Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

33
131 11 - PROCESSOS DE CONFORMAÇÃO. 11.1 – Laminação (Rolling) O Processo de deformação plástica dos metais no qual o material passa entre rolos é conhecido como laminação. É o processo mais usado na conformação de metais, pela sua alta capacidade de produção e pelo ótimo controle dimensional do produto final. O equipamento destinado à laminação é denominado laminador, e consta basicamente das seguintes partes: rolos, mancais, estrutura (gaiola) e sistema de transmissão de potência (motor). A terminologia usada para descrever os produtos laminados não atingiu um consenso geral, e os limites que dizem respeito às dimensões geralmente não podem ser enquadradas na terminologia siderúrgica. O produto da primeira redução é chamado de bloco. Geralmente a largura e a espessura do bloco são iguais e a área da sessão transversal é maior que 36 polegadas quadradas. Uma redução posterior por laminação a quente resulta num tarugo. Blocos, tarugos e placas são conhecidas como produtos semi-acabados, porque serão posteriormente transformados em outros produtos. A norma ABNT TB-20, classifica e define as chapas conforme as suas dimensões principais (espessura e largura). 100 300 500 700 900 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 0,3 FOLHA Tira Chapa Fina Chapa Grossa Barra Chata largura (mm) espessura (mm) 11.1.1 – Tipos de aços para cilindros de laminação: Os materiais usualmente empregados na fabricação de cilindros para laminadores são aços e

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131

11 - PROCESSOS DE CONFORMAÇÃO.

11.1 – Laminação (Rolling)

O Processo de deformação plástica dos metais no qual o material passa entre rolos é

conhecido como laminação.

É o processo mais usado na conformação de metais, pela sua alta capacidade de produção e

pelo ótimo controle dimensional do produto final.

O equipamento destinado à laminação é denominado laminador, e consta basicamente das

seguintes partes: rolos, mancais, estrutura (gaiola) e sistema de transmissão de potência (motor).

A terminologia usada para descrever os produtos laminados não atingiu um consenso geral,

e os limites que dizem respeito às dimensões geralmente não podem ser enquadradas na

terminologia siderúrgica. O produto da primeira redução é chamado de bloco. Geralmente a largura

e a espessura do bloco são iguais e a área da sessão transversal é maior que 36 polegadas quadradas.

Uma redução posterior por laminação a quente resulta num tarugo. Blocos, tarugos e placas são

conhecidas como produtos semi-acabados, porque serão posteriormente transformados em outros

produtos.

A norma ABNT TB-20, classifica e define as chapas conforme as suas dimensões principais

(espessura e largura).

100 300 500 700 900

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

0,3FOLHA

Tira ChapaFina

Chapa Grossa

BarraChata

largura (mm)

espe

ssur

a (m

m)

11.1.1 – Tipos de aços para cilindros de laminação:

Os materiais usualmente empregados na fabricação de cilindros para laminadores são aços e

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132

fofos. Na verdade, as ligas Fé-C que contém entre 1,8 a 2,6%C, que constitui grande parte dos

cilindros de laminação, encontram-se em uma faixa de transição entre aço e FoFo. Os aços para

cilindros de laminadores são classificados segundo o processo de fabricação; onde se têm dois tipos:

aços forjados e aços fundidos. Os aços forjados para cilindros têm a vantagem de ser mais densos e

de possuir uma estrutura de grãos mais finos, o que lhes dá alta tenacidade.

O principal fabricante nacional de aços para cilindros de laminadores é a Aços Villares, que

produz os aços VAR e VAF Fundidos e VC-14 forjados.

Devido à dificuldade de ensaiar os cilindros dos laminadores (grandes), suas propriedades

mecânicas são avaliadas a partir de sua dureza superficial, geralmente determinada pelo método do

escleroscópio “shore” – dureza shore, e posteriormente transformados para as escalas Brinell,

Vickers e Rockell C.

b0=b1

h0 h1V0

v

v

v1

α

α=angulo de mordedura (contato ou ataque)

"angle of bite"

Figura 62 – Esquema do processo de laminação.

a- Porcentagem de redução (r): %100.0

10h

hhr −= (276)

b- Coeficiente de alongamento (δ ): 0

1ll

=δ (277)

Onde, l1= comprimento da chapa laminada e

l0= comprimento inicial da chapa

Do volume constante, tem-se: bo.l0.h0 = b1.l1.h1

1.1

0.0

0

1

hbhb

ll

=

Page 3: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

133

Na laminação, como b0 = b1:

1

0hh

=δ (278)

c - Velocidade de Saída do Material (V1):

saidaVV••

=0

{000

0.00

00 ...

0

vhbtlhb

tVV

v

===•

{111

111 ....

1

vhbtlhbV

v

sai ==•

b0.h0.v0 = b1.h1.v1, como b0 ≅b1, vem:

0101

01 . vvv

hhv >= ∴ (279)

vv0

v1

pto neutro α

Velocidade

01 vvv >>

No ponto neutro, o material se encontra em repouso em relação ao cilindro (velocidade

superficial do rolo igual à velocidade do material).

d - Velocidade Relativa (vr):

%100.1v

vvvr−= (280)

Page 4: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

134

e - Efeito do Atrito ao longo de α:

Vm < V

Vm > V

Efeito do atrito Efeito do

atrito

Pto neutro

Vm= Velocidade do material

Por construção, tem-se:

α

∆h h0-h1

2 2

R - ∆h2

R

x

222

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−+=hRXR

4R.-RXR

2222 hh ∆

+∆+=

Considerando ∆h pequeno, vem:

X2 = R. ∆h ∴X= hR∆ (281)

Sabe-se ainda que: Rh

R

hR

212cos ∆

−=

∆−

Logo:

22cos hR

X

R

hR

Rx

sentg∆

−=

∆−

==ααα

Para ∆h pequeno, tem-se que: tgα= RX

(282)

Substituindo (281) em (282), tem-se: Rhtg

RhRtg ∆

=∴∆

= αα . (283)

