LIMIARES PLANETÁRIOS: os impactos das atividades humanas ...
LEIS DE KEPLER Os primeiros a descreverem sistemas planetários explicando os movimentos de corpos...
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LEISDE
KEPLER
Os primeiros a descreverem sistemas planetários explicando os movimentos de corpos celestes foram os gregos.
O mais famoso sistema planetário grego foi o de Cláudio Ptolomeu (100-170), que
considerava a Terra como o centro do Universo (sistema geocêntrico).
Segundo esse sistema, cada planeta descrevia uma órbita circular cujo centro
descreveria outra órbita circular em torno da Terra.
Nicolau Copérnico (1473-1543), astrônomo polonês, criou uma nova concepção de Universo, considerando o Sol como seu centro (sistema heliocêntrico).
Entretanto, o modelo de Copérnico não foi aceito pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601), segundo o qual o Sol giraria em torno da Terra e os planetas em torno do Sol.
Segundo esse sistema, cada planeta, inclusive a Terra, descrevia uma órbita circular em torno do Sol.
Ao morrer, Brahe cedeu suas observações a seu discípulo Johannes Kepler (1571-1630), que tentou, em vão, explicar o movimento dos astros por meio das mais variadas figuras geométricas.Baseado no heliocentrismo, em sua intuição e após inúmeras tentativas, ele chegou à conclusão de que os planetas seguiam uma órbita elíptica em torno do Sol e, após anos de estudo, enunciou três leis.
1.ª LEI DE KEPLER
(LEI DAS ÓRBITAS)
“As órbitas dos planetas em torno do Sol são elipses nas quais ele ocupa um dos
focos.”
Numa elipse existem dois focos e a soma das distâncias aos focos é constante.
Foco
Focoa b
cd
a + b = c + d
ELIPSE
2.ª LEI DE KEPLER
(LEI DAS ÁREAS)
“A área descrita pelo raio vetor de um planeta (linha imaginária que liga o planeta ao Sol) é diretamente proporcional ao tempo gasto para descrevê-la.”A reta que une um planeta ao Sol vare áreas iguais em tempos iguais
Velocidade Areolar velocidade com que as áreas são descritas.
A1
A1
A1
A1
A1
A1
A1A2
Velocidade Areolar = A t
A1A2
Cada planeta mantém sua velocidade areolar constante ao longo de sua órbita elíptica. Logo:
A1 = A2 t1 t2
planeta
Sol
Afélio
Afélio ponto de maior afastamento entre o planeta e o Sol
Periélio
Periélio ponto de maior proximidade entre o planeta e o Sol
A1A2
Com isso, tem-se que a velocidade no periélio é maior que no afélio.
Afélio = 29,3 km/sPeriélio = 30,2 km/s
3.ª LEI DE KEPLER
(LEI DOS PERÍODOS)
“O quadrado do período da revolução de um planeta em torno do Sol é
diretamente proporcional ao cubo do raio médio de sua elipse orbital.”
Raio Médio média aritmética entre as distâncias máxima e mínima do planeta ao Sol.
T2 = K R3
Planeta T(dias
terrestres)
R(km) T2/R3
Mercúrio
88 5,8 x 107
4,0 x 10-20
Vênus 224,7 1,08 x 108
Terra 365,3 1,5 x 108
Marte 687 2,3 x 108
Júpiter 4343,5 7,8 x 108
Saturno 10767,5 1,44 x 109
Urano 30660 2,9 x 109
Netuno 60152 4,5 x 109
Plutão 90666 6,0 x 109
As Leis de Kepler dão uma visão cinemática do sistema planetário.
Do ponto de vista dinâmico, que tipo de que tipo de força o Sol exerce sobre os planetas, força o Sol exerce sobre os planetas,
obrigando-os a se moverem de acordo obrigando-os a se moverem de acordo com as leis que Kepler descobriracom as leis que Kepler descobrira?
