UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA

Presentado por:

Javier Humberto Aguirre C

Profesor:

José Gilberto Vargas

Tema:

Problemas Matemáticos Sin Solución

Pereira Risaralda

LA MATEATICA COMO CIENCIA DEL FUTURO

La matemática es maravillosa en todos sus aspectos, todas las personas sin

importar el nivel de estudio que tenga, diariamente utiliza las matemáticas, ya sea

porque es su trabajo, porque estudia, por que escucha a alguien, o así sea por ir a

comprar algo en la tienda.

La matemática está presente en cada uno de los aspectos de la vida cotidiana, por

ello en este artículo les hablare acerca de algunos problemas matemáticos que

debido a su complejidad no se ha encontrado una solución para estos mismos.

Esto no quiere decir que sea imposible averiguar su solución, simplemente aún no

se ha hallado, el primero del cual les quiero hablar es: de La conjetura de Hodge es

un importante problema de geometría algebraica todavía no resuelto en el que se

relacionan la topología algebraica de una variedad algebraicacompleja no singular

y las subvariedades de esa variedad; este es un problema muy interesante, ya que

muchas personas han llegado a afirmar que la geometría es una de las partes de la

matemática más sencillas, pero esto demuestra que muchas veces esto no es

cierto.

También les hablare sobre la Hipótesis de Poincaré, es un resultado sobre la esfera

tridimensional (la 3-esfera), este es uno de los problemas más anhelado por

resolverse ya que tiene gran importancia para los matemáticos.

Por ultimo les hablare sobre Las ecuaciones de Navier-Stokes, Se trata de un

conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el

movimiento de un fluido. Las derivadas como muchos los sabemos tienen gran valor

en toda la matemática, por ello y mucho más este problema matemático ha retado

a muchos matemáticos

Por esta razón y muchas más les quiero dar a entender la maravilla de las

matemáticas y además invitarlos a que no solo se queden con esta información sino

que busquen más y porque no, que algún día puedan encontrar ustedes mismos la

solución.

Introducción

La matemática por mucho tiempo ha sido un gran misterio para muchas personas,

por ello muchas personas han dedicado prácticamente toda su vida a encontrar

soluciones a problemas de mucha complejidad, pero aunque ha sido un trabajo muy

arduo para estas personas, en varias ocasiones no se ha tenido éxito; a

continuación les hablare de algunos de estos problemas:

Conjetura de Hodge

La conjetura de Hodge es un importante problema de geometría algebraica todavía

no resuelto en el que se relacionan la topología algebraica de una variedad

algebraica compleja no singular y las subvariedades de esa variedad. En concreto,

la conjetura dice que ciertos grupos de cohomología de De Rham son algebraicos,

esto es, son sumas de dualidades de Poincaré de clases homólogas de

subvariedades.

La conjetura de Hodge es uno de los Problemas del milenio del Clay Mathematics

Institute, por lo que hay un premio de US$1,000,000 por demostrarla.

Mi intención es persuadirlos para que resuelvan estos problemas matemáticos, más

cabe resaltar que no será algo fácil ya que su complejidad es bastante grande y

además los resultados de los intentos de solucionarlos no han sido exitosos, pues

muchos grandes matemáticos lo han intentado y no lo han logrado.

Más específicamente la teoría de Hodge es:

Sea X una variedad compleja conexa de dimensión compleja n. Luego X, es una

variedad diferenciable orientable de dimensión 2n, por lo que sus grupos de

cohomología residen en grados cero a través de 2n. Asúmase que X es una

variedad de Kähler, por lo que hay una descomposición en su cohomología con

coeficientes complejos:

Donde es el subgrupo de grupos de cohomología que están representados por

formas armónicas de tipo (p, q). Esto es, estas son los grupos de cohomología

representados por formas diferenciales que, en una determinada opción de

coordenadas locales, puede ser escritas como tiempos de funciones armónicas

Teoría de Hodge. Tomar productos exteriores de estos representantes armónicos

se corresponde con el cup product en cohomología, por lo que cup product es

compatible con la descomposición de Hodge:

Dado que X es una variedad compleja, X tiene una clase fundamental.

