Larissa Simões Novelino

Aplicação de Técnicas de ‘Fast Multipole’ nos Métodos de Elementos de Contorno

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.

Orientador: Prof. Ney Augusto Dumont

Rio de Janeiro Julho de 2015

Larissa Simões Novelino

Aplicação de Técnicas de ‘Fast Multipole’ nos Métodos de Elementos de Contorno

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Prof. Ney Augusto Dumont Orientador

Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Paulo Sollero UNICAMP

Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio

Rio de Janeiro, 31 de julho de 2015

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.

Larissa Simões Novelino

Graduada em Engenharia Civil pela Universidade Federal do Pará em 2013.

Ficha Catalográfica

Novelino, Larissa Simões

Aplicação de Técnicas de 'Fast Multipole' nos Métodos de Elementos de Contorno / Larissa Simões Novelino; orientador: Ney Augusto Dumont. – 2015.

92 f. il. (color.); 30 cm

Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2015.

Inclui bibliografia

1. Engenharia civil – Teses. 2. Método fast multipole. 3. Elementos de contorno. 4. Métodos variacionais. I. Dumont, Ney Augusto. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título.

CDD: 624

Agradecimentos

A minha mãe, por todo o suporte e incentivo ao longo deste mestrado.

Ao Prof. Ney, meu orientador, por todo o conhecimento e apoio transmitidos ao longo desse mestrado.

Ao Hélvio, pela amizade, ajuda e discursões que foram fundamentais a este trabalho.

A Graciele e Patrick, pelas horas de estudo, pelos cafés, pelos brigadeiros e principalmente pela amizade.

Aos amigos Carlos, Wellington, Elvis e Daniel por todas as horas de estudo e conversas.

Aos meus amigos de Belém, Maria Cecilia, Larissa, Debora, Wylk, Gustavo e Philipe, que sempre estavam disponíveis para me ajudar e sempre arranjavam tempo nas minhas breves idas em Belém.

Ao CNPq e à PUC-Rio, pelos auxílios concedidos, sem os quais este trabalho não poderia ter sido realizado.

A todos os professores do curso de Engenharia Civil da PUC-Rio que de alguma forma contribuíram para minha formação.

A todos os professores do curso de Engenharia Civil da UFPA, em especial aos professores Sandoval, Ronaldson e Remo.

Resumo

Novelino, Larissa Simões; Dumont, Ney Augusto. Aplicação de Técnicas de 'Fast Multipole' nos Métodos de Elementos de Contorno. Rio de Janeiro, 2015. 92p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Este trabalho visa à implementação de um programa de elementos de

contorno para problemas com milhões de graus de liberdade. Isto é obtido com a

implementação do Método ‘Fast Multipole’ (FMM), que pode reduzir o número

de operações, para a solução de um problema com N graus de liberdade, de

O(N²) para O(NlogN) ou O(N). O uso de memória também é reduzido, por não

haver o armazenamento de matrizes de grandes dimensões como no caso de

outros métodos numéricos. A implementação proposta é baseada em um

desenvolvimento consistente do convencional, Método de colocação dos

elementos de contorno (BEM) – com conceitos provenientes do Hibrido BEM –

para problemas de potencial e elasticidade de larga escala em 2D e 3D. A

formulação é especialmente vantajosa para problemas de topologia complicada

ou que requerem soluções fundamentais complicadas. A implementação

apresentada, usa um esquema para expansões de soluções fundamentais

genéricas em torno de níveis hierárquicos de polos campo e fonte, tornando o

FMM diretamente aplicável para diferentes soluções fundamentais. A árvore

hierárquica dos polos é construída a partir de um conceito topológico de

superelementos dentro de superelementos. A formulação é inicialmente acessada

e validada em termos de um problema de potencial 2D. Como resolvedores

iterativos não são necessários neste estágio inicial de simulação numérica, pode-

se acessar a eficiência relativa à implementação do FMM.

Palavras-chave Método Fast Multipole; elementos de contorno; métodos variacionais.

Abstract

Novelino, Larissa Simões; Dumont, Ney Augusto (Advisor). Application of Fast Multipole Techniques in the Boundary Element Methods. Rio de Janeiro, 2015. 92p. MSc. Dissertation – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

This work aims to present an implementation of a boundary element solver

for problems with millions of degrees of freedom. This is achieved through a

Fast Multipole Method (FMM) implementation, which can lower the number of

operations for solving a problem, with N degrees of freedom, from O(N²) to

O(NlogN) or O(N). The memory usage is also very small, as there is no need to

store large matrixes such as required by other numerical methods. The proposed

implementations are based on a consistent development of the conventional,

collocation boundary element method (BEM) - with concepts taken from the

variationally-based hybrid BEM - for large-scale 2D and 3D problems of

potential and elasticity. The formulation is especially advantageous for problems

of complicated topology or requiring complicated fundamental solutions. The

FMM implementation presented in this work uses a scheme for expansions of a

generic fundamental solution about hierarchical levels of source and field poles.

This makes the FMM directly applicable to different kinds of fundamental

solutions. The hierarchical tree of poles is built upon a topological concept of

superelements inside superelements. The formulation is initially assessed and

validated in terms of a simple 2D potential problem. Since iterative solvers are

not required in this first step of numerical simulations, an isolated efficiency

assessment of the implemented fast multipole technique is possible.

Keywords Fast Multipole Method; boundary elements; variational methods.

Sumário

1 Introdução 13

Objetivos 14 1.1.

Estrutura 14 1.2.

2 Método dos elementos de contorno (BEM) 16

Formulação consistente do método convencional dos elementos 2.1.

de contorno para elasticidade 16

2.1.1. CBEM aplicado a um problema de potencial 19

3 Método Fast Multipole (FMM) 21

FMM para problemas de potencial 2D 23 3.1.

3.1.1. Expansão da solução fundamental *u para um polo próximo ao

ponto campo 23

3.1.2. Expansão da solução fundamental *u para um polo próximo ao

ponto fonte 25

3.1.3. Aplicação FMM no CBEM 27

3.1.4. Algoritmo 30

4 Método ‘fast multipole’ para uma solução fundamental genérica

(GFMM) 36

Definições básicas 36 4.1.

Expansão da solução fundamental 37 4.2.

Expansões sucessivas 39 4.3.

Aplicação do GFMM no BEM para um problema de potencial 39 4.4.

4.4.1. Desenvolvimento 40

4.4.2. Integração no GFMBEM 43

4.4.3. Tabelas de Integração 44

5 Implementação computacional do GFMBEM 47

Implementação computacional 47 5.1.

5.1.1. Refinamento hierárquico da malha 48

5.1.2. Algoritmo unificado para as expansões do GFMBEM 51

Execução do algoritmo 57 5.2.

6 Exemplos Numéricos para Problema de Potencial 59

Exemplo unidimensional 59 6.1.

Exemplos bidimensionais 62 6.2.

6.2.1. Resultados para elementos constantes 63

6.2.2. Resultados para elementos curvos 66

7 Conclusões e sugestões 68

Conclusões 68 7.1.

Sugestões para trabalhos futuros 69 7.2.

8 Referências Bibliográficas 70

9 Apêndice 1 72

A Unified algorithm for hierarchical mesh refinement 72 9.1.

9.1.1. Input data 74

9.1.2. Output data 74

9.1.3. Initial definitions 75

9.1.4. Execution of the algorithm 75

10 Apêndice 2 78

A unified algorithm for pole expansions 78 10.1.

Unified algorithm for the generation of refined boundary 10.2.

meshes – use of a hierarchical concept 78

10.2.1. Input data 78

10.2.2. Output data 79

10.2.3. Algorithm for the first level ( )1k = 79

10.2.4. Algorithm for the next levels ( )1k > 80

10.2.5. Procedures referred to in the algorithm 82

10.2.6. Preliminary procedures for the GFMM 91

Lista de figuras

Figura 1 - Ilustração gráfica das interações entre pontos campo e pontos

fonte pelo (a) CBEM e (b) fast multipole BEM. 21

Figura 2 - Esquema genérico da expansão do ponto campo Z em torno de

um polo cZ próximo a este e distante do ponto fonte 0z , considerando um

plano complexo. 24

Figura 3 - Esquema genérico da expansão do ponto fonte 0Z em torno de

um polo LZ próximo a este e distante do ponto campo Z . 25

Figura 4 - Esquema genérico de sucessivas expansões em torno dos pontos

campo e fonte para novos polos de expansão (Adaptado de Liu, 2009). 26

Figura 5 - Esquema das expansões. Na legenda, encontram-se a referencia

as equações empregadas para cada expansão. 29

Figura 6 - Discretização do contorno S com o uso de elementos constantes

(LIU, 2009). 30

Figura 7 - Estrutura hierárquica de células. O quadrado pequeno no canto

inferior direito apresenta o esquema de numeração das células filhas,

independente do nível destas. (Adaptado de Liu, 2009). 32

Figura 8 - Estrutura hierárquica das células apresentadas na Figura 7. Os

quadrados na cor cinza estão representando as folhas. (Liu, 2009) 32

Figura 9 – Upward pass: Multipole expansions e translações M2M. Os

quadrados representam o centro de cada folha e os triângulos e as cruzes

representam o centro das células mães no nível 3 e 2, respectivamente.

(Adaptado de Liu, 2009). 34

Figura 10 - Esquema das translações M2L e L2L. A célula na cor cinza

representa a folha a qual o nó fonte 29 pertence. (Liu, 2009) 35

Figura 11 - Esquema genérico da expansão do ponto campo z em torno do

polo nkcz e da expansão do ponto fonte 0Z em torno de um polo nlL

Z

próximo a este e distante do ponto campo Z . 37

Figura 12 - Esquema das expansões. Cada linha representa uma parcela da

expansão. O esquema a direita representa as expansões considerando

expansões do ponto fonte e o da direita não às considera. 42

Figura 13 - Elemento isoparamétrico cúbico e o polo de expansão 0cz

(Peixoto, 2014). 46

Figura 14 - Esquema do refinamento hierárquico de uma malha de

elementos lineares. (a) Estrutura fornecida, ou seja, equivale à malha no

menor nível de refinamento ( )1 .k = (b) Estrutura no segundo nível de

refinamento ( )2k = . 49

Figura 15 - Esquema de Refinamento, considerando 3nv= , resultando em

um total de 4 níveis de refinamento. 50

Figura 16 - (a) Macroelemento 1 e seus filhos. A numeração apresentada se

refere aos elementos. (b) Estrutura hierárquica do macroelemento 1. 51

Figura 17 - Esquema dos elementos adjacentes ao microelemento 8. Os

elementos pontilhados compõem a estrutura hierárquica do microelemento 8

e os na cor cinza são os elementos adjacentes em cada nível de refinamento. 52

Figura 18 - Esquema das expansões dos pontos campo de acordo com a

ordem dos elementos, para 1childk = . Os círculos em vermelho representam os

polos (a) os círculos representam os nós e os traços delimitam a geometria

do elemento. (b), (c) e (d) Os nós externos dos elementos estão

representados por círculos e os internos por losangos. 54

Figura 19 - Esquema de expansão dos polos de acordo com a variável childk .

Os losangos representam os nós geométricos dos elementos e os círculos os

graus de liberdade dos elementos constates (Peixoto, et al., 2015). 54

Figura 20 - Esquema das expansões campo-fonte para um contorno

discretizado em elementos constantes considerando expansões (a) em torno

do ponto campo e fonte (b) apenas em torno do ponto campo. Os losangos

representam os nós geométricos, os círculos em azul os graus de liberdade e

os em vermelho os polos de expansão; 56

Figura 21 - Erro do algoritmo desenvolvido para o caso sem expansão em

torno do ponto fonte (esquerda) e com expansão em torno deste (direita). 60

Figura 22 – Tempo de execução do algoritmo sem expansão do ponto fonte

(esquerda) e com expansão do ponto fonte (direita) 61

Figura 23 - Esquema das expansões dos pontos campo. 61

Figura 24 - Esquerda: erro do algoritmo calculado segundo a Equação (1.4)

para um contorno quadrado. Direita: tempo de execução do algoritmo para o

contorno quadrado, utilizando 2cn = (Peixoto, et al., 2015). 63

Figura 25 - Erro por coeficientes do vetor Gt . Cada linha do gráfico

representa um ponto fonte. 64

Figura 26 - Erro por elemento fonte considerando apenas o nó do

microelemento 1 como ponto campo. 65

Figura 27 - Domínio quadrilateral distorcido para um estudo com elementos

quadráticos e resultados de precisão para diferentes números de filhos por

polo de expansão e termos de expansão (Peixoto, et al., 2015). 67

Figure 28 - Scheme of three different elements that are split each into two

sub-elements. 72

13

1 Introdução

O Método dos Elementos de Contorno (BEM) é conhecido pela sua

facilidade no que diz respeito a modelagem, porém este tem suas restrições para

problemas de larga escala, sendo limitado a problemas com alguns milhares graus

de liberdade (Liu, 2009). Esta limitação decorre do fato das matrizes do método

serem, embora menores quando comparadas com as geradas pelos métodos de

domínio, assimétricas e cheias, o que resulta em operações custosas

computacionalmente. Diante disto, tem-se métodos que aproximam estas matrizes

no intuito de reduzir o esforço computacional e consumo de memória. Dentre

estes, tem-se o método ‘fast multipole’ FMM, no qual as soluções fundamentais

do problema são aproximadas através de uma soma finita de funções separáveis.

Outro método comumente empregado é o ‘Adaptative Cross-Aproximation’

(ACA), no qual as matrizes do BEM são aproximadas sem que haja uma explicita

expansão das soluções fundamentais (Kurtz, et al., 2003), o que garante uma

maior generalidade do algoritmo quando comparado ao FMM tal como

apresentado por Liu (2009).

O FMM, desenvolvido por Greengard e Rokhlin (1987), foi eleito um dos

10 melhores algoritmos do século XX (Dongarra e Sullivan, 2000). Embora tenha

sido inicialmente desenvolvido para problemas de simulação de partícula

envolvendo campos gravitacionais e coulombicos, este se provou eficiente para

solução de equações de integral de contorno (Nishimura, 2002). O FMM

combinado a um método iterativo, como o GMRES, pode acelerar o tempo

necessário para a solução de um problema com N graus de liberdade da ordem

de 2( )O N para ( )logO N N – ou até mesmo ( )O N (Liu, 2009) – necessitando

armazenar uma pequena fração de memória do que seria necessário para outro

método numérico.

Liu (2009) apresenta uma cuidadosa descrição do FMM aplicado uma série

de problemas do método dos elementos de contorno (BEM). Uma breve ideia do

14

método é dada por Liu et al (2011), uma análise abrangente é dada por Nishimura

(2002) e um tutorial é apresentado por Liu e Nishimura (2006).

O principal objetivo deste trabalho é a aplicação do FMM a problemas com

elementos curvos, em um contexto praticamente independente da solução

fundamental, conforme a formulação generalizada proposta por Dumont e Peixoto

(2014).

1.1.Objetivos

O presente trabalho dá prosseguimento à tese de mestrado desenvolvida por

Peixoto (2014), fazendo parte de um projeto que tem como objetivo principal a

implementação de um programa que possa simular problemas com milhões de

graus de liberdade em um computador pessoal. No intuito de atingir este objetivo

combina-se o método dos elementos de contorno com uma técnica genérica de

multipolos proposta por Dumont e Peixoto (2014) utilizando-se de elementos

lineares, quadráticos e cúbicos na discretização do contorno.

1.2.Estrutura

Este trabalho é dividido em 7 capítulos e 2 apêndices . O Capítulo 2

apresenta duas formulações do BEM: o método convencional consistente dos

elementos de contorno (CCBEM) e o método expedito dos elementos de contorno

(EBEM).

O Capítulo 3 apresenta o método ‘fast multipole’ (FMM), com as suas

considerações teóricas e a sua aplicação no BEM para um problema 2D de

potencial. E por fim apresenta-se o resumo de um pseudo-algoritmo típico

baseado no desenvolvimento apresentado por Liu (2009).

O Capítulo 4 apresenta uma formulação genérica do método ‘fast multipole’

(GFMM), tal como proposta por Dumont e Peixoto (2014).

