juroscomp (1)

MATEMTICA FINANCEIRA

UniSant`Anna

Administrao de Empresas

Matemtica Financeira

Prof. Marisa

REGIMES DE CAPITALIZAO XE "2.5 REGIMES DE CAPITALIZAO" Podemos definir como regime de capitalizao os mtodos pelo qual os capitais so remunerados. Os regimes de capitalizao podem ser SIMPLES e COMPOSTO ou mtodo de capitalizao linear e exponencial, respectivamente. Vejamos um exemplo;

EXEMPLO: Seja um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valor acumulado no final de cada perodo pelos regimes de capitalizao simples e composta?

Regime de Capitalizao Simples

NCapital AplicadoJuros de cada perodoValor Acumulado

1R$ 1.000,00R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00

2R$ 1.000,00R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.200,00

3R$ 1.000,00R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.300,00

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O

REGIME DE CAPITALIZAO SIMPLES

M = R$ 1..300,00

C . i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00C = R$ 1.000,00

Regime de Capitalizao Composta

NCapital AplicadoJuros de cada perodoValor

Acumulado

1R$ 1.000,00R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00

2R$ 1.100,00R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00R$ 1.000,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,00

3R$ 1.210,00R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.331,00


REGIME DE CAPITALIZAO COMPOSTA

M = R$ 1..331,00

C . i = R$ 100,00 M1 . i = R$ 110,00 M2 . i = R$ 121,00C = R$ 1.000,00

JUROS COMPOSTOS XE "4. JUROS COMPOSTOS" 1. CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS XE "4.1 CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS" Podemos entender os juros compostos, como sendo o que popularrmente chamamos de juros sobre juros. Observe novamente a demonstrao do regime de capitalizao composta. Matematicamente, o clculo a juros compostos conhecido por clculo exponencial de juros.

Regime de Capitalizao Composta

NCapital AplicadoJuros de cada perodoValor

Acumulado

1R$ 1.000,00R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00

2R$ 1.100,00R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00R$ 1.000,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,00

3R$ 1.210,00R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.331,00


REGIME DE CAPITALIZAO COMPOSTA M = R$ 1.331,00

C . i = R$ 100,00 M1 . i = R$ 110,00 M2 . i = R$ 121,00C = R$ 1.000,00

2. VALOR FUTURO (FV) ou MONTANTE (M) XE "4.2 VALOR FUTURO (FV) ou MONTANTE (M)"

EXEMPLO: Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado taxa de 4% ao ms, durante 5 meses.

Dados:

FV = ?

PV = R$ 5.000,00

i = 4% ao ms

n = 5 mesesFUNO C na HP 12C, teclas [STO] e [EEX] XE "4.4 FUNO \C\ na HP 12C, teclas [STO] e [EEX]"

Com a seqncia de teclas [STO] [EEX] aparecer no visor da calculadora HP 12C a letra C. Se a letra C no estiver aparecendo no visor, a HP-12C faz esse clculo com base na chamada conveno linear, em que os juros so calculados de acordo com o regime de capitalizao composta para perodos inteiros e de acordo com o regime de capitalizao simples para perodos fracionrios. Vamos comprovar:

EXEMPLO: Calcular o valor futuro de uma aplicao de R$ 1.450.300,00, aplicado taxa de 15% ao ano, durante 3,5 anos.

Dados:

PV = R$ 1.450.300,00

i = 15% ao ano

n = 3,5 anos.

Observe que existe uma diferena de R$ 5.777,83, vejamos o por qu?

1 PASSO: determinar o valor futuro para o perodo de 3 anos (perodo inteiro) pelo regime de juros compostos.

FV (3 anos) = 1.450.300 (1,15) 3 = R$ 2.205.725,01

2 PASSO: determinar o valor dos juros correspondentes a meio ano (perodo fracionrio) pelo regime de juros simples.

J (meio ano) = ( 1.450.300 x 0,15 x 180 ) / 360 = R$ 165.429,38

3 PASSO: determinar o valor futuro total (3,5 anos)

FV (3,5 anos) = R$ 2.205.725,01 + R$ 165.429,38 = R$ 2.371.154,39

3. VALOR PRESENTE (PV) OU CAPITAL (C) XE "4.5 VALOR PRESENTE (PV) OU CAPITAL (C)"

EXEMPLO: No final de dois anos, o Sr. Carlos dever efetuar um pagamento de R$ 2.000,00 referente ao valor de um emprstimo contratado na data de hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao ms. Pergunta-se: Qual o valor emprestado?

