PREFCIO A acstica musical uma rea do conhecimento muito vasta, quer pelas matrias que engloba, quer pelo seu carcter interdisciplinar. O nmero de artigos cientficos publicados e de congressos realizados nos ltimos anos atestam bem o seu desenvolvimento e o interesse crescente que desperta em investigadores e estudiosos. Tanto quanto sei, em Portugal praticamente no existe material publicado neste domnio. Pareceu-me oportuno a publicao de uma obra em portugus de carcter pedaggico, que desse uma panormica dos principais assuntos que tradicionalmente se associam acstica musical, preenchendo assim uma lacuna que se sentia cada vez mais urgente colmatar. Tratando-se de uma rea de carcter essencialmente cientfico, no possvel abordar a maioria dos assuntos com o mnimo de profundidade e rigor, sem utilizar como ferramentas de base, uma srie de noes de fsica e de matemtica. Na grande maioria dos livros existentes sobre acstica musical os autores optaram, ou por uma exposio simples, qualitativa, evitando qualquer frmula matemtica ou conceito fsico, ou por uma exposio bastante exigente do ponto de vista fsico-matemtico, tornando as obras inacessveis maioria dos leitores. No presente trabalho tentei uma abordagem relativamente simples do ponto de vista fsico-matemtico, mas sem evitar a utilizao de determinadas frmulas e conceitos, quando os assuntos assim o exigiam. O problema que se colocou inicialmente foi, portanto, o de definir o nvel fsico-matemtico da exposio. Sendo este livro dirigido principalmente a msicos estudantes, professores e executantes , ps-se a questo central da sua preparao a nvel cientfico. Para permitir aos leitores, sejam quais forem os seus conhecimentos cientficos, a compreenso integral do texto, optei por elaborar alguns apndices onde so expostas as noes de fsica e matemtica consideradas necessrias. Deste modo, nos Apndices A, B e C foram reunidas uma srie de noes e conceitos bastante diversificados que permitiro ao leitor compreender os aspectos de carcter cientfico focados no livro. A abordagem escolhida poder afastar alguns potenciais leitores, mas a alternativa seria uma exposio superficial, essencialmente qualitativa que no permitiria abordar muitas questes importantes que so focadas, enquanto que outras no seriam expostas cabalmente. Pensando nos leitores que no esto minimamente motivados para a explicao cientfica dos fenmenos, foi criado outro nvel de leitura: ao longo do livro, encontraro uma srie de Caixas onde so focados assuntos interessantes, tratados de uma maneira qualitativa. Nos dois nveis de leitura, espero de algum modo ter contribudo para desmistificar a ideia de que uma abordagem cientfica dos fenmenos se ope ao esprito artstico. Tradicionalmente, uma parte dos msicos no est partida sensibilizada para abordar os fenmenos fsicos inerentes prpria msica, desconhecendo os benefcios a vrios nveis que uma mudana de atitude lhes traria. A intuio e o seu sentido artstico no sero certamente diminudos pela compreenso cientfica dos fenmenos. No caso concreto da acstica musical, pode ser til em vrios aspectos, dos quais destaco: melhorar as condies de execuo e de audio, dos msicos entre si e do pblico; melhorar a qualidade dos instrumentos musicais; permitir uma melhor compreenso de muitos fenmenos e problemas bem conhecidos dos msicos da sua prtica instrumental quotidiana. Tendo a acstica musical como objectivo o estudo, compreenso e anlise de fenmenos musicais, a msica