Congruências:

Objetivos• Decidir quando dois números são congruentes.• Aplicar corretamente as propriedades de congruência.• Decidir se um dado número inteiro positivo divide outro número inteiro, usando propriedades das congruências• Resolver congruências lineares.

Definição :Sejam a e b inteiros quaisquer e seja m um inteiro positivo fixo. Diz-se que a é congruente a b módulo m se, e somente se, m divide a diferença a – b. Em outros termos a é congruente a b módulo m se, e somente se, existe um inteiro k tal que a – b = km.

Notação: a ≡ b (mod m) Simbolicamente: a ≡ b (mod m) se, e somente se, m | ( a – b ). Exemplos: 3 ≡ 24 (mod 7); –31 ≡ 11 (mod 6); –15 ≡ –63 (mod 8).

Definição2:Se m não divide a diferença a – b, então, diz-se que a, é incongruente a b módulo m. Notação: a ≡ b (mod m).

Observações triviais:1) Dois inteiros quaisquer são congruentes módulo 1.

2) Dois inteiros são congruentes módulo 2, se ambos são pares ou ambos ímpares. Dem:Sejam 2m e 2n dois números pares. A diferença 2m - 2n = 2.(m – n). Portanto, divisívelpor 2. Na notação de Gauss: 2m ≡ 2n (mod 2), para quaisquer m e n inteiros.Sejam 2m+1 e 2n+1 dois números impares.a diferença entre eles resulta em(2m+1)-(2n+1) = 2m+1-2n-1

= 2(m-n)Portanto,é divisivel por 2.na notação de Gauss: 2m+1=2n+1 (mod 2) 3) a ≡ 0 (mod m) se, e somente se, m | a.

Proposição 1Dizer que a ≡ b (mod n ) é equivalente a dizer que a e b deixam o mesmo resto nadivisão por n.DemonstraçãoSe a ≡ b (mod n ), então, a – b = n.k, onde k é um inteiro. Fazendo a divisão de a e bpor n, temos:a = q1.n + r1, onde q1 e r1 são números inteiros, com 0 ≤ r1 < n,b = q2.n + r2, onde q2 e r2 são números inteiros, com 0 ≤ r2 < n.Suponha que r2 ≤ r1. Nesse caso, 0 ≤ r1 - r2 ≤ r1 < n. Agora, fazemos a diferença:a – b = (q1 – q2)n + (r1 – r2) (*)Desse modo, 0 ≤ r1 - r2 < n é o resto da divisão de a – b por n. Logo, r1 - r2 = 0, poisa – b é múltiplo de n.Reciprocamente, se a e b deixam o mesmo resto na divisão por n, então:a = q1.n + r, onde q1 e r são números inteiros, com 0 ≤ r < n,

b = q2.n + r, onde q1 e r são números inteiros, com 0 ≤ r < n.Daí, segue que a – b = (q1 – q2)n. Portanto, a diferença a – b é um múltiplo de n, o queequivale a dizer que a ≡ b (mod n ). propriedades básicas de congruências Se a, b, c e d são inteiros quaisquer e n é um inteiro maior do que ou igual a 2,são verdadeiras as seguintes propriedades:I. a ≡ a (mod n) (Reflexividade)II. Se a ≡ b (mod n), então b ≡ a (mod n) (Simetria)III. Se a ≡ b (mod n) e b ≡ c (mod n), então, a ≡ c (mod n) (Transitividade)IV. Se a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n), então, a +c ≡ b + d(mod n) (Soma)V. Se a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n), então, a - c ≡ b - d (mod n) (Diferença)VI. Se a ≡ b (mod n) e c é um inteiro não negativo, então, ac ≡ bc (mod n)VII. Se a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n), então, a .c ≡ b.d (mod n) (Produto)VIII. Se a ≡ b (mod n) e k é um inteiro positivo, então, ak ≡bk (mod n) (Potência)IX. Se a + c ≡ b + c (mod n), então, a ≡ b (mod n) (Cancelamento para a soma)

Demonstrações

P1) a ≡ a (mod n) Pela prop.1

P2)Se a ≡ b (mod n), então b ≡ a (mod n)Pela prop.1

P3)Se a ≡ b (mod n) e b ≡ c (mod n), então, a ≡ c (mod n)

Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d (mod n),temos que m | (a-b) e m | (b-c).logo, m | (a-b) + (b-c),então m|(a-c).