Page 5: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

135

e.1 – Coeficiente de atrito (µ)

Valores de µ;

- Na laminação a frio: µ= 0,02-0,3 (Aço)

- Na laminação à quente: µ= 0,20-0,4 (Aço)

µβ ==NTtg (284)

Para que ocorra a laminação a projeção de F no eixo de laminação deve ser positiva, ou seja;

Fx > 0. Isto é: Tcosα - Nsenα > 0 (285)

Supondo que ocorra um processo de atrito comlombiano, tem-se: T = µ.N (286)

Considerando (286) em (285), vem:

N (µ.cosα - senα) > 0 ∴ tgα < µ = tgβ (287)

α cresce à medida que os passes se tornam maiores, o que implica em um aumento de µ, para

permitir a entrada da chapa.

e.2 - Valor máximo de α (α máx):

Na condição limite a qual possibilita o cálculo da redução máxima com a “mordida” dos

cilindros, tem-se: tgα = tgβ = µ ∴ αmáx = tg -1 µ (288)

de (283), considerando (288), obtém-se:

RhRhtg máx .2max

max µµα =∆∴=∆

= (289)

αmáx, depende: - do material; - da geometria; - do acabamento superficial do cilindro;

- da temperatura e; - da velocidade.

α

θ

βN T

F

Fx X

Page 6: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

136

Valores Práticos de α

24º - 30º → laminação a quente de tarugos.

15º - 20º → laminação a quente de lâminas.

2º - 10º → laminação a frio de lâminas.

f - Distribuição de pressão ao longo do arco de contato material-cilindro:

A pressão atinge num máximo no ponto neutro, e a partir daí, cai. Sob o ponto de vista

prático não existe um pico sob a curva de pressão, e que leva a conclusão que o ponto neutro não é

um ponto e sim uma área).

α

Curva prática

Friction Hill

Energia para deformar o metal

p

(b)

(a)

Figura 63 – Distribuição de pressão dos cilindros ao longo do arco de contato.

g - Cálculo da Potência de Laminação.

1- Método da Energia Uniforme de Deformação.

2- Método dos blocos (“Slab”).

g 1- Método da Energia Uniforme de Deformação (O atrito é desprezado)

h0 h1F

Page 7: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

137

Considerando: deformação plana (largura constante):

( )

( ) ( )inicialdeformação

K

K

dU

n

n

=∈→∈+∈=

→∈=

∈=

∫−

0

0

0

encruadomaterial

recozidomaterial.

.

σ

σ

σ

∈∈o

∈max

σ

Cálculo de ∈

( ) ( ) ( )[ ]21

222

32

tllbbt ddddddd ∈−∈+∈−∈+∈−∈=∈

hoh

t ln=∈

Da condição de deformação plana: 0=∈bd

Do volume constante, vem:

tllbt ddddd ∈−=∈∴=∈+∈+∈ 0

Substituindo em ∈d , vem:

( ) ( ) ( )[ ] tttt dddddd ∈=∈∴∈+∈+∈=∈−−

.3

2232 2

1222

Integrando, vem: hohln

32

=∈ ∫∈

∈=0

.dlU σ

Cálculo da Potência de Laminação:

smkgcvvhbVVUPot saida /.751... ===••

g 2 – Método dos Blocos (slab Method”) (Análise simplificada)

Determinação da pressão específica de Laminação (p):

A pressão específica de laminação é a carga de laminação dividida pela área de contato.

Page 8: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

138

( )2

22

2. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−=hRLp α (290)

De (283), sabe-se que: Rhtg ∆

Para α pequeno, vem: Rh∆

≅α (291)

Substituindo (291) em (290), tem-se:

[ ] ( )[ ]21

21

222

222

ou .

22.

2.

hhoRLhRL

hhRLhRhRL

pp

pp

−≅∆≅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−∆

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆=

(292)

pLbPp.

= b = largura da chapa; P = carga de separação (293)

Definição de carga de separação:

α

∆h2

R

h0

2 h2

α

∆h2

RLp

aΤ2

αR

P

Para α pequeno: tg α = α = (S/R) Logo: S = R . α

S

Page 9: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

139

0..2......

0

=−−−

=−−−

dxbbhdbhbh

Fx

xyxxx σσσσ

Dividindo por −h , e rearranjando vem:

( ) )295(0..2:vem,294em. fazendo

)294(02

=+=

=+−

hp

dxd

p

hdxd

xxy

xyx

µσµσ

σσ

Da condição de deformação plana, vem:

( ) ( )zxbzxbbdd σσσσσσσ

+=∴⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

∈==∈ −

.21

21.0 (296)

Substituindo bσ , na expressão de Von Mises, vem:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) )297(.3

2.23

.2

1

00

2/12220

σσσσσσ

σσσσσσσσ

=−−=

∴−+−+−==

xzxz

bzzxxb

mas, pz =σ (sobre o elemento), logo substituindo em (22), vem:

)298(.3

2 '00 σσσ ==− xp

Supondo que o material é do tipo rígido plástico, ou seja:

h

Lp

Lp /2P σxy

σx dσxσx

σxydx

x P

xh

h = h0 + h2

+

Page 10: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

140

σ

σ'0

ε

Vem: ctep ox ==− 'σσ (299)

Derivando (299) em relação a x, tem-se:

dxdp

dxd

dxd

dxdp xx =∴=−

σσ 0 (300)

Substituindo (300) na equação de equilíbrio (295), vem:

−−=h

pdxdp .2µ

Separando-se as variáveis, obtém-se:

dxhp

dp .2−−=µ

Integrando-se ambos os lados da equação, tem-se:

)301(.ln..2ln

.2⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛ −

−=∴+−= h

x

eCpCh

xp

µ

µ

Da condição de contorno, sabe-se que: quando 02/ =⇒= xLpx σ

)302(.

..