nunca dever ser perdida de vista. Analisar e dissecar os sons isoladamente, no dever fazer alterar a sensao nica que se tem ao ouvir um trecho no seu todo. Contando com a prestimosa colaborao de um grupo de msicos, gravei uma srie de sons de instrumentos musicais que foram analisados e comentados, os quais so apresentados no disco compacto includo neste livro. A preceder cada exemplo sonoro o msico executa um pequeno solo de apresentao do seu instrumento. Este livro no se destina apenas a msicos. Estudiosos de outras reas, podero tambm encontrar nele motivos de interesse. A acstica musical , para todos os efeitos, um ramo da acstica, cincia que estuda o som. Em todos os momentos e situaes do quotidiano, o som est presente, e os mecanismos da sua produo, transmisso e recepo so idnticos em qualquer rea. A acstica no tem sido devidamente contemplada do ponto de vista curricular em reas em que fundamental, como fsica, engenharia, arquitectura, fontica, e como tal, espero que o presente trabalho possa tambm interessar a leitores dessas reas. O presente projecto, de certo modo complementar do livro Instrumentos Musicais publicado pela Fundao Calouste Gulbenkian nesta mesma srie. Porto, Outubro de 2002 O autor

NDICE GERAL Introduo A ACSTICA MUSICAL .................................................................................................................... 1 1 Arte e cincia; 2 Msica: som e silncio; 3 Domnio da acstica musical; 4 Notas. Captulo 1 BREVE HISTRIA DA ACSTICA MUSICAL ............................................................................. 13 1.1 Antiguidade; 1.2 Idade Mdia; Cincia muulmana; 1.3 Renascena; 1.4 Sculo dezassete; Academias cientficas; Propagao do som; Origem da palavra acstica; 1.5 Sculo dezoito; Sons de combinao; 1.6 Sculo dezanove; 1.7 Sculo vinte; Publicaes; Investigadores e unidades de investigao. Captulo 2 SISTEMAS VIBRATRIOS SIMPLES ............................................................................................ 43 2.1 Movimento e oscilao; Vibraes mecnicas e acsticas; 2.2 Frequncia, perodo e amplitude; Sistema massa/mola; 2.3 Sistemas com um grau de liberdade; 2.4 Oscilador simples; Osciladores; Movimento harmnico simples; Propriedades do MHS; Constante de rigidez; Importncia do MHS; Energia de um oscilador livre; 2.5 Frequncia prpria de um oscilador; Pndulo gravtico simples; A mola de ar; 2.6 Ressoador de Helmholtz; 2.7 Fase das oscilaes; Fase e timbre; 2.8 Oscilaes livres; Equao do movimento; Amortecimento; Modelos de dissipao; Tempo de decaimento; 2.9 Oscilaes foradas; Factor de qualidade; Regime transitrio e regime forado; 2.10 Exemplos ilustrativos; Ressonncia; Diapaso; Vibrao por simpatia; 2.11 Dissipao nos instrumentos musicais. Captulo 3 SISTEMAS VIBRATRIOS COMPLEXOS.................................................................................... 99 Sistemas vibro-acsticos e a sua modelao 3.1 Conceito de sistema; Classificao dos sistemas; Sistemas sem memria e sistemas com memria; 3.2 Modelao fsica de um sistema; Condies iniciais e condies aos limites; Algoritmos; Simulao numrica; 3.3 Efeitos no-lineares; Princpio da sobreposio; Sons de combinao ou resultantes; Distoro; Distores no-lineares importantes; Efeito de salto; Concluses sobre os efeitos no-lineares; 3.4 Linearizao de sistemas; Aproximao linear de uma funo; Aproximao polinomial de uma funo; Integrao numrica das equaes diferenciais; 3.5 Sistemas auto-excitados; Ciclos-limite; Linearmente