Lei das Malhas (KVL) Lei dos Nós (KCL) · Electrónica_biomed_ef 2 KCL (Kirchhoff Current Law)...
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Electrónica_biomed_ef 1
Lei das Malhas (KVL)Lei dos Nós (KCL)
ElectrónicaArnaldo Batista
2005/2006
Electrónica_biomed_ef 2
KCL (Kirchhoff Current Law)•Nó é o ponto de ligação de dois ou mais elementos de circuito•Ramo é uma porção do circuito contendo um elemento simples, limitado por dois nós.•O número de equações KCL linearmente independentes, num circuito com N nós, é N-1 (é o número de equações necessárias para calcular as tensões em todos os nós dos circuitos).
Rvvi Nm −= Ohm de Lei
Rvvi mN −
='Ohm de Lei
'ii −=
'i
Nó de referência, onde o potencialé nulo.
Electrónica_biomed_ef 3
Nó de ReferênciaÉ o nó onde se considera que o potencial é zero. Pode ser o nó que está ligado à terra (que está ao
nosso potencial) e que se considera zero. Em sistemas que não estão ligados à terra (p. ex. telemóveis) é o nó relativamente ao qual todos os
potenciais estão referidos e que igualmente se considera com potencial nulo. Neste caso é comum chamar-se “nó de massa”.Para ambos os casos anteriores as regras de KCL ou KVL são as mesmas.
( )( ) VVV
VVV
VVVVV
VVVVVV
642624
Também22
Igualmente4 logo
)referência de (nó 0 mas 4
12
21
232
1
331
−=+−−=−=−−=−
−=⇒−=−
=
==−
−
+V4
+
−V2
I1 I2
I3
Corrente Eléctrica
A corrente eléctrica (convencional) desloca-se dos potenciais maiores para os menores, pelo que na figura, I1, I2 e I3 têm os sentidos indicados. Pela lei de Ohm:
( )
( )222
213
333
232
111
311
624
220
404
RRRVVI
RRRVV
I
RRRVVI
=−−
=−
=
=−−
=−
=
=−
=−
=
I4I5
Os potenciais de todos os nós estão referidas ao nó de referência, ou seja V1=4V significa que este nó está a 4 Volt acima do potencial do nó 3 que é zero volt ou seja:
Electrónica_biomed_ef 4
KCL (Kirchhoff Current Law) revisitadaA soma das correntes que sai de um nó é igual à soma das correntes que chega ao nó.Ou de outra forma:A soma de todas as correntes que sai de um nó é zero (neste caso uma ou mais correntes vão ser necessariamente negativas).
Nó de Referência
SV aV bV cV Pretendemos calcular os potenciais em todos os nós do circuito. Tendo anteriormente definido nó como a junção de dois ou mais elementos de circuito existem 5 nós neste circuito. Desses 5 nós 2 têm potenciais conhecidos: VG=0 e VS=12 V. Restam portanto Va ,Vb e Vc.para calcular (três equações).
GV
0:@ 321 =++− IIIV a
036
09
12=
−+
−+
−kVV
kV
kV baaa
0:@ 543 =++− IIIV b 094
03
=−
+−
+−
kVV
kV
kVV cbbab
0:@ 65 =+− IIV c 039
=+−
kV
kVV cbc
Escrever directamente estas equações
Electrónica_biomed_ef 5
a b c
d
aV
bV
cV
dV
1R 3R
2R2I3I
1I
Nota importante: Os sentidos das correntes em cada nó podem ser arbitrados, independentemente dos sentidos arbitrados para os outros nós.
( )
0
00
0nó no correntes
321
321321
=−
+−
+−
=−
+−
+−
−⇒=++−
=∑
RVV
RVV
RVV
RVV
RVV
RVVIII
cbdbab
cbdbba
a b c
d
aV
bV
cV
dV
1R 3R
2R '2I
'3I'
1I
( )
0
00
0nónocorrentes
321
321
'3
'2
'1
=−
+−
+−
=−
−−
+−
⇒=−+
=∑
RVV
RVV
RVV
RVV
RVV
RVVIII
cbdbab
bcdbab
''2I
''3I''
1I
a b c
d
aV
bV
cV
dV
1R 3R
2R
( )
00
0nó no correntes
321
''3
''2
''1 =
−+
−+
−⇒=++
=∑
RVV
RVV
RVVIII cbdbab
Neste caso arbitrou-se que todas as correntes abandonam o nó. É claro que uma ou mais correntes serão negativas
Qualquer que seja o sentido das correntes arbitradas no nó a equação final é a mesma!