2/ quando logo,;,mas

/).(

/2

..2

'0

/).('0

'0

'0

'0

hpL

phLp

eC

eCeC

pLpxp

hL

x

µ

µ

σ

σσ

σσσ

µ

⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞−

=

∴=∴=

∴=⇒==−

Finalmente, substituindo (302) em (301), tem-se:

( ) )/2('0.

−−= hxLpep µσ (303)

Lp /2x

x

z

Page 11: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

141

Distribuição da Pressão dos rolos ao longo de Lp:

Pressão média de deformação na laminação :⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −p

( ) dxeeL

dxeL

p

Lpdxpp

Lbxdbpp

hxhLL

p

hxLL

p

LL

p

pp

pp

pp

)/2()/.(2/

0

'0)/2(

2/

0

'0

2/

0

2/

0

...2..2

..2.

....2

−−−−−−

−−

∫∫

∫∫

==

=∴=

µµµ σσ

dxh

dUh

xU

dxeeL

pp

p

LhmxhL

p

..2..2

..22/

0

/2/.'0

−−

−−

−=∴−=

= ∫−−

µµ

σ µ

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−−=

−=

−−

−−

−−

12

..2

2.2

/./.'

2/

0

/2/.'

0

0

hLhL

p

L

hxhL

p

pp

p

p

eL

eeL

p

hep

h

µµ

µµ

µσ

µσ

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

−= −

−−

−−

e

eehL

hLhL

p p

pp

Lhp

/.

/./.'

01.

. µ

µµ

µσ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−−

1.

/.'0 e hL

p

p

Lhp µ

µσ (304)

Fazendo: −=h

LQ p.µ

em (304) vem:

[ ]10 −= Q'

eQσp (305)

p

x

σ’0 pm

)/.('0 .

−hL pe µσ

Page 12: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

142

de acordo com a definição da pressão específica de laminação, a carga de laminação é dada como:

pLbpP ..−

= (306)

Como: [ ] 21

. hRLp ∆≅ e 0'0 .

32 σσ =

( ) )307(.1.3

2.0:finalmenteseTem ⎥

⎤⎢⎣

⎡∆−=− hRe

QbP Qσ

Cálculo do Torque (T):

aPTaPT ..2.2

=∴= (308)

Para reduções pequenas: a ≅ Lp/2 T = P. Lp (309)

Cálculo da Potencia de Laminação (N):

N=P.V= π.d.n.P = π.(2.a).n.P

N= 2. π.a P.n a [m] P [kg] n [rpm] (p/ 1 cilindro)

Nt = 2.(2π.a.P).n = 4π.a.P.n (para 2 cilindros)

( )

( )

( ) )312(000.33

..2

)311(4500

..2

)310(4500

...4

nTHPN

nTcvN

nPacvN

t

t

t

π

π

π

=

=

=

Cálculo da potência total do motor (Nm): η

tm

NN = η = rendimento total do laminador.

h - Cargas de laminação a quente:

I – Equação de Ekelund:

Ekelund propôs para a carga de laminação a quente a seguinte expressão:

( ) QehhRbP o −= ...0σ (313)

sendo: ( ) ( )

hhhhhhR

Qeo

oo

+−−−

+=2,1.6,1

(314)

Page 13: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

143

Podendo ser adotado para o cálculo do coeficiente de atrito na laminação de aço, com

cilindros de aço, a expressão: µ = 0,8 (1,05 – 0,0005 T) (315) T = temperatura de laminação a quente em ºC.

II- Equação de Orowan – Pascoe:

Orowan-Pascoe propôs para a carga de Laminação a quente a seguinte expressão:

( ) QphhRbP .... 00 −= σ (316)

Onde: ⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=h

hhhRQp 0

41 π (317)

i - Efeito da tração de ré e da Tração avante na carga de Laminação e na Distribuição de

pressões no rolo:

A presença de tensão no plano da placa pode reduzir a carga de laminação. A tração de ré

pode ser produzida por controle da velocidade da desembobinadeira (desenroladeira) relativamente

à velocidade dos rolos, e a tração avante pode ser criada pelo controle da bobinadeira.

Como mostra a figura 64, a adição da tração avante e da tração de ré junta reduz a área sobre

a curva, daí, a carga de laminação e, além disso, desloca ligeiramente o ponto neutro. Se uma tração

de ré suficientemente elevada for aplicada, o ponto neutro ira eventualmente atingir a saída dos

rolos. Quando isso ocorre, os rolos estão se movendo mais rápido do que o metal e deslizam sobre o

mesmo.

Figura 64 - Efeito da Tração de ré e da Tração avante na distribuição de pressões no rolo.

α

sem tração avanteou tração de ré

p

apenas tração avante

tração de rée avante

apenas tração de ré

α e αs

Page 14: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

144

11.2 –Forjamento (“FORGING”).

Define-se forjamento como sendo a conformação mecânica de um metal através de

aplicações intermitentes de pressão. É a mais antiga arte de transformação de metais.

A maioria das operações de Forja é realizada a quente, contendo certos metais podem ser

forjados a frio.

Usam-se duas classes bascas de equipamento para a operação de forjamento: o martelo de

forjar aplica golpes de impactos rápidos sobre a superfície de metal, enquanto as prensas de forjar

submetem o metal a uma força compressiva aplicada de forma lenta.

11.2.1- Tipos de Processos de Forjamento:

Basicamente, existem três processos de forjamento: Forjamento em martelo, Forjamento

Livre e Forjamento em Matriz Fechada.

a- Forjamento em Martelo: é o processo tradicional, e consiste em colocar a peça de aço, em

uma temperatura determinada, sobre uma bigorna, e atingi-la rapidamente com um martelo, de

modo a conformá-la. O processo pode ser manual ou mecânico (martelo de queda livre com prancha

ou martelo mecânico a vapor). Os martelos de forja geralmente não fornecem uma boa precisão de

forjamento como as prensas de Forja. Devido as suas características inerentes de impacto, os

problemas de impacto no solo, barulho e vibração devem ser considerados.

b- Forjamento livre: É realizado entre matrizes planas ou de formas muito simples. O

processo é utilizado mais comumente para peças grandes ou quando o número de peças é pequeno.