instvel, no-linearmente estvel; 3.6 Sistemas com vrios graus de liberdade; 3.7 Sistemas contnuos; 3.8 Discretizao de um sistema; Sistemas contnuos e sistemas discretos; Mtodo dos elementos finitos; 3.9 Modos vibratrios; Receita vibratria; Modos de corpo rgido; Ressoadores mltiplos; Conceito de funo de transferncia; 3.10 Ondas estacionrias; Ondas estacionrias/Modos vibratrios. Componentes essenciais dos instrumentos musicais 3.11 Tubos; Ondas estacionrias; Comprimento acstico de um tubo; 3.12 Cordas; Vibrao transversal; Vibrao longitudinal; Vibrao torcional; Vibrao de oitava; 3.13 Barras e placas; 3.14 Membranas. Consideraes sobre os sons musicais 3.15 Sons audveis, ultra-sons e infra-sons; 3.16 Caractersticas do som; Frequncia; Intensidade; 3.17 Anlise de um som musical; Perodos transitrios e de estabilidade; Regime transitrio/Regime permanente; Informao contida num som musical; Formantes; 3.18 Som puro: a unidade bsica; 3.19 Sons complexos; Som fundamental; Sub-harmnicos; 3.20 Srie dos harmnicos; 3.21 Teorema de Fourier; Srie de Fourier; 3.22 Inarmonicidade dos parciais; Bloqueamento de frequncias. Captulo 4 ONDAS................................................................................................................................................ 193 4.1 O que uma onda; Ondas de diferente natureza; Direco de propagao; Ondas dispersivas e no-dispersivas; 4.2 Comprimento de onda; 4.3 Propagao do som; Frente de onda; Ondas sonoras; Dimenso do meio de propagao; 4.4 Velocidade de propagao; Meios gasosos; Meios slidos; Meios lquidos; 4.5 Equao de propagao das ondas; Equao de onda; Impedncia; 4.6 Impedncia acstica especfica; Impedncia acstica; Impedncia mecnica; 4.7 Interferncia de ondas; Batimentos; Efeito coral; 4.8 Ondas estacionrias; 4.9 Radiao sonora; Monopolos, dipolos e quadripolos; Radiao de um diapaso; Eficincia de radiao; Direccionalidade; 4.10 Absoro; 4.11 Reflexo; 4.12 Difraco; 4.13 Refraco; Efeito da temperatura; Efeito do vento; 4.14 Efeito Doppler; Aplicaes do efeito Doppler; Ondas de choque; 4.15 Campos sonoros; 4.16 Grandezas acsticas caractersticas; O decibel; 4.17 Energia e potncia de uma fonte sonora; Lei do inverso do quadrado da distncia; Densidade de energia; 4.18 Intensidade sonora; 4.19 Presso acstica; Presso sonora e direccionalidade da fonte; Medio de nveis de presso sonora; 4.20 Combinao de fontes sonoras; Fontes coerentes e fontes incoerentes. Captulo 5 ANLISE DE SONS E INSTRUMENTAO ACSTICA E VIBRATRIA ........................... 255 Mtodos tericos e experimentais de anlise de sons 5.1 Representaes temporais; 5.2 Representaes espectrais e anlise de Fourier; Anlise de Fourier; Desenvolvimento da srie de Fourier; Transformao de Fourier; Transformao rpida de Fourier; 5.3 Representaes temporais-frequenciais; Resoluo no tempo e resoluo em frequncia; Transformao por ondculas; Limpeza do rudo de fundo; 5.4 Anlise e processamento de sinais; 5.5 Filtros; Bandas de frequncias; 5.6 Curvas de impedncia e curvas de admitncia; Modos vibratrios de uma barra; Modos acsticos de um tubo; 5.7 Identificao modal; 5.8 Outros mtodos de anlise; Anlise cepstral; Densidade de probabilidade em amplitude;

