Lei universal de resistência para dutos lisos e rugosos...

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Anais do ENAHPE 2009 III Encontro Nacional de Hidráulica de Poços 07 a 10 de Junho de 2009, Campos do Jordão – SP _________________________________________________________________________________________________________________ Lei universal de resistência para dutos lisos e rugosos sujeitos a transpiração de fluido na parede Mario G. D. da Cruz 1 , Fernanda B. C. C. Sousa 1 , Daniel A. Rodrigues 2 , Juliana B. R. Loureiro 2 e Atila P. Silva Freire 1 1 Programa de Engenharia Mecânica (COPPE/UFRJ), C.P. 68503, 21945-970, Rio de Janeiro 2 Diretoria de Metrologia Científica (Dinam/Dimci/INMETRO), Rio de Janeiro RESUMO A perfuração horizontal de poços para a exploração, desenvolvimento e produção de reservatórios passou a ser um procedimento corriqueiro nos últimos vinte anos. Os recentes avanços tecnológicos garantem que poços horizontais com grandes extensões, de até 2000 metros, podem ser comumente encontrados na indústria do petróleo. O objetivo primordial da perfuração horizontal é expor a maior área possível do reservatório aos efeitos da tubulação. Para preencher o vazio criado na rocha escavada, tubos com fendas ou telas são instalados com um enchimento de areia com grande condutividade hidráulica que age como filtro. Então, sob as altas pressões do reservatório, fluido transpira para o interior do poço. Em pequenas distâncias, os efeitos da transpiração sobre as várias propriedades de escoamento, incluindo sua perda de pressão, podem freqüentemente ser desprezados. Entretanto, isso não é verdade para longos trechos de tubulação. O propósito do presente trabalho é aplicar métodos de perturbação para deduzir, a partir dos primeiros princípios, uma lei de resistência para tubulações lisas a altos números de Reynolds. A lei bi-logarítmica resultante é, de fato, obtida a partir de uma integração direta de equações locais das equações promediadas de Navier-Stokes, deduzidas através uma sistemática aplicação do método de variáveis intermediárias. Um modelo de turbulência do tipo de comprimento de mistura é utilizado na análise. Todos os resultados obtidos são estendidos para paredes rugosas. A validação do modelo se dá por uma comparação com os dados de outros autores. Palavras chave: Poços horizontais, Lei de Resistência, Transpiração, Rugosidade.

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Lei universal de resistência para dutos lisos e rugosos sujeitos

a transpiração de fluido na parede

Mario G. D. da Cruz1, Fernanda B. C. C. Sousa1, Daniel A. Rodrigues2, Juliana B. R. Loureiro2 e Atila P. Silva Freire1

1Programa de Engenharia Mecânica (COPPE/UFRJ), C.P. 68503, 21945-970, Rio de Janeiro

2Diretoria de Metrologia Científica (Dinam/Dimci/INMETRO), Rio de Janeiro

RESUMO A perfuração horizontal de poços para a exploração, desenvolvimento e produção de reservatórios passou a ser um procedimento corriqueiro nos últimos vinte anos. Os recentes avanços tecnológicos garantem que poços horizontais com grandes extensões, de até 2000 metros, podem ser comumente encontrados na indústria do petróleo. O objetivo primordial da perfuração horizontal é expor a maior área possível do reservatório aos efeitos da tubulação. Para preencher o vazio criado na rocha escavada, tubos com fendas ou telas são instalados com um enchimento de areia com grande condutividade hidráulica que age como filtro. Então, sob as altas pressões do reservatório, fluido transpira para o interior do poço. Em pequenas distâncias, os efeitos da transpiração sobre as várias propriedades de escoamento, incluindo sua perda de pressão, podem freqüentemente ser desprezados. Entretanto, isso não é verdade para longos trechos de tubulação. O propósito do presente trabalho é aplicar métodos de perturbação para deduzir, a partir dos primeiros princípios, uma lei de resistência para tubulações lisas a altos números de Reynolds. A lei bi-logarítmica resultante é, de fato, obtida a partir de uma integração direta de equações locais das equações promediadas de Navier-Stokes, deduzidas através uma sistemática aplicação do método de variáveis intermediárias. Um modelo de turbulência do tipo de comprimento de mistura é utilizado na análise. Todos os resultados obtidos são estendidos para paredes rugosas. A validação do modelo se dá por uma comparação com os dados de outros autores. Palavras chave: Poços horizontais, Lei de Resistência, Transpiração, Rugosidade.

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1. INTRODUÇÃO

Escoamentos em diferentes condições de vazão e em diferentes tipos de tubulações fazem parte da alta hierarquia dos problemas de grande interesse na engenharia. Neste âmago, um problema básico das aplicações industriais consiste em calcular, com base na geometria, vazão e propriedades do fluido, a perda de carga ao longo de um determinado trecho de tubulação.

Na indústria petrolífera, os poços de petróleo e gás natural foram perfurados, por muito tempo, de modo que o acesso à zona produtora fosse feito por um trecho de coluna vertical, os chamados poços verticais. For força dos recentes avanços tecnológicos e de práticas bem sucedidas, a perfuração de poços horizontais passou a ser viável economicamente e, portanto, vastamente utilizada. Conforme Gadelle e Renard (1999) explicam, na antiga U.R.R.S. diversos estudos foram realizados com o intuito de avaliar a produtividade de sistemas complexos de produção. Apesar dos animadores resultados nos índices de produção, os poços horizontais não obtiveram o êxito esperado devido à dificuldade encontrada no posicionamento adequado da tubulação no reservatório, além de não garantirem uma efetiva drenagem do mesmo.

Em 1978, a ELF e o IFP lançaram o projeto FORHOR, que tinha como objetivo principal desenvolver tecnologia dedicada e perfurar diversos poços pilotos horizontais. A motivação para o projeto foi o campo “Rospo Mare”, no mar Adriático, que possuía um grande acúmulo de hidrocarbonetos mas, em razão da geologia da rocha reservatório, apresentava baixa produtividade. No final de 1984, dentre quatro poços que foram postos em operação, um ultrapassou a produtividade esperada e foi considerado um completo sucesso.