Sea Z una subvariedad compleja de X de dimensión k, y sea i : Z → X la función de

inclusión. Elíjase una forma diferenciada del tipo (p, q). Podemos integrar sobre

Z:

Para evaluar esta integral, elíjase un punto de Z y llámesele 0. Alrededor de 0,

podemos elegir coordenadas locales en X tal que Z sea i. si p > k, entonces debe

contener algún donde tienda a a cero en Z. Lo mismo es cierto si q > k.

Consecuentemente, esta integral es cero si (p, q) ≠ (k, k).

De forma más abstracta, la integral puede ser escrita como el cap product del grupo

de cohomología de Z y del grupo de cohomología representado por . Según la

dualidad de Poincaré, el grupo de homología de Z es doble del grupo de

cohomología que llamaremos [Z], y el cap product puede ser calculado tomando el

cup product de [Z] y y capping con la clase fundamental de X. Dado que [Z] es un

grupo de cohomología, tiene descomposición de Hodge. Según el cálculo anterior,

si nosotros cup este grupo con otro tipo de grupo (p, q) ≠ (k, k), entonces tendremos

cero. Dado que, se concluye que [Z] debe quedar en x. En pocas palabras, la

conjetura de Hodge dice:

¿Qué grupos de cohomología en x derivan de subvariedades complejas Z?

Es una pregunta que ni el mismo propósitor ha sido capaz de resolverla, más la

matemática tiene muchas formas de hallar un resultado, por ende se espera que

muy prontamente llegue una persona y sea capaz de resolverla.

Intentos

Hasta el 2005, el intento más serio para resolver la conjetura de Hodge fue explorar los ceros de la función mediante computación distribuida con la capacidad de verificar billones de datos de números por día. El proyecto acabó en diciembre de 2005, y ninguno de los numeros pudo ser identificado como aproximación a la conjetura de Hodge

Hipótesis de Poincaré

En matemáticas, y más precisamente en topología, la conjetura de Poincaré

(también llamada hipótesis de Poincaré) es un resultado sobre la esfera

tridimensional (la 3-esfera); la hipótesis dejó de ser una conjetura para convertirse

en un teorema tras su comprobación en 2003 por el matemático Grigori Perelman.

El teorema sostiene que la esfera cuatridimensional, también llamada 3-esfera o

hiperesfera, es la única variedad compacta cuatridimensional en la que todo lazo o

círculo cerrado (1-esfera) se puede deformar (transformar) en un punto. Este último

enunciado es equivalente a decir que sólo hay una variedad cerrada y simplemente

conexa de dimensión 3: la esfera cuatridimensional.

Este tipo de problema es muy comprendible y tiene muchas formas de interpretarlo,

pero aun así ha sido casi imposible para los matemáticos resolver este problema.

Específicamente la hipótesis de Poincaré es:

La superficie de un balón de fútbol, por ejemplo, es casi un ejemplo de variedad de

dimensión 2, una 2-esfera; lo podemos manipular como queramos, dándole

diferentes formas, pero sin romperlo, y seguirá siendo una 2-esfera. El criterio para

comprobar si una variedad es una 2-esfera es muy sencillo: imagínese una goma

elástica tremendamente deformable apoyada sobre la superficie del balón; si la

goma se puede comprimir (sin salirse de la superficie) hasta ocupar un solo punto,

y esto en cualquier parte de la superficie, el balón es una 2-esfera y se dice que es

simplemente conexa.

El problema de clasificar las variedades en el espacio usando como criterio de

clasificación el concepto de homeomorfismo fue resuelto en el siglo XIX. Así, la

esfera es una variedad de dimensión 2 (cada trozo pequeño de la esfera es un

pequeño trozo de plano ligeramente deformado), cerrada y simplemente conexa y

se estableció que toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa es

homeomorfa a la esfera. Dicho de otro modo: sólo hay una variedad (homeomórfica)

de dimensión n=2, cerrada y simplemente conexa, y se trata de la esfera (y sus

homeomorfos).

Más técnicamente, en 1904, el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912)

conjeturó que el resultado obtenido para la esfera n=2 del espacio de dimensión 3

tenía un análogo para la esfera n=3 del espacio de dimensión 4. En otras palabras,

en el espacio de dimensión 4, toda variedad de dimensión n=3, cerrada y

simplemente conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión n=3. Pero

Poincaré no consiguió probar su conjetura. Tampoco ninguno de sus

contemporáneos ni sucesores. Con el tiempo, la conjetura de Poincaré cobró interés

hasta convertirse en el problema abierto más notable de la topología geométrica,

con destacables implicaciones para la Física. Más aún, llegó a convertirse en uno

de los problemas sin resolver más importantes de las matemáticas.