O Capítulo 5 apresenta uma implementação do GFMM no método dos

elementos de contorno (GFMBEM) que utiliza uma estratégia de discretização

hierárquica e distâncias topológicas, caracterizadas pela adjacência entre

elementos.

15

O Capítulo 6 apresenta exemplos numéricos para validação do algoritmo

proposto.

O Capítulo 7 apresenta as conclusões obtidas neste trabalho e sugestões para

trabalhos futuros.

O Apêndice 1 apresenta o algoritmo para um refinamento hierárquico e o

Apêndice 2 apresenta os algoritmos da implementação exposta no Capítulo 5.

16

2 Método dos elementos de contorno (BEM)

Neste capítulo será apresentada a formulação do método convencional

consistente dos elementos de contorno (CCBEM) (Dumont, 2010), e do método

expedito dos elementos de contorno (EBEM) (Dumont e Aguilar, 2012).

2.1.Formulação consistente do método convencional dos e lementos de contorno (CCBEM) para elasticidade

O método consistente dos elementos de contorno se diferencia do método

convencional de colocação dos elementos de contorno (CBEM) por realizar uma

adequada consideração das constantes de corpo rígido, além de apresentar uma

nova proposição vantajosa para a integração da matriz G . O desenvolvimento

apresentado a seguir está baseado em Dumont (2010) e Oliveira (2004).

Partindo da forma forte do princípio da energia potencial total estacionária,

tem-se a equação

( ) ( ), d d 0ji j i i ji j i ib u t uδ σ δ σ η δΩ Γ

Π = − + Ω + − Γ =∫ ∫ (2.1)

para um corpo linear elástico submetido a forças ib no domínio Ω e forças it no

contorno σΓ , onde jiσ é o tensor de tensões. O campo de tensões satisfaz o

equilíbrio no domínio e no contorno, além de os deslocamentos iu serem

prescritos em uΓ , ou seja

, 0 em (a)

em (b)

em (c)

ij j i

ij j i

i i u

b

t

u u

σ

σ

σ η

+ = Ω

= Γ

= Γ

(2.2)

onde jη representa as componentes do vetor unitário normal ao contorno segundo

as direções dos eixos das coordenadas, representadas por j . Também foi suposto

17

que o tensor de tensões jiσ é simétrico ( )ji ijσ σ= e satisfaz a relação

constitutiva

,ij ijkl k lc uσ = (2.3)

Formulando o problema para um campo de soluções fundamentais *iuδ , em

termos de resíduos ponderados, obtemos uma equação menos restritiva que a

Equação (2.1)

( ) ( )* *, d d 0ji j i i ji j i ib u t uσ δ σ η δ

Ω Γ− + Ω + − Γ =∫ ∫ (2.4)

Integrando-se duas vezes por partes a Equação (2.4), aplicando o teorema de

Green duas vezes e através da relação constitutiva apresentada na Equação (2.3),

da qual se obtém * * *, , , ,ji i j k l jikl i j k l klu u c u uσ δ δ δσ= = , chega-se à expressão

( ) ( )* * *,d d d dji j i ji j i i i i iu u b u t uδσ η δσ δ δ

Γ Ω Ω ΓΓ − Ω = Ω + Γ∫ ∫ ∫ ∫ (2.5)

As soluções fundamentais em termos de tensões (*δσ ) e deslocamentos

*( )uδ podem ser escritas em termos de parâmetros arbitrários de forças virtuais

*mp como

* * *ij ijm mpδσ σ δ= (2.6)

( )* * *ri im is sm mu u u c pδ δ= + (2.7)

onde *isu corresponde aos rn deslocamentos de corpo rígido, com 1.. rs n= , smC

são constantes arbitrárias de corpo rígido e o índice m representa os pontos de

aplicação da carga e a direção de *mpδ .

A função *ijmσ apresentada na Equação (2.6) pode ser normalizada de

modo que, para um certo domínio 0Ω que contenha *mpδ ,

0 0

* *, djim j jim j imσ σ η δ

Ω ΓΩ = = −∫ ∫ (2.8)

onde imδ é o delta de Kronecker e 0Γ é o contorno de 0Ω . Utilizando a Equação

(2.8), o segundo integrando da Equação (2.5) pode ser escrito na forma

( )* *, dji j i m mu u pδσ δ

ΩΩ = −∫ (2.9)

18

Aplicando as Equações (2.6), (2.7) e a igualdade apresentada na Equação

(2.9) à Equação (2.5), tem-se

( )* * * r rm i im jim j i i im sm i is i isu b u d u d t u d C t u d b u dδ σ η δ

Ω Γ Γ Γ Ω= Ω − Γ + Γ + Γ + Ω∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.10)

A Equação (2.10) é idêntica à identidade de Somigliana, exceto pelos

termos multiplicados por smC . Tais termos são nulos para o caso de forças

equilibradas. No entanto, quando há aproximação isso não é verdade, e os

resultados apresentam erros proporcionais à smC (Dumont, 2010).

Usando aproximações nos contornos uΓ e σΓ , podemos escrever

onde i in n in imu u d u δ= = (2.11)

i il lt t t= (2.12)

onde nd é o vetor de deslocamentos nodais, lt são atributos das forças de

superfície ligados ao vetor normal à superfície (iη ), inu e i lt são as funções de

interpolação de nd e lt , respectivamente, com suporte local.

Em geral, é utilizada uma formulação isoparamétrica, em que a geometria

do contorno é descrita pelas mesmas funções inu que descrevem os

deslocamentos. Além disso, usam-se também as mesmas funções polinomiais para

i lt e inu .

Aplicando na identidade Somiliana, tem-se

( ) ( )

( )* *jim j in mn n il im l i im sm

rsm il is l i is

u d d t u d t b u d C

C t u d t b u d

σ η δΓ Γ Ω

Γ Ω

Γ + = Γ + Ω +

+ Γ + Ω

∫ ∫ ∫

∫ ∫ (2.13)

que é a mesma expressão obtida no CBEM, exceto pelos termos de deslocamentos

de corpo rígido e que pode ser escrita de forma matricial como

εHd = Gt +b + (2.14)

onde

*jim j in mnu dσ η δ

Γ= Γ +∫H (2.15)

*il imt u dδ

Γ= Γ∫G (2.16)

*i imb u dδ

Ω= Ω∫b (2.17)

( )r rsm il l is i isC t t u d b u dε

Γ Ω= Γ + Ω∫ ∫ (2.18)

19

O termo ε corresponde aos resíduos devidos à magnitude dos

deslocamentos de corpo rígido e à aproximação da solução fundamental. Este

termo é uma das diferenças entre o método consistente dos elementos de contorno

e a sua forma inconsistente apresentada em Brebbia (1978) e Trevelyan (1994).

Para integração da matriz G , propõe-se que as funções de forma usuais i lt

apresentadas na Equação (2.12) sejam substituídas por

( )em il l

il

t Jt

J← (2.19)

onde ( )em lJ é o valor do Jacobiano no ponto caracterizado pelo subscrito le J é

o Jacobiano.

Esta substituição proposta por Dumont (2010) permite que o Jacobiano

proveniente da transformação de coordenadas da integração (d d )J ξΓ = , seja

cancelado com o apresentado no denominador da Equação (2.19). Esta

modificação faz com que a integração da matriz G se torne mais simples.

A partir da aplicação das condições contorno e troca das colunas das

matrizes G e H, o sistema de equações apresentado na Equação (2.14), pode ser

escrito na forma

=Ax y (2.20)

onde A é uma matriz corresponde a matriz de coeficientes, x é o vetor de

incógnitas a serem calculadas, e o vetor y é o resultado da multiplicação dos

coeficientes pelas suas respectivas condições de contorno.

2.1.1. CBEM aplicado a um problema de potencial

A solução fundamental normalizada (fonte unitária) para um problema de

potencial bidimensional em meio isotrópico homogêneo é expressa, a menos de

uma constante, como

( )ln

2

r

ku

π∗ − ∆

= (2.21)

onde r∆ é a distância entre o ponto campo e fonte, e k é uma propriedade que

depende do problema. No caso de um problema de propagação de calor, k é a

condutividade térmica.

20

O fluxo nas direções x e y é dado pelas equações

* *2 2

,2 2

x yx y

q qr rπ π

∆ ∆= =∆ ∆

(2.22)

Retomando a equação (2.14), tem-se que H é a matriz de transformação

cinemática e G é uma matriz que transforma fluxo em potencial, sendo esta, em

geral, retangular. Para elementos constantes, por exemplo, esta se apresenta na

forma quadrada. d e t são os vetores correspondentes ao potencial e ao fluxo no

contorno, respectivamente.

Para um problema de potencial, as matrizes G e H, da equação (2.14), são

calculadas na forma

*

*

dml m l

mj im i j mj

G u t

H q u dη δΓ

Γ

= Γ

= − Γ +

∫

∫ (2.23)

onde *mu e *

imq são as solução fundamentais de problemas de potencial mostradas

anteriormente nas Equações (2.21) e (2.22), respectivamente. O índice m se refere

ao ponto fonte, l e j referem-se ao ponto campo e i refere-se às direções x e y .

2.2.Método expedito dos elementos de contorno (EBEM)

O método expedito dos elementos de contorno (Dumont e Aguilar, 2012)

combina o método híbrido dos elementos de contorno (Dumont, 1987) com a

formulação consistente do CBEM no intuito de obter uma formulação mais

eficiente. Este método conta basicamente com as equações

T *

* *

H p = p

U p = d (2.24)

para condições de contorno mistas em termos de deslocamentos nodais d e forças

equivalentes p , onde H é a mesma matriz apresentada na equação (2.15) e *U é a

matriz da solução fundamental em termos de deslocamentos nodais. Uma vez que

o vetor de forças internas *p for resolvido a partir da Equação (2.24), podem ser

avaliados destocamentos e tensões em pontos internos diretamente, sem a

necessidade de se aplicar a identidade de Somigliana, como no caso do CBEM.

21

3 Método Fast Multipole (FMM)

Nesse capítulo, apresenta-se o Método Fast Multipole (FMM), como

proposto por Greengard e Rokhlin (1987). O algoritmo foi eleito um dos 10

melhores do século XX (Dongarra e Sullivan, 2000).

No CBEM, os coeficientes das matrizes H e G são avaliados diretamente

pelas Equações (2.23). Estas equações são dependentes da distância entre os

pontos campo e fonte. Desta forma, a integração sobre o elemento campo terá de

ser avaliada novamente para cada ponto fonte (Erro! Autoreferência de

indicador não válida.(a)).

Montar estas matrizes, para um problema com N graus de liberdade

envolve 2( )O N operações e outras 3( )O N operações para resolver o sistema de

equações (2.20) utilizando métodos diretos, como eliminação de Gauss, e 2( )O N

no caso do emprego de métodos iterativos, além do uso de memória, que é

proporcional a 2( )O N (Liu, 2009).

A ideia principal do FMM é utilizar um resolvedor iterativo para solucionar

o sistema apresentado na Equação (2.20) e usar o FMM para acelerar o cálculo da

multiplicação Ax em cada iteração, sem que a matriz A seja formada

inteiramente (Liu, 2011).

10z

20z

30z

40z

1z

2z

3z

4z

10z

20z

30z

40z

1z

2z

3z

4z

(a) (b)

Figura 1 - Ilustração gráfica das interações entre pontos campo e pontos fonte pelo (a)

CBEM e (b) fast multipole BEM.

22

O motivo fundamental para a redução das operações pelo emprego do FMM

se dá pela possibilidade de separar na solução fundamental as variáveis relativas

ao ponto fonte daquelas relativas ao ponto campo com a introdução de polos

intermediários a estes pontos, conforme mostrado na Erro! Autoreferência de

indicador não válida.(b), o que é possível graças à expansão em série (Liu, 2009)

( ) ( ) ( )0* * *0 0, , ,Z Z

c i cii

u Z Z u Z Z u Z Z=∑ (3.1)

onde ( )0*0 ,Z

ciu Z Z é independente de Z (ponto campo) e ( )* ,Zi cu Z Z é

independente de 0Z (ponto fonte). Com a introdução deste polo intermediário, a

integração sobre os elementos campo será realizada apenas uma vez, já que esta

integração não mais irá depender da posição do ponto fonte.

A expansão da solução fundamental leva à introdução de erros numéricos,

que são controlados pelo número de termos utilizados na expansão e pela

distância entre os pontos campo e fonte e os polos de expansão.

Com a introdução destes polos intermediários utiliza-se de uma estratégia

para agrupar vários pontos campo a um polo próximo, de maneira que as iterações

entre estes e um ponto fonte distante será avaliada apenas uma vez (Erro!

Autoreferência de indicador não válida.(b)). O resultado obtido a partir desta

interação corresponde a uma parcela de uma das linhas do vetor obtido pela

multiplicação Ax . Esta estratégia resulta em uma economia de memória e

processamento.

Na Erro! Autoreferência de indicador não válida., pode-se notar a

eficiência do FMM em relação ao BEM no que diz respeito às interações entre

pontos campo e fonte. As linhas representam as avaliações necessárias, os nós iZ

se referem aos pontos campo e os nós 0Z i aos pontos fonte, considerados

suficientemente distantes pra que o método fast multipole possa ser usado.

A seguir é apresentada a formulação do FMM para aplicação a problemas de

potencial baseada em Liu (2009).

23

3.1.FMM para problemas de potencial 2D

Por conveniência, será empregada a notação complexa, de maneira que as

coordenadas cartesianas ( ),x y serão expressas como x iy+ , e as soluções

fundamentais para um problema de potencial serão expressas da seguinte maneira:

( )*0 0

1, ln

2u z z z z

kπ= − − (3.2)

( ) ( ) ( ) ( )* *0 0*

0, ,

,u z z u z z

q z z zn z

η∂ ∂

= =∂ ∂

(3.3)

onde *u é a solução fundamental de um problema de potencial, *q representa o

fluxo, η é o vetor normal a superfície do corpo e z e 0z representam os pontos

campo e fonte, respectivamente.

Em coordenadas cartesianas estas soluções fundamentais são expressas por

( ) ( )* *0, Re , ,u x y u z z = (3.4)

( ) ( ) ( ) ( )* *0 0* *

0 1 2, ,

, Re , Re Imu z z u z z

q x y q z z n nz z

∂ ∂ = = − ∂ ∂

(3.5)

3.1.1. Expansão da solução fundamental *u para um polo próximo ao ponto campo

Com a introdução de um ponto intermediário cz entre o ponto campo z e o

ponto fonte 0z , conforme esquema apresentado na Figura 2, a Equação (3.2) pode

ser escrita como

24

( )*0 0 0

0

1 1, ln ln ln 1

2 2c

cc

z zu z z z z z z

z zπ π −= − − = − − + − −

(3.6)

O segundo termo logarítmico é expandido em série de Taylor:

( )1

ln 1 , para 1j

j j

αα α∞

=− = − <∑ (3.7)

Assim,

( )* 10 0 0

01

1 1, ln ln

2 2

jc

ccj

z zu z z z z z z j

z zπ π

∞−

=

− = − − = − − − −

∑ (3.8)

A partir desta expansão, as variáveis relativas ao ponto campo e ao ponto

fonte se tornam independentes uma das outras. Esta é a chave para a vantagem do

método Fast Multipole (Liu, 2009).

Através da notação apresentada por Liu e Nishimura (2006), a Equação

(3.8) pode ser escrita na forma:

( ) ( ) ( )*0 0

0

1,

2 j c j cj

u z z O z z I z zπ

∞

== − −∑ (3.9)

onde as funções auxiliares ( )jI z e ( )jO z são definidas como

( )

( ) ( ) ( ) ( )0

, para 0!

1 !, para 1 e ln

j

j

j j

ZI Z j

j

jO Z j O Z Z

Z

= ≥

−= ≥ = −

(3.10)

Γ

0z

cz

z Ponto campo

Ponto fonte

Polo próximo ao ponto campo

Figura 2 - Esquema genérico da expansão do ponto campo em torno de um polo

próximo a este e distante do ponto fonte , considerando um plano complexo.