O forjamento livre, normalmente é utilizado para preparar a forma da peça para o forjamento em

matriz. Utilizam-se prensas excêntricas ou hidráulicas neste processo.

c- Forjamento em Matriz Fechada: No forjamento em matriz fechada a peça é deformada

entre duas metades de matriz (matriz bi-partida) que dão a forma final desejada ao metal. A peça a

forjar é deformada sob alta pressão numa cavidade fechada, comprimida lentamente. Com isso, o

metal tem mais tempo para escoar e, portanto, podem ser produzidas peças forjadas de precisão com

tolerâncias dimensionais mínimas. Utilizam-se também neste processo, prensas excêntricas e

hidráulicas.

A pancada de uma prensa excêntrica é mais uma aplicação de carga crescente do que o

impacto dos martelos. Por isso, as matrizes podem ser menos maciças e a sua vida útil é maior que a

de um martelo. São encontradas prensas mecânicas variando de 300 a 12000 toneladas. O custo

inicial de uma prensa é muito maior do que a do martelo, o que pode ser compensado pela sua alta

taxa de produção.

A prensa hidráulica é uma máquina de velocidade baixa, o que resulta em tempos longos de

Page 15: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

145

contato com a peça que pode levar a problemas com a perda de calor da peça a ser trabalhada e com

a deterioração da matriz. Por outro lado, a prensagem lenta de uma prensa hidráulica resulta em

forjamento de pequenas tolerâncias dimensionais. São encontradas prensas variando de 500 a 18000

toneladas.

11.2.2- Aço Para Forjamento:

Define-se aço para forjamento como aquele aço que se adapta particularmente bens as

operações de trabalho a quente.

11.2.3 – Tipos de Aço Para Forjamento:

Aços carbonos, aços de baixa liga e aço de alta liga.

- Aços carbonos: teor de carbono (0,15% - 0,55%), Mn (0,3% - 0,9%)

- Aços baixa liga: teor de carbono (0,15% - 0,30%) Cr, Mo, Ni, ou V. São empregados até

temperaturas de 500ºC. DIN 17006 e ASTM a 295-46T (52.100, 51.100, 50.100).

- Aços alta liga: São do tipo inoxidável com baixos teores de carbono e altos teores de Cr, Ni

e Mo, além de W e V. DIN 17006.

11.2.4 - Propriedades Mecânicas dos Forjados:

São bastante anisotrópicos. O trabalho a quente, nos metais provoca um alongamento das

regiões de segregação, empurezas, na direção do fluxo plástico (“Banding” ou “Mechanical

Fibering”). A dutilidade, tenacidade e resistência a fadiga é bem maior na direção das linhas de

fluxo.

11.2.5 – Análise do Processo de Forjamento: Cálculo da carga de Forjamento (matriz aberta):

I- Método da Energia de Deformação Uniforme;

II- Método dos Blocos (Forjamento em Deformação Plana)

I - Método da Energia de Deformação Uniforme:

No forjamento em matriz aberta, considerando-se um paralelepípedo de altura ho e área Ao

sob uma força de compressão P, atuam as seguintes tensões (conforme fig.65):

Page 16: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

146

ho

h

dh

Ao

A

Af

hf

Instante Inicial Instante intermediário Instante final

ho

b

a

σ1

σ3

σ2

Ao

Figura 65 – Esquema do processo de forjamento.

00, 320

1 === σσσ eAp

(318)

Do critério de escoamento de Tresca, sabe-se que: 031 σσσ =− (319)

Onde 0σ é o limite de escoamento do material. Considerando-se (318) em (319), tem-se:

000

01 .σσσ APAP

=∴== (320)

O trabalho de deformação plástica para um dado elemento incremental do paralelepípedo,

num estágio intermediário é dado como:

dW = P.dh (321) Substituindo (320) em (321), vem:

dW = A0. σ0. dh = a. b. dh. σ0

Page 17: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

147

Ou multiplicando e dividindo por h, tem-se:

{ hdhV

hdhhbadW

V...... 00 σσ == (322)

Integrando (322), para δV = 0.

-

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∈∴−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∴⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

∫∫

fc

fh

h

f

h

h

h

h

hh

hh

hdhsendo

hhVw

hdhVdWW

f

ff

0

0

000

lnln

ln....

0

00σσ

(323)

Supondo que não haja encruamento e que 0σ , apresenta um valor médio do limite de

escoamento. Como o volume é constante, tem-se:

( ) ( )

( )

( ) ( )

)327(ln..

)326(

)325(.ln..

)324(..

0

00

0

00

0

000

:setemfinalmente9326e323Igualando

:comoexpressoserpodetambémtrabalho,O

:vem323em324dosubstituin

f

f

f

f

f

fff

hh

hhV

P

hhPW

AA

VW

AA

hh

hAhA

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

−=

=

==

σ

σ

II- Método dos Blocos (“slab Method”):

Hipóteses:

- O metal se deforma em estado de deformação plana;

- O escoamento lateral, normal ao percurso do êmbolo acarreta tensões de atrito cisalhantes

nas superfícies de contato da matriz;

- Na análise admite-se que a placa de metal apresenta largura W; normal ao plano do papel e

que a mesma permanece constante.

Page 18: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

148

h

P σxy

σx+ dσxσx

σxy

P

b

a a

Z

dxx

02

0...2.......0

=+

=−−−∴=∑

hdd

wdwhdwhwhF

xy

x

x

xxyxxxx

σσ

σσσσ (328)

Supondo que a tensão cisalhante esteja relacionada com a pressão normal pela Lei de

Conlomb do atrito dinâmico, pxy µσ = , em (328), tem-se:

0..2=+

hp

dd

x

x µσ (329)

Da condição de deformação plana, vem:

( )

( )zxw

zxwwdd

σσσ

σσσσ

+=

∴⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

∈==∈

.21

.21.0

(330)

Substituindo (330), na expressão de Von Mises, tem-se:

( ) ( ) ( )[ ] ∴−+−+−== 21222

0 .2

1wzzxxw σσσσσσσσ

( ) 00 .3

2.23 σσσσσσ =−∴−= xzxz (331)

Page 19: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

149

Mas p=zσ (sobre o elemento), logo (331) fica: '00.