Para dimensión dos ya fue demostrada en el siglo XIX. Para n=5, hubo de esperar

hasta 1961, cuando lo hizo Erik Christopher Zeeman. Ese mismo año, Stephen

Smale lo consiguió para n igual o mayor que 7 y, en 1962, John R. Stallings para el

caso n=6. Los casos n=3 y n=4 se resistían y hubo que esperar a 1986 cuando, en

lo que se consideró una hazaña matemática del estadounidense Michael Hartley

Freedman, se consiguió demostrar el caso n=4. El problema es que, resuelto con

éxito para todas las demás dimensiones, el caso original n=3, planteado por

Poincaré, se resistía denodadamente a cualquier demostración matemática hasta

que el matemático ruso Grigori Perelmán hizo pública su demostración.

Henri Poincaré estableció dicha conjetura en 1904, indicando que la esfera

tridimensional era única y que ninguna de las otras variedades tridimensionales

compartían sus propiedades.

Resolución de la hipótesis

Grigori Perelmán resolvió la hipótesis de Poincaré. Justamente por resolver este

problema, Perelmán había recibido en 2006 la medalla Fields, considerada el Nobel

de las matemáticas, otro premio que también rechazó.

Demostración de la conjetura

En un esfera-2 ordinaria, cualquier lazo se puede apretar continuamente hasta

convertirse en un punto en la superficie. ¿Esta condición caracteriza la esfera-2? La

respuesta es sí, y se conoce desde mucho tiempo atrás. La conjetura de Poincaré

hace la misma pregunta para la esfera-3, no visualizable. Grigori Perelmán probó la

veracidad de esa conjetura.

El enunciado no pudo ser resuelto durante un siglo y su demostración fue

considerada uno de los siete problemas del milenio propuestos por el Clay

Mathematics Institute.

El matemático ruso Grigori Perelmán anunció haberlo hecho en 2002 a través de

dos publicaciones en internet.

El 5 de junio de 2006 los matemáticos chinos Zhu Xiping y Cao Huaidong

anunciaron la demostración completa, basándose en los trabajos preliminares de

Perelmán (estos sí publicados en revistas especializadas), lo que, una vez realizada

su validación por la comunidad matemática, daría fin a la clasificación completa de

las estructuras topológicas de dimensión tres o tridimensionales. Sin embargo, una

gran parte de la comunidad matemática piensa que la demostración corresponde a

Perelmán y considera el trabajo de los matemáticos chinos como un plagio. La

Academia China de Ciencias, en defensa de Zhu Xiping y Cao Huaidong, afirmó

que el ruso "estableció las líneas generales para probar la conjetura, pero no dijo

específicamente cómo resolver el enigma".

Finalmente, se reconoció el trabajo de Perelmán cuando se le otorgó la Medalla

Fields en el marco del XXV Congreso Internacional de Matemáticos (ICM2006), con

sede en Madrid, en agosto de 2006, la cual rechazó. En declaraciones a un

semanario estadounidense (The New Yorker), Perelman aseguró no querer ser una

"mascota" en el mundo de las matemáticas, estimando que no necesita otro

reconocimiento sobre la validez de su trabajo.

Este como muchos de los problemas matemáticos complejos, han sido tratados de

resolverse y aunque se ha llegado a avanzar bastante en muchos de estos aspectos

no se ha encontrado su solución, muchas personas dirían que la solución de un

problema como este sería fácil, ya que se ha resuelto problemas similares, pero

aun así no se ha logrado comprobar.

La historia de la demostración de la Conjetura de Poincaré

Tal y como hemos comentado, Poincaré desarrolló muchas de las herramientas

necesarias para el estudio de superficies y variedades. En realidad, antes que los

grupos fundamentales, él mismo introdujo los llamados grupos de homología, que

permiten analizar (en varios sentidos, de una forma más ventajosa que los grupos

fundamentales) los agujeros de cualquier dimensión de una superficie o variedad.

