva si a R b ∧ b R c ⇒ a R c

UUNNIIDDAADD DDEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE II::


45


46

Introducción

a) Presentación y Contextualización

El conjunto de los Números Reales comprende a los Números Naturales, Enteros,

Racionales e Irracionales; por ello, se toma como un conjunto infinito y sus

operaciones los realiza mediante intervalos; así mismo éste conjunto le sirve para

hallar soluciones de sistemas de ecuaciones con dos variables mediante diferentes

métodos. Los contenidos de ésta unidad lleva a que el alumno reflexione sobre los

diversos conceptos dados y los refuerza mediante aplicaciones prácticas.

b) Competencia

Reconoce el conjunto de los Números Reales(R) identificándolo como un

conjunto infinito; realiza operaciones expresando sus resultados mediante

intervalos, así mismo resuelve mediante métodos adecuados sistema de

ecuaciones con dos variables.

c) Capacidades

1. Identifica claramente los elementos del conjunto de los números reales y los

axiomas que tiene como apoyo para la realización de operaciones.

2. Reconoce los diferentes intervalos de números reales y su escritura de acuerdo

a como se presentan los números que lo componen.

3. Realiza operaciones de unión, intersección y diferencia con Intervalos de

números reales, expresando resultados correctos.

4. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales con dos variables aplicando

diferentes métodos para llegar al conjunto solución

d) Actitudes


Valora los conocimientos que adquiere como parte de su formación profesional y

que además son de utilidad para resolver situaciones cotidianas.




La Unidad de Aprendizaje 02: Conjunto De Los Números Reales, comprende el

desarrollo de los siguientes temas:

TEMA 01 : Los Números Reales y su Axiomas

TEMA 02 : Intervalos

TEMA 03 : Operaciones con Intervalos

TEMA 04 : Sistema de Ecuaciones Lineales con Dos Variables


47

TEMA 1

Identifica claramente los elementos del conjunto de los números reales y los axiomas que tienen como apoyo para la realización de operaciones.

Competencia:

Axiomas y sus

Números Reales Los



48


e

Tema 01: Los Números Reales y sus Axiomas

DEFINICIÓN

Los números Reales es un CONJUNTO DENSO, porque entre dos números Reales

hay infinitos números reales.

N Números Naturales

Z Números Enteros

Q Números Racionales

R Números Reales

C Números Complejos

N Z Q R C

Los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen

tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25, 4) como a los números

irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas

cifras decimales no periódicas, tales como: .

El conjunto de los números Reales es COMPLETO Y ORDENADO, porque a

todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un

número real.

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional





49

Observación:

Hay un conjunto llamado Números Complejos que incluye a los Reales y los

Imaginarios.

AXIOMAS DE LOS REALES:

Axiomas Algebraicos

Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser

subdivididos en dos tipos: los de suma y producto.

1. Axiomas de la suma

x, y, z

Propiedad de cerradura de la suma (x + y)

Propiedad conmutativa de la suma x + y = y + x

Propiedad asociativa de la suma (x + y) + z = x + (y + z)

Propiedad del neutro aditivo x + 0 = x, 0

Propiedad del inverso aditivo Si x + y = 0, y = - x

I

−𝟐

𝟑

−5

2

0.555… 0.511666

…

0.2

N Z

Q

R √𝟑𝟓

√𝟑𝟑

√𝟐

√𝟕𝟓

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

𝟐

𝟑

𝟓

𝟐


50

2. Axiomas del producto

x, y, z

Propiedad de cerradura del producto (x y)

Propiedad conmutativa del producto x y = y x

Propiedad asociativa del producto (x y) z = x (y z)

Propiedad del neutro del producto 1 x = x, 1

Propiedad del inverso del producto Si x y = 1, y = 1/x

3. Axiomas de orden

Los axiomas de orden establecen una relación de "cantidad". Esta relación es del

tipo mayor o igual.

Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo < que

nos dirá si un número es mayor o menor que otro. Para la igualdad se usa el

símbolo = que ya conocemos.

Se dirá que x<y o y>x sólo si x es menor que y. O dicho de otra forma, si y es

mayor que x.

Se dan a continuación los Axiomas de Orden

x, y, z

Exclusión del converso Si (x y) (x y) (x y)

Propiedad de transitividad de la ordenación Si (x y) (y z) (x z)

Conservación del orden en la suma Si (x y) (x + z) (y + z)

Conservación del orden en el producto Si (x y) (0 z) (xz yz)

Variación del orden en el producto Si (x y) (z 0) (xz yz)


51

Ejemplos:

1. Completa con el símbolo o , según corresponda.

a) 3 ___ N c) -3 ___ I e) 7 ___ R g) 0.1 ___ Z

b) 3 ___ Q d) 0,2 ___R f) √7___ Q h) 15___ I

2. Completa con el símbolo o , según corresponda:

a) I __ R c) N __ Q e) Q __ I g) Z __ R

b) N ___I d) N __ R f) Z __ _ I h) Q __ _ Z

3. Realiza las siguientes operaciones:

a) Z N = __Q__ b) Q R = __Q___ c) N Z = __N___

d) Q I = ____ e) R I = __R___ g) {0} Z = __{0} __

4. ¿Cuáles de los conjuntos numéricos, que tú conoces, son densos?

Son conjuntos densos los números Racionales (Q) , Irracionales (I) y los

Reales (R). Porque tomando dos números de cada uno de éstos

conjuntos, entre éstos números tomados se encuentran otros infinitos

números.

5. Investiga qué otros conjuntos numéricos existen.

Ahora se está viendo el conjunto de los números Reales, pero debemos

tener en cuenta que hay un conjunto numérico que incluye o contiene a

los Reales y éste conjunto se llama CONJUNTO DE LOS NÚMEROS

COMPLEJOS.

6. Razona si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes:

a) Todo número entero es natural. (F)

b) Algún número racional es entero. (V)

c) Todo número irracional es real. (V)

d) Todo número real es irracional. (F)

e) Algún número entero no es natural. (V)

f) Todos los números enteros son reales. (V)

g) Los números racionales pueden ser o no números reales. (F)


52 Desarrollo de los Temas

TEMA 2

Reconoce los diferentes intervalos de números reales y su escritura de acuerdo a cómo se presentan los números que lo componen.

Competencia:

Intervalos



53

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre

otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Tema 02: Intervalos

CLASIFICACIÓN DE INTERVALOS

Intervalo Abierto

Intervalo Cerrado

Intervalo abierto, <a, b>,

es el conjunto de todos los

números reales mayores que

a y menores que b.

< 𝑎, 𝑏 >= {𝒙Є𝑹/𝒂 < 𝑥 < 𝑏}

<a ; b>

Intervalo semi Abierto por la izquierda

Intervalo semi Abierto por la derecha

<a ; b] [a ; b>

Intervalo cerrado,[a,b] es el

conjunto de todos los

números reales mayores o

iguales que a y menores o

iguales que b.

[ 𝒂, 𝒃 ] = {𝒙Є𝑹/𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃}

Intervalo semi abierto por la

izquierda, <a, b], es

el conjunto de todos los

números reales mayores

que a y menores o iguales

que b

< 𝑎, 𝑏 ] = {𝒙Є𝑹/𝒂 < 𝑥 ≤ 𝒃}

Intervalo semi abierto por

la derecha, [a, b>, es

el conjunto de todos los

números reales mayores o

iguales que a y menores

que b

[ 𝒂, 𝒃 >= {𝒙Є𝑹/𝒂 ≤ 𝒙 < 𝑏}


54

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de

estos intervalos, se utiliza el signo U(unión) entre ellos

En todos los casos, los números a y b se

llaman extremo inferior y extremo superior

del intervalo respectivamente.

UTILIDAD DE LOS INTERVALOS:

Frecuentemente trabajamos con subconjuntos de

números reales, expresados de acuerdo con alguna

relación de orden.

Así, por ejemplo, hablaremos de

En símbolo { 𝒙Є𝑹 / 𝟐 < 𝒙 < 𝟓} Números Mayores que 2

reales y menores que 5

“Los números reales mayores que 2 y menores que 5”

o de

En símbolo

{ 𝒙Є𝑹 / 𝒙 <𝟑

𝟐}

Números Menores o

reales iguales a 3/2

“Los números reales menores o iguales que 3

2”

Otras veces debemos simbolizar expresiones tales como:

En símbolos,

𝟑𝟓𝟎 < 𝒙 < 𝟒𝟎𝟎 La cantidad x de ballenas que puede contabilizarse entre Octubre y Noviembre se halla entre 350 y 400

Estos subconjuntos de R se definen mediante intervalos.


55

Ejemplo:

Atención

Los símbolos −∞ 𝒚 + ∞ devén

ser considerados con especial

cuidado, recomendado que se

usan solamente por

conveniencia de notación y

nunca como números reales.

Estas definiciones se pueden generalizar,

considerando a la recta y la semirrecta como

intervalos, con introducir los símbolos −∞ 𝒚 + ∞ .

Ejemplos:

1) Escribe como intervalo los conjuntos de números reales:

a) 51/ xRx

Solución:

{𝑥Є𝑅/1 ≤ 𝑥 ≤ 5}

Su representación como intervalo será: [1 ; 5 ] Intervalo cerrado.

b) 32/ xRx

Solución:

{𝑥Є𝑅/−2 < 𝑥 ≤ 3}

Su representación como intervalo será: <-2 ; 3 ]

Intervalo semi abierto

“x” es mayor o igual que 1 “x” menor o igual que 5

1 y 5 pertenecen al intervalo

“x” es mayor que -2 “x” menor o igual que 3

-2 no pertenece al intervalo y 3

sí pertenece al intervalo.

http://www.google.com/imgres?imgurl=http://www.adn.es/clipping/ADNIMA20110331_2733/3.jpg&imgrefurl=http://www.adn.es/local/madrid/20110331/NWS-1842-byoung-olimpiadas-matematicas.html&usg=__Wm7bGrDd0L9Oqx0uslTIa9E7miI=&h=240&w=320&sz=15&hl=es&start=7&zoom=1&tbnid=ddrv_Fh-am-pNM:&tbnh=89&tbnw=118&ei=D6XmTdLGMuLj0gGa56WXCg&prev=/search?q=desarrollando+matematicas&hl=es&rlz=1W1ADFA_es&biw=1004&bih=582&tbm=isch&itbs=1


56

c) 4/ xRx

Solución: {𝑥Є𝑅/ 𝑥 < 4}

Su representación como intervalo será: < - ∞ ; 4 > Intervalo infinito

d) 3/ xRx

Solución:

{𝑥Є𝑅/ 𝑥 ≥ 3}

Su representación como intervalo será: [3 ; +∞ >

Intervalo infinito

Los extremos infinitos siempre serán abiertos.

Si: 2x + 3 <-∞; -4] U [4; +∞> ¿A qué intervalo pertenece x?

Solución:

2x + 3 <-∞; -4] U [4; +∞> significa que:

2x + 3 <-∞; -4] 2x + 3 [4; +∞>

2 x + 3 ≤ -4 2 x + 3 ≥ 4

2x ≤ -7 2 x ≥ 1

x ≤ - 7/2 x ≥ ½

Rpta: x <-∞; -7/2] U [1/2; +∞>

“x” es menor que 4

4 no pertenece al conjunto.

“x” es mayor o igual que 3

3 sí pertenece al conjunto.