Operao de convoluo; Funes de autocorrelao e de intercorrelao; Espectro mdio de longa durao (LTAS); 5.9 Solues informatizadas. Instrumentao acstica e vibratria 5.10 Geradores de sinais; 5.11 Fontes sonoras e vibratrias; Mtodos de excitao; Varrimento em frequncia; Excitao impulsiva; Excitao aleatria; Shakers; 5.12 Captores acsticos e vibratrios; 5.13 Osciloscpio; 5.14 Analisadores espectrais. Frequencmetro; 5.15 Sonmetros; 5.16 Songrafo; 5.17 Estroboscpio; 5.18 Interferometria hologrfica; Laser e hologramas; Interferogramas hologrficos; 5.19 Intensimetria; 5.20 RASTI; 5.21 Cmaras reverberantes e anecicas. Captulo 6 INTRODUO AOS INSTRUMENTOS MUSICAIS ................................................................... 309 6.1 O instrumento musical do ponto de vista fsico; Sistema excitador; Sistema ressoador; Sistema radiante; Interaco dos sistemas excitador, ressoador e radiante; Aspectos lineares e no-lineares; 6.2 Classificao dos instrumentos; 6.3 Disposio dos instrumentos na orquestra sinfnica; 6.4 Caractersticas tmbricas; Durao dos transitrios; Gama dinmica; Vibrato; Regies formnticas; 6.5 Radiao e direccionalidade; 6.6 O conceito de qualidade de um instrumento. Captulo 7 CORDOFONES FRICCIONADOS.................................................................................................. 333 7.1 Aspectos da construo do violino; Renversement; 7.2 Propriedades das madeiras de lutherie; 7.3 Verniz; 7.4 Cavalete; 7.5 Alma; 7.6 Surdina; 7.7 Cordas reais e afinao; Estabilizao das cordas; Afinao, flattening e jitter; 7.8 Arco; 7.9 A corda friccionada; 7.10 Modos vibratrios de uma corda; 7.11 Sul tasto, sul ponticello; 7.12 Harmnicos; 7.13 Modos vibratrios do violino; Nomenclatura dos modos; Modos da cavidade do ar; Placas livres e violino montado; 7.14 Radiao sonora; 7.15 Nota do lobo; Causas fsicas; 7.16 Violoncelo; Comparao de dois violoncelos; 7.17 Viola; 7.18 Contrabaixo. Captulo 8 CORDOFONES DEDILHADOS ...................................................................................................... 397 8.1 Estrutura da guitarra; 8.2 A corda dedilhada; 8.3 Influncia do ataque; 8.4 Espaamento dos trastos; 8.5 Modos vibratrios da guitarra; 8.6 Modos acsticos da cavidade do ar; 8.7 Qualidade sonora de uma guitarra; 8.8 Radiao sonora; 8.9 Travejamento; 8.10 Cavalete; 8.11 Guitarra portuguesa; 8.12 Guitarra inglesa. Captulo 9 CORDOFONES DE TECLA ............................................................................................................ 425 9.1 Estrutura do piano; 9.2 Mecnica; Mecnica vienense e mecnica inglesa; 9.3 Timing e toucher; Sequncia temporal dos movimentos (timing) da mecnica; 9.4 Cordas; Cordas mltiplas e afinao; Tenso das cordas; Ponto de ataque; 9.5 Modos vibratrios das cordas; 9.6 Inarmonicidade e afinao; Afinao esticada; 9.7 Martelo; Comportamento no-linear do martelo; Harmonizao dos martelos (voicing); 9.8 Interaco martelo/corda; 9.9 Modos do tampo harmnico; 9.10 Radiao sonora; direccionalidade; 9.11 Anlise do som do piano; Piano: vibrao livre ou forada?; Decaimento sonoro do piano; 9.12 Cravo; 9.13 Clavicrdio. Captulo 10 MEMBRANOFONES ...................................................................................................................... 471 10.1 Vibrao de membranas; Figuras de Chladni; Membrana ideal; Membrana real; Decaimento dos modos; 10.2 Baquetas; 10.3 Timbales; Influncia do corpo do timbale; 10.4 Modos que definem a altura; 10.5 Anlise tmbrica do timbale; Influncia do ponto de ataque; Radiao sonora; 10.6 Caixa; Radiao sonora; 10.7 Bombo; 10.8 Tabla; 10.9 Adufe; 10.10 Outros membranofones. Captulo 11 IDIOFONES ..................................................................................................................................... 