No es sencillo dar una idea de lo que son los grupos de homología, ya que su

definición es más compleja y menos intuitiva que la de los grupos fundamentales,

así que nos contentaremos con señalar que sin duda constituyen una de las

construcciones matemáticas más brillantes y de mayor importancia de todos los

tiempos. En cualquier caso, el propósito de Poincaré al introducir estos conceptos

era el de conseguir llegar a una clasificación de todas las superficies de dimensión

2, 3 o superiores en el sentido que ya hemos comentado antes. Habida cuenta de

que el problema en dimensión 2 estaba ya resuelto a finales del siglo XIX, intentó

comprobar la efectividad de sus grupos de homología en la caracterización de

superficies de dimensión 3. Él estaba convencido de que los grupos de homología

eran capaces por ellos mismos de distinguir la esfera tridimensional del resto de

superficies compactas de dimensión 3. En 1900 Poincaré afirmó que si una

superficie compacta de dimensión 3 tiene los mismos grupos de homología que la

esfera S3, forzosamente esa superficie debe ser justamente S3. Sin embargo, él

mismo llegó a la conclusión de que esta afirmación era falsa cuando en un artículo

publicado en 1904 encontró un contraejemplo: una superficie compacta de

dimensión 3 con los mismos grupos de homología que la esfera, pero que no era

simplemente conexa al tener su primer grupo fundamental ciento veinte elementos.

Dicha superficie se denomina desde entonces esfera de Poincaré, y no puede ser

homeomorfa a la esfera ya que tienen primer grupo fundamental diferente.

Disponemos por tanto dos superficies topológicamente diferentes pero que tienen

los mismos grupos de homología, y ello indica que éstos no son suficientes para

caracterizar a una superficie, para decidir si dos superficies son iguales o no. Esto

condujo a Poincaré a considerar los grupos fundamentales y a enunciar su

Conjetura en el mismo artículo de 1904, ya que a la vista de lo anterior, el paso

natural consiste en preguntarse si existe alguna superficie diferente a la esfera pero

con sus mismos grupos de homología y con el mismo grupo fundamental (y por

tanto simplemente conexa). Esto último es, en esencia, el enunciado de la

Conjetura.

Desde la publicación del artículo de Poincaré en 1904, toda una legión de

matemáticos intentaron demostrar la Conjetura para el caso n = 3, que es el

problema original planteado por Poincaré, pero también para dimensiones

superiores, con n > 3. La producción sobre el tema llegó a ser tanta que la American

Mathematical Society se vio obligada a incluir un campo exclusivo (con código

57M40) dedicado a aquellos artículos que intentan demostrar o refutar la Conjetura

de Poincaré. Hubo que esperar hasta el año 1961 para que Erik Christopher

Zeeman (1925- ) consiguiera, tras más de cincuenta años, el primer avance de

importancia demostrando que la Conjetura era cierta para el caso n = 5. Ese mismo

año, el matemático estadounidense Stephen Smale (1930- ) dio un paso decisivo al

probar que la Conjetura es cierta para todo n ≥ 7. Al año siguiente, en 1962, John

R. Stallings demostró el caso n = 6, y finalmente, 23 años más tarde, en 1986,

Michael Hartley Freedman consiguió clasificar todas las variedades simplemente

conexas de dimensión 4 como consecuencia de lo cual quedaba también

demostrado el caso n = 4, siendo el hecho considerado de tal envergadura que le

hizo merecedor de la medalla Fields ese mismo año. Sorprendente: como puede

verse, los casos correspondientes a dimensiones superiores demostraron ser más

“sencillos” que los de dimensiones bajas, que resistieron los ataques de los

matemáticos hasta el último momento. Después de todo, en 1986 el único caso que

quedaba aún sin abordar era el n = 3 de manera que finalmente, tras 82 años, la

Conjetura terminó regresando a la formulación original de Poincaré, que como ya

vimos se refería únicamente a las esferas de dimensión 3.