32 σσσ ==− xp (332)

Supondo que o material é do tipo rígido plástico, ou seja:

ctep x ==− '0σσ (333)

Derivando (333) em relação a “x”, vem:

dxdp

dxd

dxd

dxdp xx =∴=−

σσ0

(334)

Substituindo (334) em (328), tem-se:

hp

dxdp µ2

−=

Separando as variáveis, obtem-se:

dxhp

dp µ2−=

(335)

Integrando ambos os lados de (335), vem:

Cxh

p ln2ln +−=µ

x/h-2e. µCp = (336)

Da condição de contorno, sabe-se que: Quando x = a, σx = 0.

Z

x

a

x

Mas de (333) '0σσ =− xp . Logo, quando x = a → '0σ=p

/h-20

/h-20 e'.e.' aa CC µµ σσ =∴= (337)

Substituindo (337) em (336), tem-se que: [ ]/h)(2

0 e'. xap −= µσ (338)

Page 20: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

150

De (332), considerando (338), obtem-se: [ ]{ }1e'. /h)(20 −= −xa

xµσσ (339)

Pressão média de Forja ( p ):

É definida como: [ ] dxeaaw

dxwpp hxaaa

/)(2

0

0

0

.'.. −∫∫ == µσ

[ ] [ ] dxeea

pa

hxha ..'

0

/2/20 ∫ −= µµσ

Fazendo: dxh

dUhxU µµ 2/2 −=−=

[ ] [ ]⎟⎟

⎜⎜

⎛−= −

ahxha ehe

ap

0

/2/20 .2

..' µµ

µσ

[ ] [ ]⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−= − 1

2..' /2/20 haha ehe

ap µµ

µσ

[ ]⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−= ha

haha

eehe

ap /2

/2/20 1

2..' µ

µµ

µσ

( )1.2

'. /20 −= haeahp µ

µσ

(340)

Carga total de Forjaria (P):

É definida como: WapP .2.= ( )1..'. /20 −= haeWhP µ

µσ

Como b = 2a, finalmente tem-se:

( )1..'. /0 −= hbeWhP µ

µσ

(341)

Forjamento em Matriz fechada:

Normalmente a deformação em matriz fechada é muito complexa, e o projeto das etapas

intermediárias para produzir uma peça final com precisão requer considerável experiência e perícia.

O problema particularmente importante em forja em matriz fechada é a prevenção do resfriamento

rápido da peça de trabalho pelas matrizes frias. A eliminação desse resfriamento resulta numa

tensão de escoamento mais baixa e, conseqüentemente, uma carga de forjamento também mais

baixa, e permite um completo preenchimento da matriz e tolerâncias dimensionais mais precisas.

O projeto de uma peça forjada em matriz fechada envolve a previsão de:

Page 21: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

151

- Volume e peso da peça a trabalhar;

- Número de etapas de pré-deformação e suas configurações.

- Dimensão da rebarba de forja nas matrizes de pré-deformação e de acabamento;

- Os requisitos de carga e energia para cada operação de forjamento.

No estudo de uma etapa de pré-deformação analisam-se normalmente as seções transversais

da peça para basear o projeto no escoamento plástico do metal. Tais considerações são:

A - A área em cada seção transversal ao longo do comprimento deve igualar a área da seção

transversal final mais a rebarba.

B. - Todos os raios côncavos na pré-deformação devem ser maiores do que os raios na peça

final.

C - A seção transversal da peça pré-deformada deve ser apenas ligeiramente maior do que a

seção transversal final, de maneira a concentrar a deformação no recalque e minimizar o

escoamento transversal ao eixo do recalque.

A previsão das cargas de Forjamento e da pressão numa operação de Forjamento em matriz

fechada é relativamente difícil de calcular. Existem várias tentativas, sendo que a análise de placa

adaptada ao forjamento em matrizes fechadas mostra-se satisfatória. A aproximação básica é dividir

a forja em formas geométricas simples de modo que possam ser tratados pela análise de placa.

A carga total de forjamento é a soma das cargas calculadas para cada uma das partes da

peça.

Distribuição da tensão normal e longitudinal para a compressão entre placas. [eq. (338)]:

P

x

σo' e = σo' e

σ0'

P

σx

2µ a/h µ b/h

11.3 – Extrusão (Extrusion).

A extrusão é o processo no qual um bloco de metal é reduzido na sua seção transversal pela

aplicação de pressões elevadas forçando-o a escoar através do orifício de uma Matriz.

)/('0

)/2('0 .. hbha ee µµ σσ = '

Page 22: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

152

Normalmente a extrusão é usada para produzir barras cilíndricas ou tubos vazados, mas

podem ser produzidas seções transversais de forma irregular nos metais mais facilmente extrudaveis

como o alumínio.

11.3.1 – Tipos Básicos de Processo de Extrusão:

Os dois tipos básicos de extrusão são: extrusão direta e a extrusão indireta.

Extrusão Direta

Container

Êmbolo

Porta Matriz

ProdutoExtrudado

Matriz

Tarugo

Extrusão Indireta

Container

Êmbolo

ProdutoExtrudado Tarugo

Anteparo

Matriz

Normalmente na extrusão indireta, o êmbolo é mantido estacionário, e o recipiente com o

tarugo faz o movimento. Em função desse fato, na extrusão indireta não há movimento relativo

entre as paredes do recipiente e o tarugo, e com isso as forças de atrito são menores e a potência

necessária para a extrusão indireta é menor do que para a extrusão direta. Contudo, existem

limitações para a extrusão indireta devido à necessidade do uso de um êmbolo vazado, o que limita

a carga aplicada.