25

3.1.2. Expansão da solução fundamental *u para um polo próximo ao ponto fonte

Introduzindo-se um ponto intermediário Lz próximo ao ponto fonte (Figura

3), de maneira que 0 L L cz z z z− −≪ , obtém-se:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

*0 0

0

00

1,

2

1

2

j c j cj

j L c L j cj

u z z O z z I z z

O z z z z I z z

π

π

∞

=

∞

=

= − −

= − + − −

∑

∑ (3.11)

A função jO é expandida em série de Taylor:

[ ] ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 10

1 , para l

j j l ll

O z z O z I z z z∞

+=

+ = − <∑ (3.12)

Assim,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*0 0

0 0

1, 1

2l

j l L c l L j cj l

u z z O z z I z z I z zπ

∞ ∞

+= =

= − − − −

∑ ∑ (3.13)

Considerando n termos de expansão, a Equação (3.13) pode ser truncada e

expressa na forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*0 0

0 0

1, 1

2

n nl

j l L c l L j cj l

u z z O z z I z z I z zπ +

= =

= − − − −

∑ ∑ (3.14)

Γ

0z Lz

cz

z Ponto campo

Ponto fonte

Polo próximo ao ponto fonte

Figura 3 - Esquema genérico da expansão do ponto fonte em torno de um polo

próximo a este e distante do ponto campo .

26

3.1.3. Expansões sucessivas

Verifica-se na Equação (3.5) que sucessivas expansões para novos polos

envolverão apenas as funções auxiliares ( )I z . Considerando uma expansão do

ponto z em torno de um novo ponto 'cz , tem-se:

( ) ( ) ( )'j c j c c cI z z I z z z z − = − + − (3.15)

Aplicando na Equação (3.15) à formula binomial,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 20 0

l l

l l m m m l mm m

I z z I z I z I z I z− −= =

+ = =∑ ∑ (3.16)

tem-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '0

j

j c j c c c j m c c m cm

I z z I z z z z I z z I z z−=

− = − + − = − − ∑ (3.17)

Sucessivas expansões em torno do ponto fonte podem ser obtidas

expandindo ( )0l LI z z− em torno de um novo polo 'Lz e aplicando a fórmula

binomial apresentada na Equação (3.16), obtendo-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 ' ' 0 ' '0

l

l L l L L L m L l m L Lm

I z z I z z z z I z z I z z−=

− = − + − = − − ∑ (3.18)

É importante notar que as expansões para polos intermediários apresentadas

nas equações (3.17) e (3.18) são exatas, portanto não incluem erros.

Γ

0z

Lz

'Lz

'czcz

z Ponto campo

Ponto fonte

Figura 4 - Esquema genérico de sucessivas expansões em torno dos pontos campo e

fonte para novos polos de expansão (Adaptado de Liu, 2009).

27

3.1.4. Aplicação FMM no CBEM

Retomando a Equação (2.14), e por simplicidade as forças de domínio b não

serão consideradas,

Hd = Gt (3.19)

Com a expansão da solução fundamental *u do lado direito da equação

(3.19), conforme apresentado na Equação (3.14), resulta em:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

*

00 0

, d

1 1 d

2

o

n nl

j l L c l L j cj l

u z z q z z

O z z I z z I z z q z zπ

Γ

+= =Γ

Γ =

− − − − Γ

⌠⌡

∫

∑ ∑ (3.20)

Verifica-se que apenas os termos sublinhados são dependentes de z ,

portanto os demais termos podem ser retirados da integral, tal que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*0

0 0

1, d 1

2

n nl

o j l L c l L j cj l

u z z q z z O z z I z z M zπ +Γ

= =

Γ = − − −

∑ ∑∫ (3.21)

onde ( )j cM z é o momento em torno ponto cz e dado pela expressão:

( ) ( ) ( ) ( )d , 0,1,2...j c j cM z I z z q z z jΓ

= − Γ =∫ (3.22)

O termo ( )j cM z é completamente independente de 0z , ou seja, pode ser

calculado independentemente do ponto fonte, desde que este esteja distante o

suficiente de z , de maneira que a integral só precise ser avaliada uma vez para

cada ponto campo, o que não é possível no método convencional dos elementos

de contorno. Para elemento constate, a Equação (3.22) pode ser integrada

analiticamente.

A expansão apresentada na Equação (3.22) recebe, na literatura, o nome de

‘Multipole Expansion’. Esta é referente à expansão do ponto campo para o polo

mais próximo a este.

Sucessivas expansões em torno do ponto campo são possíveis. Estas são

associadas à expansão da variável ( )j cI z z− em torno de outro polo 'cz ,

conforme foi mostrado anteriormente, resultando na expressão:

28

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

' '

'0

'0

d

d

j c j c

j

j p c c p cp

j

j p c c p cp

M z I z z q z z

I z z I z z q z z

I z z M z

Γ

−=Γ

−=

= − Γ

= − − Γ

= −

⌠⌡

∫

∑

∑

(3.23)

onde ( )p cM z é o momento dado pela Equação (3.22). Esta equação pode ser

aplicada de maneira recursiva para expansões entre polos campo, onde estas

expansões foram denominadas na literatura de ‘Moment-to-Moment (M2M)

Translation’.

A Equação (3.21) é comumente apresentada na forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*0

0

1, d

2

n

o l L l Ll

u z z q z z L z I z zπΓ

=Γ = −∑∫ (3.24)

onde ( )l LL z representa a translação das expansões de um polo campo para um

polo fonte. Na literatura esta é denominada ‘moment-to-local translation’ (M2L),

e definida como

( ) ( ) ( ) ( )0

1n

ll L j l L c j c

j

L z O z z M z+=

= − −∑ (3.25)

Para sucessivas expansões em torno do ponto fonte, expande-se a variável

( )0l LI z z− da Equação (3.24) em torno de um polo Lz ′ próximo ao ponto fonte,

conforme foi mostrado anteriormente na Equação (3.18), resultando na expressão:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*' 0 '

0

1, d

2

n

o l L l Ll

u z z q z z L z I z zπΓ

=Γ = −∑∫ (3.26)

onde

( ) ( ) ( )'

n

l L l m L L m Lm l

L z I z z L z′ −=

= −∑ (3.27)

Esta translação é chamada de ‘local-to-local translation’ (L2L) e pode ser aplicada

recursivamente para sucessivas expansões em torno do ponto fonte.

A expansão da solução fundamental em termos de fluxo pode ser

facilmente obtida pela expansão da solução fundamental em termos de potencial

apresentada na Equação (3.14):

29

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

**

0 11 0

11

2

oo

n nl

j l L c l L j cj l

u z zq z z z

z

O z z I z z I z z

η

π + −= =

∂ −− =

∂

= − − − −

∑ ∑ (3.28)

Substituindo a solução fundamental na integral do lado esquerdo da Equação

(3.19), tem-se

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

*

01 0

d

1 1

2

o

n nl

j l L c l L j cj l

q z z d z z

O z z I z z M zπ

Γ

+= =

− Γ =

− − −

∫

∑ ∑ (3.29)

onde ( )j cM z é a ‘multipole expansion’ da matriz H, expresso por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 dj c j cM z z I z z d z zη −Γ= − Γ∫ (3.30)

Todas as translações apresentadas anteriormente para o cálculo da matriz G

são válidas para a matriz H.

Na Figura 5 estão esquematizadas todas as expansões citadas anteriormente. Os

nós iz representam os nós dos elementos onde se deseja avaliar a resposta

(deslocamento, temperatura) causada por pontos fonte 0 jz , distante o suficiente.

kLz e kc

z representam os polos relacionados aos pontos fonte e campo,

respectivamente.

6z5z

4z

3z

2z

1z

cz

Lz

2cz

1cz

1Lz

2Lz

10z

20z

30z

40z

50z

60z

Multipole expansion

Moment-to-Moment translations (M2M)

Moment-to-Local translation (M2L)

Local-to-Local translation (L2L)

Figura 5 - Esquema das expansões. Na legenda, encontram-se a referencia as equações

empregadas para cada expansão.

30

3.1.5. Algoritmo

A seguir será apresentado um resumo do algoritmo para um problema de

potencial empregando o FMBEM proposto por Nishimura e Liu (2006), e melhor

desenvolvido em Liu (2009). Recomenda-se a leitura de Beatson e Greengard

(1997), onde são explicados cuidadosamente alguns conceitos importantes à

técnica ‘fast multipole’ que são empregados na implementação do método.

O algoritmo proposto inicia com a discretização do contorno.

Posteriormente, cria-se uma estrutura hierárquica que será utilizada como

parâmetro para os polos de expansão, bem como para determinar a distância entre

os elementos. Em seguida, calcula-se o vetor y do lado direito da Equação (2.20)

pelo FMBEM, que se resume a dois procedimentos denominados por Liu (2009)

de upward pass e downward pass. Em seguida, dá-se inicio ao cálculo do vetor

equivalente à multiplicação Ax , apresentada na Equação (2.20). Os coeficientes

do vetor de incógnitas serão provenientes da iteração anterior. No caso de ser a

primeira iteração estes virão de uma matriz de pré-condicionamento.

Os subtópicos apresentados a seguir irão descrever os passos do algoritmo

proposto por Liu (2009).

3.1.5.1. Discretização do contorno

O primeiro passo do algoritmo é a discretização do contorno, que se dá da

mesma forma que para o CBEM. Para o exemplo a seguir o contorno foi

discretizado com elementos constantes, conforme o contorno apresentado na

Figura 6.

Figura 6 - Discretização do contorno com o uso de elementos constantes (LIU, 2009).

31

3.1.5.2. Geração da estrutura de árvore

A geração de uma estrutura hierárquica como a que será descrita a seguir é

de extrema importância para o FMM, uma vez que irá ser responsável pela

determinação do critério de distância entre os pontos fonte e campo, distância esta

que está diretamente ligada ao erro.

Para a criação desta estrutura, deve-se considerar um quadrado de

dimensões suficientes para englobar o contorno em estudo. Este quadrado inicial

representa o nível zero, no qual existe apenas uma célula, e pela subdivisão deste

surgirão os demais níveis e células.

Estas subdivisões ocorrem sempre dividindo os quadrados maiores em

quatro novos, e só se encerram quando o número de elementos por célula for

menor ou igual ao pré-estabelecido. Para o exemplo apresentado foi considerado

que as células devem ser subdivididas até que cada uma contenha apenas um

elemento.

Por definição, um elemento pertence à célula que contem o seu centro, no

caso do elemento constante será a célula que contem o nó. As células que não

apresentam células filhas são chamadas de folhas, enquanto que as células que não

contém elementos são chamadas de células vazias. Na Figura 7 está apresentada a

estrutura hierárquica de células englobando todos os elementos utilizados na

discretização do contorno. As células cinza representam as folhas e as brancas

representam as células vazias. A estrutura hierárquica proveniente destas divisões

está esquematizada na Figura 8.

32

Figura 8 - Estrutura hierárquica das células apresentadas na Figura 7. Os quadrados na

cor cinza estão representando as folhas. (Liu, 2009)

Figura 7 - Estrutura hierárquica de células. O quadrado pequeno no canto inferior direito

apresenta o esquema de numeração das células filhas, independente do nível destas.

(Adaptado de Liu, 2009).

33

3.1.5.3. Upward pass

Neste passo, serão calculados todos os momentos relativos às expansões do

ponto campo. As expansões se iniciam com as ‘multipole expansions’, que são

realizadas a partir dos nós de cada elemento para o centro da sua folha. As

‘multipole expansions’ estão representadas na Figura 9 pelas setas de cor

vermelha, e são calculadas pela Equação (3.22).

Em seguida são efetuadas as translações M2M, calculadas pela Equação

(3.23). Estas translações são realizadas do centro da célula filha para o centro da

célula mãe e estão representadas na Figura 9 pelas setas em azul. As translações

M2M são realizadas recursivamente até que se alcance o nível máximo das

expansões, em geral, 2≥ℓ , visto que que nos níveis menores que 2 todas as

células são adjacentes. Desta forma, podem-se adotar valores máximos superiores,

mas não inferiores a 2.

34

3.1.5.4. Downward pass

De acordo com a proximidade entre uma célula fonte, célula portadora do

ponto fonte, e as demais células (células campo), são determinadas como as

iterações entre elas serão realizadas e em que nível elas irão ocorrer. Os elementos

campo pertencentes às células adjacentes terão a sua contribuição avaliada pelo

CBEM, enquanto os pertencentes às demais células serão avaliados com a técnica

de fast multipole.

Uma célula campo será considerada adjacente se esta compartilha ao menos

um vértice com a folha fonte. No caso de duas folhas em níveis diferentes, se a

célula mãe de uma delas compartilhar um vértice com a outra célula, estas folhas

são ditas adjacentes. Por definição, uma célula é sempre adjacente a ela mesma.

Neste passo, os momentos serão transladados do centro da célula mãe para o

polo no centro da célula fonte de mesmo nível não adjacente, para que

posteriormente, estes sejam entregues aos pontos fonte.

Figura 9 – Upward pass: Multipole expansions e translações M2M. Os quadrados

representam o centro de cada folha e os triângulos e as cruzes representam o centro

das células mães no nível 3 e 2, respectivamente. (Adaptado de Liu, 2009).

35

Primeiramente, serão realizadas as translações M2L, dos polos campo no

nível máximo de expansão, no exemplo estudado 2=ℓ , para o polo da célula

fonte de mesmo nível (Figura 10). Posteriormente, procura-se por elementos não

adjacentes no nível seguinte ( )1l + e realizam-se as translações destes para o

centro da célula fonte de mesmo nível, e assim sucessivamente, até que todas as

células não adjacentes tenham os seus momentos transladados.

Ao término das translações M2L, se iniciam as translações L2L, que irão

transladar os momentos do centro da célula mãe para o da célula filha, até que se

alcance o centro da folha, onde será realizada a ultima translação L2L do centro

da folha para o nó do elemento e serão somadas as contribuições das células

calculadas pelo CBEM.

Figura 10 - Esquema das translações M2L e L2L. A célula na cor cinza representa a

folha a qual o nó fonte 29 pertence. (Liu, 2009)

3.1.5.5. Resolvedor iterativo de sistemas

Os procedimentos descritos anteriormente estão integrados a um resolvedor

iterativo de sistemas de equações, responsável por fornecer o vetor com as

incógnitas x do sistema =Ax y . Ao termino de cada iteração, o vetor x é

atualizado e os passos descritos anteriormente são executados novamente a partir

do upward pass. Na primeira iteração, o vetor x é proveniente de uma matriz pre-

condicionadora.

36

4 Método ‘fast multipole’ para uma solução fundamental genérica (GFMM)

Neste capítulo será apresentada uma formulação genérica do FMM 2D,

introduzida por Dumont e Peixoto (2014). Esta se difere da apresentada no

capítulo 3 por ser aplicável diretamente para qualquer solução fundamental, ao

contrário da formulação apresentada na literatura, que necessita do

desenvolvimento de uma técnica de expansão para cada tipo de solução

fundamental.

4.1.Definições básicas

0z z− = diferença entre o ponto fonte 0z e o ponto campo z ;

cz = ponto a partir do qual se desenvolve a expansão da solução

fundamental em torno do ponto campo. Também são introduzidas expansões em

torno de polos mais distantes kcz , 1,2,... ck n= (onde, por definição 0 cc

z z≡ ,

sendo este o polo mais próximo ao ponto campo).

Lz = ponto a partir do qual se desenvolve a expansão em torno do ponto

fonte. Também são introduzidas expansões em torno de polos mais distantes lLz ,

1,2,... Ll n= (onde, por definição 0 LLz z≡ , sendo este o polo mais próximo ao

ponto fonte).

( )0f z z− representa uma solução fundamental genérica.