-7/2 1/2

RECUERDA


57

Representa en la recta real los siguientes intervalos (cada uno en una recta

distinta):

a) 3;1 b) ;2 c) ]2; d) 1;1

Solución:

a) 3;1

b) ;2

c) ]2;

d) 1;1

-1 3

-2 + ∞

- ∞ -2

-1 1


58

TEMA 3

Realiza operaciones de unión, intersección y diferencia con intervalos de números reales, expresando resultados correctos.

Competencia:

con

Intervalos

Operaciones



59

Tema 03: Operaciones con Intervalos

Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de

conjuntos, definiremos a continuación algunas operaciones,

con conjuntos en general, e ilustraremos estas operaciones

mediante ejemplos, de entre los cuales en algunos casos

se involucrarán intervalos.

INTERSECCIÓN ():

Sean y conjuntos. Se define la intersección de y y se denota ,

al conjunto cuyos elementos pertenecen a y también a .

Simbólicamente se tiene que:

Ejemplo 1: Si: y . Determine

Solución

Geométricamente podemos representar los conjuntos y de la manera siguiente:

De aquí podemos observar que los elementos que están en y también en son los números reales que están entre 2 y 5, incluyendo a éstos; por lo que:


60

Ejemplo 2:

Si y . Determine

Solución

Como podemos observar y no tienen elementos comunes por lo que:

UNIÓN ():

Sean y y conjuntos. Se define la unión de y , se denota , al conjunto

cuyos elementos pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos y

Simbólicamente se tiene que:

Ejemplo 1:

Si A=[-3,4] y B=[-1,7].Determine

Solución

Representaremos a y a geométricamente:

De aquí podemos observar que los elementos que están en o en , son los

números reales que están entre -3 y 7, incluyendo a éstos, así:


61

Ejemplo 2:

Si y . Determine

Solución:

Representaremos a y a geométricamente:

De aquí observamos que:

Geométricamente podemos representar así:

DIFERENCIA ( - ):

Sean y conjuntos. Se define la diferencia de y y se denota, al

conjunto cuyos elementos pertenecen a y no a .

Ejemplo

Si y B = [-2,3[, determine y


62

Solución

Representemos a y a geométricamente.

De aquí podemos observar que:

i.

ii. ; o sea:


63

TEMA 4

Resuelve sistemas de ecuaciones lineales con dos variables aplicando diferentes métodos para llegar al conjunto solución.

Competencia:

Dos Variables

de Ecuaciones Lineales

Sistema

con



64

Tema 04: Sistema de Ecuaciones Lineales con dos Variables

Se llama sistema de ecuaciones a todo

conjunto de ecuaciones distintas que tiene

una o más soluciones comunes.

Resolver un sistema de ecuaciones

simultáneas es hallar el conjunto de valores

que satisfacen simultáneamente cada una

de sus ecuaciones.

Método de Reducción o Eliminación Este método suele emplearse

mayoritariamente en los sistemas lineales,

siendo pocos los casos en que se utiliza

para resolver sistemas no lineales. El

procedimiento, diseñado para sistemas con

dos ecuaciones e incógnitas, consiste en

transformar una de las ecuaciones

(generalmente, mediante productos), de

manera que obtengamos dos ecuaciones en

la que una misma incógnita aparezca con el

mismo coeficiente y distinto signo. A

continuación, se suman ambas ecuaciones

produciéndose así la reducción o

cancelación de dicha incógnita, obteniendo

así una ecuación con una sola incógnita,

donde el método de resolución es simple.

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n


65

Por ejemplo, en el sistema:

no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la

incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva

ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da

directamente el valor de la incógnita :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en

cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que

el valor de es igual a:

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones

cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a

continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas

con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor

equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado.

En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita

menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método

reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por

sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor

coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la

despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.


66

MÉTODO DE IGUALACIÓN

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de

sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a

continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si

despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda,

por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Una vez obtenido el valor de la incógnita , se substituye su valor en una de las ecuaciones

originales, y se obtiene el valor de la

7

3

21

3

154

y .

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita

en la otra ecuación, para así obtener

una ecuación donde la única incógnita sea la .

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora

sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones

originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya

resuelto.


67

Ejemplos:

1) Resuelve por sustitución, igualación, reducción el sistema

Solución:

Por sustitución:

De la segunda ecuación:

Ahora remplazamos x en la segunda ecuación:

Conociendo “y” a encontrar el valor de “x”:

Por igualación:

De la primera ecuación despejamos “x”:

De la segunda ecuación también despejamos “x”:


68

Ahora despejamos dos valores que se despejo de “x”:

Conociendo “y” Hallamos “x”:

Por Reducción:

En el paso anterior al sumar las dos ecuaciones se elimino “x” y se

obtuvo el valor de “y”. Ahora reemplazamos para hallar “x”:

Se multiplica por la cantidad

adecuada para eliminar una de

las variables sea “x” o “y”:


69

2) Resolver:

Solución:

Por reducción:

Ahora reemplazando “x” en la primera ecuación se tiene:

3) Resolver

Solución:

Por reducción:

Ahora sumamos las dos ecuaciones y se elimina “x” para hallar el valor de

“y”:

Se multiplica las ecuaciones por

estas cantidades porque se va

eliminar “y” para quedarse con

el valor de “x”:


70

3) Resolver:

Solución:

Realizamos operaciones necesarias para ordenar las ecuaciones:

Reemplazando “y” en la segunda ecuación:

Rpta: X = 2 ; y = 0


71

Ingresa al Link: “Número Reales” lee atentamente las

indicaciones, desarrolla los ejercicios y envíalo por el mismo

medio:

1) Coloca el símbolo >; < ó =, según corresponda:

a) 22 ……… 12

b) 13 ………. 32

c) 4

13 ………..

4

13

d) 22 ……….. 22

e) 1

12

………. 12

a) >;>;>;<;=

b) >;<;<;<;=

c) >;>;<;<;=

d) =;>;>;<;=

e) <;<;>;>;=

LOS NÚMEROS REALES

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/marco_reales.htm

NÚMEROS REALES VIDEO DIDACTICO

http://www.youtube.com/watch?v=vMeFXlpMmXI

INTERVALOS EN NÚMEROS REALES

http://www.slideshare.net/MARIAANGELICAJIMENEZ/intervalos-reales-4420516


Actividades y ejercicios

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/marco_reales.htm

http://www.youtube.com/watch?v=vMeFXlpMmXI

http://www.slideshare.net/MARIAANGELICAJIMENEZ/intervalos-reales-4420516


72

2) Si x2 [4; 9] ; ¿A qué intervalo pertenece x?

a) x [2; 6]

b) x [4; 9]

c) x [2; 3]

d) x [-2; -3]

e) x [0; -3]

3) Si: A= [-3; 4> ; B=<-2; 5] y C=[-2; 3]

Hallar:

(A U B) (C – B)

a) [-∞; -2[

b) {-2}

c) [-2; 2]

d) [-2; +∞[

e) ]-2; 2[

4) Hallar el conjunto solución de:

a) X = 4 ; y = - 2.

b) X = -4 ; y = 2.

c) X = -4 ; y = -2 .

d) X = 4 ; y = 2.

e) X = 2 ; y = 4 .

5) Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y

168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

a) Nº pavos=26 ; Nº cerdos=32

b) Nº pavos=32 ; Nº cerdos=26

c) Nº pavos=22 ; Nº cerdos=36

d) Nº pavos=16 ; Nº cerdos=42

e) Nº pavos=28 ; Nº cerdos=30


73


desarrolla los ejercicios y envíalo por el mismo medio:

1) Resuelve con apoyo de tu calculadora y aproxima a los centésimos tus

resultados:

a) 6

19152

b) 6

19152

c) 32

328

a. 38,47

; 49,5 ; 0,68

b. - 38,47

; 49,5 ; 0,68

c. 38,47

; 49,5 ; 0,61

d. 38,47

; - 49,5 ; 0,61

e. 38,47

; - 49,5 ; - 0,61

2) Si x <2; 4>, ¿A qué intervalo pertenece 2x + 3?

a. [ 7; 11 ]

b. < 7 ; 11 ]

c. [ 7 ; 11>

d. < 7 ; 11 >

e. < 7 ; 10 ]

3) Si: A=[-3; 4> ; B=<-2; 5] y C=[-2; 3]

Hallar:

A´ - (B C)´

a. [ -2 ; 3]

b. R

c. <-∞ ; 0>

d.

e. <-2 ; 3>

Autoevaluación


74

4) Hallar el conjunto solución de:

a. 7

66x ;

7

15y

b. 7

66x ;

7

15y

c. 9x ; 7

15y

d. 7

66x ;

7

15y

e. 7

66x ; 2y

5) Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y

Pedro contesta: "Si tú me das seis soles, tendremos los dos igual cantidad".

¿Cuánto dinero tenía cada uno?

a. Antonio=12 ; Pedro=24

b. Antonio=10 ; Pedro=5

c. Antonio=24 ; Pedro=12

d. Antonio=36 ; Pedro=18

e. Antonio=14 ; Pedro=7


75

UUNNIIDDAADD DDEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE IIII

Resumen

1. Los Números Reales y sus Axiomas

Axiomas de la suma

A1.1 Para todo , existe un único elemento, también en , denotado por

que llamamos la suma de e .

A1.2 para todo .

A1.3 para todo .

A1.4 Existe un elemento de , denotado por tal que para todo .

A1.5 Para cada existe un tal que .

Axiomas del producto

A2.1 Para todo , existe un único elemento, también en , denotado por que

llamaremos el producto de e .

A2.2 para todo .

A2.3 para todo .

A2.4 Existe un elemento de , que denotaremos por tal que

A2.5 Para cada tal que no sea cero, existe un tal que .

Racionales

Enteros

Cero

Enteros

negativos Naturales Irracionales

4. Sistema de Ecuaciones Lineales con dos Variables Se llama sistema de ecuaciones a todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes. Los métodos de solución son: 1º. Por eliminación. 2º. Por igualación. 3º. Por sustitución.

3. Operaciones con Intervalos: Sean y intervalos: Intersección:

Unión:

={x/x A x B} Diferencia:

= { x/x A x B}

2. Intervalos Reales Se llama intervalo al conjunto de

números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto <a,b>. Se expresa: a < x < b.

Intervalo cerrado [a,b]. Se expresa a ≤ x ≤ b.

Intervalo abierto a la derecha [a,b>. Se expresa a ≤ x< b

Intervalo abierto a la izquierda <a,b]. Se expresa a < x ≤ b.


76


77

Introducción

a) Presentación y contextualización:

Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático

expresiones del lenguaje habitual. Los polinomios son expresiones algebraicas

racionales enteras, con las cuales se realizan operaciones y aplican propiedades

que hacen más cortas los procedimientos; así mismo se realizan factorizaciones

con diferentes métodos para resolver situaciones problemáticas. Los contenidos

de ésta unidad lleva a que el alumno reflexione sobre los diversos conceptos

dados y los refuerza mediante aplicaciones prácticas.

b) Competencia:

Reconoce las expresiones algebraicas y dentro de ellas a los monomios y

polinomios, resuelve operaciones aplicando leyes de exponentes,

productos notables y factorización teniendo orden en su trabajo y así llegar

a soluciones correctas.

c) Capacidades

1. Reconoce las Expresiones Algebraicas y los elementos que lo componen,

identificando monomios y polinomios.

2. Aplica las Leyes de Exponentes para resolver correctamente operaciones

donde interviene potenciación y radicación.

3. Resuelve operaciones con polinomios aplicando productos notables y métodos

que lo llevan a soluciones correctas.