Podem ser produzidos tubos por extrusão pela adaptação de um mandril no extremo do

Page 23: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

153

êmbolo (tubos sem costura).

Grande parte das extrusões são feitas com prensas hidráulicas.

É importante diferenciar: Porcentagem de redução em área, )/(1 0AAr f−= e razão de

extrusão, )1/(1/0 rRAAR f −=→= . Para uma variação na porcentagem de redução em área

de r = 0,95 para r = 0,98, implica uma variação para a razão de extrusão de R = 20 : 1 para R = 50:1.

- Para extrusão a quente de aço, atinge-se R=40:1

- Para extrusão a quente de alumínio consegue-se R= 400:1

Um lubrificante efetivo para extrusão a quente deve ter uma resistência ao cisalhamento

baixa e ser ainda estável o suficiente para evitar a decomposição em temperaturas elevadas. Para

extrusão a quente de aços e ligas de níquel, o lubrificante comum é vidro fundido “Processo Ugine

– Sejournet”.

11.3.2 – Análise do Processo de Extrusão:

Cálculo da carga de extrusão:

I Método da Energia de deformação Uniforme

II Método dos Blocos (“Slab Method”).

I. Método da Energia de deformação Uniforme

F

Figura 66 – Esquema do Processo de Extrusão.

O trabalho de deformação por unidade a volume é dado como:

Sabe-se que: dlAdw ).( 0σ= - incremento de trabalho para um aumento de comprimento

dl . Onde: ∴==lAdlA

lAdw

Vdw

.)..(

.0σ

Page 24: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

154

ldl

Vdw .0σ= incremento de trabalho por unidade de volume.

integrando a expressão, para 0=Vδ , vem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∴= ∫∫

000

0ln.

0ll

Vw

ldl

Vdw f

l

l

w fσσ (342)

Do volume constante, vem:

f

fff A

All

lAlA 0

000 .. == (343)

Substituindo (343) em (342), tem-se:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

fAAVw 0

0 ln..σ (344)

Onde 0σ é o valor médio do limite de escoamento do material.

O trabalho externo é dado como:

000 ... lAplFW == (345)

Igualando (345) e (344), obtem-se:

{Vf

lApAAV 00

00 ..ln.. =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

fAAp 0

0 ln.σ (346)

Onde p, é a pressão de extrusão idealizada, visto que não se considera o atrito e o trabalho

redundante. Como, fAAR /0= , razão de extrusão, substituindo em (346), vem:

Rp ln.0σ= (347)

Finalmente, a carga de extrusão é dada como:

0. ApF = (348)

II - Método dos Blocos (“Slab Method”):

HIPOTESES:

- Supõe-se que o elemento infinitesimal da zona de deformação pode ser considerado

como uma casca esférica.

- O escoamento consiste de uma série de cascas esféricas ou blocos, movendo-se ao longo

Page 25: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

155

do cone.

- O estado de tensão é esférico ( θσσσ e, zx ).

σ

σ

σσ =σ

x

z 0

(b)

σxσx

σz

σz

(a)

σα µσα

σx

σαµσα

σx+dσx

D+dD

ds

D

dx

dD/2

α

(d)(c) Figura 67- Estado de tensão para a extrusão, Fig. 66. (a) estado de tensão; (b) círculo de Mohr, (c)

diagrama do corpo livre, (d)geometria do processo.

Da fig. 67(c), fazendo equilíbrio de forças, tem-se:

( ) ( )

0cos....

....4

.4

22

=+

+++−=∑

απµσ

απσπσσπσ

α

α

dsD

sendsDdDDdDF xxxx

Desenvolvendo, vem:

( ) ( )0cos....

.....24

.4

222

=+

++++−

απµσ

απσπσσπσ

α

α

dsD

sendsDdDdDDDdDxxx

0cos.........4

..2.4

.

.4

.4

.2.444

2

2222

=++−−

−−−−

απµσαπσπσπσ

πσπσπσπσπσ

αα dsDsendsDdDddDDd

DddDdDDDD

xx

xxxxx

Simplificando, desprezando-se os termos infinitesimais tem-se:

0cos......4

..21 2

=++−− αµσασσσ αα dsDsendsDDddDD xx (349)

Page 26: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

156

Da figura 67 (d), geometria do processo, sabe-se:

2.

cos. dDtgdxsendxsends === αα

αα

αα

tgdDdxds )2(cos. == (350)

Substituindo (350) em (349), e multiplicando-se por )/4( 2D , vem:

01.2

.42

.42 =++−−α

µσσσσ αα tgDdD

DdDd

DdD

xx

Rearranjando, vem:

DdDd

DdD

xx .2)cotg.1(2 σσαµσα +=+

( ⎟⎠⎞+=+

DdDd

dDD

xx .221)cotg.1( σσαµσα (351)

De Von Mises, fazendo θσσ =z , vem:

( ) ( ) ( )[ ] 2/12220 2

1θθ σσσσσσσσ −+−+−== xzzx

( )[ ] ( )zxzx σσσσσσ −±=∴−= 02/12

0 22

1 (352)

De Levy Mises, na direção x, tem-se:

( ) [ ]zxzxxdd

xdxd σσ

σσσσ

σ θ −∈

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

∈==∈

21

(353)

xd ∈ é negativo, σ/∈d sempre é positivo; logo )( zx σσ − em (353) deve ser negativo, de

onde (352) fica:

( ) xzzx σσσσσσ −=∴−−= 00 (354)

Sabe-se do elemento e do circulo de Mohr, Fig. 67, que:

θα σσσ == z (355)

Onde substituindo (355) em (354), tem-se:

xσσσα += 0 (356)

Substituindo (356) em (351), obtem-se:

( ⎟⎠⎞+=++

DdDd

dDD

xxx .221)cotg.1)(( 0 σσαµσσ

xxxx ddDD σσαµσσαµσσ +=+++

21cotg..cotg..00

Page 27: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

157

DdDd

x

x 2)cotg.1.(cotg.. 0

=++ αµσαµσ

σ

Fazendo-se αµ cotg.=B , tem-se:

DdD

BBd

x

x 2)1.(. 0

=++ σσ

σ (357)

1º caso – Para a condição de extrusão na qual 0e0,0 →== αµ B (lubrificação perfeita),

(357) reduz-se à:

DdDd x 02σσ =

Onde, integrando vem:

∫∫∫=∈∈

∈∈=∈==

)/ln(

00

0

0

02

ff

f

AAD

Dx dd

DdD σσσσ (358)

Obs. Quando , 0=µ , a pressão de extrusão pelo método da energia de deformação uniforme para

uma matriz quadrada e pelo “Slab Method” para uma matriz cônica de ângulo α pequeno são

equivalentes.