Não apenas sob o ponto de vista técnico, mas também sob o ponto de vista econômico, verificou-se que o projeto FORHOR havia sido um sucesso e, com isso, em 1985 a perfuração e produção de poços horizontais passou a ser mais uma opção para a indústria petrolífera. Após um período de avaliação de quatro anos, em 1989 a perfuração e produção através de poços horizontais foi definitivamente aceita pela indústria petrolífera passando a ser utilizada em larga escala.

De um modo geral, pode-se definir a perfuração horizontal como sendo o processo de perfuração e completação, para produção, em que um poço começa vertical ou inclinado em relação à superfície e assim se estende até um ponto acima do reservatório, onde faz uma curva para interceptar o reservatório no ponto de entrada, prosseguindo ao longo deste na direção horizontal até que o fundo do poço seja alcançado.

A maioria dos reservatórios de óleo e gás é mais extensa na direção horizontal do que na vertical, podendo reter até seis vezes mais óleo; desta forma, o objetivo principal da técnica de perfuração e produção de poços horizontais é aumentar significantemente, em relação aos poços verticais, a capacidade de produção primária do reservatório através da exposição de uma área maior da rocha reservatório ao duto de produção. Como uma importante característica dos poços horizontais, pode-se citar a facilidade com que reservas remotas são alcançadas, além de resultarem em uma redução na formação de cones de água e/ou gás.

Com a redução da quantidade de grandes reservatórios terrestres descobertos e o declínio das reservas daqueles já existentes, a exploração de campos marinhos torna-se cada vez mais atraente. Infelizmente, muitos destes reservatórios estão situados longe da costa e os custos de produção a eles associados são muito elevados. Neste cenário, longos poços horizontais podem não somente ajudar a reduzir o número de poços necessários à drenagem das reservas, como também aumentar o volume de reservatório que pode ser drenado por uma única unidade de produção, fator que pode ser determinante para o sucesso econômico da exploração de um campo.

De acordo com Joshi (2002), que comparou 12.080 poços horizontais e 137.950 poços verticais perfurados até dezembro de 2001, as seguintes conclusões podem ser obtidas a respeito de poços horizontais:

• O fator médio de produção dos poços horizontais varia entre três a cinco vezes o fator médio de produção de poços verticais.

• Após cinco anos de produção, a produção média acumulada de óleo dos poços horizontais é cerca de duas vezes a produção dos poços verticais.

• Apenas um em cada três poços horizontais não apresenta êxito econômico, ou seja, a taxa de sucesso é de 66,7%.

• O custo de perfuração de poços horizontais vem caindo ao longo dos anos e hoje custa entre duas a três vezes o valor de um poço vertical.

Com o aperfeiçoamento das técnicas de engenharia, a quantidade de poços e as distâncias horizontais

perfuradas tornaram-se cada vez maiores, alcançando números da ordem de 2.000 metros. Extensões desta ordem de grandeza são consideráveis em sistemas de produção de petróleo, onde o comprimento total de tubulação em geral é inferior a 10.000 metros. Neste contexto, é razoável pressupor que o trecho de um poço horizontal seja responsável por uma parcela significativa da perda de carga por atrito.

Os poços horizontais, em geral, recebem a alimentação do reservatório de maneira contínua. Entretanto, a maneira como a drenagem do meio poroso é feita pelo trecho horizontal do poço pode ser distinta ao longo do mesmo. Magalhães (2008) ressalta que recentemente foi observado que os trechos horizontais acarretam um

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problema para o escoamento, pois muitos poços não possuem um perfil homogêneo de produção, o que leva a uma drenagem não uniforme do reservatório e a uma baixa eficiência de recuperação.

Apesar das diversas correlações disponíveis no mercado, não existe ainda uma metodologia adequada para a determinação da perda de carga no trecho horizontal do poço. O propósito do presente trabalho é fornecer uma contribuição para a resolução este problema. Em particular, um conjunto de relações algébricas serão aqui propostas com o objetivo de calcular a perda de carga ao longo de um duto horizontal liso ou rugoso sujeito à transpiração de fluido na parede.

A partir da expressão de lei da parede para camadas limites turbulentas com transpiração de Silva Freire (1988), será proposta uma lei de resistência para escoamentos em dutos com paredes lisas ou rugosas que permita determinar analiticamente a perda de carga ao longo de uma tubulação horizontal. Esta é a primeira vez que tal expressão - a lei de resistência - será apresentada. A grande vantagem da presente formulação reside no estabelecimento de uma única expressão capaz de incorporar em seu escopo efeitos tão distintos como a vazão local do escoamento (através do número de Reynolds), a rugosidade e a injeção de fluido na parede. Deste modo, as práticas confusas encontradas na literatura que preconizam a decomposição da perda de carga em diversos efeitos estanques podem ser evitadas. 2. REVISÃO DA LITERATURA

A maioria dos estudos teóricos identificados na literatura para a dedução de leis de atrito em dutos se concentra na obtenção de expressões para a lei da parede e para a lei da esteira. Essas leis normalmente são deduzidas a partir da teoria de comprimento de mistura e consideram que existe uma região próxima à parede em que somente os termos inerciais e turbulentos são importantes. Os estudos teóricos para inclusão dos efeitos da transpiração de fluidos em escoamentos turbulentos obtiveram um avanço importante com os trabalhos de Stevenson (1963) e Simpson (1967). Algum tempo depois, Silva Freire (1988) estudou o problema de camadas limites turbulentas com transpiração por métodos de perturbação obtendo como resultado: (i) uma equação da lei da parede bi-logarítmica e (ii) a elaboração de uma equação para o cálculo do coeficiente de atrito viscoso. Em seu trabalho, Silva Freire (1988) não considerou os efeitos de uma parede rugosa sobre os resultados obtidos.

