José Roberto Silvestre Análise numérica de estabilidade de ... de poços de petróleo ......
Transcript of José Roberto Silvestre Análise numérica de estabilidade de ... de poços de petróleo ......
José Roberto Silvestre
Análise numérica de estabilidade de poços de petróleo
com relevância a produção de areia
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Área de Concentração: Geotecnia
Orientadores: Eurípedes do Amaral Vargas Jr. João Luiz Elias Campos
Rio de Janeiro, março de 2004.
José Roberto Silvestre
Análise numérica de estabilidade de poços de petróleo com relevância a produção de areia
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Eurípedes do Amaral Vargas Jr. Orientador
PUC/Rio
João Luiz Elias Campos TecGraf
Luiz Fernando Campos Ramos Martha PUC/Rio
Aldo Durand Fárfan UENF
José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio
Rio de Janeiro, 12 de março de 2004
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.
José Roberto Silvestre Graduado em Engenharia Civil, pela UFJF - Universidade Federal de Juiz de Fora, em 2000.
Ficha Catalográfica
Silvestre, José Roberto
Análise numérica de estabilidade de poços de petróleo com relevância a produção de areia / José Roberto Silvestre; orientadores: Eurípedes do Amaral Vargas Jr; João Luiz Elias Campos. - Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2004.
v., 133f.: il. ; 29,7 cm
Dissertação (mestrado) - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil
Inclui referências bibliográficas.
1. Engenharia Civil - Teses. 2. Produção de areia. 3. Modelo elastoplástico Lade-Kim. 4. Mecanismos de ruptura. I. Vargas Jr., Eurípedes do Amaral. II. Campos, João Luiz Elias. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.
CDD: 6.24
A meus pais, A minha família,
por terem confiado em mim.
Agradecimentos
A meus pais Luís e Ana, pela atenção, carinho e ensinamentos sem os quais eu
não teria chegado aqui.
Ao Professor Eurípedes do Amaral Vargas Jr., pela paciência, confiança
depositada, orientação, estímulo e conhecimento transmitido neste convívio.
Ao meu co-orientador João Luiz pela participação em momentos decisivos da
dissertação.
A Armando Prestes, Raquel Veloso, Aldo, Rodrigo Peluci e Sergio Montoya que,
de alguma forma, contribuíram nesta dissertação.
Aos professores do Departamento de Engenharia Civil da PUC - Rio.
A todos os amigos, pela amizade e apoio nas horas difíceis, especialmente aos das
salas 317 e 609.
A todos os funcionários da PUC.
A PUC e a Capes pelos recursos financeiros a pesquisa.
A minha família pelo incentivo e apoio que me deram.
Resumo Silvestre, José Roberto; Vargas Jr., Eurípedes do Amaral; Campos, João Luiz Elias. Análise numérica de estabilidade de poços de petróleo com relevância a produção de areia. Rio de Janeiro, 2004. 133p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Este trabalho visa simular situações que levam uma rocha a ruptura
considerando o fluxo de fluidos, em uma tentativa de correlacionar os
mecanismos envolvidos na ruptura ao processo conhecido como produção de areia
em rochas reservatório, ou seja, a produção de sólidos durante a extração de
hidrocarbonetos. Há algum tempo este assunto tem sido tratado do ponto de vista
da mecânica das rochas dada a similaridade do seu comportamento com outros
fenômenos estudados nesta área.
Como se trata de um processo de extração de fluidos, a sua influência deve
ser considerada no comportamento mecânico da rocha. Assim, simulações
numéricas, representativas de situações favoráveis a este fenômeno, foram
analisadas, utilizando-se, para tal, o programa comercial de elementos finitos
ABAQUS, que permite a simulação do processo de acoplamento fluido mecânico.
Dada a flexibilidade demonstrada pelo pacote numérico, possibilitou-se a
implementação de um modelo elastoplástico e a verificação de sua eficiência na
representação do comportamento da rocha reservatório neste processo. A
implementação numérica baseou-se no conhecido modelo de Lade-Kim. Este
modelo é apropriado à descrição do comportamento de materiais geomecânicos
granulares. Trabalhos experimentais em paralelo procuram determinar os
parâmetros do modelo de Lade – Kim. Estes parâmetros são usados na análise
numérica.
Palavras-chave Produção de areia; Modelo elastoplástico Lade – Kim; Mecanismos de
ruptura.