Obs. A tensão efetiva, ou tensão média do material na extrusão pode ser definida pelo método

Johnson:

nKdKd

nn

+∈

=∈∈∈

=∈∈

= ∫∫∈∈

1)(..)(.1.1

000 σσ

Para grande deformação efetiva, uma fórmula empírica é:

8,0ln.5,10

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∈

AAf

2º caso Para a condição mais geral de extrusão na qual µ ≠0 e α ≠ 0, (357) pode ser integrada

considerando σ0 = cte, de onde vem:

( )

( )[ ] CDBBB

DdD

BBd

x

x

x

lnln21ln.1

.21

0

0

+=++

=++ ∫∫

σσ

σσσ

Page 28: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

158

( )[ ]( )[ ] CDBB

CDBB

Bx

Bx

.1

..ln1ln21

0

210

=++

∴=++

σσ

σσ

(359)

Da condição de contorno, sabe-se que quando ( )0=⇒= xfDD σ

σxσx=0 Df

Do

Logo, quando D=Df-em (359), tem-se:

( )[ ] ( )[ ]2

1021

01.1

f

B

fB

DBCCDB +

=∴=+σσ (360)

Substituindo (360) em (359) e rearranjando, vem:

( )( )

( )[ ]{ } ( )

( )⎥⎥

⎢⎢

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∴+

−+

=

+−=

=++

1.1

11.

1

.1.

2

0

02

02

02

20

B

fx

B

Bf

B

x

BB

x

BBx

DD

BB

BB

DB

BD

BB

BCD

CDBB

σσ

σσσ

σσ

σσ

(361)

Onde xσ , é a pressão axial de extrusão. Supondo σ 0,como o limite de escoamento médio do

material, para D=D0 em (361) obtém - xσ =p,onde p, é a pressão média de extrusão e supõe-se não

variar ao longo da seção. Assim, a pressão média da extrusão p, para -σ0=cte,, é dada como:

⎥⎥

⎢⎢

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= 1.1.2

00

B

fDD

BBp σ (362)

Obs. No cálculo da pressão de extrusão real em um processo qualquer, é necessário multiplicar p

por um fator de cisalhamento K. O fator de cisalhamento K, contudo, depende de α e µ, mas

normalmente estima-se K≅1,5.

Page 29: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

159

3º caso: Para a condição de atrito viscoso (fricção pegajosa), o45,577,03

1=== αη

(condição de aderência “Sticking”), aproximação para a solução de um problema de extrusão no

qual uma zona morta de metal no canto da matriz é formada quando uma superfície de atrito grande

ocorre). Para: 3

1cot.453

1==⇒== ° αηαη gBe (363)

Substituindo (363) em (362) tem-se finalmente: ⎥⎥

⎢⎢

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 173,2

155,1

00

fDDp σ (364)

11.4 Trefilação (“Drawing”).

O processo de trefilação consiste em puxar o metal através de uma matriz, por meio de uma

força de tração a ele aplicada na saída da matriz. A maior parte do escoamento plástico é causada

por esforços de compressão resultantes da reação do metal com a matriz.

Define-se arame ou fio como sendo um produto obtido por trefilação de secção transversal

uniforme, geralmente circular muito pequena em relação ao seu comprimento. Podem-se também

obter geometrias diferentes, como, por exemplo, quadrada, retangular, triangular, oval, etc.

A faixa de bitolas em que se fabricam os fios e arames é bastante extensa, podendo variar

entre 0,02 mm e 25 mm. Bitolas maiores que 10 mm, são consideradas barras. Para a fabricação de

arames parte-se do fio-máquina obtido por laminação a quente de barras, geralmente quadradas com

38 a 76 mm de lado, e que é enrolado. O diâmetro do fio-máquina, assim obtido, tem um diâmetro

entre 5,0 e 5,5mm. A trefilação também pode ser realizada em tubos ocos e, neste caso, existem

diversas técnicas empregadas, com a utilização ou não de um mandril interno ao tubo, que permite

um melhor controle da espessura final. Durante a operação de trefilação, ocorre aumento

considerável de temperatura causado pelas grandes deformações envolvidas no processo, embora

ela seja realizada à temperatura ambiente.

A trefilação pode ser realizada por dois processos:

- Trefilação por via Seca: usa-se cal como um absorvedor e transportador do lubrificante

(graxa ou pó de sabão) e também para neutralizar qualquer ácido remanescente da decapagem (no

caso de se eletro depositar sobre arame de aço cobre ou estanho).

- Trefilação por via Unida: usa-se no processo de trefilação em que toda a matriz fica

imersa num fluido lubrificante.

11.4.1 – Tipos de Aços para Arames: Os arames de não-ferrosos e de aço baixo-carbono são produzidos com diversas durezas,

Page 30: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

160

desde aquela correspondente ao recozimento pleno até a relativa ao endurecimento total. No caso de

aços tem-se:

1. Aços baixo-carbono (0,09 a 0,20%C) – dependendo da aplicação, podem ser usados sem

qualquer tratamento térmico, ou nos estados normalizados ou recozido.

2. Aços médio-carbono (0,0 a 0,55%c) podem ser empregados sem tratamento térmico ou

patenteados e trefilados.