Electrónica_biomed_ef 6
Exemplo 1 (KCL)
VVVVVVk
Vk
Vk
VV
15;3;2.7
01
151
32
0:@
321
1111
===
=−
+−
+− 1 equação para 1 incógnita
PSpice
mAk
I
mAk
ImAk
I
R
RR
6.32
02.7
8.71
152.7;2.41
2.73
17
2018
=−
=
−=−
=−=−
=
O Circuito tem 4 nós.Em v2, v3 e v4 os potenciais são conhecidos:V2=3VV3=15VV4=0V (terra)Fica apenas um potencial por calcularV1=?v4
Electrónica_biomed_ef 7
4 eqs, 4 incógnitas
VVVVVV 5.05.2;2 321 −===
.....
5.01
25.21
14
1212
=
=−
=−
=
R
R
I
mAkk
VVI
Exemplo 2 (KCL)
SI
Necessidade de utilização de uma corrente de auxílio IS
02
012
3:@ 12111 =
−+
−+
−k
VkVV
kVV
01
:@ 122 =+
−sI
kVVV
01
0:@ 33 =
−+−
kVIV s
VVV 332 =−
Os potenciais desconhecidos correspondem aos nós assinalados a cor vermelha
Torna-se necessário utilizar uma corrente de auxilio IS
Electrónica_biomed_ef 8
001
1
2
21 =−
+−
+−R
vR
vviA
00
3
2
2
12 =−
+−
+R
vR
vviB
2 eqs, 2 incógnitas v1 e v2
Exemplo 3 (KCL)
Número de nós: 3O nó 3 tem zero volts.
Nó 3
Electrónica_biomed_ef 9
03
06
06:@ 222 =
−+
−+−
kV
kVmAV
062
02:@ 11 =+
−+ mA
kVmAV
mA6
VV 161 −=VV 122 =
2 eqs, 2 incógnitas
Exemplo 4 (KCL)
Electrónica_biomed_ef 10
@V_10
66 1 =++− SI
kVmA
@V_2 012
4 2 =++−k
VmAIS
3 eqs, 3 incógnitas
VVV 621 =−
SI
KCLExemplo 5 (KCL)
Electrónica_biomed_ef 11
4 eqs 4 incógnitas
Exemplo 6 (KCL)
32
4
3
2
23
2
32
1
12
1
21
3
1
00
0
00
vvv
iR
vR
vvR
vvv
Rvvi
iR
vvR
v
x
B
xA
A
−=
=−−
+−
=−
++−
+
=−−
+−
α
Electrónica_biomed_ef 12
)()(Obter
tvtvG
i
O=
00)()( =−
+L
Ogm R
tvtvg
00)()()(
21
=−
+−
Rtv
Rtvtv gig
vgvo
Exemplo 7 (KCL)
Electrónica_biomed_ef 13
02
21
1
1 =−
++R
vvRvioβ
1@v
02
12
3
2 =−
++−R
vvRviA2@v
3
2
Rvio =3 equações, 3 incógnitas
β é uma constante
01112
231
21
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ v
RRv
RRβ
AivRR
vR
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++− 2
321
2
111
Re-arrajando
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−+
Aivv
RRR
RRRR 0111
111
2
1
322
2321
β
Exemplo 8 (KCL)
Electrónica_biomed_ef 14
KCL (Kirchhoff Voltage Law) revisitadaA soma das quedas de potencial ao longo de uma malha fechada é zero
Para um dado circuito com:B Número de RamosN Número de Nós
O número L de correntes de malha necessário para resolver o circuúito é
)1( −−= NBL
Electrónica_biomed_ef 15
Exemplo 1 (KVL)
Começa-se por estabelecer em cada malha uma corrente chamada fictícia (de sentido arbitrário). A corrente em cada ramo da malha é igual à corrente fictícia se esse ramo não for também percorrido por nenhuma outra corrente fictícia. É o caso da corrente em R1 e R2 que é igual a i1.A corrente que passa por ramos que são percorridos por várias correntes fictícias obtêm-se pela soma destas tendo em consideração o seu sentido. É o caso de R3 onde a corrente vale i1- i2.
2)16(767
=−−===
LNB
São necessárias duas malhas
1-Em primeiro lugar escolhem-se as correntes fictícias 2-Para facilitar assinala-se a polaridade da queda de potencial em cada elemento passivo. 3- Nos elementos passivos percorridos por mais do que uma correntefictícia considera-se, para efeitos de polaridade, que a corrente da malha onde estamos é superior às outras correntes fictícias que percorrem o mesmo ramo, embora isto possa não corresponder àrealidade do circuito.
