L Adriane 22-04 SEI uni IV [Modo de...
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Introdução à álgebra de boole
Na álgebra booleana, estão todos os fundamentos da eletrônica digital.
Relação entre a lógica matemática e eletrônica digital
Existe uma estreita ligação entre as tabelas de lógica matemática e as portas lógicas existentes na eletrônica digital.
Tabela de relação entre as duas nomenclaturas
Lógica Matemática Eletrônica Digital
^ .
v +
~ -
Ex.: (p v q) = (a + b)( ^ ) ( b)
V, F 1,0
p, q a, b
(p ^ q) = (a . b)
Exemplo de utilização (AND)
Transforme p ^ q em lógica digital e desenhe a porta lógica correspondente.p ^ q = a . b
AND
Exemplo de utilização (OR)
Transforme p v q em lógica digital e desenhe a porta lógica correspondente.p v q = a + b
OR
Exemplo de utilização (NOR)
Transforme ~(p v q) em lógica digital e desenhe a porta lógica correspondente.
~(p v q) = (a + b)NOR
p q p v q ~(p v q)
V V V F
V F V F
F V V F
a b a + b (a + b)
1 1 1 0
1 0 1 0
0 1 1 0
F F F V 0 0 0 1
Exemplo de utilização (NOR)
Transforme ~(pv~q) em lógica digital e desenhe a porta lógica correspondente.
~(p v ~q) = (a + b)NOR
p q ~q p v ~q ~(p v ~q)
V V F V F
V F V V F
F V F F V
F F V V F
a b b a + b (a + b)
1 1 0 1 0
1 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 0 1 1 0
Exemplo de utilização (NAND)
Transforme ~(p ^ q) em lógica digital e desenhe a porta lógica correspondente.
~(p ^ q) = (a . b)NAND
p q p ^ q ~(p ^ q)
V V V F
V F F V
F V F V
a b a . b (a . b)
1 1 1 0
1 0 0 1
0 1 0 1
F F F V 0 0 0 1
Interatividade
Q l lt ti t t f ãQual a alternativa correta para transformação das proposições (p ^ q) ^ (p v q) para linguagem lógica digital?a) (a . b) . (a + b)b) (a + b) + (a + b)c) (a . b) . (a . b)d) (a + b) . (a . b)e) NDA
O sistema binário de numeração
10 16 2 810 16 2 80 0 0000 01 1 0001 12 2 0010 23 3 0011 34 4 0100 45 5 0101 56 6 0110 67 7 0111 78 8 1000 109 9 1001 1110 A 1010 1210 A 1010 1211 B 1011 1312 C 1100 1413 D 1101 1514 E 1110 1615 F 1111 17
Exemplo de conversão de decimal para binário
155 para binário?
27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 20
128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 1 1 0 1 1
128 16 8 2 1 155128 + 16 + 8 + 2 + 1 = 155
Exemplo de conversão de decimal para binário
255 para binário?
27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 20
128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
128 64 32 16 8 4 2 1 255128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255
Exemplo de conversão de decimal para binário
355 para binário?
28, 27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 20
256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1
256 64 32 2 1 355256 + 64 + 32 + 2 + 1 = 355
Exemplo de conversão de decimal para binário
1356 bi á i ?1356 para binário?
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0
1024 + 256 + 64 + 8 + 4 = 1356
Interatividade
Dado o número decimal 167 é correto afirmar que ele convertido para número binário é:a) 10111111;b) 10101111;b) 10101111;c) 10100101;d) 10100111;e) 10100110.
Propriedade cumulativa na multiplicação
Segue o exemplo da propriedade cumulativa na multiplicação:A x B = B x A.
Propriedade associativa na adição
S l d i d dSegue o exemplo da propriedade associativa na adição:A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C.
Propriedade associativa na multiplicação
Segue o exemplo da propriedade associativa na multiplicação:A x (B x C) = (A x B) x C = A x B x C.
Portas lógicas
Como ficam as portas lógicas da seguinte proposição?
((a + b) . (a . b))
NOR
AND
NAND
Portas lógicas
Como ficam as portas lógicas da seguinte proposição?
((a + b) . (a . b))
NORNOR
NAND
NAND
Interatividade
Qual é a linguagem digital que corresponde ao desenho abaixo?
OR
NAND
a) (a + b) + (a . b);b) (a . b) . (a + b);c) (a + b) + (a + b);
AND
) ( ) ( );d) (a + b) . (a . b);e) NDA.
Álgebra booleana
São estruturas algébricas que detêm a essência das operações lógicas (E, OU e NÃO), e também as operações da teoria de conjuntos.
Álgebra booleana
Por álgebra booleana, normalmente, entende-se um conjunto B junto com duas operações binárias ^ ou v em B e dois elementos 0 e 1 de B, tais que os axiomas seguintes sejam:1. Para todo x e y em B, x v y = y v x;2. Para todo x e y em B, x ^ y = y ^ x;3. Para todo x, y, z em B, x ^ (y v z) =
(x ^ y) v (x ^ z);
Álgebra booleana
4. Para todo x, y, z em B, x (y z) = (x y) (x z).
5. Para todo x em B, x v 0 = x;6. Para todo x em B, x ^ 1 = x;7 Para todo x em B x v x’ = 0;7. Para todo x em B, x v x’ = 0;8. Para todo x em B, x ^ x’ = 1;9. 0 ≠ 1.
Formas normais
Uma proposição está em forma normal (FN) se, e somente se contém os conectivos ¬, e . Exemplo:
¬p ^ ¬q¬ (¬p v ¬q) ( p v q)(p ^ q) v (¬q v r)
Formas normais
Toda a proposição pode ser levada para a forma normal (FN) equivalente pela eliminação dos conectivos → e ↔, se existirem.Isso significa a substituição de p → q por ¬p q;
p q ~p p q ~p v q
V V F V V
V F F F FV F F F FF V V V VF F V V V
Formas normais
p ↔ q por (¬p q) (p ¬q).
A B
p q ~p ~q p ↔ q ~p v q p v ~q A ^ B
V V F F V V V VV F F V F F V FF V V F F V F FF F V V V V V V
Forma normal conjuntiva
Uma proposição está na forma normal conjuntiva (FNC) se, e somente se são verificadas as seguintes condições:
contém apenas os conectivos ¬, e ;¬ não aparece repetido (¬¬) e não tem não aparece repetido ( ) e não tem alcance sobre e .Desta forma, somente incide sobre letras proposicionais;
Forma normal conjuntiva
não tem alcance sobre . Assim, não há componentes do tipo p (q r).Simbolicamente, fica:¬p ¬q, ¬p q r, (¬p q) (¬q ¬r)
Forma normal disjuntiva
Uma proposição está na forma normal disjuntiva (FND) se, e somente se são verificadas as seguintes condições:
contém apenas os conectivos ¬, e ;¬ não aparece repetido (¬¬) e não tem não aparece repetido ( ) e não tem alcance sobre e . Desta forma, somente incide sobre letras proposicionais;
Forma normal disjuntiva
não tem alcance sobre . Assim, não há componentes do tipo p (q r)).
Simbolicamente, fica:¬p ¬q, p (q r), (p ¬q) (¬p ¬q ¬r)
Interatividade
Verifique se podemos afirmar que é uma forma normal a seguinte proposição:(p ^ q) v (p ¬q)a) V, V, F, Vb) F V V Fb) F, V, V, Fc) F, F, F, Fd) V, V, F, Fe) V, V, V, V