3. Aços alto-carbono (0,55 a 1,00%c) – podem ser empregados sem tratamento térmico, ou

patenteados e trefilados.

Principais fabricantes de aços para fios e arames: Cia. Siderúrgica Riograndense e a Fiel

S/A – Aços e Metais.

11.4.2 – Patenteamento de Arames e Fios:

O patenteamento é um tratamento que visa a obtenção de uma estrutura de perlita fina ou

bainita no aço. Essa estrutura é necessária para que se tenha um material com boa dutilidade, pois

ele será submetido a condições severas de trefilação, além de apresentar altos níveis de resistência a

tração.

O tratamento consiste em se aquecer o aço já transformado em arame, até uma temperatura

acima da linha A3 e em seguida, resfria-lo rapidamente ao ar, ou em um banho de chumbo fundido,

mantido em uma temperatura entre 450ºC e 550ºC.

No caso do arame que sofre resfriamento ao ar, diz-seque foi patenteado ao ar. Tal

tratamento é semelhante à normalização, portanto, a estrutura final do aço é constituída de perlita

fina.

No caso do arame que sofre resfriamento em banho de chumbo, diz-se que foi patenteado

ao chumbo. Esse tratamento é semelhante à austêmpera, apesar da temperatura do banho nesse caso

ser mais elevada. Com isso tem-se bainita superior como estrutura final ou mesmo perlita fina.

O tipo de defeito de trefilação mais comum é a fenda interna no centro da barra ou

trincamento estriado (“cupping”)

11.4.3 – Análise do Processo de Trefilação:

Cálculo da carga de trefilação

I. Método da Energia de Deformação Uniforme;

II. Método dos blocos (“Slab Method”)

I- Método da Energia de Deformação Uniforme:

Já demonstrado no item 10(a) – aplicação do método à trefilação de barras.

Page 31: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

161

II – Método dos Blocos (“Slab Method”):

Na Figura 68, fazendo equilíbrio de forças sobre o elemento considerado, utilizando-se o

mesmo processo empregado para a extrusão, a equação diferencial resultante tem a mesma forma da

equação (357) – extrusão, definido apenas pelo sinal no denominador, isto é:

σx + dσx

D+dD D

Do

α

α

dsµσα

σα

µσα

σα

dxdf

Fσx

Figira 68 – Equilíbrio de tensões sobre um elemento de espessura infiitesimal durante a

trefilação de um fio.

DdD

BBd

x

x 2)1(. 0

=+−σσ

σ (365)

onde αµ cotg.=B

1º caso – Para a condição de trefilação na qual cte== 0,0 σµ , 0cotg. == αµB , (365)

reduz-se à (lubrificação perfeita):

DdDd x 02σσ −= (366)

onde, integrando vem:

CDx +−= ln2 0σσ (367)

Da condição de contorno, sabe-se que: - quando 00 =→= xDD σ logo, quando 0DD =

em (367), tem-se:

Page 32: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

162

0000 ln2ln20 DCCD σσ =∴+−= (368)

Substituindo (368) em (367) vem:

000 ln2ln2 DDx σσσ +−= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

00 ln2

DD

x σσ (369)

fazendo fDD = em (369) determina-se a tensão necessária para a trefilação, de onde vem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ff D

D00 ln2σσ (370)

Obs. Quando 0=µ a tensão de trefilação pelo “Slab Method” é equivalente a obtida pelo método

da energia de deformação uniforme.

2º caso – para a condição mais geral de trefilação na qual cte=≠ 0,0 σµ , (365) pode ser

integrada, como:

∫∫ =+− D

dDBB

d

x

x .2)1(0σσ

σ [ ] CDBB

B x lnln2)1(ln10 +=+−σσ

[ ] CDBB Bx .ln)1(ln 2/1

0 =+−σσ [ ] CDBB Bx .)1( 2/1

0 =+−σσ (371)

Da condição de contorno, sabe-se que: quando 00 =→= xDD σ logo; quando 0DD =

em (371), tem-se: [ ] CDB B .)1( 20

/10 =+−σ

[ ]2

0

/10 )1(

DBC

B+−=

σ (372)

substituindo (372) em (371) e rearranjando, vem:

∴=+− BBx CDBB .)1(. 2

0σσ

∴+

+=B

BB

CD BBx

)1.(. 02 σσ

( )[ ]{ }∴

++

+−=

BB

DB

BD

B

BBB

x)1.(1. 0

20

/10

2 σσσ

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

B

x DD

BB

2

00 1)1(σσ (373)

onde xσ é a tensão axial de trefilação. Supondo 0σ como o limite de escoamento médio do

material, para fDD = em (373) obtem-se fx σσ = , onde fσ é a tensão total de trefilação, sendo

dada como:

Page 33: Laminação, Forjamento, Extrusão e Trefilação

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⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

Bf

f DD

BB

2

00 1)1(σσ (374)

αµ cotg.=B

fazendo 00 /)( AAAr f−= vem:

rD

D

D

Dr ff −=∴−= 11 2

0

2

20

2

(375)

substituindo (375) em (374), obtem-se a tensão de trefilação em função do coeficiente de redução

de área r, onde tem-se:

[ ]Bf r

BB )1(1)1(

0 −−+

= σσ (376)

Determinação da redução máxima na trefilação de fios:

A tensão de trefilação máxima que pode ser aplicada ao material em processo não deve

exceder 0σ , limite de escoamento do produto, isto é:

0max σσ ≤f (377)

substituindo (377) em (376), vem:

[ ]BrB

B )1(1)1(00 −−

+= σσ

)1()1(1

BBr B

+=−−

)1(1

)1(1

)1(1)1(

BBBB

BBr B

+=

+−+

=+

−=−

[ ]B

BB

Br

/1/1

)1(1)1( ⎥

⎤⎢⎣

⎡+

=−

BBr /1)1(

11+

=− BB

r /1max)1(

11+

−= (378)