499 11.1 Vibrao de barras e varas; 11.2 Idiofones auto-excitados; 11.3 Harmnica de vidro; 11.4 Afinao das barras; 11.5 Ressoadores; 11.6 Diapaso; Instrumentos com diapases; 11.7 Xilofone; 11.8 Marimba; 11.9 Vibrafone; 11.10 Glockenspiel; 11.11 Sinos tubulares; 11.12 Tringulo; 11.13 Placas vibrantes; 1.14 Pratos; Zildjian; 11.15 Sinos. Captulo 12 AEROFONES I: FLAUTAS............................................................................................................ 527 12.1 Tubos aberto-aberto e fechado-aberto; Velocidade e presso das partculas; 12.2 Influncia da conicidade do tubo; 12.3 Frequncia de corte; 12.4 Efeito acstico dos orifcios laterais; 12.5 Influncia do material do tubo; 12.6 Mecanismos de produo do som; Flauta de bisel; 12.7 Flauta transversal; 12.8 Radiao sonora; 12.9 Sons multifnicos; 12.10 Traverso; Comparao do traverso com a flauta moderna; 12.11 Flauta de bisel; 12.12 Flautim; 12.13 Geometria da embocadura; Turbulncia e vorticidade. Captulo 13 AEROFONES II: PALHETAS ....................................................................................................... 563 13.1 Sistema acoplado palheta/tubo; 13.2 Palhetas rgidas e flexveis; 13.3 Comportamento no-linear da palheta; 13.4 Presso de sopro e fluxo de ar; 13.5 Ar exalado e afinao; 13.6 Obo; 13.7 Obo de amor; 13.8 Corne ingls; 13.9 Fagote; 13.10 Fagote barroco; 13.11 Dulcian; 13.12 Contrafagote; 13.13 Clarinete soprano; 13.14 Clarinete baixo; 13.15 Radiao sonora; 13.16 Saxofone; 13.17 Cromorne; 13.18 Multifnicos.

Captulo 14 AEROFONES III: METAIS ........................................................................................................... 601 14.1 Caracterizao acstica dos metais; Curvas de impedncia de entrada; 14.2 Regimes de oscilao; 14.3 Bocal; 14.4 Pistes e vlvulas; 14.5 Surdinas; 14.6 Efeito acstico das surdinas; A mo como surdina; 14.7 Tcnica de execuo; Embocadura; A condensao indesejvel nos metais; 14.8 Trompa; 4.9 Trompa vienense; 14.10 Sons multifnicos; 14.11 Trompete; Imagens de Schlieren; 14.12 Trombone; 14.13 Tuba; 4.14 Radiao sonora; 14.15 Didjeridu. Captulo 15 AEROFONES IV: RGO ............................................................................................................ 641 15.1 Constituio do rgo; 15.2 Tubos labiais; 15.3 Flautas de chamin; 15.4 Tubos palhetados; 15.5 Mecanismo de produo do som; Modelao fsica; 15.6 Caracterizao do som do rgo; Transitrios; 15.7 Efeito do material do tubo; Vibrao das paredes do tubo; 15.8 Afinao; 15.9 Intonao; 15.10 Caracterizao acstica da intonao. Captulo 16 AEROFONES V: VOZ .................................................................................................................... 665 16.1 O rgo da voz; 16.2 Cordas vocais; Vibrao das cordas vocais; 16.3 Respirao e presso subgltica; 16.4 Mecanismo da fonao; 16.5 Som larngeo; Frequncia fundamental; 16.6 Glotogramas e electroglotogramas; Electroglotografia (EGG); 16.7 Registos; 16.8 Formantes; Articuladores; 16.9 Vogais; 16.10 Consoantes; 16.11 Jitter e shimmer; 16.12 Modelao fsica; 16.13 A voz dos cantores; Formante dos cantores; Ressonncia do peito; 6.14 Afinao dos formantes; 16.15 Vibrato; 16.16 Voz cantada/voz falada; 16.17 Reconhecimento automtico da fala; 16.18 Sntese da fala; Mquinas falantes; Prosdia; Percepo da fala; 16.19 Fontica; 16.20 Transcrio fontica; Alfabeto fontico internacional. Captulo 17 ELECTROFONES E SNTESE: DO ANALGICO AO DIGITAL .......................................... 