4. Realiza factorizaciones mediante la aplicación de métodos diversos,

reconociendo previamente el método de factorización más acertado.

d) Actitudes:


Valora los conocimientos que adquiere como parte de su formación profesional





La Unidad de Aprendizaje 03: Expresiones Algebraicas Y Polinomios

comprende el desarrollo de los siguientes temas:

TEMA 01: Expresiones Algebraicas: Polinomios

TEMA 02: Leyes de Exponentes

TEMA 03: Operaciones con Polinomios y Productos Notables

TEMA 04: Factorización


78

TEMA 1

Reconoce las Expresiones Algebraicas y los elementos que lo componen, identificando monomios y polinomios.

Competencia:

Polinomios

Algebraicas: Expresiones



79


Tema 01: Expresiones Algebraicas:

Polinomios

EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Es aquel conjunto de variables y/o consonantes que se

encuentran ligadas entre sí a través de las operaciones

de “adición, sustracción, multiplicación, división,

potenciación y radicación”, para sus variables en un

número finito de veces.

La expresión matemática siempre presentará a las variables formando parte de

las bases y no en los exponentes.

Ejemplos:

22 32; abxyxyxE

5

5

2

52 32

4; yy

xyxyxf

x + x + x + x + ………∞ no es expresión algebraica porque tienen “∞”

términos.

Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos mencionados se denomina

expresión no algebraica o trascendente.

TÉRMINO ALGEBRAICO:

Es aquella expresión algebraica en la cual aparecen exclusivamente las diferentes

operaciones algebraicas entre sus bases a excepción de la adición y sustracción.


80

Ejemplos:

3

2

3; xyxH

xy

yabxyxP

527;

xy

yxyxH

; No es término algebraico porque reduciendo sale

yx

11 el

cual ya representa dos términos algebraicos.

A) PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO

El coeficiente es la parte numérica del término (comprende el signo y el

número).

El signo indica si el término es positivo o negativo y es parte del coeficiente.

La parte literal es la variable o variables del término.

Los exponentes indican el grado del TÈRMINO.

EXPONENTES

- 2/3 X3 Y4

SIGNO

COEFICIENTE PARTE LITERAL

B) TÉRMINOS SEMEJANTES:

Dos o más términos son semejantes cuando, no interesando la naturaleza de sus

coeficientes, estos contienen la misma parte variable con los mismos

exponentes.

Ejemplos:

2x2y3 es semejante a - 2

3 x2y3

-3x5y es semejante a 2yx5

4xy1/2 es semejante a - 2

3 y1/2x

4x2y no es semejante a 3xy2


81

Para que dos términos sean semejantes, deben ser del mismo

género de suma, por ejemplo: 2 manzanas y 4 manzanas son semejantes, de hecho

se pueden reducir:

de igual manera, 3x2 y 5x2 son términos semejantes, también se pueden sumar:

3x2 + 5x2 = 8x2

Pero 3 peras y 2 piñas, no son términos semejantes.

Reducción de Términos Semejantes:

Debido a que los términos semejantes, entre ellos, son

géneros de suma iguales, pueden sumarse o restarse unos

con otros, basta operar (sumar o restar) a los coeficientes de

los mismos.

Se llama reducir términos semejantes a sumarlos o restarlos

según cada caso. Los términos no semejantes, no pueden

sumarse ni restarse.

Ejemplo:

"Reduce los términos semejantes de las siguientes expresiones algebraicas. Al

escribir tus resultados ordénalos de forma alfabética y omite los términos con

coeficiente 0"

x+4y+6z

2 manzanas + 4 manzanas = 6 manzanas

-3x+5z

4ab+4ac+bc

x-y+2z

ax+cz

a) 3x + 2y - 4z + 2x - 3y + 3z - 4x + 5y + 7z =

b) -2x + 5y - 6z + 3x - 7y + 9z - 4x + 2y + 2z =

c) 7ab - 6bc + 5ac + 5bc + 7ac - 6ab + 2bc + 3ab -

8ac =

d) 5x - 2y - 3z + 6y - 7x + 7z + 3x - 2z - 5y =

e) 11ax - 10cz - 9by + 3by + 4ax + 7cz + 6by +

4cz - 14ax =


82

Un monomio es una Expresión Algebraica Racional Entera en la que se utilizan

letras, números y signos de operaciones. Las únicas operaciones que aparecen

entre las letras son el punto y la potencia de exponente natural. Un monomio es

un polinomio con un único término.

CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la forma o naturaleza de sus

exponentes y por su extensión o número de términos:

MONOMIO:

Ejemplos:

Según la Naturaleza del

Exponente:

Según el número de

Términos

Racional

Irracional 2x1/2+3y-z1/4

Entera 3x2 + 5xy – z

Fraccionaria 3x-2 +5xy-1 - z

Monomio: 3xyz2

Polinomio: x2 + 2xy – 3z3

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural


83

Está indicado por el exponente de la variable al cual se hace mención;

para ello la expresión debe estar previamente reducida o simplificada.

Respecto a x: 2º grado

Respecto a y: 5º grado

Respecto a z: 8º grado

Se determina sumando algebraicamente los exponentes de sus variables.

Así tenemos:

El grado absoluto de 2x2 y3 z es:

2 + 3 + 1 = 6º grado

GRADOS DE UN MONOMIO:

A) Grado Relativo:

Así: el monomio: 4x2 y5 z8 tiene grado relativo:

B) Grado Absoluto:

POLINOMIO:

Se denomina polinomio a la suma de varios monomios, llamados términos del

polinomio.

Así tenemos que el polinomio es la expresión algebraica de la forma:

Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes ao es el

término independiente.

P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0

http://es.wikipedia.org/wiki/Monomio


84

2523342 453);;( yzxzyxzyxzyxF

Tiene grado relativo:

Respecto a x: 5º grado (mayor exponente de x)

Respecto a y: 4º grado (mayor exponente de y)

Respecto a z: 3º grado (mayor exponente de z)

C) Grado Absoluto:

Lo determina el mayor grado que posee uno de los

términos del polinomio.

Así el polinomio:

2523342 453);;( yzxzyxzyxzyxF

El grado absoluto del polinomio lo será el mayor G.A.

de los términos:

G.A.(F(x;y;z)) = 9º grado

Clases de polinomios

Polinomio nulo El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x;y) = 0xy + 0x2 – 0xy3 = 0

G.A.=9 G.A.=6 G.A.=8


85

Polinomio homogéneo

El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con

el mismo grado.

P(x) = 2x2 + 3xy

Polinomio heterogéneo

Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 − 3

Polinomio completo

Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término

independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3

Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos

en forma creciente o decreciente respecto al grado de sus términos.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

1Los dos polinomios tienen el mismo grado.

2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x − 3 + 2x3


86

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x3 − 2x − 7

Polinomios semejantes

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número

cualquiera.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1 P(1) = 2 (1)3 + 5 ( 1) − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

APLICACIONES PRÁCTICAS:

1) Si los términos: 6xyb-3; 2xy10, son semejantes, hallar “b”

Resolución:

Si son semejantes 6xyb-3; 2xy10, implica que los exponentes de sus variables son iguales.

Luego: b - 3 = 10 b = 13

2) Dado el monomio: M(x; y) = 2x2 . y3; calcular “M(2; -2)”

Resolución: Reemplazando: x = 2 ; y = -2

M(2; -2) = 2(2)2 (-2)3 Efectuando las operaciones:

M(2; -2) = (2)(4)(-8) = -64


87

3) Indicar el valor que puede tomar el coeficiente de M(x; y) en:

M(x; y) = mnmn xm+n ym-n

Si se sabe que: G.R.(x) = 7 y G.R.(y) = 5

Resolución:

De los datos del problema:

G.R.(x) = 7 m + n = 7

G.R.(y) = 5 m - n = 5

Sumando ambas ecuaciones

m + n + m - n = 7 + 5 = 2m = 12

m = 6 Luego n = 1

Piden mnmn = 6 . 1 6.1 = 6 . 1 6 = 6(1) = 6

4) Hallar el grado del siguiente monomio:

Resolución: Realizando operaciones en el monomio:

Finalmente:

Grado = Grado Absoluto = 10 + 15 + 2 = 27

5) Hallar “m” si la expresión es de octavo grado

2532 z)yx(22

25352 z)y()x(22

21510 z .y .x 22

2nn12m z . y . x4

5


88

Resolución:

Dato del problema: GRADO = 8

m + 2 + 1 - n + n + 2 = 8

Resolviendo:

m + 5 = 8 m = 3

6) Calcular el valor numérico de:

E = a2 + 2ab + b2 ; para: a = ½; b = 2

1

Solución:

E = a2 + 2ab + b2

22

2

1

2

1

2

12

2

1

E

4

1

4

2

4

1E

0E

7) Hallar la suma de los siguientes términos semejantes: M = (c + 5)x4c - 3 ;

N = (2c)xc + 9

Solución:

Si: M y N son términos semejantes, entonces el exponente de la variable “x” es

igual en ambos términos:

4c - 3 = c + 9 3c = 12

c = 4

Ahora escribimos los términos M y N:

M = (4 + 5) x4(4) – 3 M = 9 x13

N = (2. 4)x4+9 N = 8 x13

Hallamos la suma M + N:

M + N = 9 x13 + 8 x13 M + N = 17 x13


89

TEMA 2

Aplica las Leyes de Exponentes para resolver correctamente operaciones donde interviene potenciación y radicación.

Competencia:

de

Exponentes

Leyes



90

Tema 02: Leyes de Exponentes

LA POTENCIACIÓN:

La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos

denominados: base a y exponente n.

Se escribe an, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el

conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número

por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

Por ejemplo: .

RADICACIÓN:

Se ve que la radicación es una operación inversa de la potenciación,

donde se da el total y el exponente y se quiere hallar la base.

Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el

número que elevado al índice me de por resultado el radicando.

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicar

http://enciclopedia.us.es/index.php/Potenciaci%C3%B3n


91

1. a)

2. a)

3. a)

4. a)

5. c)

LEYES DE SIGNO:

Asumamos la siguiente representación:

(+), Base o cantidad positiva.

(-), base o cantidad negativa.

También se asume que:

Número Par = 2n; n Z+

Número Impar = 2n + 1 ó 2n – 1 ; n Z+

a) Potenciación:

)(2 parn

)(2 parn

)(12 imparn

)(12 imparn

b) Radicación:

n2 12n

12n aginarion Im2

PRINCIPALES LEYES DE EXPONENTES:

1) Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la

suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los

exponentes):

Ejemplos:


92

2) División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de

los exponentes respectivos:

; a ≠ 0

Ejemplo:

3) Potencia de exponente negativo

Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma

expresión pero con exponente positivo:

; a ≠ 0

Ejemplo:

8

1

2

1

2

1

2

1

2

12

3

3

4) Potencia de exponente 0

Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1),

puesto que:

; a ≠ 0

00:NOTA es Indeterminado.

Ejemplo:

1

7

2

15

0

0

http://es.wikipedia.org/wiki/Uno


93

5) Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo

exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican

los exponentes):

Debido a esto, la notación se reserva otro procedimiento.

Ejemplo:

663.232

64222 xxxx

6) Exponente de exponente:

nn mm aa

7) Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

b ≠ 0

Ejemplos:

333yxxy

6

4

23

222

3

2

y

x

y

x

y

x


94

8) Exponente fraccionario

= .

Ejemplos

= .

4288 22

33

2

9) Raíz de un producto

La raíz de un producto de factores es igual al producto de las raíces de los

factores.

Ejemplo

10) Raíz de una fracción

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz

del denominador.

Ejemplo

= ; b ≠ 0

Con n distinto de cero (0).