Abstract
Silvestre, José Roberto; Vargas Jr., Eurípedes do Amaral (advisor); Campos, João Luiz Elias (advisor). Numerical analysis of wells with relevance for sand production. Rio de Janeiro, 2004. 133p. MSc. Dissertation - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
This work aims to simulate situations that take a rock the rupture
considering the fluid flow, in an attempt to correlate the involved mechanisms in
the rupture to the know process as sand production in rocks reservoir, that is, solid
production during hydrocarbon extraction.
Numerical simulations using the commercial finite element program
ABAQUS, reproduce fluid-mechanical coupling, and allowing the implementation
of an elastoplastic rock material behavior.
More precisely, the author implemented a numerical routine based on the
well-known Lade-Kim elastoplastic model, which can suitably describe the
behavior of geomaterials subjected to external stress-strain fields.
Palavras-chave Sand production; Lade – Kim elastoplastic model; Failure mechanisms.
Sumário
1 Introdução 22
2 Produção de areia em poços de petróleo 25
2.1. Introdução 25
2.2. Mecanismos de produção de areia 31
3 Análise numérica de problemas a poroelasticidade 36
3.1. Introdução 36
3.2. Teoria da poroelasticidade de Biot 36
3.2.1. Equações de equilíbrio 37
3.2.2. Relação deformação – deslocamento 37
3.2.3. Relação tensão – deformação 37
3.2.4. Equações governantes 39
3.2.5. Análise de problemas de poroelasticidade pelo programa
ABAQUS 40
3.2.6. Exemplos de validação 43
3.2.6.1. Adensamento unidimensional 43
3.2.6.2. Poço vertical em um estado de tensões não hidrostático 49
3.2.6.2.1. Carregamento modo 1 50
3.2.6.2.2. Carregamento modo 2 51
3.2.6.2.3. Carregamento modo 3 51
3.2.6.3. Solução para a inversa da transformada de Laplace 56
4 Modelo constitutivo implementado 58
4.1. Critérios da Plasticidade 58
4.1.1. Critério de escoamento 59
4.1.2. Leis de evolução para endurecimento–amolecimento 59
4.1.3. Lei de Fluxo 61
4.2. Modelo Lade - Kim 62
4.2.1. Comportamento elástico 62
4.2.2. Critério de ruptura 63
4.2.3. Função potencial plástica 64
4.2.4. Função de escoamento 67
4.3. Modelo de Mohr–Coulomb 70
4.3.1. Critério de ruptura 70
4.3.2. Função de escoamento 71
4.3.3. Função potencial plástica 72
5 Algoritmo para integração da relação tensão–deformação 74
5.1. Algoritmo do tipo explícito 76
5.2. Relações usadas no processo de integração 83
5.3. Detalhes da implementação numérica 87
5.4. Comparação entre ensaios de laboratório e simulação numérica 88
6 Análise da estabilidade de poços hipotéticos 93
6.1. Poço no arenito Rio Bonito 95
6.1.1. Estimativa da produção de sólidos 105
6.2. Poço hipotético no Calcário do Campo de Congro 107
6.2.1. Permeabilidade constante 107
6.2.2. Permeabilidade variável 115
6.2.3. Comparações entre os resultados obtidos utilizando os critérios de
Mohr–Coulomb e Lade-Kim 120
7 Conclusões e sugestões para trabalhos futuros 126
8 Referências Bibliográficas 129
Lista de figuras
Figura 2.01 – Produção de areia a nível microscópico (Dusseault e
Santarelli, 1989) 26
Figura 2.02 - Esquema da completação de um poço (Fjaer e
outros,1992) 27
Figura 2.03 – Tensão vertical efetiva próxima ao poço versus pressão de
colapso em um TWC (Veeken e outros, 1991). 30
Figura 2.04 - Dano de arenito brando durante o canhoneio (Dusseault e
Santarelli, 1989) 32
Figura 2.05 - Comparação de ensaios triaxiais com a ruptura de
cavidades (Morita,1994) 33
Figura 2.06 – Diagrama simplificado da envoltória de ruptura de cavidade
proposto por Morita (1987) 34
Figura 3.01 – Esquema da coluna poroelástica 44
Figura 3.02 – Deslocamento no topo da coluna com o tempo -
62.0=α 46
Figura 3.03 – Deslocamento no topo da coluna com o tempo -
1=α 46
Figura 3.04 – Excesso de poropressão na base da coluna com o tempo -
62.0=α 47
Figura 3.05 - Excesso de poropressão na base da coluna com o tempo -
1=α 47
Figura 3.06 – Excesso de poropressão ao longo da coluna -
62.0=α 48
Figura 3.07 - Excesso de poropressão ao longo da coluna - 1=α 48