37

4.2.Expansão da solução fundamental

Seja uma solução fundamental ( )0f z z− definida em termos de números

complexos em um espaço 2D. A expansão em torno de um ponto n kcz próximo a

um ponto campo z e distante de um ponto fonte 0z (Figura 11) é dada por

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1

0

1

!n n nk k k

n q nqo oc c c

i

f z z z z D f z z O z zq

+

=− = − − + −∑ (4.1)

onde ( ) ( )( ) ( )0n nk ko oc c

D f z z f z z− = − e ( ) ( )( )( ) ( )( )( )

nknk

nk

qoq c

o qc

oc

f z zD f z z

z z

∂ −− =

∂ −

A partir da notação introduzida por Dumont e Peixoto (2014), a Equação (4.1)

pode ser escrita na forma:

( ) ( ) ( ) ( )1 1

1n n nk k k

n n

o q q q oc c cq

f z z fac P z z Q z z O z z+ +

=− = − − + −∑ (4.2)

onde

1 1 1 1 ...0! 1! 2! 3!

fac =

(4.3)

( ) [ ]2 3 ...1P Z Z Z Z= (4.4)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

2 3...

f Z f Z f ZQ Z f Z

Z Z Z

∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂ (4.5)

Γ

nlLz

z

Ponto fonte

Polo próximo ao ponto fonte

nkcz

0z

Polo próximo ao ponto campo Ponto campo

Figura 11 - Esquema genérico da expansão do ponto campo em torno do polo e

da expansão do ponto fonte em torno de um polo próximo a este e distante do

ponto campo .

38

Na Equação (4.2), verifica-se que as variáveis relativas aos pontos campo e

fonte tornaram-se independentes, o que será de grande valor ao aplicar o FMM ao

BEM, conforme será visto adiante. Vale notar que o erro proveniente desta

expansão está associado à distância entre o ponto campo z e o polo de expansão.

A solução fundamental ( )0f z z− pode ser expandida em torno de um

ponto Lz próximo ao ponto fonte 0z e distante do ponto campo z (Figura 11).

Esta expansão envolverá apenas a parcela ( )nki ocQ z z− , uma vez que é a única

parcela em função do ponto fonte. A expansão desta parcela resulta em

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1

0

1

!

n nk k

nl n nl nlk

qq o oc c

n j nq jo oL L Lc

j

Q z z D f z z

z z D f z z O z zj

++

=

− = −

= − − + −∑ (4.6)

que pode ser escrita na forma:

( ) ( ) ( ) ( )1 1

11

n nl n nl nlk k

n n

q o q q o q j oL L Lc cj

Q z z fac P z z Q z z O z z+ +

+ −=

− = − − + −∑ (4.7)

Substituindo a expansão apresentada anteriormente na Equação (4.2),

obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

11 1

1 1

n n

o q q c j j L o q j c Lq j

n nc L o

f z z fac P z z fac P z z Q z z

O z z O z z

+ +

+ −= =

+ +

− = − − −

+ − + −

∑ ∑ (4.8)

Vale notar que o erro proveniente desta expansão está associado à distância

entre o ponto campo z e o ponto fonte 0z com os seus respectivos polos de

expansão, o que ressalta a importância dos polos estarem próximos aos pontos que

são expandidos para ele.

É de extrema importância notar que o vetor ( )Q Z é o único que depende da

solução fundamental ( )of z z− , sendo facilmente obtido através de derivação,

conforme apresentado na Equação (4.5), mostrando o poder desta formulação no

que diz respeito a sua generalização para diversos problemas.

39

4.3.Expansões sucessivas

Sucessivas expansões em torno dos pontos fonte e campo envolvem apenas

a expansão do vetor ( )P Z , uma expansão exata. Para expansão do ponto campo

z em torno de um novo ponto kcz , tem-se:

( ) ( ) ( )1 1, 1 11

k k k k

q

q j q j j q jc c c cj

P z z C P z z P z z− −+ − + −=

− = − −∑ (4.9)

onde ( )1k kc cP z z− − é avaliado com relação à distância entre dois polos de níveis

consecutivos. ( )1kcP z z −− é avaliado recursivamente pela Equação (4.9) até que

1 0kc cz z− = , ou seja, que este seja equivalente à expansão entre o ponto campo e

seu polo mais próximo. qjC é uma matriz de constantes.

1, , 1

1 se 1 ou 1qj

q j q j

p jC

C C− −

= == + (4.10)

A expansão sucessiva em torno do ponto fonte se escreve como

( ) ( ) ( )1 1, 1 11

k k k k

q

q o j q j j o q jL L L Lj

P z z C P z z P z z− −+ − + −=

− = − −∑ (4.11)

onde ( )1k kL LP z z −− é avaliado com relação à distância entre dois polos de níveis

consecutivos. ( )1kcP z z −− é avaliado recursivamente pela Equação (4.11) até que

1 0kL Lz z− = , ou seja, que este seja equivalente a expansão entre o ponto fonte e

seu polo mais próximo. qjC é a matriz de constantes definida na Equação (4.10).

4.4.Aplicação do GFMM no BEM para um problema de potenc ial

Nesta seção será aplicado o GFMM ao BEM para um problema de potencial

2D. Ao longo dos desenvolvimentos serão explicadas as vantagens da aplicação

das expansões apresentadas anteriormente neste capítulo.

40

4.4.1. Desenvolvimento

Para um problema de potencial a matriz G do CBEM é calculada, em

coordenadas complexas, na forma:

( ) ( ) ( )* dml m o lG u z z t z zΓ

= − Γ∫ (4.12)

onde ( )*0mu z z− representa a solução fundamental em termos de potencial, ( )lt z

é função de interpolação do fluxo e ( )zΓ é o contorno sobre o qual será realizada

a integração. O subscrito m refere-se ao nó no qual está o ponto fonte e l faz

referência ao ponto campo onde será avaliado o efeito de uma fonte unitária no nó

m .

Substituindo nesta equação a solução fundamental com as expansões em

torno do ponto campo (4.2),

( ) ( ) ( ) ( )1

1

dnk nk

n

ml l q q q oc cq

G t z fac P z z Q z z z+

=Γ

= − − Γ⌠⌡

∑ (4.13)

onde

( ) ( ) 2 3

1 1 1 2ln

2qQ z zz z zπ

= − − ⋯ (4.14)

A partir da Equação (4.13), observa-se que apenas os termos sublinhados

são dependentes do ponto campo z , ou seja, estes são os únicos termos a serem

integrados sobre o elemento. Por tanto, os demais podem ser retirados da integral,

resultando em:

( ) 1

1nk

n

qlml q q ocq

G fac Q z z G+

== −∑ (4.15)

com

( ) ( ) ( )dnkql q lcG P z z t z z

Γ= − Γ⌠⌡

(4.16)

onde o índice q faz referência ao índice do somatório apresentado na Equação

(4.13). Esta integração está desenvolvida na seção 4.4.2.

A Equação (4.15) mostra uma das grandes vantagens da aplicação do FMM

ao BEM. A separação das variáveis relativas aos pontos campo e fonte permite

que as integrais sejam avaliadas apenas uma vez para cada ponto campo,

41

independentemente do ponto fonte, desde que estes estejam suficientemente

distantes uns dos outros. O critério de distância será abordado posteriormente.

Caso sejam consideradas expansões em torno do ponto fonte, a Equação

(4.15) passa a se apresentar como

( ) ( ) 1 1

11 1

nl n nlk

n n

qlml i j j o q jL Lcq j

G fac fac P z z Q z z G+ +

+ −= =

= − −

∑ ∑ (4.17)

onde nkcz e nlL

z se referem aos polos campo e fonte, respectivamente, mais altos

da expansão. Esta equação é obtida pela expansão do vetor ( )Q z com relação ao

ponto fonte, conforme foi apresentado na Equação (4.7).

Para aplicação do FMM no cálculo da matriz H é necessário a expandir a

solução fundamental em termos de fluxo. A expressão, em coordenadas

complexas, para o cálculo da matriz H, para um problema de potencial,

( ) ( ) ( ) ( )* dmf m o fH q z z z u z zηΓ

= − Γ∫ (4.18)

onde ( )*m oq z z− representa a solução fundamental em termos de fluxo, ( )fu z é

função de interpolação do potencial e ( )zΓ é o contorno sobre o qual será

realizada a integração. O subscrito m refere-se ao nó no qual está o ponto fonte e

f ao ponto campo.

A expansão da solução fundamental em termos de fluxo pode ser facilmente

obtida pela forma truncada da expansão da solução fundamental em termos de

potencial apresentada na Equação (4.2):

( ) ( ) ( )

( ) ( )

**

2

1 1 02

n nk k

oo

n

q q qc ci

u z zq z z z

z

fac P z z Q z z

η

+

− −=

∂ −− =

∂

= − −∑ (4.19)

Substituindo a Equação (4.19) na (4.18), obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 1 02

dn nk k

n

mf q q q fc cq

H fac P z z Q z z z u z zη+

− −=Γ

= − − Γ⌠⌡∑ (4.20)

Uma vez que apenas os termos sublinhados são dependentes de z , devendo

ser integrados ao longo do elemento, os demais termos podem ser retirados da

integral, resultando em

42

( ) 2

1 02

nk

n

qfmf q q cq

H fac Q z z H+

−=

= − ⋅∑ (4.21)

com

( ) ( ) ( ) ( )1 dnkqf q fcH P z z z u z zη−

Γ= − Γ⌠⌡

(4.22)

onde o índice q faz referência ao índice do somatório apresentado na Equação

(4.21). Esta integração está desenvolvida na seção 4.4.2.

A partir da Equação (4.21) nota-se que, assim como para o cálculo da matriz

G, a separação das variáveis relativas aos pontos campo e fonte permite que as

integrais sejam avaliadas uma vez para cada ponto campo, independentemente do

ponto fonte, desde que estes estejam suficientemente distantes daqueles.

Caso sejam consideradas expansões relacionadas ao ponto fonte, a Equação

(4.21) passa a se apresentar como

( ) ( )2 1

1 12 1

nl n nlk

n n

qfmf q j j o q jL Lcq j

H fac fac P z z Q z z H+ +

− + −= =

= − −∑ ∑ (4.23)

Na Figura 12 são apresentados dois esquemas. O primeiro com expansões

em torno do ponto fonte e o segundo sem estas expansões.

Figura 12 - Esquema das expansões. Cada linha representa uma parcela da expansão.

O esquema a direita representa as expansões considerando expansões do ponto fonte

e o da direita não às considera.

6z5z

4z

3z

2z

1znlL

z11L

z

( )Vetor (Expansão entre o ponto fonte e o seu polo mais próximo)P Z

, Parcelas H G

( )Q Z

( )Vetor (Sucessivas expansões do ponto campo)P Z

( )Vetor (Sucessivas expansões do ponto fonte)P Z

nkcz

4z5z6z

60z

11

cz

12

cz

1z

2z

3znkcz

11

cz

12

cz2

1Lz

40z

50z

30z

20z

10z

10z

20z

30z

40z

50z

60z

43

4.4.2. Integração no GFMBEM

Como visto anteriormente, apenas as parcelas G e H serão integradas ao

longo do contorno. Por conveniência, equações (4.16) e (4.22) serão reescritas a

seguir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

d ,

d

seg

seg

ql q c l

qf q c f

G P z z t z z

H P z z z u z zη

Γ

−Γ

= − Γ

= − Γ

∫

∫ (4.24)

Nestas equações z representa a geometria do segmento a ser integrado, expressa

em coordenadas complexas na forma:

( ) onde 1 ... k kz N z k teξ= = (4.25)

onde kN representa as funções de forma do nó k , kZ representa as coordenadas

complexas do nó k e os índices repetidos têm o significado de somatório.

Na parcela relativa à matriz H, ( )fu z surge da interpolação dos potencias

( )u z ao longo do contorno: ( ) ( )f fu z u z d= , tendo esta equação suporte local e

fd representa os valores nodais do potencial. Em uma representação

isoparamétrica, os valores de potencial serão representado pelas mesmas funções

que definem a geometria.

O vetor unitário normal ao contorno é representado, em coordenadas

complexas,

( ) ( )( ) ( )d1 d 1

d dl l l lN z N zz

zJ J J

ξ ξη

ξ ξ′

= = =

(4.26)

onde lN ′ representa a derivada da função de forma do nó l e J é o Jacobiano que

será cancelado com proveniente da mudança para a variável paramétrica, tal que

d dJ ξΓ = .

Para integração da parcela G , as funções de forma usuais lt , apresentadas

na Equação (4.16), serão substituídas por ( )em l lt J J , conforme a Equação

(2.19).

44

No contexto do GFMBEM, esta substituição se prova valiosa, uma vez que

o integrando apresentado na Equação (4.24) passa a ser inteiramente polinomial,

independentemente da ordem do elemento, o que não seria possível ao se lidar

com elementos cúbicos e quadráticos.

Com as considerações expostas acima, a parcela G e H passa a se

apresentar na forma:

( )( ) ( ) dql q k k c l lG P N z z N J

ξξ ξ ξ= −∫ (4.27)

( )( ) ( ) ( )110

dqf q k k c l l fH P N z z N z Nξ ξ ξ ξ− ′= −∫ (4.28)

estas integrações são inteiramente polinomiais e independentes da solução

fundamental, podendo inclusive ser previamente calculadas analiticamente,

característica essa que será explorada no tópico a seguir. Nas equações acima, os

índices repetidos têm significado de somatório.

4.4.3. Tabelas de Integração

Conforme foi visto anteriormente, as integrações necessárias para o cálculo

das matrizes G e H se tornam independentes dos pontos fonte, podendo ser

calculadas apenas uma vez para cada ponto campo. Além disto, as integrações

passam a ser polinomiais, uma vez que envolvem basicamente os vetores ( )P ξ e

( )N ξ .

Uma vez que as integrações são polinomiais, estas passam a apresentar

soluções analíticas, não necessitando do emprego de integrações numéricas, como

no caso do CBEM. A partir disto, Dumont e Peixoto (2014) propuseram a

utilização de tabelas de integrações, as quais fornecem o resultado das parcelas

G e H apresentadas nas Equações (4.16) e (4.22). Uma vez que o vetor ( )P z é

completamente independente da solução fundamental, estas tabelas podem ser

utilizadas independentemente da natureza do problema estudado.

Foram desenvolvidas tabelas de integração para elementos lineares,

quadráticos e cúbicos integrados no intervalo [ ]0,1 . As funções de forma de cada

um destes elementos definidas no intervalo [ ]0,1 , são

45

[ ]2 2 2

3 2 3 2 3 2 3 2

2 3 1, 4 4 , 2

9 11 27 45 27 9 9 99 1, 9 , 18 ,

2 2

1 ,

2 2 2

2 2 2

l

q

c

N

N

N

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ

ξ

− + − + −

− + − + − + − + − − +

= −

=

=

(4.29)

onde os índices l, q e c significam linear, quadrático e cúbico, respectivamente,

e suas derivadas são:

[ ][ ]

2 2 2 2

4 3, 8 4, 4 1

27 11 81 81 9 2718 , 45 9, 36 , 9 1

2 2

1, 1

2 2 2 2

l

q

c

N

N

N

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

− − + −

− + − − + −

′ = −

′ =

′ = + − −

+

(4.30)

A partir das Equações (4.27) e (4.28), pode-se notar que os termos a serem

integrados são polinômios da diferença entre as coordenadas nodais para o polo

mais próximo ( 0cz ). Portanto são introduzidas as variáveis j∆ ,

0 , com 1... 1j j cz z j oe∆ = − = + (4.31)

onde o índice j faz referencia ao nó do elemento e oe refere-se à ordem do

elemento, podendo ser igual a 1, 2 ou 3 para elemento linear, cúbico ou

quadrático, respectivamente. Na Figura 13 está apresentado um esquema para

facilitar a compreensão do uso da variável j∆ , exemplificado para o caso de um

elemento cúbico.

Os únicos dados de entrada necessários para obter o resultado da integração

são as variáveis i∆ . As tabelas de integração irão fornecer na forma de um vetor o

resultado da integração das parcelas G e H , sendo que no caso da primeira

ainda será necessário multiplicar este vetor por ( )em lJ .

46

Figura 13 - Elemento isoparamétrico cúbico e o polo de expansão (Peixoto, 2014).

0cz

03 3 cz z∆ = −

02 2 cz z∆ = −

01 1 cz z∆ = −

04 4 cz z∆ = − 4z

3z

2z

1z

47

5 Implementação computacional do GFMBEM

Nesse capítulo será apresentado o algoritmo desenvolvido empregando o

GFMBEM. Esta implementação tem por objetivo desenvolver um algoritmo para

um problema com milhões de graus de liberdade, mas está ainda em um estágio

inicial, tendo neste momento o seu foco no estudo do GFMM.