=

=

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

;

con n distinto de cero (0).


95

=

Cuando esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a

potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

=

Ejemplo

=

11) Raíz de raíz:

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se

conserva la cantidad subradical.

= ;

Con n y m distintos de cero (0).

Ejemplos

=

2224

484824

48423

48

3 4 933333 xxxxxx


96

TIPOS DE PROBLEMAS:

1) Hallar el valor de:

12

13825 932 8100

P

Solución:

Efectuamos cada uno de los términos por separado:

1382532100

=

3

1

82532100

=

2

1

2532100

=

5

1

32100

= 2

1

100 = 10

28888 3

1

9

1

99

2

1

2

112

Reemplazando los valores en P: 12210 P

2) Al simplificar: 321

11

222

22

xxx

xx

E se obtiene:

Solución:

Aplicaremos estas relaciones en el problema:

m

nmn

mnmn

a

aa

aaa

.

3

1

2

1

8

1

8

13

3

1

5

1

25

1

25

1 2

1

2

1

32

1

32

15

5

1


97

42

8

52

85

8

52

5

8

1

4

1

2

12

5

2

1

2

1

2

12

2

122

2.22.22.2

2.22.232321

1

E

E

x

x

xxx

xx

3) El valor de: 3

4

5

2

2

3

23

5

2

81.4

27.32M

es:

Solución:

Aplicando exponente fraccionario en cada radical, tenemos:

6

3.23.2

3.2

3.2

81.4

27.32

81.4

27.32

81.4

27.32

3456

35

46

4 35

3 45 6

4

3

2

5

3

4

5

6

4

3

2

5

3

225

32

M

M

M

5

32

35

12 3232


98

4) Reducir a su mínima expresión: xxxxS .

Solución:

Debemos hacer notar que:

8

7

8

1

4

1

2

1

8

1

4

1

2

1

.... xxxxxxxxxxx

8

1

8 xxx

Reemplazando en S tenemos:

xS

xxxxS

8

8

8

1

8

7

8

1

8

7

.

5) Reducir:

radicalesN ................2.2.2.2

Solución:

2

22

2

.2

22

22

N

N

NNN

NN

NN

N

radicalesN ................2.2.2.2


99

6) Si se cumple:

.......3535a

.......5353b

Hallar el valor que toma: ab

Solución:

aa 35.......3535 a2 = 2

35

a

a2 = a35 (a2)2 = 235 a a4 = a325

a4 = a75 a3 = 75

bb 53.......5353 b2 = 2

53

b

b2 = b53 (b2)2 = 253 b b4 = b59

b4 = b45 b3 = 45

Luego: a3 . b3 = (75).(45)

(a.b)3 = 52.3 . 32.5

(a.b)3 = 53 . 33 (a.b)3 = (5 . 3)3

a.b = 15


100

TEMA 3

Resolve operaciones con polinomios aplicando productos notables y métodos que lo llevan a soluciones correctas.

Competencia:

con

Productos Notables

y

Polinomios Operaciones



101

Tema 03: Operaciones con Polinomios y

Productos Notables ADICIÓN:

Para hallar la suma de dos polinomios,

sumamos entre sí

aquellos monomios semejantes (Monomios

que tengan la misma parte literal).

Ejemplo 1:

Consideremos los polinomios: P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x – 4 El polinomio resultante de la suma: P(x) + Q(x) es:

Solución:

Aquellos monomios cuya parte literal aparece en un solo polinomio

los copiamos.

Efectuamos los coeficientes de aquellos monomios que tienen la

misma parte literal (monomios semejantes):

2x3 +8x3 =10x3

-5x2 +3x2 =-2x2

6-4=2

Luego tenemos como resultado:

P(x) + Q(x) = 3x5 + 10x3 - 2x2 - x + 2

http://www.ematematicas.net/monomios.php


102

Ejemplo 2:

Sean : P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

Hallar : P(x) + Q(x)

Solución:

P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

Agrupamos los monomios del mismo grado . P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x – 3 Sumamos los monomios semejantes y tenemos como resultado: P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3

SUSTRACCIÓN:

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

Ejemplo 1:

Consideremos los polinomios:

P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4

Hallar: P(x) - Q(x)

Solución:

Se copia el polinomio P(x) con su mismo signo y los términos de Q(x) se

cambian de signo:

P(x) - Q(x) = (3x5 + 2x3 - 5x2 + 6) – (8x3 + 3x2 - x – 4) P(x) - Q(x) = 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 - 8x3 - 3x2 + x + 4


103

Ahora efectuamos los términos semejantes de P(x) y Q(x)

2x3 - 8x3 = -6x3

-5x2 - 3x2 = -8x2

6 +4 = 10

El polinomio resultante de la resta es: P(x) - Q(x)= 3x5 - 6 x3 - 8x2 + x + 10

Ejemplo 2:

Sean los polinomios: P(x)= 2x3 + 5x – 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x Hallar: P(x) - Q(x)

Solución:

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x) P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3 P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

MULTIPLICACIÓN:

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y

como coeficientes el producto de los coeficientes del

polinomio por el número.

Ejemplo: 3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x – 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que

forman el polinomio.


104

Ejemplo:

3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

Multiplicación de polinomios

Sean los polinomios: P(x) = 2x2 − 3 y Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los

términos del segundo polinomio.

Así:

P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x

Se suman los monomios semejantes y se tiene como resultado:

P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los

polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

Ejemplo 1:

Multiplicar (x2 + x3) por (2x3 - x2 + 2x- 1)

Recuerda:

mnmn xxx .

Así: x5 . x4 = x5+4 = x9


105

Solución:

Tenemos

Luego, multiplicando tenemos:

(x2 + x3) . (2x3 - x2 + 2x- 1)= x2(2x3) - x2 (x2)+ x2 (2x) - x2 (1) + x3 (2x3) - x3

(x2) + x3 (2x) - x3 (1)

= 2x5 - x4 + 2x3 - x2 + 2x6 - x5 + 2x4 - x3

Reduciendo términos semejantes:

(x2 + x3) . (2x3 - x2 + 2x- 1)= 2x6 + x5 + x4 + x3 - x2 Rpta.

Ejemplo 2:

Multiplicar el trinomio: 2x2 + 6x - 2 por el binomio: 3x - 4

Solución:

(2x2 + 6x - 2)(3x - 4) = 2x2(3x) - 2x2 (4) + 6x(3x) – 6x( 4) - 2(3x) +2(4)

= 6x3 - 8x2 + 18x2 - 24x - 6x + 8

Reduciendo términos semejantes:

(2x2 + 6x - 2)(3x - 4) = 6x3 + 10x2 - 30x + 8 Rpta.

DIVISIÓN:

La división es un proceso en el cual, conocidos dos polinomios

llamados: DIVIDENDO y DIVISOR, se obtienen otros dos llamados

COCIENTE y RESIDUO.

(x2 + x3 ) . (2x3 - x2 + 2x - 1)

P(x) S(x)

Q(x) R(x)

DIVIDENDO

RESIDUO

DIVISOR

COCIENTE


106

DIVISIÓN ENTRE MONOMIOS:

Así tenemos la división:

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO:

En este caso, cada uno del los términos del dividendo, que es un

polinomio, será divido entre el monomio que actúa como divisor.

Así tenemos:

2643

6

3

18

3

12

3

61812 43254254

yxx

xy

xy

xy

yx

xy

yx

xy

xyyxyx

DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE POLINOMIO:

Ejemplos:

1. Sea el polinomio: P(x) = 5x + 3 + 2x2 + x3

ORDENANDO P(x) = x3 + 2x2 + 5x + 3

La división de monomios es otro monomio que tiene

por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal

se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.

axn : bxm = (a : b)xn – m

http://www.ditutor.com/numeros_naturales/division_potencias.html


107

2. Sea el polinomio: Q(x) = 3x3 + 5x - 1

COMPLETANDO Q(x) = 3x3 + 0x2 + 5x - 1

3. Sea el polinomio: J(x) = 2x - x2 + 3x4 + 5

ORDENADO Y COMPLETADO J(x) = 3x4 + 0x3 - x2 + 2x + 5

Métodos de División: Existen varias maneras de dividir polinomios, pero dos

son los más destacados:

a. Método Clásico

b. Método de Horner

c. Método de Ruffini

a) Método Clásico

Ejemplo 1:

Sean: P(x) = x4 – 2x3 – 11x2 + 30x – 20 y Q(x) = x2 + 3x – 2

Hallar: P(x) ÷ Q(x) :

OBSERVACIÓN: Para

poder dividir dos

polinomios éstos

deben encontrarse

completos y

ordenados


108

Solución:

P(x) y Q(x) son polinomios completos y ordenados, entonces los disponemos en

orden para iniciar la división clásica:

Ejemplo 2:

Sean: P(x) = x6 + 5x4 + 3x2 - 2x y Q(x) = x2 - x + 3

Hallar: P(x) ÷ Q(x) :

Solución:

Como P(x) está incompleto, lo completamos con ceros:

COCIENTE

1º Se divide el primer término del dividendo

entre el primer término del divisor:

(x4 ) ÷ (x2 ) = x2, luego se multiplica x2 por

cada término del divisor y se escribe con

signo cambiado debajo de los términos del

dividendo.

2º Se efectúan los términos del dividendo con

los que se acaban de obtener al multiplicar

x2(x2+3x-2)

3º Nuevamente se divide el primer término del

dividendo que se tiene, entre el primer

término del divisor: (-5x3) ÷ (x2) y se sigue

como en el caso anterior.

4º La división concluye cuando el grado del

residuo es menor que el divisor.

DIVIDENDO DIVISOR

RESTO O RESIDUO


109

b) Método de Ruffini:

Este método es aplicable a divisores de la forma: (x a) y con ciertas

restricciones a divisores de la forma (axn b).

Aquí, se hará uso del siguiente diagrama:

Las operaciones a realizar con los coeficientes son:

+ 0x5 + 0x3

+ 0x3

Se deja sólo 1 término para el residuo.


110

Ejemplo 1:

Dividir:

Solución:

Completamos el diagrama con los coeficientes, teniendo mucho cuidado con los

signos. Luego procedemos con las operaciones.

El resultado será completado con las variables, obteniéndose:

Cociente

Q(x) = 3 x3 + 5x2 + 0x + 1 = 3x3 + 5x2 + 1

Residuo

R(x) = 2

Ejemplo 2:

Dividir:

x3 – 2x2 + x – 5 entre x – 2

1x1xx5x2x3 234

3

3

23

5

-5

5

0

1

0

1

+1

1

12


111

Para comenzar a dividir se procede de la siguiente manera:

Se deja sólo 1 término

z

COCIENTE: Q(x) = x2 + 1

RESIDUO: R(x) = –3

Ejemplo 3:

Dividir:

Solución:

Cociente: Q(x) = 1x + 4 = x + 4

Residuo: R(x) = 0

Ejemplo 4:

3x

12x7x2

3x + 3 = 0

x = -3

1

1

0

7

-3

4

12

-12

0

3x

27x3


112

Dividir

Solución:

Completando y ordenando el dividendo:

Cociente: Q(x) = 1x2 - 3x + 9

= x2 - 3x + 9

Residuo: R(x) = 0

Ejemplo 5:

Calcular la suma de los valores que completan el diagrama:

Solución:

Ahora la suma es: 5 – 11 + 7 - 12 = - 11

3x

27x0x0x 23

5

2

3

10

-1

9

-2

3

1

14

2

2

5

2

3

10

-1

9

-2

3

1

14

2

2

1

1

0

-3

-3

27

-27

0

0

9

9

0

-3

3

x

=

=

+ x

5

-11

7

-12


113

PRODUCTOS NOTABLES:

Productos notables es el nombre que reciben

aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo

resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar

la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su

aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas

multiplicaciones habituales.