Figura 3.08 – Esquema de um poço em um meio poroelástico 50
Figura 3.09 – malha de elementos finitos utilizada na simulação do
poço. 53
Figura 3.10 – Poropressão ao longo da direção 0=θ - 62.0=α 53
Figura 3.11 – Poropressão ao longo da direção 0=θ - 1=α 53
Figura 3.12 – Tensão tangencial ao longo da direção 0=θ -
62.0=α 54
Figura 3.13 – Tensão tangencial ao longo da direção 0=θ - 1=α 54
Figura 3.14 – Tensão radial ao longo da direção 0=θ - 62.0=α 55
Figura 3.15 – Tensão radial ao longo da direção 0=θ - 1=α 55
Figura 4.01 – Representação da superfície de escoamento no plano
desviador (Desai,1984). 60
Figura 4.02 – Superfície de ruptura do modelo Lade–Kim no plano triaxial
e octaédrico (Lade e Kim, 1988). 64
Figura 4.03 – Superfície potencial plástica do modelo Lade – Kim (Lade e
Kim, 1988) 65
Figura 4.04 – Dados experimentais e contornos de trabalho plástico
constante no plano octaédrico para Fuji River Sand (Lade e Kim,
1988). 68
Figura 4.05 – Função de escoamento no endurecimento e amolecimento
(Lade e Kim, 1988). 70
Figura 4.06 – Fluxo potencial plástico pela função de Menétrey e Willam
no plano desviador (Willam e Menetrey, 1995). 73
Figura 5.01 – Interpretação gráfica da solução proposta por Euler (Boyce
e Diprima, 1998) 77
Figura 5.02 – Curva tensão versus deformação axial para a fine sílica
sand. 89
Figura 5.03 - Curva deformação volumétrica versus deformação axial para
a fine sílica sand. 89
Figura 5.04 - Curva tensão versus deformação axial para o arenito Rio
Bonito. 90
Figura 5.05 - Curva deformação volumétrica versus deformação axial para
o arenito Rio Bonito. 90
Figura 5.06 - Curva tensão versus deformação axial para o arenito Vila
Velha. 91
Figura 5.07 – Curva deformação volumétrica versus deformação axial
para o arenito Vila Velha. 91
Figura 6.01 – Representação esquemática poço vertical a ser
estudado 93
Figura 6.02 - Malhas utilizadas na simulação, a esquerda a malha 1 e a
direita a malha 2. 94
Figura 6.03 – Campos de tensão principal maior na vizinhança do poço
para os casos 1, 2 e 3 com drawdown de 2 MPa. A esquerda
representa – se a escavação e a direita a utilização do poço. 97
Figura 6.04 – Campos de tensão principal menor na vizinhança do poço
para os casos 1, 2 e 3 e drawdown de 2 MPa. A esquerda representa
–se a escavação e a direita a utilização do poço. 98
Figura 6.05 – Distribuição da tensão principal maior na vizinhança do poço
para os casos 3 e 4, ilustrando os gráficos sobre a escavação como
indicado e os demais com o poço em produção. 99
Figura 6.06 – Campos de tensão principal menor na vizinhança do poço
para os casos 3 e 4. ilustrando os gráficos sobre a escavação como
indicado e os demais com o poço em produção. 100
Figura 6.07 - Zona rompida na vizinhança do poço para os casos 1, 2 e 3
e drawdown de 2 MPa. À esquerda está representada a escavação
do poço e à direita o poço em produção. 101
Figura 6.08 - Zona rompida na vizinhança do poço para os casos 3 e 4,
ilustrando os gráficos sobre a escavação como indicado e os demais
o poço em produção. 102
Figura 6.09 – Campos de deformação volumétrica na vizinhança do poço
para o caso 1. O primeiro gráfico representa a escavação como
indicado e o seguintes o poço em produção. 103
Figura 6.10 Curva tensão principal maior-raio adimensional e tensão
principal menor-raio adimensional. 104
Figura 6.11 - Indicador dos pontos de início da produção de
sólidos. 106
Figura 6.12 – Campo de tensão principal menor na vizinhança do poço
para os casos 6 e 8 com drawdown de 5 Mpa. À esquerda
representa–se a escavação e à direita a produção do poço. 108
Figura 6.13 – Campo de tensão principal menor na vizinhança do poço
para os casos 5 e 7, ilustrando os gráficos sobre a escavação como
indicado e os demais o poço em produção. 109
Figura 6.14 - Zona de ruptura na vizinhança do poço variando o estado de
tensão e drawdown de 2 MPa. À esquerda representa –se a
perfuração e à direita a utilização do poço. 110
Figura 6.15 - Zona rompida na vizinhança do poço variando o drawdown e
um carregamento aplicado de MPaeMPa hH 25'40' == σσ . O