Erik Christopher Zeeman

Stephen Smale

John R. Stallings

Michael Hartley Freedman

Richard Hamilton

Grigori Perelman

En realidad, el caso n = 3 de la Conjetura de Poincaré ha llegado a convertirse en

una obsesión para muchos matemáticos, algunos de ellos de prestigio, que en

diversas ocasiones creyeron sin razón haber alcanzado una solución (es conocido

el caso del eminente topólogo John Henry Constantine Whitehead, que en 1934

anunció una supuesta demostración para la cual él mismo encontró un

contraejemplo, conocido ahora como el enlace de Whitehead). Así las cosas, la

Conjetura de Poincaré ha pasado a formar parte de la mitología matemática como

uno de los grandes problemas aún sin solución, codeándose en esas alturas con

otros afamados resultados pendientes de demostración como el Teorema de

Fermat, en su momento, o la Hipótesis de Riemann. El reconocimiento a la

importancia de la Conjetura quedó constatado en mayo de 2000 cuando el Clay

Mathematics Institute de Cambridge (Massachusetts) lo incluyó dentro de la

selección de los siete problemas matemáticos sin resolver más relevantes. Dicho

instituto, financiado por el rico empresario americano Landon Clay, es una fundación

privada, sin ánimo de lucro, dedicada a estimular y divulgar el conocimiento de las

matemáticas que en 2000 instauró los premios Millenium Problem por los que se

otorga una cantidad de un millón de dólares a cada persona que resuelva uno de

de los siete problemas que en ese año 2000 un comité de expertos seleccionó como

los más importantes de las matemáticas actuales, entre los que figura, como ya

hemos comentado, la Conjetura de Poincaré. De este modo, además del prestigio

que alcanzaría cualquiera que demostrara o refutara la Conjetura, desde ese

momento había además en juego un premio de un millón de dólares. En cualquier

caso, para la concesión del premio, el Clay Mathematics Institute exige una serie de

requisitos, entre los que se encuentra la necesidad de exponer la solución

encontrada a cada problema ante la comunidad matemática por un período de dos

años antes de recibir el sustancioso galardón.

Sea o no por el premio, a partir del año 2000 varios matemáticos publicaron

supuestas demostraciones de la Conjetura. Así, en abril de 2002 el matemático

inglés M.J. Dunwoody presentó un artículo de cinco páginas en el que pretendía

haber resuelto la Conjetura, pero rápidamente se encontraron errores de

importancia en el trabajo. El siguiente en probar suerte fue el distinguido matemático

Everett Pitcher, quien fuera secretario de la American Mathematical Society desde

1967 hasta 1988, que el 16 de octubre de 2002 presentó en Lehigh University la

conferencia titulada The Poincaré Conjecture is true y envió para su publicación el

correspondiente artículo, del que hasta la fecha no parece haber informes

favorables. Días después de la conferencia de Pitcher, el 22 de octubre de 2002, le

tocó el turno a Sergey Nikitin, de Arizona State University, que publicó en arXiv e-

Print Archive el preprint titulado Proof of the Poincaré Conjecture, para el que el 31

de octubre de ese mismo año aparece un supuesto contraejemplo en el grupo de

noticias sci.math.research; si bien el propio Nikitin para el 10 de diciembre de ese

año había añadido ya hasta siete versiones adicionales de su preprint en arXiv, en

las que se corregían errores y se precisaban algunas definiciones. Desde entonces,

no hay noticia alguna referente a este trabajo. Téngase en cuenta que arXiv e-Print

Archive es un servicio de preprints electrónicos de la Universidad de Cornell que

desde 1991 recopila preprints de diferentes disciplinas científicas como física,

matemáticas, ciencias de la computación o biología, y que en principio publica en

sus servidores cualquier trabajo científico sin ningún tipo de revisión especializada.

Sin duda alguna, el ataque más serio al problema es el debido al matemático ruso

Grigori Yakovlevich Perelman (si bien firma sus artículos como Grisha Perelman),

del Instituto Steklov de la Academia Rusa de Ciencias en San Petersburgo.

Perelman publica, nuevamente en arXiv, el 11 de noviembre de 2002, un preprint

de 39 páginas titulado The entropy formula for the Ricci flow and its geometric

applications, en el que no aborda directamente la Conjetura de Poincaré sino otra

conjetura más general denominada Conjetura de Geometrización de Thurston, de

la cual se deduce como caso particular la Conjetura de Poincaré. Dicho de otro

modo, una vez demostrada la Conjetura de Geometrización de Thurston

automáticamente habremos obtenido también la de Poincaré. La Conjetura de

Geometrización fue propuesta en 1970 por el matemático William Paul Thurston

(1946- ) ganador de una medalla Fields en 1982 por la impresionante envergadura

matemática de sus trabajos sobre variedades de dimensión 2 y 3. En realidad, la

Conjetura de Thurston constituye un problema matemático mucho más ambicioso

que el de Poincaré, ya que pretende alcanzar una descripción definitiva de cualquier