BINOMIO AL CUADRADO O CUADRADO DE UN BINOMIO:

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

Ejemplo 1:

Simplificando:

Ejemplo 2:

Reducir: A = (x - 2)2 + (x + 2)2

Solución:

Desarrollando cada uno de los binomios:

A = (x2 - 2x(2) + 22 ) + (x2 + 2x(2) + 22) A = x2 - 4x + 4 + x2 + 4x + 4

Reconociendo términos semejantes:

A = 2x2 + 8 Rpta.


114

SUMA POR DIFERENCIA DE BINOMIOS:

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Ejemplo 1:

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2− 25

BINOMIO AL CUBO

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)

(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab (a - b)

Ejemplo 1:

Hallar: 32yx

Solución:

Efectuando términos semejantes:

Ejemplo 2:

(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33

= x 3 + 9 x2 + 27 x + 27

Ejemplo 3:

(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

TRINOMIO AL CUADRADO

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c

Ejemplo:

(x2 − x + 1)2 = (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) · 1

= x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x

= x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1


115

Suma de Cubos

(a + b) · (a2 − ab + b2) = a3 + b3

Ejemplo:

(2x + 3) (4x2 - 6x + 9) = (2x)3 + (3)3

= 8x3 + 27

Diferencia de Cubos

(a − b) · (a2 + ab + b2) = a3 − b3

Ejemplo:

(2x − 3) (4x2 + 6x + 9) = (2x)3 – (3)3

= 8x3 − 27

Producto De Dos Binomios Que Tienen Un Término Común

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Ejemplo:

(x + 2) (x + 3) = x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6

Ejercicios resueltos de productos notables

1) (x + 5)2 = x2 + 2 · x · 5 + 52 = x 2 + 10 x + 25

2) (2x - 5)2 = (2x)2 - 2 · 2x ·5 + 52 = 4x2 - 20 x + 25


116

3) (2x - 5)2 = (2x)2 - 2 · 2x ·5 + 52 = 4x2 - 20 x + 25

4)

5) (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x – 27

6) (x + 2)3 = x 3 + 3 · x2 ·2 + 3 · x· 2 2 + 23

= x3 + 6 x2 + 12 x + 8

7) (3x - 2)3 = (3 x)3 − 3 · (3x)2 ·2 + 3 · 3x· 2 2 − 23

=27x 3 − 54 x2 + 36 x – 8

8) (2x + 5)3 = (2 x)3 + 3 ·(2x)2 ·5 + 3 · 2x· 52 + 5 3

= 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125

9) (3x - 2) · (3x + 2) = (3x)2 − 22 = 9x2 – 4

10) (x + 5) · (x − 5) = x2 – 25

11) (3x - 2) · (3x + 2) = (3x)2 − 22 = 9x4 – 4

12) (3x-5).(3x-5) =(3x)2 – 52=9x2 - 25


117

TEMA 4

Realiza factorizaciones mediante la aplicación de métodos diversos, reconociendo previamente el método de factorización más acertado.

Competencia:

Factorización



118

Tema 04: Factorización

FACTORIZACIÓN

La Factorización es un proceso de transformaciones sucesivas

de un polinomio en una multiplicación indicada de 2 o más

polinomios dentro de un cierto campo de números, a los cuales

se les denomina factores primos, así:

251032 xxxx

Factores Primos:

Para obtener el número de factores primos en un factorización, se deberá contar

los factores que son base y que contienen variables.

Ejemplos:

1. P(x) = (x+3)2 (x3+2)7 (2x-1)

Tiene 3 factores primos

2. G(x) = 35 (x+5) (x4+1)3


3. F(x,y) = x2y2 (x+2y)5 (x-3y)4


Número de factores Totales:

Sean los factores: aα bβ cy donde a, b, c son primos entre sí.

111FACTORESNº Y

Factorización

Multiplicación


119

Recuerda:

Un polinomio siempre se factorizará en el campo de

los números racionales (coeficientes enteros o

fraccionarios) salvo se indique otro conjunto.

Ejemplo:

Determinar el número de factores de:

P(x,y) = (2x-y)2 (x+y)3 (a2+b2)2

Nº Factores = (2 + 1) (3 + 1) (2 + 1) = 36 factores

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

A) Método De Factor Común Y/O Agrupación De Términos:

Extraer factor común a un polinomio consiste en aplicar

la propiedad distributiva.

Así tenemos:

a) a · x + b · x + c · x = x (a + b + c) podemos notar que “x” es

factor común.

b) xy + 3x – yz – 3z = (xy + 3x) – (yz + 3z) Se agrupa

considerando que hay un factor común en cada grupo.

= x(y + 3) – z(y + 3)

= (y + 3) (x – z)


120

Ejemplos:

1.ax + bx + ay + by

Agrupando

x(a+b) + y(a+b)

Factor común

Factorizando: (a+b)(x+y)

1. 6ax + 3a + 1 + 2x

3a(2x + 1) + 1 + 2x

Factor común

Ejercicios: Factorizar

1) x3 + x2 = x2 (x + 1)

2) 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

3) x2 − ax − bx + ab = (x2 - ax) – (bx – ab)

= x (x − a) − b (x − a)

= (x − a) · (x − b)

B) Método De Identidades:

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)


121

Ejemplos:

1) Factorizar: x2 - 25

Solución:

x2 - 25 = x2 - 52

= (x + 5)(x - 5)

2) Factorizar: x4 - 16

Solución:

x4 - 16 = (x2)2 - 42

= (x2 + 4)(x2 - 4)

= (x2 + 4)(x + 2)(x - 2)

3) Factorizar: 4a4x6 - 25b6y4

Solución:

4a4x6 - 25b6y4 = (2a2x3)2 - (5b3y2)2

= (2a2x3 + 5b3y2)(2a2x3 - 5b3y2)

4) Factorizar: x4y3 - x2y5 ; indicando sus factores primos

Solución:

; Los factores primos son 4:

= (x +4)(x - 2 )2 2 2

se descomponeen 2 factores

polinomioprimo

22325234 yxyxyxyx

32yx (x + y)(x - y)

x

y

x + y

x - y


122

Suma y Diferencia de Cubos:

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

Ejemplos:

1) Factorizar a3 - 27

Solución:

Transformando a una diferencia de cubos

a3 - 33 = (a - 3) (a2 + 3a + 32)

= (a - 3) (a2 + 3a + 9)

2) Factorizar: x3 + 8

Solución:

Transformando a una suma de cubos

x3 + 23 = (x + 2) (x2 - 2x + 22)

= (x + 2) (x2 - 2x + 4)

3) Factorizar: 64x3 - 125y3

Solución:

Transformando a una diferencia de cubos

64x3 - 125y3 = (4x)3 - (5y)3

= (4x - 5y) [(4x)2 + (4x) (5y) + (5y)2]

= (4x - 5y) (16x2 + 20xy + 25y2)


123

4) Factorizar: a6 - b6 e indicar el número de factores primos

Solución:

Transformando a una diferencia de cuadrados

Observarás que es una suma y diferencia de cubos

a6 - b6 = (a + b) (a2 - ab + b2) (a - b) (a2 + ab + b2)

Finalmente el polinomio tiene 4 factores primos.

C) Método De Aspa Simple:

Este método lo aplicaremos a trinomios de 2do grado de

la forma: ax2 + bx + c

Desdoblamos en factores los términos cuadrático e

independiente, de tal manera que al multiplicar en aspa

(de ahí el nombre del método) la suma de sus

resultados nos de el término lineal.

Ejemplos:

1) Factorizar: x2 + 7x +12

Solución:

Tenemos: x2 + 7x + 12

x 3 3x

x 4 4x

366 aba

3a

2 3b

2

3b 3a 3b


124

x2 + 7x +12 = (x + 3)(x + 4)

Si sumamos ambos resultados, tenemos:

4x + 3x = 7x, justamente el término lineal.

Así que el resultado será:

2) Factorizar: 3x2 - 5x - 2

Solución: Desdoblando y multiplicando en aspa tenemos:

3x2 - 5x - 2

3x +1 1x

x -2 -6x

Verificando: - 6x + 0x

____

- 5x

Así que el resultado es:

3x2 - 5x – 2 = (3x + 1)(x - 2)

3)Factorizar: x4 - 13x2 + 36

Solución:

Utilizando el aspa simple:

x4 - 13x2 + 36

x2 -9 -9x2

x2 -4 -4x2

Nota: el resultado consiste en

escribir cada línea horizontal del

desdoblamiento.


125

Verificando:

- 9x2

- 4x2

____

- 13x2

Luego, los factores son:

x4 - 13x2 + 36 = (x2 - 9)(x2 - 4)

(x2 - 32)(x2 - 22)

(x + 3)(x - 3)(x + 2)(x - 2) Rpta.

D) MÉTODO DE DIVISORES BINOMIOS: Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

1) factorizar: P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6

1º) Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2º) Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es

exacta.

Si: x = 1

P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0 Una raíz es x = 1.

3º) Dividimos por Ruffini:


126

Cociente = 2

x3 + 3x2 – 5x – 6

4º) Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor porque

todavía es factorizable:

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al

cuadrado.

X = 1

P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0

X = -1

P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 ·(− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

Ahora los factores que ya tenemos son:

(x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6)

X = 1 (x – 1) = 0

De aquí se toma el factor (x – 1)


127

El tercer factor aún se puede factorizar por el método de Aspa simple:

La factorización queda:

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = (x – 1) (x + 1) (2x – 3) (x + 2) Rpta.

1) Factorizar: 2x3 − 7x2 + 8x – 3

Solución:

x = 1

P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0

Ahora aplicamos Ruffini:

Los factores son:

(x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 )

El segundo factor aún es factorizable por el método de aspa simple:

Finalmente se tiene:

2x3 − 7x2 + 8x – 3 = (x – 1 ) (2x - 3) (x - 1) Rpta.


128


Ingresa al Link: “Expresiones algebraicas y polimonios” lee

atentamente las indicaciones, desarrolla los ejercicios y envíalo por el

mismo medio:

Expresiones Algebraicas http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/3_ESO/Expresiones%20algebraicas.pdf

Leyes de Exponentes http://yachay.stormpages.com/04ent/e4p.htm

Tipos de Factorización http://www.youtube.com/watch?v=Ni3vAmMMbaQ

1) En el siguiente monomio:

P(x, y) = (3a - 5) xa+7 y2a-4

Se cumple que G.A.= 15. Indicar su coeficiente.

i. Sí: X = .......424242

Calcular: E = ............xxx

ii. Simplificar:

S = nmmnmm

mnmn

24 212

4 22

3.5.3

3.3.15

iii. Reducir:

P = (m + n)2 - (m - n)2 + (m - 2n)2 - m2 - 4n2

2. Factorizar y reducir: 2

232 2

x

xxL

Actividades y Ejercicios

http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/3_ESO/Expresiones%20algebraicas.pdf

http://yachay.stormpages.com/04ent/e4p.htm

http://www.youtube.com/watch?v=Ni3vAmMMbaQ


129

Autoevaluaciones



1) Dados los monomios:

A(x, y) = xa+3 y3b+5 ; B(x, y) = x2b+11.y2+a

Se sabe que ambos poseen el mismo G.A., determinar el valor de "b"

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2) Calcular:

N = 25,05,0

81

625

4

9

+ 810,25

a) 1 b) 2 c) ½ d) ¼ e) -1

3) Completa el siguiente diagrama y luego indica el producto de los

valores hallados:

a) -12 b) 12 c) 1 d) 16 e) 0

4) Hallar el valor de: 16 1684 112121253 R

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

3

2

+1

-4

5

-3

6

3

1

-6

-4

-2

-8

8

2


130

5) Los polinomios

P(x) = x3 – 5x2 – 3x + 3

Q(x) = 3x3 - 6x2 – 9x

Tienen un factor común. Indicar la suma de coeficientes de dicho factor

común

a) -1

b) cero

c) 2

d) 4

e) 5


131

Resumen

2) Leyes de Exponentes

3) Operaciones con Polinomios y Productos Notables

4) Factorización Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le

denomina factorización.

Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a

todos los términos y agruparlos.

UUNNIIDDAADD DDEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE IIIIII

1. Expresiones Algebraicas Polinomios Términos Algebraicos

Tipos de expresiones algebraicas Monomio Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término.

Polinomio Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término (Binomio, Trinomio)


132


133

Introducción

a) Presentación y contextualización

Las ecuaciones son relaciones de igualdad entre dos cantidades, algunas de

ellas desconocidas y las Inecuaciones son desigualdades entre dos cantidades

donde hay unos valores desconocidos. Tanto las Ecuaciones como Inecuaciones

son expresiones del lenguaje matemático que representan expresiones verbales y

que buscan la solución de una situación problemática. Los contenidos de ésta

unidad lleva a que el alumno reflexione sobre los diversos conceptos dados y los

refuerza mediante aplicaciones prácticas.

b) Competencia

Expresa mediante intervalos el conjunto solución de ecuaciones e inecuaciones en el conjunto de números reales, demostrando en todo momento seguridad en sus procedimientos y análisis de las situaciones problemáticas.

c) Capacidades

1. Reconoce y resuelve ecuaciones cuadráticas empleando factorización para los

casos particulares y ejecuta fórmula general para cualquier caso, concluyendo

con el conjunto solución.

2. Resuelve inecuaciones cuadráticas e inecuaciones con valor absoluto, Aplicando el método de puntos críticos y propiedades de valor absoluto, empleando intervalos de números reales para dar el conjunto solución.

3. Identifica y resuelve inecuaciones con fracciones, aplicando criterios y procedimientos correctos hasta dar el conjunto solución mediante intervalos de números reales.

4. Identifica y resuelve Inecuaciones con radicales, aplicando criterios y procedimientos correctos hasta dar el conjunto solución mediante intervalos de números reales.

d) Actitudes

Muestra perseverancia para el logro de su aprendizaje. Valora los conocimientos que adquiere como parte de su formación profesional


e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:

La Unidad de Aprendizaje 4: Ecuaciones e Inecuaciones comprende el

desarrollo de los siguientes temas:

TEMA 01 : Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

TEMA 02 : Inecuaciones de segundo grado e inecuaciones con valor

Absoluto

TEMA 03 : Inecuaciones fraccionarias

TEMA 04 : Inecuaciones con radicales


134

TEMA 1

Reconoce y resuelve ecuaciones cuadráticas empleando factorización para los casos particulares y ejecuta fórmula general para cualquier caso, concluyendo con el conjunto solución.

Competencia:

de

Grado Cuadráticas

o Segundo

Ecuaciones



135


1) Por Factorización: Esta forma de solución sólo nos ayudará en algunos casos.

Ejemplo:

x2 – 4x – 12 = 0

x -6

x +2

(x – 6) (x + 2) = 0

solución2diferentesraices2

21 2;6.S.C2x;6x

X – 6 = 0 ; x + 2 = 0

X = 6 x = -2

Tema 01: Ecuaciones de Segundo Grado O Cuadráticas

DEFINICIÓN

Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática o resolvente es una

Ecuación poli nómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la

expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa

en la forma canónica:

Donde:

a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0.

b el coeficiente lineal o de primer grado.

c es el término independiente.

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA


136

2) Por Fórmula: La fórmula general siempre solucionará cualquier caso de ecuación

cuadrática.

a

acbbx

2

42

Ejemplo 1:

Resolver:

Solución:

a = 1 ; b = -5 ; c = 6

En la fórmula general se tiene:

Rpta: C.S. = {2 ; 3}

Ejemplo 2:

Resolver: x2 + x + 1 = 0

Solución:

1c

1b

1a

conjugadascomplejasraices

ixix

x

2

212

3

2

1

2

3

2

1

2

411


137

I. ANÁLISIS DE SUS RAÍCES

Sea: ax2 + bx + c + = ; a 0

Se define el discriminante ():

; a , b , c R

PROPIEDADES

Ejemplo: x2 + x + 1 = 0 C.S. =

i2

3

2

1;i

2

3

2

1

= 12 – 4(1) (1) = -3 < 0

CASO

)únicaSolución(MULTIPLERAIZo

igualeserealesraíces20

Ejemplo:

2

1.S.C01x42x4

= (-4)2 – 4(4) (1) = 0

CASO

diferentes

yrealesraíces20

Ejemplo: x2 – 4x – 12 = 0 C.S. = {6 ; -2}

= 16 – 4(1) (-12) > 0

CASO

conjugadas

ysimaginaria

complejasraíces2

0

Si x1 = 2i x2 = -2i


138

II) OPERACIONES BÁSICAS CON LAS RAÍCES

Sea: ax2 + bx + c = 0 ; a 0 (sus raíces son x1 y x2)

Ejercicios:

1) Resolver:

Solución con Fórmula General:

Ejemplo 1: 4x

2x

2

1

raícessusdepartiratruidacosreecuación

2 08x6x

SUMA DE RAÍCES: a

bxx 21

PRODUCTO DE RAÍCES:

a

cx..x 21

DIFERENCIA DE RAÍCES: 21

2

21

2

21 xx4)xx()xx(

RECONSTRUCCION DE LA ECUACIÓN: 0xxx)xx(x 2121

2


139

2) Resolver:

Solución:

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

Los factorizamos por el método de Aspa Simple y obtenemos:

X2 – 7x + 10 = (x – 5) (x – 2) = 0

X – 5 = 0 ; x – 2 = 0

X = 5 x = 2

Rpta: C.S. = {2; 5}

3) Resolver:

Solución: Factorizamos el factor común: X2 – 5x = 0 X ( x – 5) = 0 x = 0 ; x - 5 = 0 X = 0 Rpta: C.S. = {0 ; 5}

4) Resolver e indicar las raíces y el conjunto solución:

x2 + (7 − x)2 = 25

Solución:

x2 + 49 – 14x + x2 = 25

2x2 – 14x + 24 = 0

x2 – 7x + 12 = 0


140

TEMA 2

Resuelve Inecuaciones cuadráticas e inecuaciones con Valor Absoluto, aplicando el método de puntos críticos y propiedades de valor absoluto, empleando intervalos de números reales para dar el conjunto solución.

Competencia:

de

Inecuaciones

Valor Absoluto

e

Segundo Inecuaciones

Grado

con



141

Una Inecuación es una desigualdad condicional en la que hay una o más cantidades

desconocidas (variables) y que solo se satisface para determinados valores de dicha

variable. Las inecuaciones de una sola variable son expresiones de la forma:

P(x) > 0 ; P(x) < 0 ; P(x) ≤ 0 ; P(x) ≥ 0

Entendemos por solución de una inecuación al conjunto de todos los números, en la

que al reemplazar cada uno de ellos en la variable “x” hace verdadera la

desigualdad. A continuación resolveremos los diversos tipos de inecuaciones de

una variable en R.

Tema 02: Inecuaciones de Segundo Grado e Inecuaciones con Valor Absoluto

INECUACIONDE DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS:

Son aquellas que se presentan de la siguiente forma

Forma General:

0)(

0)(

2

2

xbxaxxP

cbxaxxP

Donde: a ≠ 0 ; a, b, c R

MÉTODO DE SOLUCIÓN POR PUNTOS CRÍTICOS

Este método de solución busca factorizar la expresión cuadrática

para luego igualar los factores a cero y así hallar los puntos

críticos que serán ubicados en la recta real para dar el conjunto

solución según indique la desigualdad de la inecuación.


142

Ejemplo 1:

Hallar el conjunto solución de: x2 − 6x + 8 > 0

Solución:

Factorizamos la expresión cuadrática por el método de Aspa simple:

x2 − 6x + 8 = (x – 4) (x – 2)

x - 4 -4x

x - 2 - 2x

- 6x

Ahora escribimos la Inecuación con los factores:

(x – 4) (x – 2) > 0

Igualamos a cero cada factor y así hallamos los Puntos Críticos:

x – 4 = 0 ; x – 2 = 0

x = 4 x = 2

Ubicamos éstos puntos en la Recta Real y ésta queda dividida en segmentos (+) y

(-):

Como en la inecuación se tiene: (x – 4) (x – 2) > 0 “Mayor que cero”, nos

quedamos con los segmentos (+) y el conjunto solución serán intervalos abiertos.

Ojo: como la inecuación es sólo MAYOR que cero (no está tomando los valores

iguales

a los extremos de los intervalos), entonces se toman los intervalos abiertos.

Rpta: C.S. = ;42;

2 4 -∞ +∞ + - +

2 4 -∞ +∞ + - +


143

Ejemplo 2:

Hallar el conjunto solución de: x2 + 2x +1 ≥ 0

Solución:

Factorizamos la expresión cuadrática por el método de Aspa simple:

x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

x +1 +1x

x +1 +1x

+2x

Ahora se tiene:

(x + 1)2 ≥ 0

Como podemos analizar, todo número elevado al cuadrado es siempre positivo

(mayor o igual que cero), entonces los valores de “x” puede ser cualquier número

Real:

Rpta: C.S. = R

Ejemplo 3:

Hallar el conjunto solución de: 6x2 - 11x +9 > 0

Solución:

Hallamos la discriminante de la expresión cuadrática:

= (-11)2 – 4(6)(9) = 121 – 216 < 0

= -95 < 0 < 0

Como el discriminante es negativo, las raíces de la ecuación no son reales y la

inecuación:

x2 + x + 1 > 0 siempre será positivo y se verificará para todo x R por

tanto el conjunto solución será:

Rpta: C.S. = R


144

Ejemplo 4:

Hallar el conjunto solución de: 4x2 - 16 ≤ 0

Solución:

Factorizamos la expresión cuadrática por diferencia de cuadrados:

4x2 - 16 = (2x)2 - (4)2 = (2x – 4 ) (2x + 4)

Hallamos los puntos críticos:

2x - 4 = 0 ; 2x + 4 = 0

X = 2 x = -2

Los ubicamos en la recta real:

El conjunto solución será el segmento negativo porque ahora la inecuación

es: 4x2 - 16 ≤ 0 “menor o igual que cero” y el intervalo será cerrado:

Ojo: como la inecuación es MENOR O IGUAL que cero (está admitiendo la

condición de igualdad, es decir se toman los extremos de los intervalos),

entonces el intervalo solución es cerrado.

Rpta: C.S. = 2;2

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin

tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por

ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones

de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y

físicos.

El valor absoluto de un número Real “x” se denota por: | x | y se define de

la siguiente manera:

| x | = x Si: x ≥ 0 | x | = 0 Si: x = 0 | x | = -x Si: x < 0

-2 2 -∞ +∞ + - +


145

Ejemplos: 1) | 5 | = 5 2) | - 5 | = - (- 5 ) = 5 3) | 0 | = 0

PROPIEDADES FUNDAMENTALES:

No negatividad

Definición positiva

Propiedad multiplicativa

Desigualdad triangular

22XX

; x R

Si: YX

X = Y ó X = -Y

Note que, por definición, el valor absoluto de X siempre será mayor o igual

que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real X es

siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de

un número Real X, es la distancia que hay del cero al número X.