Cheng e Chiew (1998) deduziram uma lei da parede logarítmica modificada a partir da hipótese de que existe uma camada de equilíbrio em que a produção de energia cinética turbulenta é equilibrada pela sua dissipação. Esta hipótese, entretanto, somente é válida quando a vazão mássica através da camada de equilíbrio é pequena; caso a vazão mássica seja grande, o efeito convectivo, que está diretamente relacionado com o fluxo proveniente da transpiração, tem de ser considerado e a teoria melhor desenvolvida para bem modelá-lo. Apesar de ser limitada a pequenos fluxos de transpiração, a lei da parede de Cheng e Chiew (1998) considera em seus termos logarítmicos a rugosidade da parede.

Pengzhi e Karunarathna (2006) também encontraram uma lei da parede para camadas limites turbulentas com transpiração ao resolverem de forma simultânea as equações de conservação de quantidade de movimento e de energia cinética turbulenta. Esta teoria se diferencia da proposta por Cheng e Chiew (1998) porque, durante as deduções, o termo de advecção da energia cinética turbulenta é mantido na análise, dando origem a uma solução analítica diferente das precursoras e que é válida tanto para pequenas quanto para grandes taxas de transpiração. Os resultados desta teoria foram testados contra os dados experimentais obtidos por Simpson (1967) e Cheng e Chiew (1998).

Especificamente na indústria do petróleo, Schulkes e Utvik (1998) salientam que a predição da perda de carga em poços horizontais é um grande desafio. O aumento gradativo da vazão ao longo da tubulação contribui para um estado de variabilidade cuja descrição é bastante agravada pela presença das perfurações na parede e por uma complexa mistura envolvendo óleo, gás, água e areia. Muitos autores, e.g. Dikken (1990), Collins et al. (1991), Folefac et al. (1991), Landman e Goldthorpe (1991), Ihara et al. (1992), Ozkan et al. (1993), consideram em suas análises apenas o atrito na parede como componente preponderante da perda de carga total. Um outro número, e.g. Asheim et al. (1992), Ihara e Shimizu (1993), Marett e Landman (1993), Sarica et al. (1994), tomou em consideração o acréscimo na perda de carga devido ao aumento contínuo da vazão local. Quanto à contribuição dos furos na perda de carga, poucos foram os trabalho feitos (Su e Gudmundsson, 1998).

Su e Gudmundsson (1993), trabalhando com números de Reynolds entre 30.000 e 100.000 em tubulações perfuradas de 12, 14, 16 e 19 mm similares aos dutos usados em poços horizontais, fizeram uma série de experimentos sem transpiração para analisar o fator de atrito da rugosidade da perfuração, tratando analiticamente os dados obtidos com a lei da parede logarítmica convencional. Esses autores foram os primeiros a trabalhar com o conceito de rugosidade. Em seu estudo, Su e Gudmundsson tratam a perda de carga como se fosse composta pela soma de três componentes: a perda de pressão por atrito, a perda de carga resultante da aceleração do fluido no duto e, por fim, um termo misto. Como resultado deste estudo, eles obtiveram uma correlação empírica para o cálculo da função de rugosidade e propuseram que:

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• Para pequenos fluxos de transpiração, o fluido que entra no escoamento pela parede do duto trabalha como se fosse um lubrificante reduzindo o atrito.

• Para grandes fluxos de transpiração, o fluido que entra pela parede do duto contribui para o aumento do atrito.

• A função de rugosidade depende apenas dos parâmetros geométricos da tubulação e das perfurações. • O fator de atrito das perfurações independe da fase das perfurações e aumenta linearmente com a

densidade delas quando não há interferência entre duas perfurações vizinhas.

Três anos mais tarde, Su e Gudmundsson (1998), fazendo experimentos com tubulações de teste geometricamente similares àquelas utilizadas em poços horizontais investigaram os diferentes efeitos da perda de carga na parede interna de um poço horizontal. Desta vez eles decompuseram a perda de carga em quatro componentes: perda de carga por aceleração do fluido, por atrito na parede, por rugosidade das perfurações e por mistura dos fluidos de transpiração e do escoamento principal. Os experimentos mostraram que a transpiração (injeção) pela parede perfuração reduziu a perda de carga por atrito na tubulação testada. Os resultados indicaram que a perda de carga devido à rugosidade das perfurações foi compensada pela transpiração (injeção) pela parede quando a relação vazão de transpiração por vazão do escoamento principal alcançou um determinado valor. Além deste valor limite, a transpiração passou a lubrificar o escoamento principal junto à parede. Os experimentos mostram também que maiores quedas na perda de carga podem ser alcançadas com o aumento da vazão de transpiração e que os resultados tornam-se mais significativos com o aumento do número de Reynolds. Segundo eles, os resultados obtidos estão na casa de 3,4% para a redução da perda de carga por atrito e de 1,1% para a perda de carga total.

Ouyang (1998) e Ouyang et al. (1998) desenvolveram um modelo geral para escoamentos monofásicos com escoamento pelas perfurações nas paredes dos poços. Como resultado deste modelo surgiram algumas correlações para o fator de atrito na parede. De acordo com os autores, em escoamentos laminares a sucção aumenta o fator de atrito e em escoamentos turbulentos a sucção reduz o coeficiente de atrito. Apesar de suas correlações serem largamente utilizadas, vários autores compartilham da opinião de que o modelo de Ouyang (1998) não apresenta uma dependência funcional correta.

Schulkes e Utvik (1998) refizeram os experimentos de Su e Gudmundsson (1993); contudo, desta vez foi usada uma tubulação com 15 m de comprimento e 15 cm de diâmetro. De forma similar aos seus antecessores, eles decompuseram a perda de carga em três componentes, sendo dois dominantes (perda de carga por atrito e aceleração) e um menor, o qual foi chamado de termo misto. Como conclusão, eles também verificaram que para pequenas vazões de injeção, o fluido proveniente das perfurações na tubulação funciona como um lubrificante, o que significa que o termo misto tem uma contribuição negativa sobre a perda de carga, e que quando a razão entre as velocidades de transpiração e a velocidade do escoamento principal é aproximadamente unitária, o termo misto tem uma contribuição positiva sobre a perda de carga indicando que o fluxo radial proveniente das perfurações na parede obstrui o escoamento principal causando um aumento da perda de carga.