primeiro gráfico representa a perfuração e os seguintes a utilização
do poço. 111
Figura 6.16 – Campo de deformação volumétrica na direção θ = 0 e θ = 45
sob uma tensão horizontal maior de 40 e 45 MPa (carregamentos 6 e
8) e um drawdown de 5 MPa. 112
Figura 6.17 – Campo de deformação volumétrica na vizinhança do poço
para os casos 6 e 8. À esquerda está representada a perfuração e à
direita a utilização do poço. 113
Figura 6.18 – Campo de deformação volumétrica na vizinhança do poço
para os casos 6 e 7, ilustrando os gráficos sobre a escavação como
indicado e os demais o poço em produção. 114
Figura 6.19 - Zona rompida na vizinhança do poço para os casos 6 e 7. À
esquerda está representada a escavação e à direita o poço em
produção. 116
Figura 6.20 – Campo de deformação volumétrica na vizinhança do poço
para os casos 6 e 7, ilustrando os gráficos sobre a escavação como
indicado e o demais o poço em produção. 117
Figura 6.21 - Distribuição de poro – pressão para o caso 7 com drawdown
de 10 MPa. A primeira ilustração considera a permeabilidade
constante como indicado e a segunda a permeabilidade como função
da porosidade. 118
Figura 6.22 – Curva deformação volumétrica-raio adimensional e
permeabilidade-raio adimensional em duas direções na etapa de
produção para o calcário do Campo de Congro 119
Figura 6.23 – Campo de deformação volumétrica na vizinhança do poço
para os modelos de Mohr - Coulomb e Lade - Kim para o caso 7 com
um drawdown de 10 MPa. O gráfico a esquerda corresponde à
escavação e a direita o poço em produção. 121
Figura 6.24 - Zona de ruptura na vizinhança do poço para o caso 7 e um
drawdown de 10 MPa. O gráfico a esquerda corresponde à
escavação e a direita o poço em produção. 122
Figura 6.25 – Distribuição do índice de vazios na vizinhança do poço para
os modelos de Mohr-Coulomb e Lade-Kim para o caso 7 com um
drawdown de 10 MPa. O gráfico a esquerda corresponde à
escavação e a direita a utilização do poço. 123
Figura 6.26 - excesso de poropressão na vizinhança do poço para os
modelos de Mohr-Coulomb e Lade-Kim com um drawdown de 10
MPa, mantendo um estado de tensão de MPaeMPa hH 2540 == σσ .
O primeiro gráfico corresponde ao modelo de Lade–Kim e o último o
de Mohr – Coulomb. 124
Figura 6.27 – Simulação de ensaios uniaxial e triaxial de compressão para
o modelo de Mohr – coulom e Lade – Kim para o calcário do Campo
de Congro. 125
Lista de Tabelas
Tabela 2.01 – Parâmetros que influenciam a produção de areia 28
Tabela 3.01 – Parâmetros poroelásticos do arenito de Berea (Detournay e
Cheng, 1993) 45
Tabela 5.01 – Parâmetros do modelo Lade-Kim para a fine sílica
sand 88
Tabela 5.02 – Parâmetros do modelo Lade-Kim para o arenito Vila
Velha 88
Tabela 5.03 – Parâmetros do modelo Lade-Kim para o arenito Rio
Bonito 88
Tabela 6.01 – Carregamento no contorno e pressão aplicada no poço e
na formação para o arenito Rio Bonito. 96
Tabela 6.02 – Carregamento no contorno e pressão aplicada no poço e
na formação para o arenito Rio Bonito. 107
Tabela 6.03 – Permeabilidade em função da porosidade (Soares,
2001) 115
Lista de símbolos
a Parâmetros do critério de ruptura do modelo Lade – Kim
A Constante da função de escoamento no amolecimento do
modelo Lade – Kim
B Coeficiente de Skempton
*B Constante da função de escoamento no amolecimento do
modelo Lade – Kim
B’ Matriz de acoplamento
c Coeficiente de difusividade
*c Coesão para o modelo de Mohr – Coulomb
C Parâmetro da função de escoamento do modelo Lade – Kim
1C
C
,C
e
2
3
Constantes auxiliares da solução de Detournay e Cheng
0|c Coesão no início da plastificação
D Matriz constitutiva elástica
'D Parâmetro da função de escoamento do modelo Lade – Kim
dd Drawdown
epD Matriz constitutiva elastoplástica
1D e 2D Constantes auxiliares da solução de Detournay e Cheng
pdw Incremento de trabalho plástico
εd Incremento de deformação total
edε Incremento de deformação elástica
pdε Incremento de deformação plástica
λd Parâmetro plástico
e Parâmetro relacionado a excentricidade
E Módulo de Young
nE^
Erro local
1e Excentricidade que descreve o contorno da função potencial