713 17.1 Electrofones; 17.2 Telharmonium; 17.3 Trautonium; 17.4 Theremin; 17.5 Ondas martenot; 17.6 Analgico versus digital; 17.7 Digitalizao e aliasing; Teorema de Shannon; Aliasing; 17.8 Introduo sntese sonora; 17.9 Sintetizadores analgicos e digitais; 17.10 Sntese aditiva; 17.11 Sntese subtractiva; 17.12 Sntese por sons samplados; 17.13 Sntese por modelao fsica; 17.14 Outros processos; Sntese granular; Sntese FM; Estimulao modal; 17.15 MIDI. Captulo 18 EXPERIMENTAO E INOVAO NOS INSTRUMENTOS MUSICAIS ........................... 733 18.1 Inovao nos instrumentos musicais; 18.2 Violino Savart; 18.3 Violinos irregulares; 18.4 Octeto de violinos; 18.5 Famlia de guitarras; 18.6 Experimentao em pianos; O Imperial; 18.7 Pianos Fazioli; 18.8 Piano preparado; 18.9 Instrumentos microtonais; 18.10 Esculturas e estruturas sonoras; Structures sonores; 18.11 Compsitos e plsticos na construo de instrumentos. Captulo 19 ACSTICA DE SALAS................................................................................................................... 757 19.1 Equacionar a acstica de salas; Objectivo da sala; 19.2 Influncia da acstica da sala; Audio dos msicos; 19.3 Evoluo das salas; 19.4 Comportamento do som em espaos fechados; 19.5 Absoro sonora; 19.6 Coeficientes de absoro; Absoro do ar; 19.7 Painis acsticos; 19.8 Difuso sonora; Difusores de Schroeder; 19.9 Tempo de reverberao; Frmula de Sabine; Frmula de Eyring-Norris; 19.10 Mtodos de medio; 19.11 Correco acstica; 19.12 Modos acsticos; Salas de planta no-rectangular; 19.13 Densidade modal; Colorao; Cantar no chuveiro; 19.14 Tamanho acstico de uma sala; Percurso livre mdio; 19.15 Som directo e som reflectido; Reflexes da sala e percepo sonora; Efeito de precedncia; 19.16 Parmetros fsicos; 19.17 Caractersticas subjectivas; 19.18 Projecto acstico; Reflexes laterais; 19.19 Simulao biaural de salas de concerto; 19.20 As melhores salas do mundo; 19.21 Outras salas; Grande Auditrio da Gulbenkian; Sala de La Chaux-de-Fonds; Konserthuset de G`teborg; 19.22 Igrejas. Captulo 20 SISTEMA AUDITIVO..................................................................................................................... 809 20.1 Descrio geral do ouvido; 20.2 Ouvido externo; 20.3 Ouvido mdio; Tmpano; Cadeia ossicular; 20.4 Ouvido interno; Labirinto sseo; Labirinto membranoso; Cclea; Membrana basilar; rgo de Corti; 20.5 Funo do ouvido externo; Corneta acstica; Efeito de ressonncia; 20.6 Mecanismo e funo do ouvido mdio; Vibrao da membrana do tmpano; Trompa de Eustquio; 20.7 Sistema muscular de proteco auditiva; Movimentos do estribo; 20.8 Adaptao de impedncia; 20.9 rgos do equilbrio; 20.10 Clulas ciliadas; 20.11 Teorias da audio; Primeiras teorias; Teoria de Helmholtz; Teoria de Bksy; 20.12 Mecanismo do ouvido interno; 20.13 Sistema nervoso auditivo perifrico; Neurnios, fibras nervosas e nervos; 20.14 Impulso nervoso; Neurnios do sistema auditivo; 20.15 Sistema nervoso auditivo central; 20.16 Emisso coclear e conduo ssea; 20.17 Exposio a sons intensos; Danos fsicos e psquicos; 20.18 Preveno e proteco auditivas. Captulo 21 PERCEPO DOS SONS MUSICAIS.......................................................................................... 859 21.1 Diferenas mnimas perceptveis; 21.2 A no-linearidade do ouvido; Harmnicos aurais; Altura virtual; 21.3 Sensao de altura; Efeito Stevens; Escala de mel; 21.4 Circularidade da sensao de altura; 21.5 Ouvido absoluto; 21.6 Sensao de intensidade; 21.7 Limiares da audio; Limiar de audibilidade; Limiar de dor; 21.8 Timbre; Diagramas tristimulus; 21.9 Percepo de sons complexos peridicos; Escalas de tempo; Efeito cocktail party; 21.10