A resposta foi dada por Isaac Newton (1642-1727):
FORÇA GRAVITACIONAL!!!!FORÇA GRAVITACIONAL!!!!
LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
“Dois pontos materiais se atraem mutuamente com forças que têm a direção da reta que os une e cujas
intensidades são diretamente proporcionais ao produto de suas
massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que os separa.”
F = G . m1 . m2
d2
d
m1
m2F F
G = constante de gravitação universal = 6,67 x 10-11 (SI)
Ainda de acordo com as Leis da Gravitação Universal:
Devido a sua enorme massa, o Sol tende a atrair os planetas em sua direção
Quanto mais próximo do Sol, maior a velocidade do planeta para que possa escapar
do campo de atração gravitacional do Sol
A densidade de um planeta influencia na sua velocidade de rotação
(quanto mais denso, mais lento)
Dedução da Terceira Lei de KeplerDedução da Terceira Lei de Kepler• Supondo a órbita circular:
2
2
2cp
2G
rM.m.Grm
rmFr
M.m.GF
3
2
32
rM.G
T2
rM.G
KrT
rT
M.G4
3
2
3
22
Note que o período de revolução depende da Note que o período de revolução depende da massa M do corpo central e da distância do corpo massa M do corpo central e da distância do corpo
em órbita em relação ao corpo centralem órbita em relação ao corpo central
Intensidade do campo gravitacional g na Intensidade do campo gravitacional g na superfíciesuperfície
2s2s2G
s
RM.GgR
M.m.Gg.mR
M.m.GF
g.mP
Intensidade do campo gravitacional gIntensidade do campo gravitacional g• Em uma altitude hEm uma altitude h
222G hR
M.GgrM.m.Gg.m
rM.m.GF
g.mP
2
2s
2
2s2s
hRR.gg
hRM.Gg
R.gM.GRM.Gg
Intensidade da aceleração da gravidade g em Intensidade da aceleração da gravidade g em função da latitudefunção da latitude
• De acordo com a Primeira Lei de Newton, a Lei da Inércia, todo corpo tende a manter seu estado de movimento. Ou seja, se está em repouso tende a ficar em repouso, se em movimento, tende a manter seu vetor velocidade.
• Um corpo, na superfície terrestre encontra-se em movimento devido a rotação planetária. Se em repouso sobre a Linha do Equador, sua velocidade devido a rotação terrestre é:
h/km 7,1667v6370.24.2vR.T
.2vRv
m/s 2,463v
Órbitas CircularesÓrbitas Circulares
g.rvg.mrv.mPF
2
cp
22 hR
M.G.hRvhRM.Gg
hRr
hRM.Gv
2
2s
2
2s hR
R.g.hRvhRR.gg
hRr
hRg.Rv s
Velocidade de um Velocidade de um satélite em órbita satélite em órbita circular em uma circular em uma
altitude haltitude h
Velocidade de um satélite Velocidade de um satélite em órbita circular em uma em órbita circular em uma
altitude h em função da altitude h em função da intensidade da aceleração intensidade da aceleração
da gravidade g da da gravidade g da superfíciesuperfície
Órbita Circular RasanteÓrbita Circular Rasante
s
s
s
s2
cp
gR..2T
Rg
T.2
Rg
g.mR..mPF
s 25,7 min 84s 7,50658,96370000..2T
Órbita GeoestacionáriaÓrbita Geoestacionária
2
2S2
Gcp hRR.g.mhR..mFF
2
2S32
S32
T.2R.ghRR.ghR.
R.4T.R.gh
T.2R.ghR 3
2
22S
3 2
2S
6370000.460.60.24.6370000.8,9h 3
2
22
km 36000m 35837623h TERRAR6,5h
Energia Potencial Gravitacional
U (r) = -G . m1 . m2
r
drrGMmdrrfW
r
2
r
)(U
f(r)dr0)drF(r)(cos18rd(r)F