Yuang et al. (1999) usando os princípios de conservação de massa e de quantidade de movimento desenvolveram expressões gerais para fatores de atrito aparentes em poços horizontais. Em seu estudo, foram feitas investigações teóricas e experimentais sobre o comportamento do escoamento em dutos horizontais com injeção de fluido em um único ponto e em diversos pontos. Os experimentos foram realizados em quatro tubos de PVC transparentes de 3,048 metros de comprimento com número de Reynolds variando entre 5.000 e 60.000. O primeiro tubo, com diâmetro de 0,0256 metros, possuía apenas um orifício de 0,003175 metros de diâmetro. Já os demais tinham perfurações de mesma geometria, mas diâmetros de 0,024, 0,0244 e 0,0236 metros e densidades de perfuração 5, 10 e 20 furos/pé. 3. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DAS TUBULAÇÕES

O esgotamento de reservatórios de petróleo pode ser feito de vários modos. Por exemplo, as inúmeras

variações de algumas técnicas básicas de produção podem ser classificadas em relação à interface estabelecida entre a coluna perfurada e o reservatório (Figura 3.1), quais sejam: a) completação a poço aberto, b) “liner” rasgado ou canhoneado e c) revestimento canhoneado.

Evidentemente, dependendo da escolha realizada, questões concernentes à garantia da integridade física das paredes formadas devem ser respondidas. De fato, a própria geometria dos poços produtores aliada às severas condições de operação com altas pressões os fazem suscetíveis ao desmoronamento de suas paredes e à produção de areia. No passado, para controlar problemas de desmoronamento, os primeiros produtores de petróleo colocaram tubos com fendas ou telas na parte inferior do poço, como um filtro de areia.

O uso deste recurso experimentou significativo avanço nos últimos anos, sendo a sua aplicação e configuração normalmente direcionada a desafios específicos de produção. Uma das razões para a sua popularização foram, mesmo, os poços horizontais onde a cimentação torna a exploração mais cara e difícil.

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Figura 3.1: Técnicas básicas de produção de acordo com a interface entre a coluna perfurada e o reservatório.

a) completação a poço aberto, b) “liner” rasgado ou canhoneado e c) revestimento canhoneado. A extração de óleo prejudicada pela produção simultânea de areia tem apresentado constantes desafios à

indústria do petróleo, entre outros motivos pelas altas perdas de carga impostas pelo processo e por características de operação que podem abreviar em alguns anos a vida produtiva de um poço. Os principais problemas causados pela produção de areia em poços horizontais são: a) a deposição de areia no poço reduzindo ou até mesmo causando a interrupção do escoamento, b) a erosão e a acumulação de areia nos equipamentos de superfície.

Alguns métodos existentes no mercado buscam conter a produção de areia; eles são ilustrados na Figura (3.2), sendo suas características de operação desenvolvidas para suportar condições específicas de pressão, temperatura e a estrutura geológica da formação. Nas fotografias da Figura (3.2) destacam-se os tubos rasgados e as telas pré-empacotadas.

Os tubos rasgados são utilizados em poços com baixa produtividade ou em longos intervalos produtores, incluindo-se os poços horizontais. Recentemente, novos equipamentos foram desenvolvidos para oferecer uma maior área aberta ao escoamento, com aplicações específicas para poços horizontais. As telas pré-empacotadas são dois tubos selados e concêntricos, tendo o espaço anular entre eles sido preenchido com areia ou cerâmica. As telas são recomendáveis em poços com longos intervalos canhoneados e altamente desviados, ou horizontais. A geometria e dimensões das perfurações em tubos ou telas variam de acordo com as necessidades impostas pelo reservatório.

A Figura (3.2) revela que, pelo menos para as telas, as perfurações na parede possuem um padrão homogêneo, com alta densidade. Desta forma, existe causa para considerarmos que a injeção de fluido do reservatório para a tubulação também se dá de forma homogênea. Assim, na análise teórica apresentada nas próximas seções usamos sem inibição a hipótese de que a velocidade de transpiração de fluido nas paredes das tubulações ocorre também de forma homogênea.

Figura 3.2: Exemplos de tubos rasgados e telas pré-empacotadas.

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4. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Escoamentos internos são naturalmente susceptíveis a notáveis simplificações quando comparados a escoamentos externos. Quando um fluido escoa pelo interior de uma tubulação circular com seção transversal constante, o perfil de velocidade que se estabelece varia com a distância da região de entrada. Entretanto, desde que se permita sua acomodação à jusante, um estado de invariância pode ser observado, resultando em perfis comumente chamados na literatura de completamente desenvolvidos ou paralelos.

Em escoamentos laminares, observações experimentais corroboram ser o comprimento de acomodação – lT – equivalente a comprimentos da ordem de 130 a 300 diâmetros. Para escoamentos turbulentos, os relatos são mais controversos. Aparentemente, em tubulações lisas lT varia entre 50 e 100 diâmetros; em tubulações rugosas este número se reduz para 25 a 40 diâmetros. O certo é que, para escoamentos turbulentos, o comprimento de acomodação lT é consideravelmente mais curto em comparação ao valor correspondente para escoamentos laminares.

Nos textos clássicos, a análise da influência do atrito na parede nas propriedades dos escoamentos em tubulações – em particular, no campo de pressões – utiliza via de regra a condição de impermeabilidade, v = 0. No que se segue, a ênfase será na investigação de escoamentos internos sujeitos à transpiração de fluido na parede. Em especial, a equação da lei universal de resistência para escoamentos em tubulações lisas será especializada para lidar com escoamentos que apresentam injeção normal de fluido na parede.

4.1 Escoamentos em tubulações lisas impermeáveis

A discussão a seguir será feita nos moldes daquela encontrada em Schlichting (1979). O objetivo é

estabelecer uma técnica de análise consolidada, além de adotar uma notação adequada. Portanto, a coordenada radial medida a partir da linha de simetria será denotada por yc .

