7/25/2019 Legendre Equation

1/3

Equao de Legendre

( )( ) Usaremos o mtodo de serie de potncias para resolver essa equao.

Seja

ento

()

e

()

( )()

Temos

( ) ( )()

( )()

()

()

()

( )() ( )( ) () ()Inserindo esses valores na equao obtemos

[()() ( ) ( )]

obtendo

[()() () ( )]

7/25/2019 Legendre Equation

2/3

ou

()() [( ) ( )]ou ainda

( ) ( )()()

Vamos obter alguns valores para ver se obtemos uma relao geral dessa recorrncia.

Temos para os valores pares

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

[( )][( ) ]

( )

( )

[ ( )][ ( )][( ) ]

( )

[ ( )][ ( )][ ( )][( ) ]

Podemos ver que

()[( ) ( )]

( )

( ) [( )][ ( )]

7/25/2019 Legendre Equation

3/3

( )

[ ( )][ ( )][ ( )]

()[( ) ( )]

Temos as solues ento

onde

()[( ) ( )]

()[( ) ( )]

Preposio: Caso no for um inteiro no negativo par diverge em .Caso no for um inteiro positivo impar diverge em .