Dados:

FV = R$ 2.000,00

i = 4% ao ms

n = 24 meses

PV = ?

4. PRAZO (n) XE "4.6 PRAZO (n)"

ou

ou n =

EXEMPLO: Em que prazo um emprstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um nico pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada de 3% ao ms.

Dados:

n = ?

PV = R$ 24.278,43

FV = R$ 41.524,33

i = 3% ao ms

FUNO [FRAC] e [INTG] XE "4.7 FUNO [FRAC] e [INTG]" Atravs da funo [FRAC] possvel eliminar a parte inteira de um nmero e manter a parte a parte fracionria.

Atravs da funo [INTG] possvel eliminar a parte fracionria de um nmero e manter a parte inteira.

Vamos comprovar:

Tomando como base o Exemplo anterior, temos que o prazo foi de 18,156731...meses, observe que existe uma parte fracionria, que neste caso representa a quantidade de dias. Para calculamos a quantidade de dias, basta multiplicar a parte fracionria por 30 (ms comercial).

Soluo nica.

Estando com o nmero 18,156731... no visor da calculadora HP 12C, observar o procedimento a seguir:

[g] FRAC 30 [x]

4,701928 dias

no caso de dias, poderemos arredondar o nmero para maior, ento poderemos dizer que a resposta do Exemplo 18, seja 18 meses e 5 dias.

Para o mesmo Exemplo 18, poderemos eliminar a parte fracionria e ficar com a parte inteira, fazendo a seqncia teclas: [g] INTG.

5. TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS XE "4.8 TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS"

Ou

EXEMPLO: A loja Arrisca tudo financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 10.210,72, sem entrada, para pagamento em uma nica prestao de R$ 14.520,68 no final de 210 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?

Dados:

i = ?

PV = R$ 10.210,72

FV = R$ 14.520,68

n = 210 dias

EXERCCIOS SOBRE JUROS COMPOSTOS XE "4.9 EXERCCIOS SOBRE JUROS COMPOSTOS" 1. Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicao de um capital de R$ 100.000,00 taxa de 3,75% ao ms.

Resposta: R$ 144.504,39

2. Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no final de dois anos. Calcular as taxas mensal e anual desse emprstimo.

Resposta: 8% ao ms, ou 151,817% ao ano.

3. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituio financeira de 12,486%, determinar qual o prazo em que um emprstimo de R$ 20.000,00 ser resgatado por R$ 36.018,23.

Resposta: 5 trimestres (ou 15 meses).

4. Quanto devo aplicar hoje, taxa de 18,00% ao ano, para ter R$ 1.000.000,00 ao final de 19 meses?

Resposta: R$ 769.461,37

EXERCCIOS DE REFORO - SOBRE JUROS COMPOSTOS1. Uma empresa obtm um emprstimo de R$ 700.000,00 que ser liquidado, de uma s vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse emprstimo dever ser quitado.

Resposta: R$ 1.708.984,38

2. Em que prazo uma aplicao de 374.938,00, taxa de 3,25% ao ms, gera um resgate de R$ 500.000,00.

Resposta: 9 meses

3. Um terreno est sendo oferecido por R$ 4.500,00 vista ou R$ 1.500,00 de entrada e mais uma parcela de R$ 3.500,00, no final de 6 meses. Sabendo-se que no mercado a taxa mdia para aplicao em ttulos de renda prefixada gira em torno de 3,5% ao ms (taxa lquida, isto , com o Imposto de Renda j computado), determinar a melhor opo para um interessado que possua recursos disponveis para compr-lo.

Resposta: A melhor opo compr-lo a prazo

4. Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado a 3,755% ao ms.

Resposta: 11 meses.

5. A aplicao de certo capital, taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de

R$ 820.000,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros.

Resposta: R$ 396.288,79

6. Qual mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao ms, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao ms?

Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao ms.

7. No fim quanto tempo um capital, aplicado taxa de 4% ao ms, quadruplica o seu valor:

a) no regime de capitalizao composta; (Resposta: 35,35 meses)

b) no regime de capitalizao simples. (Resposta: 75 meses)

8. Qual o montante produzido pela aplicao de R$ 580,00, taxa de 17,5% ao ano, pelo prazo de 213 dias?

Resposta: 638,07

9. Qual o valor do capital, que aplicado taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias, produziu um montante de R$ 5.000,00?

Resposta: R$ 3.584,32

10. A aplicao de R$ 211.009,90 proporcionou um resgate de R$ 322.033,58 no final de seis meses. Determinar a taxa mensal dessa operao.