A condição de escoamento paralelo implica que as forças inerciais se reduzem a zero. Deste modo, as diferenças de pressão presentes em um escoamento são equilibradas exclusivamente pelos esforços cisalhantes, de modo que podemos escrever:

( )

221

0cy

LPP −

=τ . (4.1)

Na equação acima, τ 0 representa a tensão cisalhante total e L o trecho de tubulação considerado. Então, a

expressão (4.1) permanece válida para escoamentos laminares ou turbulentos. Na parede, em yc = R, onde R denota o raio da tubulação, a expressão acima fica:

( )2

210

RL

PP −=τ . (4.2)

Observa-se então que a tensão cisalhante na parede de uma tubulação pode ser calculada diretamente pela

medição do gradiente de pressão ao longo dela. Para escoamentos laminares, soluções exatas das equações de Navier-Stokes fornecem uma relação direta

entre a vazão volumétrica de um escoamento ( uRQ 2π= ) e o gradiente de pressão. Para escoamentos turbulentos, sabemos, isso não é possível. De fato, para sua solução, as equações promediadas de Navier-Stokes (EPNS) necessitam a especificação de modelos estocásticos, os quais podem apenas ser obtidos com forte base fenomenológica. Em abordagens alternativas, correlações empíricas para o que normalmente se denomina de leis de atrito ou leis de resistência têm sido fartamente apresentadas na literatura. Uma prática recorrente, pois, tem sido a de reduzir as equações propostas a variáveis adimensionais. Neste sentido, é comum a introdução do coeficiente de atrito (ou de resistência), λ, definido empiricamente por

( ) 221

2u

dLPP ρλ

=− , (4.3)

onde, d denota o diâmetro da tubulação.

Uma simples comparação das Eqs. (4.2) e (4.3) fornece:

8

2

0uλρτ = . (4.4)

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Portanto, uma vez que definamos λ, a Eq. (4.4) pode ser utilizada para o cálculo de τ 0. A partir de uma série de experimentos, Blasius (1913) mostrou ser aproximadamente válida a seguinte

expressão:

25,0

4/13164,0 3164,0eR

du=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

νλ . (4.5)

Esta equação possui bom suporte experimental para valores de número de Reynolds ( ν/ duRe = ) inferiores

a 106. Posteriormente, em 1921, Prandtl mostrou que a formula de Blasius para o atrito corresponde a um perfil de velocidades da forma lei de potência com expoente igual a 1/7, i.e. ( ) nyuu /1// δ= , onde n = 7, y = distância da parede.

Na realidade, fatos experimentais mostram que o expoente na lei de potência varia com o número de Reynolds do escoamento, diminuindo na medida em que este aumenta. Isso sugere que, à medida que Re aumenta, a lei de potência deve tender assintoticamente a uma expressão que seja válida para qualquer valor de Re, independente do quão grande ele seja, ou seja, uma solução logarítmica. Fisicamente, tal lei caracterizaria o fato do atrito laminar próximo à parede ficar cada vez menos importante quando comparado com o atrito decorrente da turbulência no escoamento.

A lei assintótica logarítmica é normalmente conhecida como a “lei da parede”. Em sua forma mais citada, ela pode ser escrita como:

Auy

uu

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=νκ

*

*

ln1 , (4.6)

onde y é a distância da parede, k (= 0,4) é a constante de von Kármán e A = 5,5.

Observe-se que, no meio da tubulação, y = R. Da equação acima obtém-se:

AuR

uu

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=νκ

*

*

ln1 . (4.7)

A lei da parede (Eq. 4.6), devemos aqui enfatizar, vale apenas em regiões onde os efeitos turbulentos sejam

dominantes. Portanto, considerando que as perdas de carga resultantes do escoamento na sub-camada viscosa do escoamento sejam desprezíveis quando comparadas com as perdas oriundas da turbulência, podemos integrar o perfil de velocidades dado pela Eq. (4.6) ao longo da seção reta da tubulação para obter:

( ) ( ) ( ) ξξξξξ dudUu -1 ln5,2 2 1 21

0

1*

1

0 ∫∫ −−−= , (4.8)

onde ( ) AuuRU / ln5,2 ** += ν denota a velocidade no centro da tubulação e Ry /=ξ .

Segue-se então imediatamente que

75,3*

−=−u

Uu . (4.9)

Observe que a equação acima relaciona a velocidade média do escoamento com a velocidade no centro da

tubulação, obtida da Eq. (4.6). Ao somarmos as Eqs. (4.6) e (4.9) temos que:

75,1

ln75,2 *

*

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=νuR

uu . (4.10)

Note ainda que a partir da Eq. (4.4) podemos escrever

2*8 ⎟

⎞⎜⎝

⎛=uu

λ . (4.11)

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Uma combinação das Eqs. (4.10) e (4.11) nos fornece a lei universal do atrito para escoamentos em

tubulações impermeáveis lisas,

( ) 91,0log035,21−= λ

λeR , (4.12)

onde ν/udRe = .

Esta equação foi testada por inúmeros autores, sendo consenso ser ela válida para números de Reynolds tão grandes quanto se deseje.

4.2 Escoamentos em tubulações lisas permeáveis

Para tubulações que permitem transpiração de fluido na parede, a Eq. (4.12) precisa ser evidentemente

especializada. No texto seguinte utilizaremos a metodologia desenvolvida acima para fazer isso. O ponto de partida deve ser, claramente, a especificação de uma lei de parede que possa ser utilizada com

transpiração de fluido. Para isso usaremos a formulação de Silva Freire (1988). Escoamentos incompressíveis com injeção ou sucção de fluido na parede podem ser representados na região

completamente turbulenta pela equação:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π

++= +++

δκνκδκκyWAuy

vyWAyu w

~

2

ln21ln1

2* , (4.13)

onde */ uuu =+ , ν/ *uyy =+ , */ uvv ww =+ denota a injeção ou sucção de fluido na parede e o parâmetro A é dado por:

uv

A w5125 −= , (4.14)

e os parâmetros Π , Π~ e a função W estão relacionados à função universal de Coles (1956) para a descrição de escoamentos externos.

