LEI DOS SENOS E COSENOS

Resolver triângulos é estabelecer um conjunto de cálculos que nos permitam determinar os

lados, ângulos e outros segmentos do triângulo. A lei dos senos e dos cosenos são utilizadas

para a resolução de triângulos quaisquer.

Lei dos Cosenos

Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:

Para esses triângulos podemos escrever:

a2 = b2+c2 – 2bc . CosA b2 = a2 + c2 – 2ac . CosB c2 = a2 + b2 – 2ab . CosC Sen²(A) + Cos²(B) = 1

Em qualquer triângulo quando um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

Lei dos Senos

A lei dos senos estabelece a relação entra a mediada de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c, podemos escrever.

A lei dos senos determina que a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante em um mesmo triângulo.

Os estudos trigonométricos no triângulo retângulo têm por finalidade relacionar os ângulos do triângulo com as medidas dos lados, por meio das seguintes relações: seno, cosseno e tangente. Essas relações utilizam o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa. Observe:

Seno = cateto oposto / hipotenusa

Cosseno = cateto adjacente / hipotenusa Tangente = cateto oposto / cateto adjacente

Essas relações somente são válidas se aplicadas no triângulo retângulo, aquele que possui

um ângulo recto (90o) e outros dois ângulos agudos. Nos casos envolvendo triângulos

quaisquer utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cosenos no intuito de calcular medidas e

ângulos desconhecidos. Enfatizaremos a lei dos senos mostrando sua fórmula e modelos

detalhados de resolução de exercícios.

Fórmula que representa a lei dos senos:

Na lei dos senos utilizamos relações envolvendo o seno do ângulo e a medida oposta ao ângulo.

Exemplo 1

Determine o valor de x no triângulo a seguir.

Sen120o = Sen(180o – 120o) = Sen60o=

ou 0,865

Sen450 =

ou 0,707

Exemplo 2

No triângulo ao lado temos dois ângulos, um medindo 450, outro medindo 105o, e um dos lados medindo 90 metros. Com base nesses valores determine a medida de .

Para determinarmos a medida de no triângulo devemos utilizar a lei dos senos, mas para isso precisamos descobrir o valor do terceiro ângulo do triângulo. Para tal cálculo utilizamos a seguinte definição: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o. Portanto:

o

Consideremos a seguinte situação: Um equilibrista usava o seguinte esquema para mostrar as suas habilidades. Quantos metros anda o equilibrista na subida? E na descida?

Para resolvermos o problema, considere a seguinte figura:

A resolução do problema mostra que, utilizando a altura do triângulo e as razões trigonométricas, podemos resolver problemas com triângulos não rectângulos.

Consideremos o triângulo [ABC]. A altura h do triângulo divide-o em dois triângulos rectângulos.

Temos:

Igualando os valores de h obtemos:

ou

(1)

Se considerássemos a altura relativa ao vértice B teríamos concluído que:

(2)

Logo, por (1) e (2) podemos escrever:

O teorema dos senos, ou "lei dos senos", relaciona os lados e os ângulos opostos de um triângulo qualquer. Esta relação que foi deduzida para um triângulo acutângulo é válida para qualquer triângulo. Se algum dos ângulos do triângulo é obtuso, atenda-se a que

Observemos a fórmula

Com a ajuda dela podemos resolver triângulos se:

- conhecermos dois lados e um ângulo oposto a um desses lados;

- conhecermos dois ângulos e um lado.

Como se conhecermos dois ângulos poderemos conhecer o terceiro (a soma dos três

ângulos internos de um triângulo é 180º), não é necessário colocar restrições para o

lado conhecido.

Resolvendo o problema do equilibrista, temos:

Cos42⁰ =

b =

⁰ b=

6,73 m

Cos ⁰

⁰

Lei dos Cosenos através da Regra de Cramer

Às vezes a relação entre assuntos de áreas distintas da matemática surpreende-nos muito. Por exemplo, todos conhecem a lei dos cosenos que diz que “o quadrado de um lado qualquer de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto desses lados pelo coseno do ângulo formado por eles”, e uma demonstração clássica é a aplicação do Teorema de Pitágoras.

É interessante observar que a regra de Cramer para resolver sistemas lineares através de determinantes (exemplo na imagem acima) pode ser usada para fornecer uma demonstração da Lei dos Cosenos. Para isso, considere a figura abaixo.

Aplicando a definição do coseno nos triângulos e , segue que e , de modo que:

(1)

Analogamente

(2) e (3)

Das equações (1), (2) e (3) temos o sistema linear

Nas variáveis , e , usando a regra de Cramer temos que os determinantes e são:

e

Assim sendo:

Ou seja:

O Autor

Francisco S. M. Silva