Neste estágio, o GFMM não foi integrado a um resolvedor iterativo,

portanto ao invés de se buscar a solução do sistema de equações representado pela

Equação (2.20), deseja-se calcular os vetores Hd e Gt da Equação (2.14) para

valores conhecidos de d e t.

O presente desenvolvimento é baseado em distâncias topológicas entre os

elementos de contorno, ao invés de distâncias geométricas (como apresentado na

literatura). E foi desenvolvido para elementos lineares, quadráticos e cúbicos,

particularizado para elementos constantes.

O algoritmo proposto, embora apresentado para um problema de potencial,

pode ser modificado para outros problemas. As modificações necessárias se

resumem à modificação do vetor de derivadas ( )Q Z , que é a única parcela

dependente da solução fundamental, além do procedimento que calcula os

elementos adjacentes pelo CBEM.

5.1.Implementação computacional

Nesta seção serão apresentados todos os procedimentos envolvidos na

implementação desenvolvida. O algoritmo pode ser dividido em três etapas. A

primeira delas envolve cálculos preliminares relacionados à técnica ‘fast

multipole’, a segunda está relacionada à discretização da malha e a terceira

envolve uma série de procedimentos que são chamados recursivamente. Como

dado de saída do algoritmo são obtidos os vetores Hd e Gt .

48

A etapa relacionada aos cálculos preliminares do GFMM envolve

basicamente o cálculo do vetor fac definido na Equação (4.3), da matriz de

constantes C definida na Equação (4.10) e o pré-cálculo do vetor das derivadas

da solução fundamental ( )Q Z definido na Equação (4.5). Estes são calculados

inicialmente por dependerem apenas do número de termos de expansão da série e

da solução fundamental.

A segunda etapa envolve o refinamento da malha, feito no presente

algoritmo numa discretização hierárquica, como apresentado na seção 5.1.1.

A terceira etapa será apresentada na seção 5.1.2, pelo algoritmo unificado

para as expansões do GFMM. As expansões serão realizadas utilizando um

conceito de elementos pais e filhos, provenientes dos refinamentos. Este conceito

pode ser associado ao conceito de células mães e filhas apresentado na Seção

3.1.5.

5.1.1. Refinamento hierárquico da malha

O algoritmo deste procedimento está apresentado no Apêndice 1, e aqui será

discutida a sua ideia geral. Este procedimento consiste em discretizar um contorno

em nv níveis de refinamento, além do inicial. A cada nível de refinamento (k ),

cada elemento é subdividido em dois novos.

Como dado de entrada deste procedimento, deve-se determinar a geometria

da estrutura a partir de uma malha inicial, a qual deve ser fornecida em termos do

menor número de macroelementos possível. Para facilitar o entendimento, como

exemplo será utilizado um quadrado. Cada lado do quadrado representa um

macroelemento, nomenclatura que será empregada para se referir aos elementos

no nível de menor refinamento ( 1k = ). Uma vez determinada a geometria da

estrutura, esta será refinada com a subdivisão de cada macroelemento em dois

novos. A cada subdivisão são armazenadas as coordenadas nodais e uma nova

matriz de incidência cinemática.

Na Figura 14(a) está representada a geometria determinada inicialmente,

definida por quatro macroelementos lineares, bem como a numeração dos

elementos e dos nós, enquanto na Figura 14(b) está representado o mesmo

contorno em um nível imediatamente acima de refinamento ( 2k = ), juntamente

49

com a numeração dos novos nós e dos elementos filhos. É válido notar que os

elementos obedecem a uma numeração por nível, enquanto os nós apresentam

uma numeração global, independente do nível.

Na Equação (5.1) está exemplificado o esquema de armazenamento das

matrizes de incidência e das coordenadas, respectivamente. No caso das matrizes

de incidência, estas são armazenadas em um vetor (inc), onde cada elemento deste

é uma matriz de incidência no nível de refinamento ( k ).

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7

8

1 5

5 2

1 2 2 6

2 3 6 3

3 4 3 7

4 1 7 4

4 8

8 1

nó nó

nó nó

nó nó

nó nó

nó nó

nó nó

nó nó

nó

x y

x y

x y

x yinc Xgl Ygl

x y

x y

x y

x

= = =

7

8nóy

(5.1)

As coordenadas são armazenadas nos vetores Xgl e Ygl apresentados na

Equação (5.1). A cada refinamento estes vetores são expandidos com a criação de

novos nós.

As divisões dos elementos são sempre realizadas levando em conta a ordem

dos elementos (linear, quadrática ou cúbica) na qual o contorno foi discretizada

inicialmente. Portanto, a forma da estrutura é sempre mantida.

Um conceito importante que será utilizado ao longo deste trabalho é o de

microelemento, denominação adotada para elementos no maior nível de

Figura 14 - Esquema do refinamento hierárquico de uma malha de elementos lineares.

(a) Estrutura fornecida, ou seja, equivale à malha no menor nível de refinamento

(b) Estrutura no segundo nível de refinamento .

50

refinamento ( 1k nv= + ). Será visto que este conceito pode ser associado ao

mesmo conceito de folha empregado na literatura.

O número de elementos em cada nível de refinamento será armazenado em

um vetor denominado nek. Cada coeficiente deste vetor representa um nível de

refinamento:

[ ] [ ] 11 2knek k nek −= ⋅ (5.2)

De maneira similar, o número de nós por nível é armazenado no vetor nglk , dado

por:

[ ] [ ] 11 2knglk k oe nek −= ⋅ ⋅ (5.3)

onde k é o nível de refinamento e oe é a ordem dos elementos utilizados para

discretizar o contorno.

Na Figura 15 está representado o mesmo contorno da Figura 14(a), em

vários níveis de refinamento. Cada cor representa um determinado nível de

refinamento, conforme legenda apresentada. Este esquema será utilizado como

referência para exemplificar os conceitos e desenvolvimentos apresentados a

seguir.

1 2 3 4

Niveis de Refinamento

k k k k= = = =

11

1

1

2

2

2

3

3

65 73 8

4

32

29

31

30

28

20 19 1822 212324

4

25

26

27

16

15

13

14

7

8

4 2

4

3

5

6

7

8

17

9

11

10

14

12

13

15

16

9101112

56

Figura 15 - Esquema de Refinamento, considerando , resultando em um total de

níveis de refinamento.

51

5.1.2. Algoritmo unificado para as expansões do GFMBEM

Este algoritmo se refere a um grupo de procedimentos que são executados

recursivamente dentro de um loop dos macroelementos (elementos no nível de

menor refinamento).

No Apêndice 2, está apresentado o algoritmo deste grupo de procedimentos,

sendo aqui discutida a sua ideia geral.

• Estrutura de adjacências

Uma vez que o contorno foi refinado, conforme descrito anteriormente, cria-

se uma estrutura hierárquica, uma espécie de árvore genealógica, dos

macroelementos campo com os seus filhos. Esta árvore pode ser comparada à

estrutura hierárquica apresentada na Figura 8. O procedimento responsável por

esta estrutura hierárquica também é responsável por executar todos os demais

procedimentos. Na Figura 16 está apresentada a estrutura hierárquica proveniente

do macroelemento 1 do contorno apresentado na Figura 15.

Juntamente com a estrutura hierárquica citada anteriormente, também é

criada uma lista de adjacências de cada elemento por nível de refinamento. Por

definição, todo elemento é adjacente a ele mesmo, de maneira que, para o caso

bidimensional, cada elemento apresenta três elementos adjacentes.

No intuito de exemplificar a criação das listas de adjacências, tomou-se

como exemplo o microelemento 8. Na Figura 17, o mesmo contorno apresentado

na Figura 14(a) é apresentado com quatro níveis de refinamento. Os elementos

pertencentes à estrutura hierárquica deste elemento aparecem hachurados com

(a) (b)

1k =

2k =

3k =

4k =

1k =

2k =

3k =

4k =

1

1

1

1

2

2 3

2 3

4

654 7 8

11 2

21

1 2 3 5

3 4

4 76 8

Figura 16 - (a) Macroelemento 1 e seus filhos. A numeração apresentada se refere aos

elementos. (b) Estrutura hierárquica do macroelemento 1.

52

pontos e os elementos adjacentes a cada elemento membro da desta estrutura

hierárquica aparecem na cor cinza.

Na Equação (5.4) está apresentado o vetor com a estrutura hierárquica do

elemento microelemento 8 (elsplit ) e a matriz de adjacências (elAdj) que

contém os elementos adjacentes em cada nível hierárquico, respectivamente.

1 1 2 4

2 1 2 3

4 3 4 5

8 7 8 9

elsplit elAdj

= =

(5.4)

Como mencionado no Capítulo 3, no FMM a interação entre pontos fonte e

campo se dá pela interação entre grupo de elementos. No caso do presente

trabalho, estas interações são realizadas a partir do conceito de elementos pais, em

contrapartida ao conceito de células usado na literatura, e o conceito de distância

1 2 3 4

Niveis de Refinamento

k k k k= = = =

1

1

1

1

2

2

2

3

3

65 73 8

4

32

29

31

30

28

20 19 1822 212324

4

25

26

27

16

15

13

14

7

8

4 2

4

3

5

6

7

8

17

9

11

10

14

12

13

15

16

9101112

56

Figura 17 - Esquema dos elementos adjacentes ao microelemento 8. Os elementos

pontilhados compõem a estrutura hierárquica do microelemento 8 e os na cor cinza são

os elementos adjacentes em cada nível de refinamento.

53

está diretamente associado à adjacência entre os elementos, utilizando-se da

topologia da estrutura, ao invés de calcular as distâncias de fato.

• Avaliação dos elementos adjacentes pelo CBEM

Uma vez criada a estrutura hierárquica apresentada anteriormente, e

exemplificada na Equação (5.4), para um dado microelemento, verifica-se quais

elementos fonte são próximos a este, devendo ter a sua contribuição avaliada pelo

CBEM.

A proximidade entre os elementos campo e fonte é definida pela variável

BEMk . Esta variável define em qual nível deve-se procurar por adjacências, sendo

a interação entre o elemento campo realizada com os filhos destes elementos

adjacentes.

Tomando novamente o microelemento 8 como exemplo, retornando à

Figura 17, e adotando BEMk nv= , tem-se que os elementos 3, 4 e 5 são

adjacentes, logo os seu elementos filhos 5, 6, 7, 8, 9 e 10, terão sua contribuição

avaliada com relação ao elemento 8 em termos de uma integração convencional.

É importante ressaltar que a estrutura criada é sempre em relação ao

elemento campo, e os elementos para os quais se verifica a adjacência são os

elementos fonte.

• Expansões do GFMBEM

No algoritmo desenvolvido, as expansões entre os elementos campo e fonte

com os seus respectivos polos serão sempre realizadas entre os elementos pais

com os seus filhos.

No caso dos elementos campo as expansões partem sempre do elemento

filho para o pai. A diferença de nível entre estes deve ser pré-determinada, e

definida pela variável childk . Na Figura 19, as expansões estão representadas para

diferentes valores desta variável, considerando um contorno discretizado em

elementos constantes. Desta forma, verifica-se que o número de filhos por

elemento, no contexto das expansões, será dado por:

2 childkcn = (5.5)

54

Independentemente da ordem do elemento empregado na discretização do

contorno, os polos sempre estarão localizados no centro dos elementos pais. Na

Figura 18 estão esquematizadas as expansões entre os pontos campo e os seus

polos mais próximos (representadas pelas linhas sólidas em vermelho) e as

expansões entre os polos campo (representadas pelas linhas tracejadas em preto),

considerando 1ch ildk = .

1

1

2

1 2 3 4

3 4 1

1 2

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8

1

1

2

1 2 3 4

1k =

2k =

3k =

1k =

2k =

3k =

4k =

Figura 19 - Esquema de expansão dos polos de acordo com a variável . Os

losangos representam os nós geométricos dos elementos e os círculos os graus

de liberdade dos elementos constates (Peixoto, et al., 2015).

(a) Elemento constante

1k =

2k =

3k =

1k =

2k =

3k =

1k =

2k =

3k =(b) Elemento linear

1k =

2k =

3k =

(c) Elemento quadrático (d) Elemento cúbico

11

1 2 43

2

11

1 2 3 4

2

11

1 2 3 4

2

11

1 2 3 4

2

Figura 18 - Esquema das expansões dos pontos campo de acordo com a ordem dos

elementos, para . Os círculos em vermelho representam os polos (a) os círculos

representam os nós e os traços delimitam a geometria do elemento. (b), (c) e (d) Os nós

externos dos elementos estão representados por círculos e os internos por losangos.

55

No contexto do GFMBEM, quando se fala em expansões dos pontos campo,

refere-se ao cálculo dos vetores ( )P Z . A primeira expansão a ser realizada é

aquela entre o ponto campo (nó do elemento) e o polo mais próximo 0cz , na qual

se realiza a integração sobre os elementos, ou seja, esta equivale ao cálculo das

parcelas G e H apresentadas nas Equações (4.27) e (4.28). Esta expansão pode

ser comparada às expansões denominadas na literatura de ‘multipole expansion’.

As demais expansões que ocorrem entre polos campo são calculadas pela

Equação (4.9). Uma vez que estas nada mais são do que sucessivas expansões do

ponto campo, estas expansões podem ser comparadas as translações ‘moment-to-

moment’ (M2M). As expansões dos pontos campo se encerram quando a expansão

atinge o nível expk (nível pré-definido como o nível do polo de expansão mais

elevada).

O algoritmo desenvolvido permite que se decida se haverá ou não expansões

em torno do ponto fonte. No caso de não haver, as expansões são realizadas entre

o polo campo e os nós dos microelementos que atendem ao critério de distância,

sendo a expansão correspondente ao cálculo do vetor ( )Q Z , conforme definido

na Equação (4.5), e representado na Figura 20(b) pelas setas pretas tracejadas.

No caso de haver expansões em torno dos pontos fonte, o vetor ( )Q Z será

avaliado em relação aos polos dos elementos fonte e campo de mesmo nível que

atendem ao critério de distância e, posteriormente, são avaliadas as expansões

entre o polo fonte e os nós dos seus microelementos filhos, sendo esta expansão

representada pelo vetor ( )P Z , definido na Equação (4.4). Na Figura 20(a) a seta

preta pontilhada representa a expansão campo-fonte, referente ao vetor ( )Q Z e as

setas em verde representam as expansões entre os polos fonte e os pontos campo,

referente ao vetor ( )P Z .

Neste algoritmo, sucessivas expansões em torno do ponto fonte não fariam

sentido, uma vez que estas incluiriam operações desnecessárias à estratégia

adotada. Desta forma, as expansões do ponto fonte são realizadas sempre do polo

do elemento pai que recebe as expansões dos elementos campo distantes para os

nós dos microelementos.

56

O critério de distância das expansões é definido por um conceito topológico

relativo à adjacência dos elementos. Desta forma, antes de se discutir este critério,

alguns conceitos relacionados à adjacência entre elementos devem ser

estabelecidos no intuito de facilitar a compreensão do desenvolvimento

apresentado ao longo deste capítulo:

• Elementos Adjacentes imediatos: elementos que são adjacentes no mesmo

nível de refinamento em que eles se encontram.

• Elementos adjacentes em um nível inferior: são elementos que não são

adjacentes no nível em que eles se encontram, mas são adjacentes em um

nível superior, ou seja, os seus elementos pais são adjacentes.

Tomando novamente o microelemento 8 como exemplo, verifica-se que os

microelementos 7 e 9 são imediatamente adjacentes, uma vez que estes estão no

mesmo nível do 8. Mas os elementos 3 e 5 no nível 3 são adjacentes ao seu pai

(elemento 4 no nível 3), portanto, adjacentes ao microelemento 8 no nível

imediatamente inferior.