Resposta: 7,3% ao ms.

11. Certa aplicao rende 0,225% ao dias. Em que prazo um investidor poder receber o dobro da sua aplicao?

Resposta: 308 dias

12. Quanto uma pessoa resgatar no final de 93 dias se aplicar R$ 2.000,00 taxa de 15% ao ano?


13. Qual o nmero de dias necessrio para que uma aplicao de R$ 1.000,00 produza um valor de resgate de R$ 3.000,00, se a taxa de juros contratual for de 4,8% ao ms?

Resposta: 703 dias

14. Um ttulo de renda fixa emitido com um prazo de dois meses e valor de resgate de R$ 10.000,00. Determinar seu valor de emisso para que seja garantida ao investidor uma rentabilidade de 10% ao ano, no regime de juros compostos.


M = C ( 1 + i ) n

FV = PV ( 1 + i ) n

Soluo 3 (HP 12C)

[f] FIN

5000 [CHS] [PV]

4 [i]

5 [n]

[FV]

R$ 6.083,26

Soluo 2 (HP 12C)

5000[ENTER]

1[ENTER]

0,04[+]

5[yx][x]

R$ 6.083,26

Soluo 1

FV = 5.000 ( 1 + 0,04) 5

FV = 5.000 ( 1,04 ) 5

FV = 5.000 (1,216653...)

FV = R$ 6.083,26

Soluo 1:

FV = 1.450.300 (1 + 0,15) 3,5

R$ 2.365.376,56

Usando a HP 12C com C no visor.

[f] FIN

1450300 [CHS] [PV]

15 [i]

3,5 [n]

FV

R$ 2.365.376,56

Usando a HP 12C sem C no visor.

[f] FIN

1450300 [CHS] [PV]

15 [i]

3,5 [n]

FV

R$ 2.371.154,39

C = M ( ( 1 + i ) n

PV = FV ( ( 1 + i ) n

Soluo 1

PV = 2.000 / (1 + 0,04) 24

PV = 2.000 / (1,04) 24

PV = 2.000 / 2,563304...

PV = R$ 780,24

Soluo 2

PV = 2.000 x 1 / (1 + 0,04) 24

PV = 2.000 x 1 / (1,04) 24

PV = 2.000 x 1 / 2,563304...

PV = 2.000 x 0,390121...

PV = R$ 780,24

Soluo 3: (HP 12C)

2000[ENTER]

1[ENTER]

0,04[+]

24[yx] [:]

R$ 780,24

Soluo 4: (HP 12C)

[f] FIN

2000 [CHS] [FV]

4 [i]

24 [n]

PV

R$ 780,24

EMBED Equation.COEE2

n = EMBED Equation.COEE2

Soluo 1:

n = LN(41.524,33) LN(24.278,43)

LN (1,03)

n = 10,634035... 10,097344...

0,029559...

n = 0,536691...

0,029559...

n = 18,156731... meses

Soluo 2:

n = {LN(41.524,33) / LN(24.278,43)}

LN (1,03)

n = LN (1,710338)

LN (1,03)

n = 0,536691...

0,029559...

n = 18,156731... meses

Soluo 3: (HP 12C)

41.524,33 [g] LN

24.278,43 [g] LN [-]

1,03 [g] LN [:]

n = 18,156731...

Soluo 4: (HP 12C)

41.524,33 [ENTER]

24.278,43 [:] [g] LN

1,03 [g] LN [:]

n = 18,156731...

Soluo 5: (HP 12C)

[f] FIN

41524,33 [CHS] [FV]

24278,43 [PV]

3 [i]

[n]

19 meses

Onde:

QQ = Quanto eu Quero

QT = Quanto eu Tenho

i ={ EMBED Equation.COEE2 QQ/QT 1} x 100

i ={(1 + i) QQ/QT 1} x 100

Soluo 1:

i = {(14.520,68 / 10.210,72 ) 30/210 1} x 100

i = {(14.520,68 / 10.210,72 ) 30/210 1} x 100

i = {(1,422101...) 0,142857 1} x 100

i = {(1,422101...) 0,142857 1} x 100

i = {1,051592 1} x 100

i = {0,051592) x 100

i = 5,16% ao ms.

Soluo 2:

14520,68[ENTER]

10210,72[:]

30 [ENTER] 210 [:] [yx]

1 [-] 100 [x]

5,16% ao ms

Soluo 3:

10210,72[CHS] [PV]

14520,68[FV]

7[n]

[i]

5,16% ao ms.

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