146

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO:

yxyxyx

axaxaax

||||

)(0||

Ejemplo:

1) |2x + 1| = 5x + 3

Solución:

Se debe asegurar que: 5x + 3 ≥ 0 porque el resultado de un valor absoluto

no puede ser negativo, siempre será positivo ó cero.

5x + 3 ≥ 0 5x ≥ - 3

X ≥ -3/5

Además:

i) 2x + 1 = 5x + 3 ó ii) 2x + 1 = - (5x + 3)

-3x = 2 2x + 1 = - 5x - 3

X = - 2/3 7x = - 4

X = - 4/7

OTRAS PROPIEDADES

Otras dos útiles inecuaciones son:


147

Ahora se tiene que: X ≥ -3/5; entonces el valor de X que cumple ésta

condición

Es: X = - 4/7

Rpta: C.S. = {- 4/7 }

2) |2x2 – 2x - 1| = |x2 + 2|

Solución:

En ésta ecuación ya está garantizado que x2 + 2 ≥ 0 porque está afectado

de valor absoluto.

i) 2x2 – 2x - 1 = x2 + 2 ó ii) 2x2 – 2x - 1 = - (x2 + 2) x2 – 2x - 3 = 0 2x2 – 2x + 5 = - x2 – 2 (x – 3) (x + 1) = 0 3x2 – 2x + 7 = 0 = (-2)2 – 4(3)(7) = -80 < 0 X – 3 = 0 ; x + 1 = 0 X = 3 x = -1 x no es número Real. Rpta: C.S. = {-1 ; 3}

SOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO:

Resolver las siguientes inecuaciones:

Ejemplo 1: 212 x

Solución:

Elevamos al cuadrado ambos miembros: Por la propiedad 22

XX ;

x R

22

212 x

(2x + 1)2 > 4 4x2 + 4x + 1 > 4 4x2 + 4x – 3 > 0 Ahora factorizamos la expresión

cuadrática: (2x + 3) (2x – 1) > 0


2x + 3 = 0 ; 2x – 1 = 0

X = - 3/2 x = ½

En la recta real:

Rpta: C.S. de 212 x

es: ;2/12/3;

-3/2 1/2 -∞ +∞ + - +


148

Ejemplo 2:

642 xx

Solución:

| x2 – x + 4 |2 < ( 6 )2

(x2 – x + 4)2 – (6 )2 < 0 (aplicamos diferencia de cuadrados)

(x2 – x + 4 – 6) (x2 – x + 4 + 6 ) < 0

(x2 – x – 2 ) (x2 – x + 10 ) < 0 (Factorizamos los términos cuadráticos)

(x – 2) (x + 1) < 0 En (x2 – x + 10 ); < 0 allí no

encontramos solución

Los puntos críticos son:

X – 2 = 0 ; x + 1 = 0

X = 2 x = -1

Rpta: C.S. de 642 xx

es: 2;1

Ejemplo 3: Resolver: |3x – 1| < 5x – 3

Solución: Debemos hacer:

5x – 3 > 0 x > 3/5

C.S1. = <3/5 ; +∞>

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la desigualdad:

|3x – 1| < 5x – 3 ( |3x – 1|)2 < ( 5x – 3 )2

9x2 – 6x + 1 < 25x2 – 30x + 9

- 16x2 + 24x – 8 < 0 (se multiplica por -1)

16x2 - 24x + 8 > 0 (lo dividimos entre 8)

2x2 - 3x + 1 > 0 (factorizamos con aspa simple)

( x - 1 ) (2x – 1) > 0

-1 2 -∞ +∞ + - +


149

Los puntos críticos:

X – 1 = 0 ; 2x – 1 = 0

X = 1 x = ½

C.S2. = -∞ ; ½> U <1 ; +∞>

Finalmente: C.S.1 C.S.2 = <3/5 ; +∞> ( -∞ ; ½> U <1 ; +∞> )

C.S. = 1 ; +

1

+∞ -∞ +

1/2

- +

1

+∞ -∞

1/2 3/5


150

TEMA 3

Identifica y resuelve inecuaciones con fracciones, aplicando criterios y procedimientos correctos hasta dar el conjunto solución mediante intervalos de números reales.

Competencia:

Fraccionadas

Inecuaciones



151

Tema 03: Inecuaciones Fraccionadas

Las inecuaciones fraccionarias o racionales tienen la

incógnita en el denominador.

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo

similar a las de segundo grado, pero hay que tener

presente que el denominador no puede ser cero.

Las Inecuaciones Fraccionarias reducidas a su más

simple expresión toma la siguiente forma

FORMAS GENERALES:

0)(

)(

xQ

xP 0

)(

)(

xQ

xP

Donde P(x) y Q(x) son Monomios y Polinomios no nulos con coeficientes reales

SOLUCIONES DE INECUACIONES FRACCIONARIAS:

Recuerda: Si se tiene una desigualdad y se multiplica o divide a ambos miembros un

número positivo, la desigualdad no cambia.

Ejemplo:

-2 < 10

- 2 (4) < 10 (4)

-8 < 40 La desigualdad se mantiene en el mismo sentido.

Si se tiene una desigualdad y se multiplica o divide a ambos miembros un

número negativo, la desigualdad sí cambia.

Ejemplo:

-2 < 10

- 2 (-4) > 10 (-4)

8 > - 40 La desigualdad cambia de sentido.


152

Para hallar el conjunto solución de una Inecuación fraccionaria se

realizará los siguientes pasos:

1º) Reducir la Inecuación fraccionaria a su forma general aplicando

factorización, para eso ya se conocen los diferentes Métodos de

Factorización:

0

dcx

bax

0

dcx

bax

2º) Identificar el denominador de la expresión fraccionaria e indicar los

valores de la variable que la hacen cero, para no tomarlos en el

conjunto solución.

cx + d = 0

cx = -d

c

dx

Este valor no debe incluirse en el conjunto solución

3º) Multiplicamos a ambos lados de la desigualdad, el denominador de la

fracción elevado al cuadrado. Así:

22.0 dcxdcx

dcx

bax

Debes recordar que:

Una desigualdad no cambia si se multiplica a ambos miembros un

número positivo y la expresión: (cx + d)2 al estar elevado al

cuadrado, está garantizado que es un valor positivo (+).

4º) La expresión ahora queda reducida a:

22.0 dcxdcx

dcx

bax

0 dcxbax (Expresión reducida)

5º) Al tener la Expresión Reducida, se procede con el Método de los

Puntos Críticos para hallar finalmente el Conjunto Solución.

Ejemplo 1:

Hallar el conjunto solución de:


153

Solución:

1º) La expresión ya está reducida a su forma general:

2º) Identificamos el cero del denominador:

X – 4 = 0

X = 4

Este valor de X no se debe incluir en el Conjunto Solución

3º) Multiplicamos (x – 4)2 a ambos miembros de la desigualdad:

224.04

4

2

xx

x

x

0)4)(2( xx

4º) Expresión reducida: 0)4)(2( xx

5º) Hallamos los Puntos Críticos:

x – 2 = 0 ; x – 4 = 0

x = 2 x = 4

En la Recta real se tiene:

Rpta: C.S. de 04

2

x

x es: ;42;

Ejemplo 2:

Hallar el conjunto solución de: 22

3

x

x

Solución: 1º) La expresión se reduce a su forma general:

022

3

x

x 0

2

)2(23

x

xx

02

423

x

xx

02

7

x

x

Mayor o igual que cero

2 4 -∞ +∞ + - +


154

Cambiamos el signo del numerador multiplicando por (-1) a ambos

miembros y tenemos:

02

7

x

x Forma general

2º) Identificamos el cero del denominador:

x - 2 = 0

x = 2

Este valor de X no se debe incluir en el Conjunto Solución.

3º) Multiplicamos (x – 2)2 a ambos miembros de la desigualdad:

222.02

2

7

xx

x

x

4º) Expresión reducida: 027 xx

5º) Hallamos los puntos críticos:

x - 7 = 0 ; x - 2 = 0

x = 7 x = 2

En la recta real se tiene:

Rpta: El C.S. de 22

3

x

x es: ;72;

Ejemplo 3:

Hallar el conjunto solución de:

01

1892

2

x

xx

Solución:

01

1892

2

x

xx

011

36

xx

xx

Mayor que cero

2 7 -∞ +∞ + - +


155

x - 1 = 0 ; x + 1 = 0

x = 1 x = -1

Estos valores no se incluyen en el conjunto solución

2211.011

11

36

xxxx

xx

xx

01136 xxxx

Los puntos críticos:

x + 6 = 0 ; x + 3 = 0 ; x - 1 = 0 ; x + 1 = 0

x = -6 x = -3 x = 1 x = -1

En la recta real:

Rpta: El C.S. de 01

1892

2

x

xx es:

;11;36;

-

-6 -3 -1 1

+ +∞ -∞

+ - +


156

TEMA 4

Identifica y resuelve inecuaciones con radicales, aplicando criterios y procedimientos correctos hasta dar el conjunto solución mediante intervalos de números reales.

Competencia:

con Radicales

Inecuaciones



157

Tema 04: Inecuaciones con Radicales

Para resolver inecuaciones con radicales se debe tener precaución

en los signos (sentido de la desigualdad); sobre todo cuando

eliminamos los radicales, se requiere hacer un estudio (análisis) del

campo de variación de la variable contenida en el radical toda vez

que la solución dependa de este campo.

Para mejor comprensión veremos a continuación los

diferentes casos de inecuaciones con radicales en los

siguientes ejemplos:

Ejemplo 1:

Resolver: 3162 x

Solución:

I. Análisis: Recordamos que una expresión contenida bajo una “raíz

cuadrada” siempre será cero ó positivo

(x2 – 16 ≥ 0) para que el resultado de dicha radicación sea

un número real.

Así: x2 – 16 ≥ 0

( x - 4 ) ( x + 4 ) ≥ 0

Puntos críticos:

x - 4 = 0 ; x + 4 = 0

x = 4 x = -4

En la recta real:

Solución parcial:C.S.1 = ;44;

-4 4 -∞ +∞ + - +


158

II. Ahora trabajos con la inecuación original y buscamos la eliminación del

radical:

3162 x

22

2 316 x x2 - 16 < 9 x2 - 16 - 9 < 0

x2 - 25 < 0 (x – 5) (x + 5) < 0

Puntos críticos:

x - 5 = 0 ; x + 5 = 0

x = 5 x = -5

En la Recta real:

Solución Parcial: C.S.2 = 5;5

Solución Final:

Para hallar la solución final de la inecuación, realizamos la intersección de

las soluciones parciales

Rpta. El conjunto solución de: 3162 x es: 5;44;5

5 -5

- + + +∞ -∞

-5 5 -∞ +∞

-4 4


159

Ejemplo 2:

Resolver: 42422 xx

Solución:

I. Análisis:

La expresión que tenemos bajo el signo radical debe ser cero o

positivo para que el resultado del radical sea un número real.

x2 - 2x - 24 ≥ 0

(x – 6 ) (x + 4) ≥ 0


X - 6 = 0 ; x + 4 = 0

X = 6 x = - 4

En la recta real.

