Juros Compostos

Disciplina de Matemática Financeira– 2012/1Curso de Administração em Gestão Pública

Profª. Me. Valéria Espíndola LessaE-mail:

lessavaleria@gmail.comValeria-lessa@uergs.edu.br

1

Definição

• Juro Composto é o regime de capitalização na quala taxa de juros é aplicada não apenas no Capital(como no Juros Simples) mas a cada Montante doperíodo anterior.

• Exemplo:

C = 100,00

i = 3% a.m.

n= 4 meses

Meses Juros Montante

0 ----- 100,00

1 100 x 0,03 = 3,00 103,00

2 103 x 0,03 = 3,09 106,09

3 106,09 x 0,03 = 3,18 109,18

4 109,18 x 0,03 = 3,28 112,46

Fórmula

Tempo Juros Montante

0 --- C = M0

1 C . i C + Ci = C (1+i) = M1

2 M1 . i M1 + M1 . i = M1 (1+i) = C (1+i)(1+i) = C (1+i)2 = M2

3 M2 . i M2 + M2 . i = M2 (1+i) = C (1+i)2(1+i) = C (1+i)3 = M3

... ... ...

n Mn-1 . i C (1+i)n

M = C (1+i)n

Exemplo

• Página 119 -> 1

Determinação do Fator de Capitalização

• Como calcular potências com expoentesgrandes em (1+i)n quando n=16, porexemplo: (1+0,03)16 ?

Usar uma calculadora científica:

Digitar 1,03 -> clicar xy -> digitar 16 = 1,604706 ≈ 1,6

Exemplos e Exercícios

• Páginas 122, 123 e 124 -> exemplos 1, 2 e 3

• Página 125 -> Exercício “Resolva” 1, 2 e 3

Cálculo do Capital

• Página 126 -> Exemplo 1

• Página 127 -> Exercício “Resolva” 1

Cálculo da Taxa(i) e do prazo(n)

• Taxa (i) – página 127, exercícios resolvido 1.

• Prazo (n) – páginas 127 e 128, exercício resolvido 2.

Uso das Propriedades do

Logaritmos

Revisão de Logaritmos

• Definição:

• Exemplos:

xb baxalog

4x22216)a x4x x16log2

8x3336561)b x8x x6561log3

32x2x5)c 5 xlog2

8xx642)d 2 64logx

4x

1010100001,0x)e x4x

0,0001log10

Logaritmo Decimal

• São os logaritmos de base 10

• Exemplos

alogalog10

2x10100x100log x 100log

Propriedades dos Logaritmos

1) log a . b = log a + log b

2) log a/b = log a – log b

3) log ak = k . Log a

4) Mudança de base:

b

aab

log

loglog

É a que mais iremos usar.

Aplicação de Logaritmos nos cálculos de Juros Compostos

• Como encontrar o valor de n?

• Aplicar logaritmo nos dois lados da equação:

021,32,1 n

44,0n

...444,008,1

48,0n

2,1log

021,3logn

021,3log2,1logn021,3log2,1log n

Exercício

• Página 128 -> 1 e 2

Taxas Proporcionais

360

ii

12

ii

6

ii;

4

ii;

2

ii a

da

ma

ba

ta

s

Em Juros Simples, temos:

326;

3;

30

sb

st

sm

tm

md

ii

ii

ii

ii

ii

Taxas Equivalentes

• Em Juros Simples, quando um certo Capital era aplicado a taxas proporcionais, por exemplo:

– Durante 1 ano a taxa de 24% a. a.

– Durante 12 meses à taxa de 2% a.m.

• Gerava o mesmo Montante, pois estas são taxas também taxas equivalentes.

• Em Juros Compostos isso não ocorre.

• Ver exemplo página 129.

Cálculo da Taxa equivalente

• Montante da aplicação de 1 ano (M1)temque ser igual ao Montante da aplicação em12 meses (M12), respeitadas as taxas.

12

ma

12

m

1

a

121

i1i1

i1Ci1C

MM

a

2

s

4

t

12

b

12

m

360

d i1i1i1i1i1i1

Exemplos e Exercícios

• Página 130 -> exemplos 1 e 2

• Página 131 -> exercícios 1 e 2

Montante para Períodos não Inteiros

• Transformar os períodos não inteiros em períodos inteiros.

• Ex: 1 ano e 4 meses:

– 12 meses + 4 meses = 16 meses

– 1 ano + 1/3 ano = 4/3 ano

• Ex: 2 meses e 15 dias:

– 60 dias + 15 dias = 75 dias

– 2 meses + 0,5 mês = 2,5 meses

Exemplo e Exercício

• Página 132

– Exemplo 1

– Exercício 1

Taxa Nominal

• Quando a taxa do problema não coincide com operíodo de capitalização.

• A taxa nominal é, em geral, uma taxa anual.

• Ex: Aplicação de um Capital por 2 anos, à juros de24% ao ano capitalizados semestralmente.

i = 24% a.a = 0,24 a.a = 0,24/2 a.s = 0,12 a.s

n = 2 anos = 4 semestres

Transformação igual as

taxas de Juros Simples

Exemplo

• Página 133 -> Exercício Resolvido

Taxa Efetiva

• Quando oferecemos 6% ao ano e capitalizamossemestralmente a 3%, a taxa de 6% é a taxanominal (não é usada nos cálculos). A taxa efetiva éa taxa anual equivalente a 3% semestrais.

2semestreperíodok

3%çãocapitalizade

períodoportaxai

?efetivataxai

6%nominaltaxai

k

f

..%09,6

06090,0

06090,11

03,011

11

1i1

2

f

aai

i

i

i

ii

i

f

f

f

f

s

sf

k

k

Exemplo e Exercício

• Página 135

-> exercício resolvido 1

-> Exercício para resolver 1

Referências

• CRESPO, A.A. Matemática Financeira Fácil. 14.ed. atual. São Paulo: Saraiva, 2009.

• GOTARDELO, D. R. Apostila de Matemática Financeira. UFRRJ. 2010.