superficie de dimensión 3 por medio de su descomposición en piezas de estructura

geométrica más simple. El 10 de marzo de 2003, Perelman publica en arXiv un

segundo preprint de 22 páginas titulado Ricci flow with surgery on three-manifolds,

que viene a completar el primero de sus preprints introduciendo en él ciertas

mejoras. Para su demostración, Perelman recurre a técnicas de Geometría

Diferencial y se basa en los trabajos de Richard Hamilton, de la Universidad de

Columbia, sobre los flujos de Ricci.

A diferencia de demostraciones anteriores, la de Perelman captó inmediatamente

la atención de los expertos en el tema de todo el mundo, debido al hecho de que él

mismo es reconocido a nivel internacional como uno de los más importantes

especialistas en Geometría Diferencial y que goza de amplio prestigio dentro de la

comunidad matemática gracias a la profundidad y seriedad de sus trabajos. Los día

7, 8 y 11 de abril de 2003, Perelman sometió el trabajo contenido en los dos preprints

de arXiv al juicio de la comunidad científica en un ciclo de conferencias que tuvo

lugar en el Departamento de Matemáticas del prestigioso Massachusetts Institute of

Tecnology (MIT), titulado Ricci Flow and Geometrization of Three-Manifolds. A este

ciclo asistieron más de cien matemáticos, entre los que se encontraban

personalidades ya consagradas como Andrew Wiles, que en 1994 había pasado a

los anales tras conseguir demostrar el último Teorema de Fermat, o el premio Nobel

de economía John Forbes Nash, popularizado por la película Una mente

maravillosa, en la que se recrea su biografía (téngase en cuenta que Nash fue autor

en su juventud de importantes trabajos dentro del campo de la geometría). Tras este

ciclo de conferencias diversos medios de comunicación, como el New York Times,

la BBC y otros, se hicieron eco de la noticia.

Perelman presentando sus teorías

La cuestión es que tras la exposición de los trabajos de Perelman los expertos se

mostraron esperanzados pero cautos, debido a que la complejidad de los

desarrollos que había presentado requerían un examen concienzudo: a pesar de

que, sin duda, suponían avances de envergadura, podían contener sutiles errores

en distintos puntos. Por otro lado, estaba presente también la cuestión del millón de

dólares que podría estar en juego de darse por valida la demostración. Si bien las

normas del Clay Mathematics Institute exigen la publicación de los resultados en

una revista científica y su examen posterior por dos años, el propio James Carlson,

presidente del Instituto, declaró que aunque el trabajo hubiera sido publicado en

Internet podría obviarse este hecho si se superaban los dos años de revisión. De

todos modos, si hacemos caso de los rumores que circulan por Internet, es incluso

posible que el propio Perelman desconociera la existencia del premio del Instituto

Clay y que fuera, por tanto, ajeno a estas cuestiones.

Así las cosas, el pasado junio de este año salta la sorpresa cuando es anunciada

en los medios de comunicación la publicación de una nueva demostración de la

Conjetura de Poincaré, que además se presenta como la primera prueba

íntegramente completa no solo del problema de Poincaré, sino también de la

Conjetura de Geometrización. Los autores de la nueva demostración son los

matemáticos chinos Zhu Xiping, de la Universidad de Zhongshan (en la provincia de

Cantón, al sur de China) y Cao Huaidong, de la Universidad de Lehigh (Pensilvania,

EEUU), y ésta aparece publicada en el número de junio de la revista Asian Journal

of Mathematics, en un artículo de 327 páginas titulado A complete proof of the

Poincaré and Geometrization Conjectures –Application of the Hamilton-Perelman

theory of the Ricci flow. Según declaraciones a los medios de comunicación, ambos

matemáticos han trabajado en la demostración por más de dos años bajo la

dirección de Shing-Tung Yau, profesor de la Universidad de Harvard y ganador de

la medalla Fields en el año 1982, quién es además uno de los editores en jefe del

Asian Journal of Mathematics. La nueva demostración no sólo fue difundida en el

ámbito científico, sino que fue profusamente anunciada en medios de comunicación

como el Diario del Pueblo, órgano de prensa del gobierno chino, en el que se

dedicaron al tema grandes titulares en letras rojas que festejaban la demostración

como un éxito histórico de la ciencia china. Además, numerosos otros medios de

distintos países se hicieron eco también de la noticia.