P4 e p5)

Se a ≡ b (mod m) então a = k.m + b (com k ∈ Z) e se c ≡ d (modm) então

c = t.m + d (com t ∈ Z ). Logo temos que (a±c) = (k ± t).m + (b±d), logo

a±c ≡b±d (mod m ).

P7) Sejam dois números inteiros tais que a ≡b (mod m) e outros dois inteiros tais que

c≡d (mod m). Assim, a.c ≡b.d (mod m).Prova:Se a≡b (mod m) então a = k.m + b (com k ∈ Z) e se c ≡ d (mod m) então

c = t.m + d (com t ∈ Z ). Logo temos que a.c = k.t.m² + k.m.d + t.m.b + b.d, logo

a.c ≡b.d (mod m ).

P9) Sejam dois números inteiros tais que a ≡b (mod m). Logo sendo c outro número inteiro tem-se que a±c ≡b±c (mod m ).

Prova:

Se a ≡ b (mod m) então a = k.m + b, com k ∈ Z.

Logo temos que (a ± r) = k.m + (b ± r), logo a±r ≡b±r (mod m ).

P6) Sejam dois números inteiros tais que a ≡b (mod m). Logo sendo c outro número inteiro tem-se que a.c≡b.c(mod m ).Prova:Se a≡b (mod m) então a = k.m + b (com k ∈ Z).logo temos que a.c=k.m.c + b.c,logo a.c ≡ b.c(mod m)

P8) Sejam dois números inteiros tais que a ≡b (mod m). Seja n um número natural logo,

an ≡bn (mod m )

Prova:

Sejam dois números inteiros tais que a ≡b (mod m) e outros dois inteiros c e d tais que c ≡ d (mod m). Temos que por P2

a.c ≡b.d (mod m ).

Se considerarmos c=a e b=d. Temos que,

a. a ≡b. b (mod m )

a² ≡b² (mod m )

Por indução finita, temos

an ≡bn (mod m )

Proposição 2Se ac ≡ bc (mod n), então, a ≡ b (mod n/d), onde d = MDC (c, n).

Demonstração:Se ac ≡ bc (mod n), existe um inteiro k tal que ac – bc = kn.Agora, seja d = MDC(c, n). Dividindo por d ambos os lados da igualdade ac – bc =kn, obtemos (a – b)(c/d) = k(n/d). Por outro lado, como d = MDC(c, n), existem números inteiros x e y tais que cx + ny = 1. Logo ,pelo corolário 2,do máximo divisor comum,o mínimo múltiplo comum e as equações diofantinas lineares,segue que são primos entre si.Como mdc(c\d,n\d)=1,então n\d divide a-b,que é mesmo que dizer a≡ b .

CorolárioSeja ac ≡ bc (mod n). Se c e n são primos entre si, então, a ≡ b (mod n). Isto é, nessas hipóteses vale a lei do cancelamento para o produto.

Dem:

. Se a e n são primos entre si, então, MDC(n, c) = 1. Logo,

.

Exemplo 4Verifique que 3 x 23 ≡ 3 x 8 (mod 9) implica que 23 ≡ 8 (mod 3).SoluçãoAplicando a propriedade anterior para 3 x 23 ≡ 3 x 8 (mod 9), obtemos 23 ≡ 8 (mod 9/3).Ou seja, 3 x 23 ≡ 3 x 8 (mod 9) implica que 23 ≡ 8 (mod 3).

Sistemas Completos de Restos: Definição 8.3 - Chama-se sistema completo de restos módulo m todo conjunto S = {r1, r2,..., rm} de m inteiros tal que um inteiro qualquer a é congruente módulo m a um único elemento de S.

Exemplos 8.3 - {1, 2, 3}, {0, 1, 2}, { –1, 0, 1}, {1, 5, 9} são sistemas completo de restos módulo 3.

Teorema 8.6 - O conjunto S = {0, 1, 2, ..., n–1 } é um sistema completo de restos módulo m.

Corolário 8.3 - Se S = {r1, r2,..., rm} é um sistema completo de restos módulo m, então os elementos de S são congruentes módulo m aos inteiros 0, 1, 2, ... , m – 1, tomados numa certa ordem.