Consonncia/Dissonncia; 21.11 Banda crtica; 21.12 Efeito de mscara; 21.13 Percepo do espao sonoro; Caractersticas direccionais do ouvido; Percepo da direco do som; Difraco provocada pela cabea. Captulo 22 REGISTO E REPRODUO DO SOM........................................................................................ 887 22.1 Primrdios do registo sonoro; 22.2 A era do vinil; 22.3 Magnetofone; 22.4 Estereofonia; 22.5 Transdutores electroacsticos; Microfones; 22.6 Microfones dinmicos; 22.7 Microfones de condensador; 22.8 Microfones especiais; Microfone middle-side (M-S); 22.9 Direccionalidade de um microfone; 22.10 Outras caractersticas; 22.11 Componentes de uma cadeia de alta fidelidade; Amplificadores; Altifalantes; 22.12 No-linearidades dos equipamentos; 22.13 Tipos de distoro; 22.14 Energia acstica dos instrumentos; 22.15 Fidelidade na gravao; 22.16 Algumas consideraes sobre captao; Usar um ou vrios microfones?; 22.17 Audio analtica e audio crtica; 22.18 Pr-produo, produo e ps-produo. Captulo 23 INTERVALOS E AFINAO ....................................................................................................... 925 23.1 Intervalos acsticos; Nmeros fraccionrios e decimais; Savart; 23.2 A unidade cent; 23.3 Oitavas contidas num intervalo; 23.4 Intervalos naturais; 23.5 Intervalos temperados; 23.6 Intervalos microtonais; 23.7 Afinao dos instrumentos; 23.8 Afinao de teclados; 23.9 O temperamento do piano; Contole dos batimentos. Captulo 24 ESCALAS E TEMPERAMENTOS................................................................................................ 945 24.1 Porque existem escalas; 24.2 Diviso da oitava; 24.3 O ciclo das quintas; 24.4 Escala pitagrica; 24.5 Escala natural; O intervalo de terceira maior; 24.6 Afinao mesotnica; 24.7 Temperamentos; 24.8 Teclados enarmnicos; 24.9 Temperamento igual; 24.10 Diapaso; 24.11 Evoluo do diapaso; Diapaso antigo; Afinao brilhante; 24.12 Afinao durante a execuo. Apndice A GRANDEZAS, UNIDADES E DIMENSES................................................................................ 967 A.1 Sistema internacional de unidades; Outras unidades; A.2 Dimenses; Homogeneidade dimensional das equaes fsicas; A.3 Converso de unidades; A.4 Grandezas escalares e vectoriais; A.5 Coeficientes, factores e mdulos; A.6 Alfabeto grego. Apndice B CONCEITOS FSICOS FUNDAMENTAIS EM ACSTICA..................................................... 981 B.1 Velocidade; Velocidades mdia e instantnea; Interpretao grfica da velocidade; B.2 Acelerao; Acelerao da gravidade; B.3 Fora, massa e peso; Foras tractivas, compressivas e de presso; Foras conservativas e dissipativas; Momento linear; B.4 Trabalho, energia e potncia; Energia; Potncia; B.5 Movimento circular uniforme; B.6 Atrito; B.7 Estrutura molecular da matria; B.8 Elasticidade; Estrutura dos slidos; B.9 Mdulo de Young; B.10 Mdulo de rigidez; B.11 Mdulo de elasticidade volumtrico; B.12 Coeficiente de Poisson; B.13 Fluidos; B.14 Viscosidade; B.15 Massa volmica; B.16 Presso; B.17 Hidrosttica e hidrodinmica; Presso atmosfrica; B.18 Aplicao da Equao de Bernoulli; B.19 Temperatura; B.20 Teoria cintica dos gases; Equao dos gases perfeitos; Calores especficos; B.21 Campos. Apndice C NOES DE MATEMTICA ..................................................................................................... 