Sin duda alguna la polémica está servida, ya que las teorías de Perelman recogidas

en sus dos artículos de arXiv se encontraban todavía en período de revisión, y todo

parecía indicar que estaba próxima su aceptación definitiva por la comunidad

matemática. Por otro lado, el trabajo de los matemáticos chinos se fundamenta en

los desarrollos de Perelman, tal y como queda reflejado en el título de su artículo e,

incluso en el abstract del trabajo, en el que los propios autores escriben: Este trabajo

depende de los trabajos de muchos geómetras y analistas durante los últimos treinta

años. Esta prueba debería ser considerada como la culminación de la teoría de

Hamilton-Perelman sobre el flujo de Ricci. Sin embargo, por otro lado, el Sr. Yang,

miembro de la Academia China de Ciencias, ha declarado que Todos los

matemáticos americanos, rusos y chinos han hecho contribuciones indispensables

a la prueba completa, en clara alusión a Perelman y Hamilton, y continúa señalando

que la longitud total del trabajo de Perelman sobre la Conjetura era, hacia finales de

2002, de alrededor de 70 páginas, en contraposición con las más de 300 del artículo

de Zhu y Cao, argumentando de esta manera que Perelman trazó las líneas

maestras que habían de seguirse para resolver el problema pero sin llegar a encajar

el puzzle de forma definitiva. Finalmente, Yang añade que las líneas maestras son

completamente diferentes de la prueba completa de una teoría. Sin embargo, los

expertos comienzan ya a tomar posición en defensa del trabajo de Perelman, toda

vez que parace opinión unánime que los matemáticos chinos no han hecho más

que una reconstrucción detallada de la línea de demostración trazada por Perelman.

Por otro lado, esta reconstrucción no es la primera, ya que en el pasado mes de

mayo los norteamericanos Bruce Kleiner y John Lott presentaron un trabajo similar.

La única diferencia es que, según parece, Zhu y Cao realizaron en secreto su

demostración, mientras que la de Kleiner y Lott fue ampliamente difundida en

Internet en cada paso de su desarrollo. En realidad, tanto la prueba de los chinos

como la de los norteamericanos no serían más que revisiones muy precisas de la

demostración de Perelman que sencillamente vienen a confirmar su validez. De esta

manera, nos encontramos quizás ante un posible conflicto científico oriente-

occidente de cierta magnitud.

En todo caso, a partir de ahora será necesario que la comunidad matemática

internacional examine tanto los trabajos de Zhu y Cao como los de Perelman. Sin

duda alguna, el comité de expertos del Instituto Clay encargado de discernir quién

ha sido realmente el autor de la primera demostración de la Conjetura de Poincaré

tiene delante de sí una difícil tarea.

Con toda seguridad, uno de los temas estrella del próximo Congreso Internacional

de Matemáticos que se celebrará en Madrid a finales de agosto de este año será la

Conjetura de Poincaré, tanto más si hacemos caso a los rumores que señalan que

Perelman podría ser galardonado con la medalla Fields en el transcurso del evento.

Téngase en cuenta que Perelman, que nació en 1966, está aún a tiempo de recibir

el premio que tradicionalmente se entrega a matemáticos que no superen los 40

años.

Ecuaciones de Navier-Stokes

Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y

George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas

parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones

gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de

vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren

fluidos newtonianos.

Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la

mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la

llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación

diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella

en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de

velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulación

diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que

se plantean en la mecánica de fluidos.

Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de

ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución

general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones

muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas

ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico para determinar una solución

aproximada. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de

estas soluciones mediante métodos numéricos se la denomina dinámica de fluidos

computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computational Fluid Dynamics).

Más específicamente las ecuaciones de Navier-Stokes es:

Derivada sustancial o material

Debido a que generalmente adoptamos la descripción euleriana la derivada

ordinaria ya no representa toda la variación por unidad de tiempo de una

determinada propiedad del fluido (o magnitud fluida) siguiendo a la partícula fluida.