No caso de haver expansões em torno dos elementos fonte, as expansões

entre os elementos campo e fonte são sempre realizadas entre os polos de

elementos pertencentes a um mesmo nível k , que não são adjacentes imediatos,

mas que apresentam adjacência no nível ch ildk k− . Esta expansão é representada

pelo cálculo do vetor ( )Q Z segundo a Equação (4.5). Posteriormente, ocorrerão

as expansões dos polos fonte de mais alto nível para os nós dos microelementos

filhos do elemento ao qual o polo pertence e calculadas pelo vetor ( )P Z .

(b) (a)

Figura 20 - Esquema das expansões campo-fonte para um contorno discretizado em

elementos constantes considerando expansões (a) em torno do ponto campo e fonte (b)

apenas em torno do ponto campo. Os losangos representam os nós geométricos, os

círculos em azul os graus de liberdade e os em vermelho os polos de expansão;

1k=

2k=

3k =

4k =

1

1 221

1 2 3 5

3 4

4 76 8

1k=

2k=

3k =

4k =

1

1 221

1 2 3 5

3 4

4 76 8

57

No caso de não serem realizadas expansões em torno do ponto fonte, a

expansão será realizada diretamente para os nós dos microelementos filhos do

elemento que atendeu ao critério de distância para expansão. A parcela relativa à

expansão campo-fonte é calculada diretamente a partir do vetor ( )Q Z , conforme

definido na Equação (4.5).

Por exemplo, retomando a Figura 17, considerando um polo campo

pertencente ao elemento 4 no nível 3k = , este tem como adjacentes em um nível

superior ch ildk k− , considerando 1ch ildk = , os elementos 1, 2 e 3 no nível 2k = .

A partir destes elementos adjacentes no nível 2ch ildk k− = , buscam-se os filhos

que não apresentam adjacência imediata com o elemento 4 no nível 3k = . Desta

forma, têm-se como elementos não adjacentes imediatos os elementos 1, 2 e 6,

sendo a expansão realizada a partir do polo do elemento 4 para os nós de cada um

destes.

5.2.Execução do algoritmo

Nesta seção será apresentada a sequência de execução do algoritmo. Para

maiores informações, recomenda-se a leitura dos Apêndices 1 e 2;

1. Refinamento hierárquico da malha e criação das matrizes de incidência por

nível de refinamento, bem como a expansão dos vetores de coordenadas

(Equações (5.1));

2. Criação do vetor com a estrutura hierárquica (elsplit ) e a matriz de

adjacências (elAdj), partindo do macroelemento até o microelemento

( 1)k nv= + ;

3. Avaliação direta da contribuição dos elementos adjacentes no nível BEMk ;

4. Expansão do ponto campo para o polo do elemento pai no nível

1 childnv k+ − (Cálculo das parcelas e );

5. Verifica-se se todos os irmãos do elemento campo já foram expandidos para o

polo do elemento pai. Caso ainda não tenham sido, retorna-se para o

procedimento gerador de adjacências (passo 2), onde a matriz elAdj e o vetor

elsplit serão atualizadas para este novo elemento, e os passos 3, 4 e 5 serão

executados. Caso contrário o algoritmo segue para o passo 6;

58

6. Expansão entre os pontos fonte e campo no nível do polo atual da expansão,

correspondente ao cálculo do vetor ( )Q Z conforme a Equação (4.5);

7. Expansão entre o polo fonte e os pontos fontes dos microelementos filhos,

correspondente ao cálculo do vetor ( )P Z , conforme Equação (4.4);

8. Cálculo das contribuições para os vetores Hd e Gt . Se ainda houver

elementos que atendam o critério de distância para expansão, executam-se

novamente os procedimentos 6, 7 e 8. Caso contrário, o algoritmo segue para

o passo 9;

9. Caso tenha sido alcançado o nível máximo de expansão expk , buscam-se os

elementos fonte que ainda não foram avaliados e executam-se os

procedimentos 6, 7 e 8 para cada um destes, retornando para o passo 2 e

executando os passos seguintes para o próximo elemento campo. Caso

contrário, segue-se para o passo 10;

10. Expansão do polo campo para o polo do elemento pai. (Cálculo do vetor

( )P Z conforme a Equação (4.9) para expansões sucessivas);

11. Verifica-se se todos os elementos irmão ao elemento que foi expandido no

passo 10 já foram expandidos para o polo do elemento pai. Caso ainda não

tenham sido, retorna-se para o passo 2, onde o vetor elsplit e a matriz eladj

serão atualizados para o elemento irmão à este. Caso contrário, retorna-se

para os procedimento 6 e executam-se os passos seguintes;

O algoritmo encerra quando todas as interações entre pontos campo e fonte

tiverem sido avaliadas, e fornece como resultado os vetores Hd e Gt .

A sequência de execução descrita acima, leva em consideração a realização

de expansões em torno dos pontos fonte, no caso destas não serem realizadas, o

passo 7 deixa de existir e no passo 6, ao invés da expansão ser realizada para o

polo fonte, esta será realizada diretamente para os nós dos microelementos fonte.

6 Exemplos Numéricos para Problema de Potencial

Neste capítulo, serão apresentados exemplos numéricos para comparação da

eficiência do GFMBEM em relação ao CBEM, bem como da sua precisão. Os

resultados apresentados foram obtidos com o algoritmo desenvolvido para

problemas de potencial. Serão apresentados resultado para um contorno 1D, uma

vez que este se resume a integral sobre uma reta, apresentado, portanto, solução

analítica o que é uma grande vantagem para um estudo inicial da formulação.

Também serão apresentados exemplos de problemas 2D. Para o estudo do

problema 1D, utilizou-se um algoritmo particularizado desenvolvido em

linguagem Maple® e para os exemplos 2D utilizou-se o algoritmo desenvolvido

em linguagem C++, ambos executados em um computador desktop.

6.1.Exemplo unidimensional

A integral 0

ln dsx x x−∫ℓ

será avaliada ao longo de uma reta no intervalo

0 x≤ ≤ ℓ com o uso da técnica de ‘fast multipole’. O resultado analítico desta

integral é,

0

ln d ( ) ln( ) ln( )s s s s sx x x x x x x− = − − + −∫ℓ

ℓ ℓ ℓ (6.1)

onde sx representa a posição do ponto fonte. Esta integral equivale ao coeficiente

do vetor Gt avaliado no ponto fonte de posição , para um vetor t unitário.

A reta estudada representa um contorno discretizado inicialmente em apenas

um macroelemento, que será subdividido sucessivamente até um total de 4096

graus de liberdade, conforme indicado no eixo horizontal dos gráficos

apresentados na Figura 21 e Figura 22. Na Figura 21, são apresentados os erros do

algoritmo para diferentes níveis de refinamento e na Figura 22, tem-se o tempo de

execução do algoritmo. Em ambas as figuras o gráfico apresentado à esquerda

representa os resultados obtidos sem expansões em torno do ponto fonte e no da

sx

60

direita estas expansões foram realizadas. Verificou-se a influencia do número de

termos n utilizados para expandir a série, bem como a influencia do número de

elementos ligados a cada polo cn . O erro foi calculado pela norma,

Analitico

Analiticoε

−=

Gt (6.2)

onde Analitico é o vetor de resultados obtidos pela integração analítica dos

trechos. Cada coeficiente deste foi calculado segundo a Equação (6.1) para cada

ponto fonte.

A partir das Figura 21 e Figura 22 observa-se que o aumento do número de

termos da expansão proporciona uma melhora relativamente grande na precisão

do algoritmo, custando pouco em termos de eficiência no tempo de execução.

Verifica-se também que o aumento do número de filhos por elemento

influencia positivamente na precisão, isto se justifica pelo fato de que quanto

maior o número de filhos, maior é o número de elementos adjacentes – sendo

estes avaliados pelo CBEM.

Comparando os resultados com e sem expansão do ponto fonte, verifica-se

que a eficiência do algoritmo é reduzida com o acréscimo destas expansões, além

de afetar negativamente a precisão do mesmo. Desta forma, verificou-se que para

a estratégia de implementação adotada não há vantagem em realizar expansões em

Figura 21 - Erro do algoritmo desenvolvido para o caso sem expansão em torno do

ponto fonte (esquerda) e com expansão em torno deste (direita).

2 4 8c c cn n n= = = 5 7 9 11n n n n= = = =

61

torno do ponto fonte. Por esta razão, todos os demais exemplos apresentados ao

longo deste capítulo envolverão apenas expansões em torno do ponto campo.

Figura 22 – Tempo de execução do algoritmo sem expansão do ponto fonte (esquerda) e

com expansão do ponto fonte (direita)

Observou-se que ao se estudar o problema no qual não há expansão dos

pontos fontes os gráficos com valores de n pares sempre sobrepunhas os gráficos

com valores impares para n . Esta sobreposição decorre devido ao cancelamento

das linhas pares dos vetores ( )1P Z e ( )2P Z quando estes são somados no polo

do elemento pai.

Na Figura 23, estão esquematizadas as expansões dois elementos irmãos

para o seu pai, onde 1 2Z Z Z= − = e os vetores ( )1P Z e ( )2P Z , conforme

definido na Equação (4.4), são, respectivamente,

( ) [ ] ( ) [ ]2 3 2 31 1 2 2... e ...1 1P Z P ZZ Z Z Z Z Z= = − − (6.3)

No polo do elemento pai, os vetores ( )1 1P Z e ( )2 2P Z serão somados

resultando em,

Figura 23 - Esquema das expansões dos pontos campo.

5n =2cn =4cn =8cn =

analytical

2cn =5n =5n =

5n =7n =9n =11n =

analytical

2cn =4cn =8cn =

62

( ) ( ) 2 4 61 1 2 1 2 0 2 0 2 0 2 0 ...P Z P Z Z Z Z + =

(6.4)

Pela Equação (6.4) verifica-se que todos os coeficientes de índice par serão

anulados, desta forma não faz sentido utilizar números de termos pares, pois o

ultimo elemento destes sempre será zero. Isto decorre da simetria entre elementos

irmãos, de maneira que ele ocorrerá para todos os pares de elementos irmãos.

Entretanto, para o caso em que há expansão em torno do ponto fonte, esta

superposição não é mais observada, uma vez que para os vetores ( )P Z desta

expansão não são somados, não havendo o anulamento das linhas pares, e

consequentemente a inclusão de um termo influencia positivamente na precisão da

formulação.

6.2.Exemplos bidimensionais

Nos exemplos a seguir serão estudados problemas de potencial

bidimensionais. O estudo consiste na avaliação da Equação (3.19) pelo FMBEM

no intuito de validar o algoritmo proposto.

Resultados para o CBEM também serão apresentados para efeito de

comparação. As integrações necessárias ao CBEM foram realizadas

numericamente, adotando-se 10 pontos de integração.

Os erros apresentados nos gráficos a seguir foram calculados pela norma

Euclidiana,

ε−

=Hd Gt

Gt (6.5)

e o tempo de execução se refere ao tempo necessário para o cálculo dos vetores

Gt e Hd . Estes equivalem à multiplicação das matrizes G e H pelos vetores com

os valores nodais de fluxo t e potencial d , respectivamente.

Uma vez que o presente trabalho tem como objetivo o estudo do FMM de

maneira isolada, ou seja, sem o emprego de resolvedores, as incógnitas foram

calculadas pela solução analítica do problema.

63

6.2.1. Resultados para elementos constantes

O problema estudado refere-se a um quadrado dimensão 10x10, construído

com 4 macroelementos constantes, submetido a um potencial constante.

No lado esquerdo da Figura 24 está plotado o erro, segundo a norma

Euclidiana apresentada na Equação (6.5), para o cálculo dos vetores Gt e Hd

pelo CBEM e FMBEM para diferentes níveis de refinamento. No caso do

FMBEM, este é apresentado considerando diferentes combinações de cn e n . A

precisão tende aumentar com cn , devido ao maior número de elementos

adjacentes. Enquanto n tem uma influencia significativa nesta.

Figura 24 - Esquerda: erro do algoritmo calculado segundo a Equação (1.4) para um

contorno quadrado. Direita: tempo de execução do algoritmo para o contorno quadrado,

utilizando 2cn = (Peixoto, et al., 2015).

A Figura 24(direita) apresenta o tempo necessário para execução do

algoritmo para os mesmo exemplos utilizados para avaliação do erro. Porém,

nesta está representado o tempo de execução apenas para 2cn = , uma vez que

ocorreu sobreposição de boa parte das linhas, dificultando a visualização do

gráfico. Deste modo, observa-se que esta variável não influencia

significativamente no tempo de execução do algoritmo.

Com relação ao emprego de diferentes números de termos de expansão,

verifica-se que o tempo de execução do algoritmo não aumenta significativamente

com o acréscimo de termos. E com relação ao aumento do numero de graus de

64

liberdade, verificou-se, novamente, que o FMBEM se torna cada vez mais

vantajoso em relação ao BEM.

Ainda na Figura 24(direita), verifica-se através dos gráficos das funções

logN N e 2N , onde N representa o numero de graus de liberdade do problema,

que o tempo de execução do algoritmo para o CBEM é proporcional à 2N ,

enquanto o do FMBEM à logN N .

No intuito de melhor compreender a variação do erro, comparou-se os

coeficientes do vetor Gt calculado pelo FMBEM para 9n = e 2cn = com os

coeficientes calculados pelo CBEM. O erro foi calculado pela Equação (6.5).

Figura 25 - Erro por coeficientes do vetor Gt . Cada linha do gráfico representa um ponto

fonte.

Na Figura 25, observa-se que a maior concentração de erro ocorre no 8° e 9°

microelementos de cada lado do quadrado. Para o estudo do porque estes

elementos acumulavam um erro superior aos demais, fixou-se um ponto campo e

estudou-se o erro relativo a cada ponto fonte em relação a este.

Na Figura 26, está apresentado o erro para os resultados obtidos em relação

a cada ponto fonte, considerando apenas o microelemento 1 como ponto campo.

Pode-se perceber que a interação que acumula a maior parte do erro, é a com o

microelemento 56. Ao fixar o microelemento 2 como elemento campo, verifica-se

que o erro em relação ao elemento 56 diminui. O erro está diretamente associado a

distância entre o ponto campo com o polo campo para o qual este esta sendo

10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

7x 10

-9

Source Points

Err

or

65

expandido e distância entre o ponto campo com o ponto fonte. O erro é

proporcional à:

( ) ( )1

0nk

n

cz z z z

+− − (6.6)

onde z é a coordenada do ponto campo,kcz é a coordenada do polo campo de

maior nível, polo do qual é realizada a expansão para o ponto fonte e 0z é a

coordenada do ponto campo.

Figura 26 - Erro por elemento fonte considerando apenas o nó do microelemento 1 como

ponto campo.

Desta maneira, verifica-se que apesar do elemento fonte 56 estar distante do

elemento 1, em comparação ao elemento fonte 57, por exemplo, este vai

apresentar um erro inferior em comparação aquele, uma vez que o elemento fonte

56 recebe interage com um polo de nível superior. Este estudo isolado foi

realizado para os demais elementos campo, pelo qual foi verificado que a maior

concentração de erro sempre acontece no 8° e 9° microelementos, justificando o

resultado apresentado Figura 25.

10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

x 10-6

Source Points

Err

or

66

6.2.2. Resultados para elementos curvos

O quadrilátero deformado apresentado à direita da Figura 27 foi construído

a partir de 8 macroelementos quadráticos, que serão subdivididos sucessivamente,

sempre mantendo a geometria inicial, até um total de 8192 elementos quadráticos,

correspondente a 16384 graus de liberdade para a análise de um problema de

potencial. Este domínio irregular é submetido a um campo de potencial 2 2x y− ,

para o qual foram calculados os potenciais nodais d e gradientes normais t para

se realizar a analise da Equação (3.19) pelo FMBEM. As características

polinomiais do potencial aplicado, juntamente com a geometria irregular do

contorno fazem do problema um desafio para a simulação numérica.