plástica
f Força de massa
''f Função de escoamento em termos do trabalho plástico
F Função de escoamento
Fa Valor aproximado da função real no campo de Laplace
pf Função de escoamento em termos de tensão
g Aceleração da gravidade
G Módulo de cisalhamento
pg Função potencial plástica no modelo Lade – Kim
h Parâmetro da função de escoamento do modelo Lade – Kim
H Constante poroelástica
h’ Parâmetro de endurecimento
H’ Matriz de fluxo
1I , e 2I 3IPrimeiro, segundo e terceiro invariantes de tensão
respectivamente
J Taxa de volume do meio da sua configuração corrente para a
configuração de referência
k Permeabilidade
K Módulo volumétrico do esqueleto sólido
^k Permeabilidade do meio poroso
'K Matriz de rigidez
sk Função que introduz a dependência da permeabilidade em
relação a saturação
sK Módulo volumétrico dos grãos sólidos
Kur Parâmetros elásticos do modelo de Lade – Kim
0K Função de Bessel modificada de ordem zero
1K Função de Bessel modificada de ordem 1
L’ Matriz de acoplamento
m Parâmetro do critério de ruptura do modelo Lade – Kim
n Parâmetro elástico do modelo Lade – Kim
'n Porosidade do meio
_n Vetor normal à superfície S1
:n t Volume de fluído absorvido pelo meio poroso por unidade de
volume
p poropressão
P Parâmetro da função de escoamento do modelo Lade – Kim
'p Tensão equivalente
*p Carregamento aplicado no topo da coluna
0p Poropressão na formação
0P Tensão hidrostática
pa Pressão atmosférica
wp Pressão no poço
q Parâmetro da função de escoamento do modelo Lade – Kim
Q Função potencial plástica
'q Tensão equivalente de Mises
_q
Constante que determina a variação do incremento no
algoritmo de integração
Q’ Vetor de fluxo
pQ Constante poroelástica
r Raio de um ponto qualquer na solução de Detournay e
Cheng
R Constante poroelástica
'r Terceiro invariante de tensão desviadora
'R Erro relativo
( )ϕ,ΘmcR Medida da tensão desviadora
mwR Função desviadora elíptica
rw Raio do poço
s Saturação
S Nível de tensão
'S Constante poroelástica
dS Tensor de tensões desviadoras
0S Tensão desviadora
t Tempo
t’ Tempo adimensional
'T Variável da função real usada na inversa de Stehfest
Ts Força de superfície
u Deslocamento
V Volume de fluído
wv Velocidade média do fluído em relação à parte sólida
pw Trabalho plástico
x Coordenada espacial
x’ Profundidade adimensional
α Coeficiente de Biot
'α Constante que determina o tipo de esquema de integração
*α Parâmetro da função de escoamento do modelo Lade - Kim
β Coeficiente de velocidade
∆ Incremento relacionado a variável que o acompanha
ijδ Delta de Kronecker
wuδ Campo variacional relacionado a poro – pressão
vδ Campo de velocidade virtual
εδ Taxa de deformação virtual
eσ∆ Incremento de tensão tentativa elástica
T∆ Subincremento de tempo usado no algoritmo de integração
ε Deformação
pε Deformação plástica
pl_ε Deformação plástica equivalente
φ Carga piezométrica
η Constante poroelástica
1η Parâmetro da função de ruptura do modelo Lade – Kim
ϕ Ângulo de atrito
µ Parâmetro da função potencial plástica do modelo Lade –
Kim
ν Coeficiente de Poisson
uv Coeficiente de Poisson não – drenado
θ Ângulo do sistema de coordenada cilíndrica
Θ Ângulo polar desviador
'θ Variação do volume de fluído
wρ Massa específica do fluído
σ Tensão
nσ Tensão normal a um plano
n^σ Tensão dada pelo método de Runge – Kutta Dormmand Price
rrσ Tensão radial
θσ r Tensão cisalhante em coordenada cilíndrica
i,TWCσ Tensão de ruptura inicial de uma amostra
w,vσ Maior tensão vertical efetiva suportada pela parede de um
poço horizontal
θθσ Tensão circunferencial (ou tangencial)
τ Tensão cisalhante
ξ Parcela que representa a porção elástica durante um
incremento de tensão tentativa
ψ Ângulo de dilatância
1ψ Parâmetro da função potencial plástica no modelo Lade –
Kim
2ψ Parâmetro da função potencial plástica no modelo Lade –
Kim
1 Introdução
Há algum tempo é conhecido pela indústria do petróleo que problemas com
a estabilidade de poços podem conduzir a gastos excessivos na perfuração,
completação, redução da produtividade e até ao processo de produção de areia.