A Eq. (4.13), re-escrita em termos do valor da velocidade máxima tomada no centro da tubulação nos fornece imediatamente

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

yRAvuyuRv

yRu

uU ww ln2

ln

ln

4ln *2*2

2*

κννκκ, (4.15)

ou, de forma equivalente,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

yRAvu

yRyRv

yRu

uU ww ln2

ln ln4

ln 2

2*

2*

κνκκ. (4.16)

Para escoamentos internos, podemos integrar a equação (4.16) ao longo da seção transversal da tubulação

para obtermos

( )∫ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

Rww dyyR

yRAvu

yRyRv

yRu

UR

u0

2

2*

2*

2 2 ln2

ln ln*4

ln1 πκνκκπ

( ) ( )( ) ( )∫ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−= −+−−

1

0

1212

1* 1 ln2

ln ln4

ln2 ξξξκ

ξξκ

ξκ

dAv

Rvu

U we

w , (4.17)

onde ν/*RuRe =+ .

A equação acima resulta em,

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( )( )47,5ln34,286,1 75,32

* −+−−= +ew RAvuUu . (4.18)

A substituição da Eq. (4.16) na Eq. (4.18) nos fornece

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−++−+= +++ 47,586,1

4ln68,425,1ln56,175,3ln5,2

22

* AARARvARuu eewe . (4.19)

Consideremos ainda que

ν* uRRe =+ e

λ22

*

=uu , (4.20)

de tal modo que a equação do atrito pode ser escrita como

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−++−+= ++++ 47,5 86,1

4ln 68,425,1ln 56,175,3ln 5,2

221

22 AARARvAR eewe

λ , (4.21)

onde

uv

v ww =+ e

24 λ

νduRe =+ . (4.22)

A equação transcendental (4.21) nos fornece λ em função de Re e +

wv . A Figura (4.1) ilustra esse processo.

103 104 105 106

Re =⎯ud/ν

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

λ

vw+ = 0.000

vw+ = 0.001

vw+ = 0.002

Figura 4.1 - Valores do fator de atrito como função do número de Reynolds para três taxas de injeção +wv = 0,001 (linha superior), +

wv = 0,002 (linha intermediária) e +wv = 0,004 (linha inferior).

4.3 Escoamentos em tubulações rugosas impermeáveis

As tubulações industriais em sua evidente maioria não podem ser consideradas como constituídas de

superfícies lisas. Conseqüentemente, toda a argumentação anterior peca por subestimar os valores relativos ao atrito e por isso precisa ser revista para que tais efeitos sejam incorporados nas formulações propostas.

Como mencionado por Schlichting (1979) “o desejo de explorar as leis de atrito para escoamentos em tubulações rugosas de um modo sistemático é frustrado pela fundamental dificuldade de que o número de parâmetros para a descrição da rugosidade é extraordinariamente elevado devido à grande diversidade de formas geométricas”. De fato, a caracterização geométrica de uma parede rugosa deveria pelo menos considerar a

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densidade de distribuição dos elementos rugosos, sua forma e altura, além do modo como eles são distribuídos sobre a parede. Isso, em uma primeira instância, parece ser tarefa de impossível satisfação.

Ainda segundo Schlichting (1979), após revisar diversos resultados experimentais encontrados nos trabalhos disponíveis à época, Hopf (1923) verificou que dois tipos de rugosidade deveriam ser considerados:

• rugosidades formadas por elementos relativamente grandes e arranjados de forma muito apertada; • rugosidades formadas por elementos amenos e espaçados entre si.

No primeiro tipo de rugosidade, o coeficiente de atrito (ou de resistência) é independente do número de

Reynolds e a perda de carga proporcional ao quadrado da velocidade. Nesses casos a rugosidade pode ser caracterizada com o auxílio de um único parâmetro, ks, o qual deve ser determinado experimentalmente.

No segundo tipo de rugosidade, o coeficiente de atrito depende do número de Reynolds e da rugosidade relativa. Neste caso, a razão entre a altura dos elementos rugosos e a espessura da camada limite passa a ser importante. Em particular, o fenômeno passa a depender de modo crucial da espessura da sub-camada viscosa, δl (= ν/u*). No caso especial de todos os elementos rugosos se encontrarem inteiramente imersos em δl, um aumento na resistência ao escoamento não ocorrerá.

Para determinar a dependência funcional do coeficiente de atrito nas propriedades de uma superfície, Nikuradse (1933) realizou cuidadosos experimentos com dutos circulares dotados de superfícies internas formadas por grãos de areia de tamanhos bem definidos e colados em um arranjo bastante denso. Então, através da variação do tamanho dos grãos e dos diâmetros das tubulações ele foi capaz de variar a rugosidade relativa (ks /R) de 0,002 a 0,067. É importante ressaltar que até os dias atuais este é o mais completo conjunto de dados sobre o comportamento do escoamento em dutos de parede rugosa. Como conseqüência, a rugosidade de outras superfícies passou a ser normalmente expressa em termos da rugosidade equivalente do grão de areia, ks, cujo valor é encontrado, conforme observa Langelandsvik et al. (2008), comparando-se o fator de atrito da superfície no regime completamente rugoso ao fator de atrito da rugosidade de grão de areia equivalente do duto.

A lei do atrito para escoamentos em tubulações rugosas é mostrada na Figura (4.2). No regime laminar, todos os tubos possuem a mesma resistência ao avanço, incluindo os tubos lisos. A partir de um certo valor de Rek (= ks u*/ν), da ordem de 5, a curva de resistência começa a se afastar da curva para regimes laminares, atingindo em aproximadamente Rek = 70 a região de resistência quadrática, típica de regimes completamente rugosos.

103 104 105 106

Re = ⎯ud/ν

1

10

2

3

4

5

6789

100 λR/ks = 15

R/ks = 30,6

R/ks = 60

R/ks = 126

R/ks = 252

R/ks = 507

R/ks = 1300

λ = 64/Re

1/√λ = 2log(Re√λ ) − 0,8

λ = 0,3164/Re0,25

Figura 4.2 - Lei da resistência para escoamentos em tubulações rugosas. Figura adaptada de Schlichting (1979).