No lado esquerdo da Figura 27, apresenta-se os resultados do estudo de

convergência do FMBEM combinando diferentes valores para 2, 4, 8cn = e n ,

além da comparação com os resultados obtidos pelo CBEM. Verifica-se que o

padrão de convergência é o mesmo do exemplo anterior, embora não seja

igualmente regular. Além disso, embora os erros relativos à discretização e à

expansão sejam pequenos desde o início, existe um limite que indica que não

adianta refinar a malha, visto que a partir deste ponto o erro é praticamente

constante. O tempo de execução necessário foi muito maior do que o para o caso

apresentado anteriormente, no qual a discretização foi feita em elementos

constantes, entretanto a convergência alcançada foi maior. Em comparação ao

CBEM, o tempo de execução do FMBEM se mostrou consideravelmente inferior.

‘

21 3

45

6

7

8

9

1011

1213

14

16

15

4− 22− 0 4 6 8 10 122−

0

2

4

6

8

10

12

6−

67

Figura 27 - Domínio quadrilateral distorcido para um estudo com elementos quadráticos

e resultados de precisão para diferentes números de filhos por polo de expansão e

termos de expansão (Peixoto, et al., 2015).

68

7 Conclusões e sugestões

7.1.Conclusões

No capítulo 5 foi apresentada uma nova estratégia para implementação do

FMM. Esta se diferencia da apresentada na literatura por empregar o FMM para

uma solução genérica, tal como proposto por Dumont e Peixoto (2014) e

apresentado no Capítulo 4. Desta forma, embora o algoritmo tenha sido

desenvolvido para um problema de potencial, este pode ser adaptado para

problemas com características vetoriais, como um de elasticidade. Outra

contribuição é a substituição das funções de forma usuais pelas apresentadas na

equação (2.19), conforme proposto por Dumont (2010), o que faz com que as

integrações se tornem inteiramente polinomiais, até mesmo para elementos de alta

ordem, o que permite que estas sejam integradas analiticamente.

O algoritmo desenvolvido também se diferencia dos apresentados na

literatura (Bapat e Liu, 2010) por utilizar distâncias topológicas, ao invés de

distâncias geométricas. Isto é feito através do algoritmo desenvolvido por Dumont

(2012) que toma proveito da discretização da malha para gerar a estrutura

hierárquica de adjacências. Conforme apresentado no Capítulo 5, a distância entre

os elementos é avaliada pela adjacência entre estes em um dado nível.

A partir dos resultados apresentados no Capítulo 6, observou-se que o

número de filhos associados a um polo influencia positivamente na redução do

erro, pelo fato de que quanto maior o número de elementos associados a um polo

maior será a quantidade de elementos adjacentes, logo haverá uma maior

quantidade de elementos avaliados por integração direta.

Com relação ao número de termos da expansão, verificou-se que o

acréscimo destes influencia significativamente na redução do erro, sem que haja

uma redução significativa na eficiência do algoritmo.

69

A implementação proposta se mostrou vantajosa em termos de eficiência

computacional quando comparada ao CBEM, conforme foi visto nos resultados

apresentados no Capítulo 6.

7.2.Sugestões para trabalhos futuros

Os seguintes tópicos podem ser abordados, em complementação a presente

dissertação:

• Implementação da técnica fast multipole ao Método Expedito dos

elementos de contorno (EBEM) no intuito de acelerar o processo

computacional.

• Desenvolvimento da estratégia apresentada do GFMBEM para o

caso 3D.

• Desenvolver uma técnica unificada para a determinação da distância

entre elementos que leve em consideração o critério topológico

desenvolvido no presente trabalho com uma estrutura hierárquica

que permita a avaliação de geometrias bastante irregulares.

8 Referências Bibliográficas

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Híbridos e Simplificados. Dissertação de Mestrado - Departamento de

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Problemas de Elementos de Contorno. Dissertação de Mestrado - Departamento

de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. 2014.

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unified technique for the analysis of several classes of continuum mechanics

problems with the boundary element. 2015.

Trevelyan, J. 1994. Boundary element for engineers: theory and applications.

Southampton : Computational Mechanics Publications, 1994.

9 Apêndice 1

Neste apêndice será apresentado o algoritmo unificado para o refinamento

hierárquico de um contorno bidimensional discretizado em elementos lineares,

quadráticos e cúbicos (Dumont, 2012). Um algoritmo correspondente a este para

problemas tridimensionais pode ser obtido em Dumont e Aguilar (2011).

9.1.A Unified algorithm for hierarchical mesh refinemen t

The following unified algorithm refines a given mesh of either linear,

quadratic or cubic elements, which are characterized as of type _ [ ]e ete T t o= ,

where

[ ]_ 2 3 4eT t = (8.1)

in terms of the element number oe. This is the most basic information to be input.

Then, te is the number of nodes of the element to be split in the mesh refinement.

In Equation (8.1), the entries correspond to linear, quadratic or cubic elements,

although it can be easily generalized to higher-order elements. As implemented,

only one element type can appear in a given mesh.

Figure 28 shows the schemes of the three different elements considered in

the present algorithm, as taken out of a general mesh corresponding to a given

level of refinement.

In the subdivision procedure the elements are split each into two sub-

elements. The nodes of each parent element are locally numbered 1 te… . There are

Figure 28 - Scheme of three different elements that are split each into two sub-

elements.

73

oe new generated nodes numbered sequentially according to the array

_ [ ]new newT T T oe= , where

[ ] [ ] [ ]_ 3 4 5 5 6 7newT T = (8.2)

The coordinates of the new nodes are given by _ [ ]new newC T C oe= , where

[ ] [ ] [ ]_ 0 1 2 1 2 2 3 0 2 3newT C = − − (8.3)

in natural curvilinear coordinate ξ , as represented in Figure 28, which spans the

interval [ 1,1]− .

The interpolation functions of the reference elements are given as

_ [ ]N T N oe= , where

[ ]2

2

2 2 2

1 1 ( 1) ( 1) (1 )(9_ 1,2,3 , , ,1 , ,

2 2 2 2 16

9(3 1)( 9(3 1)(1 (1 )(9, ,

16 1

1),

1) ) 1)

6 16

T Nξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

−

−

− + − + − = −

− + − +

−

(8.4)

As outlined in the following, the procedure consists in subdividing each

element (the parent element) of a basic mesh-refinement level, thus creating new

nodes. An amount of _ [ ]new newN T N oe= nodes,

[ ]_ 1 1 2newT N = (8.5)

is generated in the splitting procedure. These nodes are numbered as

_ __ [ ]parent new parent newNumb T Numb oe= , where

[ ] [ ] [ ]_1 2

_ 1 2 3 1 1 1 22 3parent newT Numb

=

(8.6)

in the parent element, with each column referring to one of the generated

elements, as obtained from Figure 1. In the generated elements, these nodes are

referred to in terms of _ __ [ ]child new child newNumb T Numb oe= , where

[ ] [ ] [ ]_2 1

_ 1 2 3 2 1 2 24 3child newT Numb

=

(8.7)

On the other hand, _ [ ]old o ldN T N oe= (pre-existing) nodes of the parent

element, where

[ ]_ 1 2 2oldT N = (8.8)

74

are inherited by the new elements. These nodes are numbered as

_ __ [ ]parent old parent oldNumb T Numb oe= , where

[ ] [ ]_1 2 1 3

_ 1 2 3 1 22 3 2 4parent oldT Numb

=

(8.9)

in the parent element, with each column referring to one of the generated

elements, as obtained from Figure 1. In the generated elements, these nodes are

referred to in terms of _ __ [ ]child old child oldNumb T Numb oe= , where

[ ] [ ]_1 1 1 2

_ 1 2 3 1 23 3 3 4child oldT Numb

=

(8.10)

9.1.1. Input data

• oe: either 1, 2 or 3, which defines the element type ( te=2, 3 or 4).

• nee: Initial number of elements of the initial level.

• nne: Number of nodes of the initial level.

• nv: Number of additional levels of mesh refinement (for example, 1nv=

indicates that the structure will be refined once).

• Tables [ ]Xgl and [ ]Ygl with nne node coordinate entries[ ],x y , which

are the initial nodes of the mesh structure to be refined. This table is

successively expanded, as new nodes are added during the mesh refinement.

• Table [ ][ ]inc k , where 1k = refers to the initial, first level local-to-global

nodal incidence of the input mesh and the second entry are nee arrays, each

one with te global node numbers of the elements. Arrays [ ][ ]inc k for

2... 1k nv= + , will be generated as a result of the mesh refinement.

9.1.2. Output data

As already indicated, the output data are a generalization of the input data,

which now refer to 1nv+ levels of refinement:

• [ ]1... 1nek k nv= + Number of elements at each one of the 1nv+ levels.

• [ ]1... 1nglk k nv= + Number of nodes at each one of the 1nv+ levels.

75

• Tables [ ]Xgl and [ ]Ygl with [ ]1nglk nv+ node coordinate entries,

which correspond to the input values plus the coordinates of the generated nodes.

• A table [ ][ ]1... 1inc k nv= + with 1nv+ levels of arrays of local-to-global

node incidences. The second entry are with [ ]nek k , 1... 1k nv= + , arrays,

each one with te global node numbers of the elements.

The algorithm generates 1nv+ levels of mesh refinement, including the

initial one, which is referred to as level 1. The number of elements on any level is

two times the number of elements of the preceding level. And the number of

nodes is not known in advance.

9.1.3. Initial definitions

• Initial number of elements (on level 0nv= ): [1]nek nee=

• Initial number of nodes (on level 0nv= ): [1]nglk nne=

• Element type te, according to Eq. (8.1)

• Array n e wT with the local numbering of the new nodes, according to

Eq.(8.2)

• Array newC of natural coordinates ξ of the new nodes, according to

Eq.(8.3)

• Shape functions ( )N ξ , according to Eq.(8.4)

• o ldN according to Eq. (8.8)

• newN according to Eq. (8.5)

9.1.4. Execution of the algorithm

1. Loop for the refinement levels, counting 1k from to nv

• Define the number of elements of the next level: [ 1] 2 [ ]nek k nek k+ = ×

• Initialize the counter of the number of nodes of the next level: [ 1] [ ]nglk k nglk k+ = (start counting the total number of nodes for level

1k + )

1.1 Loop for the elements to be split into 2 elements, counting

1 [ ]i from to nek k

76

Evaluate the coordinates of the generated new nodes

[1] [ ]new new newT T N… , which are all internal.

1.1.1 Loop for the new nodes, counting 1new ei from to o

[ ] [ ]1 1 1 nglk k nglk k+ = + + (add 1 to the total number of nodes)

[ ] [ ]1new newgn i nglk k= + (temporary array with the global

numbering, to be used in loop 1.1.2.2)

[ ]

[ ]

[ [ 1]] ( [ ]). [ [ ][ , ]]

[ [ 1]] ( [ ]). [ [ ][ , ]]

e

e

t

new newj

t

new newj

Xgl nglk k N j C i Xgl Inc k i j

Ygl nglk k N j C i Ygl Inc k i j

+ =

+ =

∑

∑

End of loop 1.1.1 with variable newi .

1.1.2 Loop to assign the incidences of the generated elements,

counting 1 2ie from to

Generate the nodal incidence table for the already existing

nodes:

1.1.2.1 Loop for the old nodes, counting 1old oldi from to N

_ _[ 1][2 2 , [ , ]] [ ][ , [ , ]]child old old parent old oldInc k i ie Numb i ie Inc k i Numb i ie+ − + =

End of loop 1.1.2.1 with variable o ldi .

Generate the nodal incidence table for the new nodes:

1.1.2.2 Loop for the old nodes, counting 1newi from to oe

_ _[ 1][2 2 , [ , ]] [ [ , ]]child new new new parent new oldInc k i ie Numb i ie gn Numb i ie+ − + =

End of loop 1.1.2.2 with variable newi .

End of loop 1.1.2 with variable ie for the generated elements.

End of loop 1.1 with variable i for the elements split into two new ones.

77

End of loop 1 with variable k for the mesh refinement level.

10 Apêndice 2

Neste apêndice apresenta-se o algoritmo unificado para as expansões do

GFMBEM, estes são executados após o refinamento da malha segundo o

algoritmo, desenvolvido por Dumont (2012), apresentado no apêndice anterior.

Esta implementação foi realizada a partir do algoritmo desenvolvido por Dumont

(2012) em linguagem Maple® o qual é responsável pela criação da estrutura de

adjacências descrita no Capítulo 5, e aplicada à técnica de ‘fast multipole’ pela

autora. O algoritmo foi desenvolvido em linguagem C++ e está disponível para

consulta.

A unified algorithm for pole expansions 10.1.

The following procedures are executed inside the macroelements loop,

counting [ ] 1 1ie from to nek k= and all the others procedures are called inside it.

The combinations of the following main procedures with the refinement

procedure presents in the former appendix, output the vectors Gt and Hd .

10.2.Unified algorithm for the generation of refined bou ndary meshes – use of a hierarchical concept

The following algorithm describes the construction of the element adjacency

structure for general 2D or 3D problems. This concept shall replace the concept of

node adjacencies, as applied up to here.

10.2.1. Input data

The input are the results from the mesh generation algorithms for a 2D and

the number of partitions nv, which is the number of element subdivisions, which

is always equal to 2 or 4, for 2D or 3D problems.

79

10.2.2. Output data

• [ ][ ][ ]_el adj k ie ia which is the element adjacency

• [ ][ ]_n adj k ie number of adjacent elements

where k is the refinement level (equal to 1, in the initializing algorithm), ie is

the reference element and ia is one of the adjacent elements. By definition in

the following algorithm, an element is adjacent to itself.

10.2.3. Algorithm for the first level ( )1k =

Initialize the counter of adjacent elements: 0count=

Store the global numbering of the reference element: [ ]1elsplit ie=

1 Loop for the possible adjacent elements, counting [ ] 1 1ia from to nel

Set the initial condition for breaking the search for an adjacent element:

breakCond false=

1.1 Loop for the nodes of the reference element, counting

1 ni from to te while breakC ond false=

1.1.1 Loop for the nodes of the adjacency candidate element,

counting 1 nai from to te while breakCond false=

[ ][ ] [ ][ ] 1 , 1 ,n naif inc ie i inc ia i then= (adjacency found)

[ ][ ]1

1

count count

elAdj count ia

= +=

breakCond true= (exit loops and na ni i )

end if

End of loop 1.1.1 ( nai )

End of loop 1.1 ( ni )

(This is the return point from the above if loop in the case of adjacency

found)

End of loop 1 ( ia )

80

[ ][ ]1 adjn ie count= (Total number of adjacent elements to element ie )

The algorithm just described produces a global adjacency structure. The

following algorithm describes the construction of the element adjacency structure

for the subsequent levels ( 1k > ). However, they refer to the np partitioned

elements derived from a parent element, starting from the first, coarsest mesh, and

in the frame of successive mesh refinement.

10.2.4. Algorithm for the next levels ( )1k >

This routine evaluates the element adjacencies on a given refinement level

once the adjacencies of the parent element are known.

10.2.4.1. Input data

• latest evaluated level k

• parente element globally numbered ie

• corresponding adjacencies [ ][ ]elAdj k

• number [ ][ ]adjn k of adjacent elements of the parent element ie (on levelk )

10.2.4.2. Output data

The procedure consists in splitting the given parent element ie of level k

into np elements, also generating the necessary adjacency information. For

1..eipr np= , evaluate

• Global numbering of the split elements ( )1iep ie np iepr= − + , stored in

[ ]1elsplit k +

• Number of adjacent elements [ ]1adjn k +

• Adjacency structure [ ][ ]1elAdj k+ , which is a set with [ ]1adjn k + elements.