Para o caso da produção de areia vários métodos têm sido propostos a fim de
prever e selecionar dispositivos para o seu controle.
Dois processos normalmente são associados à produção de areia, o
mecânico e o químico. A ruptura do material por esforços de tração e compressão
recai no processo mecânico. A extração do material rochoso para a criação do
poço, gera um rearranjo nas tensões pré – existentes, concentrando – as na
vizinhança do poço e submetendo a rocha freqüentemente ao colapso. A rocha
antes intacta dá lugar a um material granular com pouca ou nenhuma
característica coesiva, que pode ser facilmente carreado.
Além do colapso devido à compressão ou tracionamento da rocha pela
concentração de tensão, o fluxo interfere também neste processo quer seja pela
variação de tensão que ele irá causar ou pela ação erosiva, dado que à medida que
a rocha fragmenta o fluído terá força necessária para carrear algumas partículas.
Revela – se aqui o caráter do acoplamento fluído – mecânico existente neste
problema.
Ao longo da exploração do poço, a rocha reservatório é exposta a alguns
fluídos, tais como a lama de perfuração ou a água oriunda do próprio reservatório,
caracterizando o fluxo bifásico dado o fato inevitável da depletação. Estes fluídos
em contato com a rocha podem reagir quimicamente com os constituintes
minerais dos grãos ou do material cimentante. A água age fortemente, por
exemplo, em rochas como calcário e o dolomito, destruindo o material cimentante
e até mesmo o esqueleto sólido.
A ação dos fluídos não se limita a reações químicas, a resistência adicional
oferecida pela capilaridade também é afetada, observando que intrusão de água no
rocha provoca a sua diminuição.
23
Vários métodos tem sido desenvolvidos para a previsão da produção de
areia, considerando aspectos mecânicos ou químicos. Estes métodos podem ser
baseados em resultados de campo, laboratório ou modelos teóricos. Entretanto os
dois primeiros apresentam a desvantagem de não considerar várias situações a que
um poço é submetido e por vezes serem adequados apenas a um determinado
local. Os modelos teóricos teriam, portanto uma condição mais favorável para a
análise de diversas situações.
As soluções numéricas são as mais favoráveis deste ponto de vista, pois
conseguem agregar vários eventos que podem intervir na produção de areia.
Todavia, a proximidade deste tipo solução com a realidade depende de modelos
que consigam representar com mais fidelidade um dado fenômeno.
O enrijecimento da rocha quando submetida ao confinamento, o
“amolecimento” do material após a ruptura, a magnitude das deformações sofridas
pelo material e seu comportamento dilatante que desempenham um importante
papel no fluxo de fluídos, dada a relação com a permeabilidade são características
que um modelo constitutivo deve conseguir representar com esta fidelidade.
Esta pesquisa tem como objetivo aplicar apenas para o problema mecânico
um modelo elastoplástico que seja capaz de reproduzir o comportamento
mecânico da rocha, não somente associando mecanismos que levem a rocha à
ruptura com a produção de sólidos, mas também as deformações que
desempenham um papel fundamental no fluxo de meio poroso e
conseqüentemente na produção.
O modelo elastoplástico será introduzido no programa ABAQUS através de
um algoritmo do tipo explícito que permitirá a integração da relação tensão –
deformação.
O trabalho descrito aqui está dividido em sete capítulos. O capítulo 2
caracteriza a produção de areia, o que ela é e seus principais mecanismos.
O capítulo 3 descreve a poroelasticidade e mostra algumas validações com o
programa ABAQUS para o problema de acoplamento hidro – mecânico.
