Lei de Gauss – Exemplo conceitualUma superfície gaussiana esférica envolve uma carga pontual q.Descreva o que acontece ao fluxo total que atravessa a superfície se:(a) a carga é triplicada. (b) o raio da esfera é duplicado.(c) a superfície é trocada por um cubo.(d) a carga é posicionada em outro ponto no interior da superfície

(a) O fluxo através da superfície triplica pois é proporcional à carga.

(b) O fluxo não varia pois todas as linhas do campo elétrico da carga passam pela esfera, independentemente do seu raio

c) O fluxo não se modifica quando a forma da superfície gaussiana muda pois todas as linhas do campo elétrico passam pela superfície, independentemente de sua forma

(d) o fluxo não varia quando a carga é mudada de posição no interior da superfície pois a Lei de Gauss se refere à carga total enclausurada, independentemente da localização dentro da superfície.

Solução

Aplicações da Lei de Gauss a Isolantes Carregados

A lei de Gauss é muito útil para determinar o campo elétrico quando a distribuição de cargas tem alto grau de simetria.

Veremos os meios de escolher a superfície gaussiana nas quais a integral da equação

pode ser simplificada e o campo elétrico determinado.

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1. Que o valor do campo elétrico seja constante na superfície,

2. Que o produto escalar da equação 1 possa ser calculado pelo produto EdA, ou seja que E e dA sejam paralelos.

3. Que o produto escalar da equação 1 seja zero, ou seja que E e dA sejam perpendiculares

4. Que o campo elétrico E seja nulo na superfície.

Para escolher a superfície deve-se levar em conta a simetria da distribuição de cargas de modo a poder tirar E da integral.

Estratégia: Determinar uma superfície que satisfaça 1 ou mais das seguintes condições:

Exemplo 1. Campo elétrico devido a uma carga pontual

Calcule o campo elétrico devido a uma carga pontual isolada q, usando a Lei de Gauss.

Escolhemos uma superfície gaussiana esférica centrada na carga. O campo elétrico devido a uma carga pontual é dirigido radialmente para fora, portanto normal à superfície. A lei de Gauss fica

Condição (2) E // dA em todos os pontos.

Resolvendo para E

Onde usamos a área da superfície da esfera 4π r²

Por simetria E é constante em toda a superfície, satisfaz a Condição (1), E pode ser removido da integral

Exemplo 2 – Distribução de cargas com simetria esféricaUma esfera sólida isolante de raio a tem uma densidade de carga volumétrica uniforme ρ e carga total positiva Q. a) Determine a magnitude do campo elétrico em um ponto fora da esfera.

Como a distribuição de cargas tem simetria esférica, selecionamos uma superfície gaussiana esférica, de raio r, concêntrica com a esfera sólida.As condições 1 e 2 são satisfeitas.

Para r > a

r < a

b) Determine a magnitude do campo elétrico para um ponto situado dentro da esfera.Agora escolhemos uma superfície gaussiana com r < a, concêntrica com a esfera isolante.V' = volume da esfera menor.A carga dentro qin deste volume é menor que Q, carga total:Por simetria, a magnitude do campo elétrico é constante em todos os pontos da superfície esférica gaussiana e é normal a ela. As condições 1 e 2 são satisfeitas

Para a região r < a, a lei da Gauss fica

Resolvendo para E obtem-se

como

Observação:

O resultado para E difere do obtido na parte (a).

Quando r → 0 o campo elétrico E→ 0

Gráfico de E em função de r para uma esfera isolante. O campo elétrico dentro da esfera varia linearmente com r. Fora da esfera é igual ao de uma carga pontual

Exemplo 3 - Campo devido a uma Casca esférica fina

Uma casca esférica fina de raio a tem carga total Q distribuída uniformemente em sua superfície. Encontre o campo elétrico a)fora da casca e b)dentro da casca.

a) Fora da casca, r > a.

Idêntico ao exemplo anterior. Considerando uma superfície gaussiana esférica de raio r >a, concêntrica com a casca. A carga dentro desta superfície é Q. Portanto o campo para um ponto externo à casca é equivalente ao campo devido a uma carga pontual Q, localizada no centro.

b) O campo elétrico dentro da casca é ZERO.

Isto é segue da aplicação da Lei de Gauss a uma superfície esférica de raio r < a, concêntrica com a casca.

Como a carga é distribuída simetricamente e a carga total no interior da superfície é zero ( satisfaz as condições 1 e 2), a aplicação da lei de Gauss resulta em E = 0 na região r<a.

Exemplo 4. Distribuição de cargas com simetria cilíndrica.Determine o campo elétrico a uma distância r de uma linha de cargas positivas de comprimento infinito, com carga uniforme por unidade de comprimento

Condições 1 e 2 são satisfeitas.

Condição 3 também é satisfeita: nas extremidades da superfície gaussiana E é paralelo às superfídies ( E perpendicular a dA )