1023 C.1 Algarismos significativos; C.2 Notao cientfica; C.3 Somatrio; C.4 Valor absoluto de um nmero; C.5 Potenciao e radiciao; C.6 Funes exponencial e logartmica; C.7 Funes trigonomtricas; Funes trigonomtricas inversas; C.8 reas e volumes; C.9 Derivada de uma funo; Derivadas de ordem superior; Derivadas parciais; C.10 Primitiva de uma funo; C.11 Valor mximo, mdia e valor eficaz; C.12 Clculo de percentagens; C.13 Nmeros complexos; C.14 Introduo s equaes diferenciais; C.15 Representao grfica de funes; Equao de uma recta; C.16 Coordenadas polares; C.17 Escalas lineares e logartmicas; C.18 Linearidade e no-linearidade; C.19 Paridade de uma funo. Apndice D FREQUNCIAS DE RESSONNCIA E AMORTECIMENTO NUM OSCILADOR ........... 1065 Apndice E EFEITOS FSICOS DOMINANTES NUM OSCILADOR ........................................................ 1071 Apndice F LINEARIZAO DE FORAS NO-LINEARES.................................................................... 1075 Apndice G MODOS VIBRATRIOS DE UM SISTEMA COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE ......... 1079 Apndice H CLCULO DE BANDAS DE FREQUNCIAS ......................................................................... 1083 H.1 Nmero de oitavas numa banda de frequncias; H.2 Calibrao em dcadas; H.3 Diviso de um intervalo; H.4 Frequncia central de uma banda; H.5 Tipos de filtros. Apndice I PROPRIEDADES FSICAS DE MATERIAIS............................................................................. 1091 Apndice J EXEMPLOS MUSICAIS ............................................................................................................... 1095

NDICE DAS CAIXAS Caixa 2.1 Cantores que partem vidros? Caixa 2.2 Instrumentos de cordas simpticas Caixa 3.1 Modelao fsica e qualidade de um instrumento Caixa 3.2 Um pianista a tocar violino Caixa 4.1 Sincronizao de grandes massas orquestrais e corais Caixa 4.2 Batimentos e afinao de instrumentos Caixa 5.1 Partitura musical: uma representao tempo/frequncia Caixa 6.1 Instrumentos transpositores Caixa 6.2 A Orquestra Filarmnica de Viena Caixa 6.3 o msico que faz o instrumento? Caixa 7.1 Aperfeioar um Stradivarius? Caixa 7.2 Sons anmalos graves Caixa 7.3 Afinao dos cordofones friccionados Caixa 8.1 Guitarra com unhas ou sem unhas? Caixa 9.1 O toucher do pianista Caixa 9.2 Pianos verticais ou de cauda? Caixa 10.1 possvel ouvir a forma de um tambor? Caixa 11.1 Do departamento da cozinha aos grupos de percusso Caixa 11.2 Percusso: um msico, n instrumentos Caixa 12.1 Mudar a cabea Caixa 13.1 A curta durao de uma palheta Caixa 14.1 Desenhar bocais Caixa 14.2 A mo dentro da trompa Caixa 15.1 Os rgos Angster Caixa 16.1 Como preservar a voz Caixa 16.2 Canto difnico Caixa 16.3 Tenores e contratenores Caixa 17.1 Analgico/digital: a questo da panela de barro Caixa 18.1 Autopianos: do rolo perfurado ao MIDI Caixa 18.2 O instrumentarium Baschet Caixa 18.3 O que um compsito Caixa 19.1 O melhor piano do mundo Caixa 19.2 Philharmonic Hall: um insucesso providencial Caixa 19.3 Os arquitectos e a acstica Caixa 20.1 A surdez dos msicos Caixa 21.1 O metrnomo Caixa 22.1 Subjectividade na captao Caixa 22.2 Msico e tcnico de som: dilogo de surdos? Caixa 23.1 Msica microtonal Caixa 23.2 O l de Greenwich Caixa 24.1 O fascnio da msica antiga Caixa 24.2 Dever a orquestra afinar pelo obo? Caixa 24.3 Flutuaes do diapaso