Solución parcial: C.S.1 = ;64;

II. En la Inecuación: 42422 xx ; siempre el resultado del

radical será cero o positivo, es decir siempre será mayor que -4, por

lo tanto ahí el conjunto solución serán todos los Reales:

Solución Parcial: C.S.2 = R

Solución Final:

Para hallar la solución final de la inecuación, realizamos la intersección

de las soluciones parciales:

C.S.1 C.S.2 = ( ;64; ) R

Rpta. El conjunto solución de:

42422 xx es: ;64;

-4 6 -∞ +∞ + - +


160

Ejemplo 3:

Resolver: xxx 662

Solución:

I. Análisis: La expresión que está debajo del signo radical debe ser “mayor o

igual a cero” para que la raíz sea Real.

Como el primer miembro es menor que el segundo miembro,

entonces el segundo miembro debe ser necesariamente mayor que

cero (debe ser positivo) porque ya se dijo que el radical va resultar

“mayor o igual que cero”. (Una raíz cuadrada nunca resulta negativo

en los reales)

Así tenemos

x2 - x - 6 ≥ 0 6 – x > 0

(x – 3 ) (x + 2 ) ≥ 0 x < 6

Tomando los puntos críticos:

X - 3 = 0 ; x + 2 = 0

X = 3 x = -2

En la Recta real:

Solución parcial: C.S.1 :

C.S.1 =

-2 3 -∞ +∞ + - +

-2 3 -∞ +∞

6


161

II. Ahora elevamos al cuadrado ambos miembros de la inecuación:

xxx 662

22

2 66 xxx

22 12366 xxxx

04211 x C.S.2 : 11

42x

Solución Final:

Para hallar la solución final de la inecuación, realizamos la intersección de

las soluciones parciales:

C.S.1 C.S.2

Rpta. El conjunto solución de: xxx 662 es:

11

42;32;

-2 3 -∞ +∞

6


162

Ingresa al Link: “Ecuaciones e inecuaciones” lee atentamente las

indicaciones, desarrolla los ejercicios y envíalo por el mismo medio:

1) Determinar el valor de “n” en la ecuación: 07n)x(25x2 Si la

suma de sus raíces es –23.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

2) Resolver: x2 + 7x + 12 > 0

a) - ; -8

b) - ; 1

c) - ; -4 -3 +

d) - ; 2 3 ; +

e) - ; -10

Números Naturales http://wwwxld.dim.uchile.cl/~docencia/calculo/material/presentacion_semana/Semana02_print

.pdf

Ecuación Cuadrática http://www.youtube.com/watch?v=MJEkXE0fi6M

Solucionario de Ecuaciones http://a-einstein.com/DownloadG/SolIne.pdf


Actividades y ejercicios

http://wwwxld.dim.uchile.cl/~docencia/calculo/material/presentacion_semana/Semana02_print.pdf

http://wwwxld.dim.uchile.cl/~docencia/calculo/material/presentacion_semana/Semana02_print.pdf

http://www.youtube.com/watch?v=MJEkXE0fi6M

http://a-einstein.com/DownloadG/SolIne.pdf


163

3) Resolver: |2x – 1| = x

a) C.S. = { -1 ; 1}

b) C.S. = { - 1/3 ; 1}

c) C.S. = { 1/3 ; 1}

d) C.S. = { 1 ; 3}

e) C.S. = { 1/3 ; 1/2}

4) 1x

1

1x

1x

2

a) - ; -1 0 ; +

b) - ; 1 2 ; 5

c) - ; 1 2 ; 3

d) - ; 1 2 ; 5

e) 2 ; 5

5) Resolver: 1x5x4x2

a) x -1 ; 1/12 1/12 ; 3

b) x - ; 9 9 ;

c) x -2 ; 9 9 ; 12

d) x - ; 12 12 ; +

e) x 1/2 ; +


164



1) Resolver: 067x2x 2 y dar el conjunto solución en R

a) < 3/2 ; 2 ] b) < 3/2 ; 2 > c) [ 3/2 ; 2 > d) [ - 3/2 ; 2 > e) [ 3/2 ; 2 ]

2) Dar el conjunto solución de:

a) { -2 ; 2} b) {2} c) {0 ; 2} d) {-1 ; 2} e) {-2 ; 3}

3) Resolver: |x + 3| < |3x – 4|

a) ;2

7

4

1;.S.C

b) 4

1;.. SC

c) ;2

7..SC

d)

;

2

7

4

1;..SC

e)

;

2

7

4

1;..SC

4) 73x

3x13

a) - ; -4] 3 ; +

b) - ; -1 3 ; +

c) - ; 3/8 2 ; +

d) - ; 6

25

e) 45

5) Resolver: 0421

43

2

2

x

xx

A)

a) < -5 ; 2> U [4 ; 5>

B)

b) < -5 ; 2] U [4 ; 5>

C)

c) < -5 ; 2> U <4 ; 5>

D)

d) < -5 ; 2> U <4 ; +∞>

e) < -∞ ; 2> U <4 ; +∞>

Autoevaluación


165

UUNNIIDDAADD DDEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE IIVV::

Resumen

1. Ecuaciones de Segundo grado o cuadráticas

Ax2 + Bx + C = 0

Fórmula General:

ax2 + bx + c = 0

x =−b ± √b2 − 4ac

2a

3. Inecuaciones Fraccionarias Las inecuaciones fraccionarias o racionales tienen la incógnita en el denominador.

Son de la forma:

0

dcx

bax 0

dcx

bax

4. Inecuaciones con Radicales Los elementos de una radicación son:

Para solucionar las inecuaciones con radicales, se

realizará: Para determinar el conjunto solución de inecuaciones

con radical se recomienda el siguiente proceso

Determinar el intervalo de valores para el cual las

raíces de índice par existen (I.V.A.).

Se cambia la interacción por ecuación y se resuelve,

de esta manera se obtiene puntos críticos.

Se grafica en la recta numérica el I.V.A. y los puntos

críticos

Se asignan valores pertenecientes a cada

subintervalo para determinar solución.

2. Inecuaciones de Segundo Grado e Inecuaciones con Valor Absoluto Una inecuación es una desigualdad y que solo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades de condición.

Pasos a tener en cuenta para resolver una inecuación. a. si se multiplican los dos miembros de una inecuación por un número positivo, se

mantiene el sentido de la inecuación. b. Ídem si se suma un mismo número a los dos miembros. c. Si se multiplican ambos miembros por un número negativo, se invierte el

sentido de la inecuación. Una inecuación cuadrática es de la forma ax2 + bx + c < 0 (ó >0, ≥ 0, ≤ 0), donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. La inecuación cuadrática está en su forma estándar cuando el número cero está a un lado de la inecuación. Valor Absoluto:


166

Glosario

CONJUNTO: Es una colección de objetos. Los objetos de la colección pueden ser

cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los

objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.

NÚMERO: es una entidad abstracta que representa una cantidad (de

una magnitud). El símbolo de un número recibe el nombre de numeral o cifra. Los

números se usan en la vida diaria como etiquetas (números de teléfono,

numeración de carreteras), como indicadores de orden (números de serie), como

códigos (ISBN), etc.

NÚMERO NATURAL: Es cualquiera de los números que se usan para contar los

elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que

utilizó el ser humano para contar objetos.

NÚMERO ENTERO: (ℤ) Son una generalización del conjunto de números

naturales (ℕ) que incluye números enteros negativos (resultados de restar a un

número natural otro mayor), además del cero. El hecho de que un número sea

entero, significa que no tiene parte decimal. Los números enteros negativos

pueden aplicarse en diversos contextos, como la representación de profundidades

bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, o deudas, entre otros. El cero

(neutro) no se considera ni positivo ni negativo.

NÚMERO RACIONAL: Todo número que puede representarse como el cociente de

dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término

racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional.

El conjunto de los números racionales se denota por , que significa «cociente».

Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de

los números reales.

NÚMERO IRRACIONAL: Es cualquier número real que no es racional, es decir, es

un número que no puede ser expresado como una fracción. Las raíces inexactas

son consideradas Irracionales.

Los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos

especiales; los tres principales son los siguientes:

π (Número "pi" 3,1415 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

e (Número "e" 2,7182 ...)

Φ (Número "áureo" 1,6180 ...)

NÚMEROS REALES: Son aquellos usados para representar una cantidad continua

(incluyendo el cero y los negativos). Se puede pensar en un numero real como


167

una fracción decimal posiblemente infinita, como 3,141592.... Los números reales

tienen una correspondencia biunívoca con los puntos en una línea, llamada recta

real. Al conjunto de los números reales se le suele notar con la letra ℝ.

ECUACIÓN: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas,

denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y

desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los

valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y

también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras

operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen

los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

INECUACIÓN: Es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los

signos de desigualdad. Siendo una expresión algebraica nos da como resultado

un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera

de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este conjunto se le conoce

como Intervalo.

SISTEMA DE ECUACIONES: Es un conjunto de dos o más ecuaciones con

varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en

encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

INTERVALOS: Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de

una recta o segmento, en el que se encuentra un ordenamiento interno entre

ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro en el cual se

toman en cuenta todos los puntos intermedios.

PRODUCTOS NOTABLES: Es el nombre que reciben

aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser

escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas

reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas

multiplicaciones habituales.

FACTORIZACIÓN: Es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número

compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más

pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números

primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el

número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza

como binomio conjugados (a - b)(a + b).


168

Fuentes de Información

BIBLIOGRÁFICAS:

VENERO B. , Armando: Matemática Básica. Ediciones Gemar. Lima – Perú.

VENERO B. , Armando: Análisis Matemático I. editorial Ciencias S.R.L. Lima 1991

ESPINOZA RAMOS, Eduardo: Análisis Matemático I. Editorial Ciencias 4º Edición.

Lima – Perú

HAASER – SULLIVAN LASALLE: Análisis Matemático Vol. I Edit. Trillas, séptima

CLAUDIA NEUHAUSER : Matemática Para Ciencias segunda, 2004

ELECTRÓNICAS:

Teoría De Conjuntos: http://ccognoscitiva.iespana.es/rrr_conjuntos.pdf

http://www.itchetumal.edu.mx/paginasvar/Maestros/mduran/Archivos/Unidad%204%20Rela

ciones.pdf

Conjuntos De Los Números Reales http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-

expresionesalgebraicas/pdf/NumerosReales.pdf

Expresiones Algebraicas http://sectormatematica.cl/librosmat/libronivel8.pdf

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-

expresionesalgebraicas/pdf/expresiones-algebraicas.pdf

Ecuaciones E Inecuaciones http://www.vitutor.com/ecuaciones/ine/r_e.html

http://www.vitutor.net/2/9/inecuaciones_fraccionarias.html

http://joseluislorente.es/4eso/temas4/Tema4.pdf

VIDEOS

http://www.youtube.com/watch?v=BukDIghkThw

http://www.youtube.com/watch?v=40VpwaisiMs

http://www.youtube.com/watch?v=a7TILobIBEw

http://www.youtube.com/watch?v=Ow_JEyvgjeY




http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-expresionesalgebraicas/pdf/NumerosReales.pdf

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-expresionesalgebraicas/pdf/NumerosReales.pdf

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http://www.youtube.com/watch?v=BukDIghkThw

http://www.youtube.com/watch?v=40VpwaisiMs

http://www.youtube.com/watch?v=a7TILobIBEw

http://www.youtube.com/watch?v=Ow_JEyvgjeY


169

1. c

2. b

3. e

4. a

5. a

1. a

2. d

3. d

4. a

5. c

1. e

2. b

3. e

4. c

5. c

1. a

2. e

3. a

4. a

5. b

Solucionario

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