Em escoamentos sobre superfícies rugosas, o aumento na perda de quantidade de movimento em regiões

próximas à parede resulta em perfis de velocidade com menores gradientes. Entretanto, a velocidade média ainda pode ser observada seguir um comportamento logarítmico. Deste modo, segue-se que

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Bky

uu

s

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ln1

* κ, (4.23)

onde B = 8,5 (regime completamente rugoso).

Na realidade, B é uma função de ks. Isso fica claro com a observação da Figura (4.3). O comportamento do parâmetro B na região de transição de regime despertou o interesse de diversos pesquisadores. Podemos citar entre outros, Ligrani e Moffat (1986), Feiereisen e Acharya (1986), Wu e Rajaratnam (2001) e mais recentemente Bigillon et al. (2006). Como resultado deste esforço, distintas formulações para a descrição de B podem ser obtidas na literatura.

Figura 4.3 - Comportamento de B (Eq. 4.23), termo aditivo da lei de parede para escoamentos sobre superfícies rugosas. Figura adaptada de Shockling et al. (2006).

Ligrani e Moffat (1986), após estudarem o comportamento do parâmetro B para os diferentes tipos de

rugosidade na parede, sugerem a seguinte interpolação para os dados da Figura (4.3):

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−++= gsenRCCRB

keke πκκ 2

1ln15,8ln1 , (4.24)

ou

( ) ( )CRBke 1 ln 15,8 σ

κσσ −+

−+= , (4.25)

onde ν/*ukR ske = , C = 5,1 e ( )gsen )2/1( πσ = , com

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

=

Ske

Rke

Ske

ke

R

R

RR

g

,

,

,

ln

ln

, para RkekeSke RRR

,,<< , (4.26a)

1=g , para

Rkeke RR,

> , (4.26b)

0=g , para

Skeke RR,

< . (4.26c)

10-1 100 101 102

Rek = ks u*/ν

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

B

Shockling et al. (2006)Nikuradse (1933)B = 8,48

B = 5,5 + 5,75 log(k u*/ν)

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Note-se que para o caso completamente liso, σ = 0 e B = 0 e para o caso completamente rugoso σ = 1 e B = 8,5. Assim, a equação (4.23) assume a seguinte forma

( ) ( )CRky

uu

kes

σκ

σσκ

−+−

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 1ln15,8ln1

*

, (4.27)

com RekS = 5, RekR = 70 e esta aproximação deve ser restrita ao intervalo 5 < Rek < 70. Acima ou abaixo deste intervalo, recorre-se às expressões para os regimes completamente liso ou rugoso.

Usando raciocínio análogo ao que foi feito para o caso de paredes lisas sem transpiração, tem-se que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= 75,3ln ,52

221 k

s

AkRλ , (4.28)

onde

uv

BA wk 512 −= . (4.29)

4.4 Escoamentos em tubulações rugosas permeáveis

Os resultados acima podem ser facilmente estendidos para tubulações sujeitas à transpiração na parede desde

que recorramos à metodologia já desenvolvida anteriormente. De fato, toda a análise anterior permanece válida bastando para isso que os ajustes necessários na Eq. (4.13) sejam feitos. É, portanto, fundamentalmente necessário que as modificações em Re

+ e em A sejam efetuadas. Deste modo, definimos se kRR /=+ e uvBA wk / 512 −= . Assim, a lei do atrito para tubulações rugosas

permeáveis pode ser escrita como:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛= + 47,5 86,1

4ln 68,4 25,1ln 56,1 75,3ln 5,2

221

2

2

kk

sk

swk

s

AA

kRA

kRvA

kRλ

. (4.30)

5. RESULTADOS

Como já dito, um número elevado de autores tem modelado a perda de carga em tubulações horizontais através de sua decomposição em três termos: a) um devido à aceleração do escoamento provocada pela adição da massa através das paredes, b) outro resultante das perdas por atrito na parede e, finalmente, c) um termo decorrente de perdas adicionais provocadas pela interação do fluido transpirado com o escoamento principal.

Infelizmente, esta prática introduz muita confusão na redução dos dados experimentais disponíveis na literatura. Realmente, um balanço simples de quantidade de movimento nos fornece trivialmente o termo de perda de carga por aceleração do escoamento em dois pontos quaisquer de uma tubulação (= 2

122 uu ρρ − ).

Entretanto, a estimativa do termo das perdas por atrito na parede é feita erroneamente. Tipicamente, os autores utilizam relações consagradas como as de Blasius ou de Haaland, as quais, sabemos, não podem ser utilizadas com transpiração de fluido na parede. Os descuidos passam despercebidos pela inclusão do terceiro termo do balanço que, por ser obtido por exclusão, aceita qualquer previsão. Desta forma, muitos dos coeficientes de atrito apresentados na literatura não possuem respaldo físico. Em particular, termos de perda de carga negativos são comumente apresentados. Esse absurdo claramente resulta da diminuição dos fatores de atrito para superfícies lisas por força da transpiração de fluido na parede.

Um outro grande limitante na comparação da presente teoria com práticas experimentais diz respeito ao modo como a maioria dos experimentos foi conduzida em laboratório. A tubulação porosa é normalmente representada por uma tubulação perfurada, com aberturas distantes entre si. Isso tende a provocar micro-jatos locais ao contrário de uma injeção de fluido homogênea como seria desejado.

Uma comparação entre vários modelos para a predição da perda de carga em tubulações perfuradas, bem como de várias campanhas experimentais realizadas, pode ser encontrada em Clemo (2006). Dos quatro conjunto de dados analisados por Clemo (2006), escolhemos os dados de Olson e Eckert (1966) e de Su e Gudmunsson (1998) para uma validação da Eq. (4.30).