07) Mostrar que 41 divide 2220 ≡ 1. Solução: Devemos mostrar que 2220 ≡ 1 (mod 41). 26 ≡ 23 (mod 41); 24 ≡16 (mod 41); 210 = 26. 24 ≡23 . 16 ≡ 40 (mod 41) 220 ≡402 ≡1 (mod 41).

08) Mostrar que 89 | (244 - 1). Solução: Devemos mostrar que 244 ≡ 1 (mod 89) 27 ≡39 (mod 89); 24 ≡ 16 (mod 89); 211 = 27 . 24 ≡39 . 162 ≡ 1 (mod 89) 244 = (211 ) ≡ 1 (mod 89).

10) Determinar quais dos seguintes conjuntos são sistemas completos de restos módulo 4:

a) {–2, –1, 0, 1}. Solução: –2 ≡2; –1≡ 3; 0≡ 0; 1≡ 1 (mod 4). Portanto é um sistema completo de restos módulo 4.

b) {0, 4, 8, 12}. Solução: 0 ≡0; 4 ≡ 0; 8 ≡ 0; 12 ≡ 0 (mod 4). Portanto não é um sistema completo de restos módulo 4.

c) {–13, 4, 17, 18}. Solução: –13 ≡ 3; 4 ≡ 0; 17 ≡ 1; 18 ≡ 2 (mod 4). Portanto é um sistema completo de restos módulo 4.

d ) -5, 0, 6, 22 Solução: -5 = 4(-2) + 3 ≡ 3, 0 ≡ 0; 6 = 4.1 + 2 ≡ 2; 22 = 4.5 + 2. O conjunto é equivalente a {0, 2, 3}. Portanto, não é um conjunto completo. R: São conjuntos completos os das letras a e c.

Critérios de divisibilidade:

Divisibilidade por 3Um número natural K é divisível por 3 se, e somente se, na sua representação na base10, a soma de seus dígitos é um número divisível por 3.De fato, representemos K na base 10 por:K = cn10n + cn-110n-1 + .... + c3103 + c2 102 + c110 + c0,com cn, cn-1, ..., c3, c2, c1, c0 inteiros não negativos, todos menores do que 10. Agora,observe que: 10 = 9 + 1 e 10k = (9 + 1)k. Usando o desenvolvimento do Binômio deNewton para (9 + 1)k, temos que (9 + 1)k = 9mk + 1, onde mk é um número inteiro.Assim, temos que: ck10k = ck(9 + 1)k = ck(9mk + 1) = 9mkck + ck. Logo,K = cn10n + cn-110n-1 + .... + c3103 + c2 102 + c110 + c0 == c0 + (c19m1 + c1)10 + (c2 9m2 + c2) + (c39m3 + c3) + ... + (cn9cn + cn) == (c19m1 + c2 9m2 + c39m3 + …. + cn9cn) + (c0 + c1 + c2 + c3 + ... + cn) == 9(c1m1 + c2m2 + c3m3 + …. + cncn) + (c0 + c1 + c2 + c3 + ... + cn).Suponha que K seja divisível por 3. Como(c0 + c1 + c2 + c3 + ... + cn) = K - 9(c1m1 + c2m2 + c3m3 + …. + cncn),

segue que (c0 + c1 + c2 + c3 + ... + cn) é divisível por 3, por ser a diferença de doisnúmeros divisíveis por 3.Por outro lado, se (c0 + c1 + c2 + c3 + ... + cn) é divisível por 3, segue queK = 9(c1m1 + c2m2 + c3m3 + …. + cncn) + (c0 + c1 + c2 + c3 + ... + cn) é divisível por3, como soma de dois números divisíveis por 3.

Ex:Verifique, sem efetuar a divisão, se o número 187134574 é divisível por 3.SoluçãoBasta calcular a soma 1 + 8 + 7 + 3 + 4 + 5 + 7 + 4 = 41. Como 41 não é divisível por 3,concluímos que o número 187134574 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 7Antes de enunciar o critério de divisibilidade por 7, vamos fazer algumas considerações.Seja K um número natural, cuja representação na base 10 é:

K = cn10n + cn-110n-1 + .... + c3103 + c2 102 + c110 + c0,com cn, cn-1, ..., c3, c2, c1, c0 inteiros não negativos, todos menores que 10.Agora, olhemos para a representação decimal de K como sendo a soma de duas parcelas:K = cn10n + cn-110n-1 + .... + c3103 + c2 102 + c110 + c0, ou seja:K = 10(cn10n-1 + cn-110n-2 + .... + c3102 + c2 10 + c1) + c0Chamando M = cn10n-1 + cn-110n-2 + .... + c3102 + c2 10 + c1, podemos escrever K comosendo