O capítulo 4 faz uma breve descrição dos principais pontos na teoria da
plasticidade, assim como descreve os modelos de Lade – Kim, o qual será
implementado e sucintamente o de Mohr – Coulomb utilizado pelo ABAQUS.
O capítulo 5 trata a respeito de esquemas para integração das relações
tensão–deformação elastoplásticas. E também do algoritmo implementado no
24
programa ABAQUS. Apresenta – se comparações entre a simulação de ensaios
triaxiais e resultado de ensaios de laboratório.
O capítulo 6 apresenta os resultados obtidos para a simulação de um poço
submetido a diferentes carregamentos.
2 Produção de areia em poços de petróleo
2.1 Introdução
A produção de partículas durante a extração de fluídos de uma rocha
reservatório é designada por produção de areia. A produção de areia ou produção
de sólidos referenciada normalmente a arenitos não consolidados, engloba além
destes materiais, rochas como calcário e arenitos de resistência média a elevada,
também susceptíveis a este fenômeno. Os danos mais comuns devido à produção
de areia incluem abrasão e desgaste de equipamentos, perda da produtividade do
poço, colapso de revestimento e disposição dos resíduos impregnados por
hidrocarbonetos.
Em uma escala microscópica, a produção de areia é um processo
desencadeado pela força de arraste associada ao fluído em movimento atuando em
um conjunto de partículas próximas a uma superfície livre (parede do poço,
cavidade do canhoneado). O transporte de partículas ocorre, quando esta força,
originada na diferença de pressão estabelecida entre o poço e a formação,
eventualmente se torna maior do que as forças estabilizadoras provenientes da
coesão do material e da tensão de arco desenvolvida entre as partículas, como
ilustrado na figura 2.01.
No intuito de compreender como a perfuração e a completação do poço
influem na produção de areia, descreve-se sucintamente tais etapas.
A perfuração de um poço de petróleo realizada através de uma sonda do
tipo rotativa, consiste no avanço obtido pela rotação e peso aplicado por uma
broca existente na extremidade de uma coluna de perfuração. Os fragmentos da
rocha perfurada são continuamente removidos por um fluido de perfuração. Este
fluido tem a função de limpar o fundo do poço dos fragmentos produzidos,
estabilizar a parede do poço, resfriar e lubrificar a coluna de perfuração e a broca.
Atingida a profundidade do reservatório, retira-se à coluna de perfuração e uma
coluna de revestimento de aço é colocada.
26
Figura 2.01 – Produção de areia a nível microscópico (Dusseault e Santarelli, 1989)
Concluída a perfuração, seguem-se às atividades de revestimento,
cimentação e caso necessário o canhoneio. A esta etapa designa-se o nome de
completação, ou seja, o conjunto de atividades destinadas a equipar um poço para
a produção de óleo ou gás.
Na figura 2.02, observa-se à união do revestimento à formação feita
através de um cimento e as perfurações (canhoneio) existentes através das quais
ocorrerá a produção de óleo ou gás. Essas perfurações realizadas com o uso de
pistolas se estendem desde o revestimento até a formação, suas formas dependem
do tipo e quantidade de carga utilizada, apresentando um aspecto fino e alongado
inicialmente. À medida que o poço é explorado, elas crescem e tornam - se
cavidades com possibilidade de virem a fundir. O crescimento destas perfurações
implica na perda de material sólido da formação, o qual é carreado pelo fluxo de
fluido, desencadeando o processo de produção de areia. Uma forma conveniente
de verificar a alteração da geometria destas cavidades é monitorar o volume
acumulado de areia produzido em um determinado intervalo.
Veeken (1991) sugere a classificação da produção de areia para uma
melhor interpretação e comparação dos eventos que levam um poço a produzir
27
sólidos. Esta classificação baseada em observações de campo permite a distinção
de três modos:
- Produção de areia transiente: refere-se ao declínio da produção de areia
com o tempo sob condições de produção constante do poço. Este tipo de
fenômeno é freqüentemente observado durante a limpeza da parede do poço após
a perfuração das cavidades.
- Produção de areia contínua: na maioria dos campos de exploração,
observa-se a produção contínua de areia. A limitação da produção de areia deve
obedecer a restrições operacionais como capacidade de separação, disposição de
areia, localização do poço, etc. Limites típicos são da ordem de 6 a 600 g/m3 para
formações de óleo e de 16 g/103 m3 para formações de gás. Dependendo da
capacidade do fluido em transportar partículas e da concentração, eventualmente
ocorrerá a obstrução de parte do intervalo produtor.