O experimento de Olson e Eckert (1966) utilizou uma tela com porosidade de 0,5 para construir um tubo poroso que foi ensaiado em escoamento de ar. O tubo possuía um diâmetro interno de 3,55 cm e comprimento de

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+wv

λ

dx /

+wv

λ

dx /

0,857 m. O fator de atrito medido sem transpiração de fluido foi de 0,025. As Figuras (5.1) e (5.2) comparam os resultados experimentais com a Eq. (4.30) para várias taxas de transpiração. Apesar da grande dispersão dos pontos experimentais, podemos observar que a presente formulação funciona consideravelmente bem.

(a) (b) Figura 5.1. Variação do fator de atrito com a transpiração de fluido na parede ao longo do comprimento da tubulação:

(a) previsão teórica dada pela Eq. (4.30), (b) dados de Olson e Eckert (1966), (Re = 30.000).

Figura 5.2. Comportamento do fator de atrito previsto teoricamente em comparação com os dados de Olson e Eckert (1966), (R = 30.000).

Os experimentos de Su e Gudmunsson (1998) foram conduzidos em tubos perfurados. Nos dois metros totais

de sua seção de testes, apenas 0,6 metros foram utilizados para injetar fluido. O diâmetro interno de sua tubulação possuía 22 mm e o diâmetro das perfurações, 3 mm. Um total de 158 perfurações foram feitas, resultando em uma porosidade de 0,027. Note que este valor é muito inferior àquele do experimento de Olson e Eckert (1966), de 0,5. Os resultados de perda de carga observados experimentalmente são comparados com a presente previsão teórica na Tabela 5.1 para três faixas de número de Reynolds.

Tabela 5.1. Comparação entre os dados de Su e Gudmunsson (1998) e a previsão teórica fornecida pela Eq. (4.30). (σ = razão entre a vazão mássica que entra pelas paredes da tubulação e a vazão total do escoamento na saída.. ∆p = perda de carga por atrito).

Re σ ∆p (Pa) Experimental ∆p (Pa) Equação (4.30)

40.000 0,02 1000 958 40.000 0,05 950 890 40.000 0,10 900 788 65.000 0,02 2450 2323 65.000 0,05 2350 2131 65.000 0,10 2250 1845 90.000 0,02 4900 4653 90.000 0,05 4700 4250 90.000 0,10 4500 3638

+wv

λ

dx /

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Para toda a faixa de Re o erro máximo para as menores taxas de injeção é de 5 %. Para as maiores taxas, o erro salta para aproximadamente 18 %. Esse resultado é surpreendentemente bom. De fato, para as maiores taxas de injeção, e em função do baixo número de perfurações que esses autores usaram, não se deve esperar que uma condição de injeção homogênea de fluido ocorra na parede. Neste sentido, é mais provável que uma geometria dominada por micro-jatos isolados passe a ser dominante. Assim, a presente formulação fornece valores de ∆p inferiores aos que foram observados. 6. CONCLUSÃO

A forma como o presente problema foi abordado é totalmente original. Pela primeira vez na literatura, a Eq. (4.30) foi apresentada. Esta equação possui o grande mérito de incluir em seu conteúdo os efeitos simultâneos do número de Reynolds, da taxa transpiração e da rugosidade locais. Em sua definição, a Eq. (4.30) apenas considerou a especificação de dependências funcionais e de constantes de integração a partir dos valores clássicos encontrados na literatura. Portanto, nenhuma redução de dados experimentais foi realizada para a escolha do comportamento dos vários parâmetros e constantes que aparecem na presente análise. A independência em sua dedução mostra como a presente formulação é robusta: ela foi capaz de fornecer resultados bastante coerentes, isso sem qualquer calibração especial para os dados experimentais apresentados por outros autores.

De fato, uma especialização da Eq. (4.30) para situações diferentes daquelas contempladas no presente trabalho pode ser feita de um modo muito simples, através do parâmetro aditivo Ak. Para que isso seja feito com autoridade, os presentes autores estão empenhados em campanhas experimentais específicas para o levantamento de dados de pressão e de perfis de velocidade média e de grandezas turbulentas em tubulações com injeção normal de fluido na parede. Esses dados deverão estar disponíveis nos próximos 12 meses. 7. AGRADECIMENTOS

O presente trabalho foi financiado pela Petrobras através do Convênio Coppetec/Cenpes No 11298. 8. REFERÊNCIAS ASHEIM, H.; KOLNES, J.; OUDEMAN, P. A flow resistance correlation for completed wellbore. J. Petrol. Sci. Eng., v. 8, p. 97-104, 1992. BIGILLION, F.; NINO, Y.; GARCIA, M. H. Measurements of turbulence characteristics in an open-channel flow over a transitionally-rough bed using particle image velocimetry. Exp. in Fluids. v. 41, p. 857-867, 2006. BLASIUS, H. Das ahnlichkeitsgesetz bei reibungsvorgangen in flussigkeiten. Forschg. Arb. Ing.-Wes. No. 134,

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Universal resistance law for smooth and rough pipes subjected to flow transpiration at the wall

ABSTRACT Horizontal drilling technology in oil exploration, development, and production operations has become a standard procedure over the last twenty years. The great advances in technology have meant that horizontal borehole lengths can be found with more than 2000 meters. The objective of horizontal drilling is to expose very large areas of reservoir rock to the well bore surface. To fill the space between the screen casing and the bore hole, a high hydraulic conductivity sand or gravel packed "wall" is normally installed. Upon the action of the reservoir large pressures, fluid is then transpired from the rock reservoir into the well. Over short lengths, the effects of transpiration on the flow properties including the pressure drop can be neglected. However, this is not the case for the presently very large horizontal borehole lengths. The purpose of the present work is to use perturbation methods to develop a resistance law for transpired smooth pipes at large Reynolds numbers. The resulting bi-logarithmic law is obtained from a direct integration of local equations of motion resulting from the application of intermediate variables to the Reynolds averaged Navier-Stokes equations. A turbulence model of the mixing-length type is resorted to here. All results are further extended to rough pipes. Model validation is achieved by comparison with the experimental data of other authors. Keywords: Horizontal drilling, Resistance law, Transpiration, Roughness. Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo deste artigo.