10.2.4.3. Execution of the algorithm

1. Loop for the np split elements, counting 1 iepr from to np

81

Evaluate the global numbering of the split element: ( )1iep ie np iepr= − +

Store the global numbering of the split element: [ ]1elsplit k iep+ =

Initialize the counter of adjacent elements: 0count=

1.1. Loop for the adjacent elements on level k , counting

[ ] 1 adjia from to n k

1.1.1. Loop for the split elements (level 1k + ) originated from the

adjacent elements on level k, counting 1 iapr from to np

Evaluate the global numbering of the adjacent split element

[ ][ ]( )1iap elAdj k ia np iapr= − +

Set the initial condition for breaking the search for an adjacent element:

breakCond false=

1.1.1.1. Loop for the nodes of the reference split element, counting

1 ni from to te while breakC ond false=

1.1.1.1.1 Loop for the nodes of the adjacency candidate

element, counting 1 nai from to te while breakCond false=

[ ][ ] [ ][ ] 1 , 1 ,n naif inc k iep i inc k iap i then+ = + (adjacency found)

[ ][ ]1

1

count count

elAdj count ik ap+= +

=

breakCond true= (exit loops and na ni i )

end if

End of loop 1.1.1.1.1. ( nai )

End of loop 1.1.1.1. ( ni )

(This is the return point from the above if loop in the case of adjacency found)

End of loop 1.1.1. (iapr )

End of loop 1.1. (ia )

[ ] 1 adjn k count+ = (Total number of adjacent elements to element iepr )

Test if the most refined mesh has been attained

82

i ( 1) ( 1) f k nv then+ = + the limit level has been attained

• Evaluate the contribution of the adjacent elements through CBEM

(Procedure 1)

• Evaluation of the first expansion and the vectors G and H for the

element’s nodes through Procedure 2.

• Test if all brothers of the current microelement were expanded to

the father pole, if some expansions are still to be made the test is

closed, returning to the current, where a structure of adjacencies of

the brother element will be constructed and subsequently go

through all given former procedures. In case all child elements

have already been expanded then Procedure 3 is executed, which is

responsible for managing the expansions related to GFMM, having

as a result the relative contributions of vectors Gt and Hd .

else

The current procedure is called recursively, giving as parameters

the level 1k k= + and the element ie iep= .

end if

End of loop 1 ( iepr )

10.2.5. Procedures referred to in the algorithm

10.2.5.1. input for the procedures referred to in the algorit hm

• n : number of series terms.

• B E Mk : level from which elements are considered adjacent and are

evaluated through the CBEM.

• childk : difference of levels between parent and child elements.

• expk : determine the last level of field expansions.

• Initial definitions: Define vector fac through Preliminary Procedure 1

Define matrix C through Preliminary Procedure 2

Define vector ( )Q Z through Preliminary Procedure 3

83

10.2.5.2. Procedures

Procedure 1: This procedure evaluates the adjacent elements contribution

through the CBEM, using numerical integration and the proposed substitution of

( )at l l lt t J J← .

1. Loop for the adjacent elements to the field element ( )iepr , counting

[ ] 1 BEMia from to nAdj k

Adjacent element at level B E Mk : [ ][ ]_ BEMia parent elAdj k ia=

1.1. Loop for the child adjacent element, counting childn ( )1 1 BEMnv kfrom to np + −

Adjacent element at level B E Mk :

( ) ( )1_ _ 1 BEMnv kchildia child ia parent np n+ −= − +

Execute the CBEM algorithm.

End of loop 1.1. ( )childn

End of loop 1. ( )ia

Procedure 2: In this step the first expansion of the field element is

calculated, this being in reference to the expansion from the node of the child

element to the node of the parent element at the level 1 ch ildnv k+ − . At this

moment the parts G and H of the contributions to the vectors G

and H

will be

calculated. These parts will be temporarily saved in the line 1nv+ of the matrixes

Pmatrixg and Pmatrixh, respectively.

Parent element: [ ]1 childparent elsplit nv k= + −

Evaluate the coordinates of the parent’s pole: ( )0 0.5 pole polecz x y I= + where:

[ ][ ] [ ][ ][ ][ ] [ ][ ]

1 ,1 1 , 1

1 ,1 1 , 1

pole child child

pole child child

x Xgl inc nv k parent Xgl inc nv k parent oe

y Ygl inc nv k parent Ygl inc nv k parent oe

= + − + + − +

= + − + + − +

84

Generate the vector ∆ with the distances between the each node of the field

element and the pole 0cz :

[ ] [ ] 0

1 1

c

for jl from to oe do

jl z jl z

end do

+∆ = −

where [ ] [ ][ ] [ ][ ]1 , 1 ,z jl Xgl inc nv iepr jl Ygl inc nv iepr jl I = + + +

1. Loop for the nodes of the field element ( )iepr , counting

1 1jl from to oe+

Local numbering of the field node: ( )1jk iepr oe jl= − +

( ) 1 for i to n do+

[ ] [ ]( )

1, 1,

0

PMatrixg nv i PMatrixg nv i

IntegTableG Jac tvector jk iepr

+ = + +

⋅ ⋅ +

[ ] [ ][ ][ ]( )

1, 1,

1 ,

PMatrixh nv i PMatrixh nv i

IntegTableH dvector inc nv iepr jl

+ = + +

⋅ +

where 0Jac in the nodal value of the jacobian that will be

evaluated through Procedure 4 and IntegTableG and

IntegTableH are the results of the integration (4.27) and (4.28) ,

respectively, provided by the integration tables.

( ) end do loop i

End of loop 1. ( )jl

Procedure 3: This procedure oversees the expansions between field points,

besides being responsible for expansions between field and source poles.

The first step is to evaluate witch source element is adjacent to the field

element on the current expansion level (k ), this evaluation is done through the list

of adjacent elements on the level ( ch ildk k− ).

Define the child element that will have its pole expanded: [ ]child elsplit k=

85

1. Loop of the adjacent elements on level ch ildk k− , counting

[ ] 1 adj childia from to n k k−

Adjacent parente element [ ][ ]parent childia elAdj k k ia= −

1.1. Loop of child elements of the adjacent element on the level

,childk k− counting 1 child cn from to doη

child of the adjacent element: ( )1child parent c childia ia nη= − +

Start of the adjacency test between the child element ( )childia and the

field element.

Set the initial condition for breaking the search for an adjacent element:

breakCond false=

1.1.1. Loop of the adjacent elements on level k , counting

[ ] 1 verif adjn from to n k while breakCond false=

Test if immediate adjacency occurs between the elements

child adj verifif ia el n thenk = stop the search defining:

breakcond true=

end if

End loop 1.1.1. ( verifn )

In case elements are adjacent on level ch ildk k− , but not on level k

if breakCond false then=

childsource ia=

Evaluate vector ( )Q Z regarding elements on level k and the

contributions to vectors Gt and Hd . (Procedure 3.2)

end if

End of loop 1.1. ( )childn

End of loop 1. ( )ia

The second step involves the evaluation of the expansions between the

current field pole and the pole of the parent element on level ch ildk k− , if there

are expansions to be made.

Test if there still are poles to be expanded,

86

exp childif k k k then− ≥ Procedure 3.1 is called, where the parent element

will be: [ ]childparent elsplit k k= −

Next, a test is done to see if the brother of the child element has already

been expanded to the parent element.

2

c

childif even number then

η

=

all the child elements have already

been expanded to the father element

The current procedure is called again, giving ch i ldk k k= − , which is

the level of the current pole.

enf if

( ) child expelse if k k k then− < it means that all the expansions between field

poles were taken care.

Since this corresponds to the last expansion pole, all non-adjacent elements

on level ch ildk k− are looked for, meaning all source elements for which the

contributions where not evaluated.

2. Loop for the source elements on level ch ildk k− candidates for non-

adjacency, counting [ ]_ 1 childel source from to nek k k−

Set the initial condition for breaking the search for a non-adjacent

element: breakCond false=

2.1. Loop for the adjacent elements at level ch ildk k− , counting

[ ] 1 verif adj childN from to n k k while breakCond false− =

_ child verifif el source elAdj k k N then = − _el source is an

adjacent element

breakCond true=

end if

End of loop 2.1. ( )verifN

if breakCond false then= the elements are not adjacent

2.2. Loop for the source child elements, counting

1 childn from to Nchild do

87

Source element non-adjacent at level k :

( )_ 1 childsource el source Nchild n= − +

Evaluate vector ( )Q Z relative to elements on level k and then

the contributions to the vectors Gt and Hd . (Procedure 3.2)

End of loop 2.2. ( )childn

end if

End of loop 2. ( )_el source

Reinitialize Matrixes PMatrixg and PMatrixh.

end if

Procedure 3.1: This procedure is responsible for the expansion between field

poles.

Calculation of the vector ( )P Z of dimension( )1n + , relative to the

expansion of poles of consecutives levels. Z being the distance between the child

element pole of level k and the parent of level ch ildk k− .

Evaluate the coordinates of the parent element: ( )0.5 parent parent parentz x y I= +

where:

[ ][ ] [ ][ ][ ][ ] [ ][ ]

,1 , 1

,1 , 1

parent child child

parent child child

x Xgl inc k k parent Xgl inc k k parent oe

y Ygl inc k k parent Ygl inc k k parent oe

= − + − +

= − + − +

Evaluate the coordinates of the child element: ( )0.5 child child childz x y I= +

where:

[ ][ ] [ ][ ][ ][ ] [ ][ ]

,1 , 1

,1 , 1

child

child

x Xgl inc k child Xgl inc k child oe

y Ygl inc k child Ygl inc k child oe

= + +

= + +

Evaluate vector ( )P Z , where child parentZ z z= −

88

[ ][ ]

( )[ ] ( )

1 1

2

3 1

1

Pvector

Pvector Z

for i from to n do

Pvector i Pvector i Z

end do

=

=

+

= −

( ) 1 for i to n do+

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1

, , , 1 , 1i

childj

PMatrixg k i PMatrixg k i C j i j PMatrixg k k j Pvector i j=

= + + − + + −∑

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1

, , , 1 , 1i

childj

PMatrixh k i PMatrixh k i C j i j PMatrixh k k j Pvector i j=

= + + − + + −∑

( ) end do loop i

Reinitialize the line k kchild+ of matrixes PMatrixg and PMatrixh.

Procedure 3.2: This procedure can happen in two different ways, depending

if the source expansions will or not be considered.

a) Procedure 3.2 without source expansion: This procedure is responsible

for the evaluation of ( )Q Z vector, as it was defined in Equation (4.5),

and for the evaluation of the contributions for the vectors Gt and Hd .

In this procedure, variable Z is substituted in vector Q(Z) which was pre-

calculated, being Z the difference of coordinates between the field pole ( nkcz )

and the source element’s node (0z ) at level 1nv+

Evaluation of the field pole coordinatesnkcz :

[ ][ ] [ ][ ][ ][ ] [ ][ ] ( ),1 , 1

0.5 ,1 , 1

nkf

f fcf

x Xgl inc k child Xgl inc k child oez x y I

y Ygl inc k child Ygl inc k child oe

= + + → = + = + +

1. Loop for the source microelements, counting ( )1 1 nv kchildn from to np + −

Source element at level 1nv+

( )1_ ( 1) nv kchildsource child source np n+ −= − +

1.1. Loop for the source element’s nodes, counting 1 ml from to oe

89

Evaluation of the field pole coordinates( )cz :

[ ][ ][ ][ ]

( )0

1 _ ,

1 _ ,

ss s

s

x Xgl inc nv source child mlz x y I

y Ygl inc nv source child ml

= + → = + = +

( )[ ] ( )[ ]0

1 1

nkc

for i from to n do

Q i Q z z i

end do

+

= −

Evaluation of the contributions for vectors

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1

1

G G Re ,n

childi

m m fac i PMatrixg k k i Q i+

=

= + +

∑

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2

2

H H Im 1 , 1n

childj

m m fac i PMatrixh k k i Q i+

=

= + − + − ∑

where [ ][ ]1 _ ,m inc nv source child ml= +

End of loop 1.1. ( )ml

End of loop 1. ( )childn

b) Procedure 3.2 with source expansion: This procedure is responsible for

the evaluation of vectors ( )Q Z , as defined in Equation (4.7), and for the

evaluation of the contributions for the vectors Gt and Hd .

In this procedure, variable Z is substituted in vector Q(Z) which was pre-

calculated, being Z the difference of coordinates between the field pole ( nkcz )

and the source pole (nlLz ) at level 1nv+

Evaluation of the field pole coordinatesnkcz :

[ ][ ] [ ][ ][ ][ ] [ ][ ] ( ),1 , 1

0.5 ,1 , 1

nkf

f fcf

x Xgl inc k child Xgl inc k child oez x y I

y Ygl inc k child Ygl inc k child oe

= + + → = + = + +

Evaluation of the field pole coordinatesnlLz :

[ ][ ] [ ][ ][ ][ ] [ ][ ]

( ),1 , 1

0.5 ,1 , 1

nls

s sLs

x Xgl inc k source Xgl inc k source oez x y I

y Ygl inc k source Ygl inc k source oe

= + + → = + = + +

90

Evaluation of vector ( )Q Z as defined in Equation (4.7):

( )[ ] ( )[ ] 1 2 1

nk nlc L

for i from to n do

Q i Q z z i

end do

+

= −

1. Loop for the source microelements, counting ( )1_ 1 nv kn child from to np + −

Source element at level 1nv+ :

( )1_ ( 1) _nv ksource child source np n child+ −= − +

1.2. Loop for the source element’s nodes, counting 1 ml from to oe

[ ][ ][ ][ ]

( )0

1 _ ,

1 _ ,

scsc sc

sc

x Xgl inc nv source child mlz x y I

y Ygl inc nv source child ml

= + → = + = +

Evaluate the ( )P Z vector related to the source expansion:

[ ][ ]

( )[ ] ( )

1 1

2

3 1

1

Pvector

Pvector Z

for i from to n do

Pvector i Pvector i Z

end do

=

=

+

= −

where ( )0 nlLZ z z= −

Evaluate of the vector ( )Q Z related to the source expansion, as defined in

Equation (4.7):

( )

( ) ( ) ( )1

11

1 2

n nl n nlk k

n

i o j j o i jL Lc cj

for i from to n do

Q z z fac P z z Q z z

end do

+

+ −=

+

− = − −∑

Evaluation of the contributions for vectors Gt and Hd

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]( )1 1

1 1

G G

1Re , 1 nk

n n

child ocii j

m m

PMatrixg k k i fac j PvectorSource j Q i j z zfac

+ +

= =

= +

+ + − − ∑ ∑

91

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )2 1

2 1

H H

Im 1 , 1 1

nk

n n

child oci j

m m

fac i PMatrixh k k i fac i PvectorSource i Q i j z z+ +

= =

= +

− + − + − − ∑ ∑

where [ ][ ]1 _ ,m inc nv source child ml= +

End of loop 1.1. ( )ml

End of loop 1. ( )_n child

Procedure 4: Evaluation of the nodal value of the Jacobian

( ) ( )[ ][ ] [ ][ ]

( ) ( )[ ][ ] [ ][ ]( ) ( ) ( )

1

2 21

1

1

1 ,

1 ,

oe

i

oe

i

dx N oe i Xgl inc nv j i

J dx dy

dy N oe i Ygl inc nv j i

ξ ξξ ξ ξ

ξ ξ

+

=+

=

′ = +

→ = +′ = +

∑

∑

Where j refers to the field microelement under consideration, 'N is the

table with the shape functions derivatives, as presented in Equation (4.30), and the

parametric variable ξ is replaced by the natural coordinates given by the

following table, resulting [ ][ ]TabJac oe iξ = .

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 3 0 1 0 1 2 1 0 1 3 2 3 1TabJac =

10.2.6. Preliminary procedures for the GFMM

This group of procedures are evaluated before any other procedure, since it

only need as input the number of series term n , and they will be executed only

once.

Preliminary Procedure 1: Evaluate fac vector

[ ][ ]

[ ] ( )

1 1

2 1

3

1

fac

fac

for i from to n do

fac i fac i i

end do

=

=

= −

92

Preliminary Procedure 2: Evaluate Matrix C

( )[ ][ ]

( )[ ] [ ] [ ]

( )( )

1 1

,1 1

1, 1

1 1

, 1, , 1

loop

loop

for i from to n do

C i

C i

for j from to n do

C i j C i j C i j

end do j

end do i

+

=

=

+

= − + −

Preliminary Procedure 3: Pre-evaluation of the derivatives vector ( )Q Z , as

defined in Equation (4.5).

[ ] ( )

[ ]( ) ( )

( )

1

1

1

1

i

i

Q f Z

for i from to Qdim do

f ZQ i

Zend do

−

−

=

∂=

∂

Where ( )

( )2 for procedure 3.2 without source expansion

2 1 for procedure 3.2 with source expansion

nQdim

n

+= +