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dado um sistema tico constitudo por uma lente convergente L de distncia focal f e de centro tico O, e um espelho plano E com a superfcie refletora voltada para L e inclinao de 45o em relao ao eixo da lente. A distncia OE = d. Um objeto num ponto P se desloca diante do espelho sobre a reta EA, normal ao eixo da lente. Pede-se:a) Determinar a distncia lente da imagem P' conjugada pelo sistema espelho-lente ao ponto P, em funo da distncia x de P ao ponto E, fazendo a aplicao numrica para f = 50 cm, d = 30 cm e x = 70 cm;b) Determinar para que valor de x os pontos P e P' so equidistantes de E.

Construo da imagem

No ponto P colocamos um objeto o de altura P P1 . Traamos um segmento de reta r prolongando

a direo do espelho. A partir de P traamos uma reta perpendicular (forma um ngulo de 90o) a r e atrs do espelho a mesma distncia de P determinamos o ponto P2 . A partir de P1 traamos uma outra reta e determinamos o ponto P3 . O segmento P2 P3 determina a imagem iE formada pelo espelho (figura 1).

A distncia do ponto P ao ponto E do espelho x, como o ngulo entre o espelho e o eixo da lente 45o, por simetria, a distncia do ponto P2 (onde se forma a imagem) ao ponto E tambm x (figura 2).

A imagem iE do espelho passa a ser o objeto oL para a lente. Usando a propriedade que todo raio que incide paralelamente ao eixo principal emerge numa direo que passa pelo foco imagem, assim este raio sai por F' (figura 3).

Tomando-se um segundo raio de luz com a propriedade que qualquer raio que passe pelo centro tico da lente no sofre desvio ao atravessar a lente (figura 4), do cruzamento dos dois raios temos a imagem formada pela lente iL .

1

figura 1

figura 2

figura 3

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Esquema do problema

Adotando-se a conveno de sinais onde do lado da luz incidente temos a abscissa positiva para o objeto real (p > 0) e negativa para a imagem virtual (p' < 0), do lado oposto temos a abscissa do objeto virtual negativa (p < 0) e positiva para a imagem real (p' > 0) como na figura 5.

Soluo

a) Da figura 5 temos que a distncia do objeto lente (p) a soma da distncia do objeto ao espelho (x) com a distncia do espelho lente (d)

p= xd (I)

Usando a Equao dos Pontos Conjugados

1f= 1

p 1

p ' (II)

substituindo (I) em (II)

1f= 1

xd 1

p '

a distncia da imagem lente (p'), ser

1p '

= 1f 1

xd

2

figura 4

figura 5

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o Mnimo Mltiplo Comum (M.M.C.) entre f e x+d ser f xd

1p '

= xdff xd

multiplicando em cruz, temos

f xd = p ' xdf

p ' = f xd xdf

Fazendo a aplicao numrica dada no problema, temos

p ' = 50 7030 703050

p ' = 50.10050

p ' = 100 cm

b) A distncia do ponto P ao espelho E x, a distncia do ponto P' ao espelho p'+d, para que estas distncias sejam iguais temos a condio

x = p 'd (III)

Observao: no confundir os pontos P e P' onde esto colocados o objeto (o) e a imagem da lente ( iL ), respectivamente, com p e p' as distncias da imagem do espelho e objeto para a lente ( iEoL ) e a distncia da imagem lente ( iL ), respectivamente.

A distncia do objeto lente dada por

p= xd (IV)

Da expresso (III) temos o valor de p'

p ' = xd (V)

Substituindo os valores de (IV) e (V) em (II), obtemos

1f= 1

xd 1

xd

3

figura 6

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substituindo os valore de f e d dados no problema, temos

150

= 1x30

1x30

o Mnimo Mltiplo Comum (M.M.C.) entre x+30 e x-30 x30 x30 = x2900

150

= x30x30x 2900

150

= 2xx 2900

multiplicando em cruz, temos

x2900= 50.2 xx2900 = 100 x

x2100x900 = 0

Esta uma Equao do 2. Grau onde a incgnita o valor desejado x, resolvendo

= b24 .a .c = 10024.1.900 = 100003600 = 13600

x = b 2a

=100 13 600

2.1= 100116,6

2

as duas razes sero

x1 = 108,3 e x 2=8,3

com x representa uma distncia seu valor deve ser positivo (x>0), desprezando-se o valor negativo a resposta ser x = 108,3 cm.

4