Electrónica_biomed_ef 16
( ) 012213111 =−−−− iRiiRiRvS
[ ] [ ] [ ]VIR =
( ) 012325242 =−−−−− iiRiRiRvS
!
!
Electrónica_biomed_ef 17
Exemplo 2 (KVL)
Ramos = 8Nós = 7
Malhas = 2
( )( ) 0
0
3242512223
2122111
=−−−−−−=−−+−
S
SS
viRiRiiRiRiiRviRv
Electrónica_biomed_ef 18
Exemplo 3 (KVL)
As correntes fictícias podem ser escolhidas de modo a facilitar os cálculosNo circuito abaixo, calcular I0 .
1ª Opção 2ª Opção
43
21
45
210
21
=−=
==
III
II4
34
3
10
1
==
=
II
I
Mais eficiente
1I @KVL
2I @KVL
_ _
_ _ _
1I@KVL
2I@KVL
_ _
_ _ _
Electrónica_biomed_ef 19
Exemplo 4 (KVL) Circuitos com fontes de corrente independentes
Calcular V1 e V0 usando KVL Para efeitos de simplificação, nas malhas que contêm uma fonte de corrente, consideramos apenas uma corrente fictícia. Deste modo a corrente nessa malha fica calculada e assim se reduz o número de equações necessárias para resolver o circuito.
VkmAV
mAI
IIkkI
mAI
5.4643
0
43
2
0122262 :2 Malha
21:1Malha
=Ω×=
=
=−−−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1I
( )
VkmAmAV
mAI
kImAIkmAI
5.46452
45
02262 :2 Malha2 :1 Malha
0
2
22
1
=×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−=
=+++−
=
Outro processo:
Electrónica_biomed_ef 20
Exemplo 5 (KVL)
( ) ( ) 03624- :3 Malha2 :2 Malha
4 :1 Malha
31323
2
1
=+−−−−−=
=
kIIIkIIkmAI
mAI
VmAkV
mAI
233
416
41
0
3
−=−=
=
Electrónica_biomed_ef 21
•Conceito de circuito equivalente •Teorema de Thévenin
Electrónica_biomed_ef 22
Regras para obtenção do Equivalente de Thevenin entre dois pontos A e B de um circuito.RTH
i +
_OvOCv +
_OCv
SC
OCTH i
vR =
é a tensão entre os pontos A e B
É a razão entre e , a corrente que passa entre A e B quando estes terminais são “curto-circuitados”.
OCv SCiTHR
A
B
Electrónica_biomed_ef 23
Resistência de Thevenin ( ): • Circuitos c\ fontes dependentes e independentes: Calcula-se a corrente
que passa no curto-circuito entre A e B . Tira-se:
Nota: Se o circuito contiver apenas fontes independentes obtém-se mais facilmente calculando a resistência vista ente A e B após se terem anulado essas fontes (fontes de tensão “fechadas” e fontes de corrente “abertas”)
Regras Práticas para obtenção do Equivalente de Thevenin entre dois pontos A e B de um circuito.
Tensão de Thevenin entre A e B ( ): calcula-se usando qualquer dos métodosdisponíveis : KCL, KVL, etç.
OCv
THR
SC
OCTH i
vR =
SCi
THR
Electrónica_biomed_ef 24
Obter os Equivalentes de Thevenin e Norton, entre A e BResolução:A tensão entre A e B pode calcular-se dediversos modos. Aplicamos p. ex. KVL para obtenção datensão de Thevenin:
( ) ( )
VmAkVvmAI
IkIk
ABoc 4)2(442
044412
=+−===
=+−−
Para calcular a Resistência de Thevenin vamos obter ISC,a corrente de curto-circuito entre A e B. Por exemplopodemos aplicar KVL às duas malhas para obter ISC
I
1ISCI SCI
( ) ( )( )
kmAV
IvRemAIdonde
IIkIIkIk
SC
OCTHSC
SC
SC
2242
044044412
1
11
====
⎩⎨⎧
=−−−=+−−−
Thevenin
Exemplo 1-Thévenin
Electrónica_biomed_ef 25
Como o circuito anterior apenas tem fontes independentes poderiaser calculada anulando as fontes de tensão e calculando a resistência vista entre A e B. As fontes de tensão anulam-se removendo-as do circuito e fazendo um curto-circuito entre os pontos de onde foram removidas. Se existissem fontes de correntes estas anular-se-iam removendo-as e deixando os terminais de onde foram removidas em circuito aberto.
kkkRTH 24//4 ==
THR