K = 10M + c0.Enunciamos a seguir o teste de divisibilidade por 7.Um número natural K = 10M + c0 é divisível por 7 se, e somente se, o número natural M+ 5.c0 é divisível por 7.De fato, se K =10M + c0 é divisível por 7, então, 5K = 5.( 10M + c0) também édivisível por 7. Mas, podemos escrever:5K = 5.( 10M + c0) = 50M + 5.c0 = 49M + M + 5.c0.Portanto, M + 5.c0= 5K – 49M é um múltiplo de 7, como diferença de dois múltiplos de7. Por outro lado, se M + 5.c0 é um múltiplo de 7, então, 10(M + 5.c0) é um múltiplo de7. Mas,10(M + 5.c0) = 10M +50c0 = 49c0 + (10M + c0) = 49.c0 + K.Portanto, K = 10(M + 5.c0) - 49.c0 é um múltiplo de 7, pois é a diferença de doismúltiplos de 7.

ExemploVerifique, sem efetuar a divisão, se o número 1729 é divisível por 7.SoluçãoPelo que vimos anteriormente, escrevemos K = 1729 = 9 + 10 x (172) e K será divisívelpor 7 se, e somente se, o número 5 x 9 + 172 = 217 for divisível por 7.Aplicando o critério para o número 217, temos que 217 = 7 + 10 x (21) será divisível por7 se, e somente se, o número 5 x 7 + 21 = 56 for divisível por 7.Como 56 é divisível por 7, pois 56 = 7 x 8, concluímos que 217 é divisível por 7.Agora, observe que:1729 é divisível por 7 ⇔ 217 é divisível por 7 ⇔ 56 é divisível por 7.Portanto, 1729 é divisível por 7.

Divisibilidade por 9Um número natural K é divisível por 9 se, e somente se, na sua representação na base10, a soma de seus dígitos é um número divisível por 9.A justificativa é a mesma feita para o caso da divisibilidade por 3.

Divisibilidade por 11Um número natural K é divisível por 11 se, e somente se, na sua representação na base10, a soma de seus dígitos nas posições pares menos a soma dos dígitos nas posiçõesímpares é um número divisível por 11.De fato, representemos K na base 10 por:K = cn10n + cn-110n-1 + .... + c3103 + c2 102 + c110 + c0,com cn, cn-1, ..., c3, c2, c1, c0 inteiros não negativos, todos menores que 10.

Agora, observe que: 10 = 11 - 1 e 10k = (11 - 1)k. Usando o desenvolvimento doBinômio de Newton para (11 - 1)k, temos que:(11 - 1)k = 11mk + 1, se k é um inteiro par e mk é um número inteiro e(11 - 1)k = 11mk - 1, se k é um inteiro ímpar e mk é um número inteiro.Assim, temos que:ck10k = ck(11 - 1)k = ck(11mk + 1) = 11mkck + ck, se k é um inteiro par eck10k = ck(11 - 1)k = ck(11mk - 1) = 11mkck - ck, se k é um inteiro ímpar.Portanto, temos que

K = c0 + c110 + c2 102 + c3103 + ... + cn10n == c0 + 11m1c1 – c1 + 11m2c2 + c2 + 11m3c3 - c3 + 11m4c4 + c4 + .... + 11mncn+ (-1)k cn,= (c0 - c1+ c2 – c3+ c4 - ......+ (-1)k cn) +(11m1c1 + 11 m2c2 + 11m3c3 + 11 m4c4 + 11mncn)= (c0 - c1+ c2 – c3+ c4 - ......+ (-1)k cn) + 11s, com s ∈ Z.Portanto, é fácil ver que K é divisível por 11 se, e somente se, (c0 - c1+ c2 – c3+ c4 - ......+(-1)k cn) é divisível por 11.

Exemplo Verifique, sem efetuar a divisão, se o número 90806375 é divisível por 11.SoluçãoBasta calcular a soma 9 – 0 + 8 – 0 + 6 – 3 + 7 – 5 = 22, que é divisível por 11. Logo, onúmero 90806375 é divisível por 11.