Esto se debe al movimiento del fluido. Para reflejar esta variación usaremos la

derivada sustancial (o derivada siguiendo a la partícula fluida). La derivada

sustancial o derivada material se define como el operador:

Donde es la velocidad del fluido. El primer término representa la variación de la

propiedad en un punto fijo del espacio y por ello se la denomina derivada local,

mientras que el segundo representa la variación de la propiedad asociado al cambio

de posición de la partícula fluida, y se la denomina derivada convectiva. Este es el

procedimiento que sigue José Echegaray para demostrar la derivada material.

Tomando las coordenadas de Euler como:

Calcularemos la aceleración para estas coordenadas:

Desarrollamos cada derivada total de cada componente, así podremos seguir un

desarrollo fácil de recordar:

Si se suma término a término y se saca factor común, puede obtenerse:

Vemos que la parte de las derivadas parciales espaciales se pueden escribir como:

Si ahora sustituimos velocidad por obtenemos formalmente la expresión de la

derivada material:

Teorema del transporte de Reynolds

Si la derivada sustancial permite calcular la variación de una magnitud fluida ligada

a una partícula fluida, el teorema del transporte de Reynolds permitirá calcular la

variación de una magnitud fluida extensiva ligada a un volumen fluido. Existe por

tanto una analogía entre ambos conceptos, pues una partícula fluida no es más que

un volumen fluido infinitesimal. En su forma general el teorema del transporte de

Reynolds se expresa como:

Donde es la magnitud fluida extensiva definida por unidad de volumen (una

magnitud extensiva por unidad de volumen es una magnitud intensiva), es un

volumen fluido, es un volumen de control que coincide con en el instante t, la

superficie de dicho volumen de control, la velocidad del fluido y la velocidad de la

superficie de control.

El segundo término del miembro derecho representa el flujo convectivo de la

magnitud fluida extensiva a través de la superficie de control que limita el volumen

de control. Se define el flujo convectivo de una magnitud fluida extensiva a través

de una superficie de control como la cantidad de dicha magnitud que, transportada

por el fluido, atraviesa la superficie de control en la unidad de tiempo.

Expresado en términos coloquiales puede decirse que el teorema del transporte de

Reynolds viene a decir que la variación de una propiedad extensiva en un volumen

fluido, es igual a la variación de dicha propiedad en el interior de ese volumen más

la cantidad de dicha propiedad que atraviesa la superficie del volumen.

Teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia (o teorema de Gauss) permite, bajo ciertas hipótesis,

transformar integrales de superficie en integrales de volumen ( y viceversa). En el

caso particular de tres dimensiones podemos expresarlo como:

Las ecuaciones de Navier-Stokes

Esta expresión representa el principio de conservación del momento lineal aplicada

a un fluido general:

La ley de conservación de la masa se escribe:

En estas ecuaciones ρ representa la densidad, ui (i = 1,2,3) las componentes

cartesianas de la velocidad, Fi las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo, como la

gravedad, P la presión del fluido, y μ la viscosidad dinámica.

Donde Δ = eii es la divergencia del fluido y δij la delta de Kronecker. D / Dt es la

derivada total o derivada material temporal siguiendo el fluido:

La no linealidad de las ecuaciones se debe precisamente al término relacionado con

la derivada total. Cuando μ es uniforme sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido

se simplifican de la manera siguiente:

O en forma vectorial.

Casos particulares

Para fluidos de viscosidad nula, es decir cuando μ = 0, las ecuaciones resultantes

se denominan ecuaciones de Euler que se utilizan en el estudio de fluidos

compresibles y en ondas de choque.

Objetivo

El objetivo general de este paper era mostrarle ejemplos matemáticos indefinidos,

que aunque les han trabajado bastante no se ha encontrado la solución, también

invitarlos a que se introduzcan en un maravilloso mundo interminable, el maravilloso

mundo de las matemáticas. Las matemáticas son esenciales en la vida, para los

grandes matemáticos se ha convertido en una forma de vida en la cual se han

sumergido y cada vez encuentran cosas maravillosas, algunas que tienen su seria

complejidad y por ello no se ha podido encontrar una solución, más esto no quiere

decir que su solución no se pueda encontrar pronto.

Las matemáticas están para que tú las descubras y aprendas a vivir con ellas.