- Produção de areia catastrófica: causa a suspensão das operações de um
poço, pode ocorrer devido a uma produção maciça de areia que preenche e obstrui
o poço.
revestimento
canhoneadoformação
Figura 2.02 - Esquema da completação de um poço (Fjaer e outros, 1992)
Diante da necessidade de se minimizar a níveis toleráveis a produção de
areia, um mecanismo de controle deverá ser utilizado. Estes mecanismos atuam
diretamente nos parâmetros de produção do poço ou diretamente na produção de
areia. O controle feito sobre os parâmetros de produção consiste em manipular o
drawdown (diferença entre a pressão no poço e a poropressão no reservatório) e a
taxa de produção. O segundo tipo de controle é efetuado por técnicas como:
- Gravel packing;
- Consolidação química;
- Pré–consolidação da formação;
- Seleção das perfurações;
28
- Frac–Pack.
Destas técnicas, provavelmente a mais utilizada é o gravel packing, que
consiste na utilização de um filtro sólido granular, para impedir a produção de
grãos na formação. A consolidação química promove um aumento na resistência
da formação pela injeção de resina, todavia leva a uma redução da permeabilidade
e conseqüentemente da produção de um poço.
A seleção dos locais de perfuração é um outro meio para minimizar a
produção de areia, a idéia consiste em perfurar regiões onde a formação possui
uma boa resistência mecânica, e com isto uma pequena possibilidade de produzir
areia.
O frac-pack é uma técnica adequada para reservatórios onde a taxa de
produção de óleo é elevada, cuja convergência do fluxo radial pode se tornar um
agravante para a produção de sólidos. O método consiste na criação de uma
pequena fratura condutora, cuja função é transformar o fluxo radial em fluxo
linear através do poço, reduzindo o gradiente de pressão.
Apesar de controlarem a produção de areia, estas técnicas apresentam
como inconveniente o alto custo de instalação e manutenção, assim como a
redução da produção do poço. A escolha de qual técnica e quando utilizá-la torna
necessária a introdução de um método para a previsão da produção de areia.
As técnicas de previsão de produção de areia existentes são baseadas em
observações de campo, ensaios de laboratório ou modelos teóricos (Morita, 1989).
A previsão que utiliza a observação de campo consiste no estabelecimento de uma
correlação entre dados de produção de areia de um poço e parâmetros
operacionais. A precisão deste método é proporcionalmente dependente da
quantidade de parâmetros utilizados. Dada à dificuldade de monitorar e armazenar
parâmetros, poucos são incluídos em uma análise. A tabela 2.01 apresenta alguns
parâmetros que influenciam a produção de areia.
Formação Completação Produção
Resistência da rocha Diâmetro e orientação do
poço Taxa de fluxo
Tensões vertical e horizontal
in – situ
Perfuração – tamanho, fase,
densidade Drawdown
Heterogeneidade Dimensão dos tubos Depletação
Tabela 2.01 – Parâmetros que influenciam a produção de areia
29
Ensaios de laboratório permitem reproduzir a produção de areia em
condições controladas e desta forma observar separadamente a influência de cada
parâmetro. Além disto, possibilitam a validação de um modelo teórico e também
podem ser utilizados como ferramentas de previsão. Em seu trabalho,
Veeken(1991) cita a utilização do Thick Walled Cylinder (TWC), relacionando a
maior tensão vertical efetiva suportada pela parede de uma perfuração horizontal
( wv , )σ com a tensão de ruptura inicial de uma amostra ( )i,TWCσ , através da
expressão:
i,TWCw,v σ=σ (2.01)
a tensão vertical efetiva é definida empiricamente como: ddvwv += σσ , (2.02)
onde é o drawdown. Como a tensão inicial de ruptura não é facilmente
identificada, estabeleceu-se uma relação com a tensão de colapso
dd
( )TWCσ baseada
em uma série de ensaios em arenitos friáveis e consolidados, .
TWCw,v 86.0 σ×=σ (2.03)
Na figura 2.03 valores fornecidos pela equação acima são comparados
com dados de produção de areia obtidos em campo. Nota-se os valores
conservativos quanto ao início da ruptura, mas que podem ser utilizados com certa
confiança.
Modelos teóricos agrupam-se em soluções fechadas ou numéricas. Apesar
da solução fechada ter um uso atraente, por muitas vezes elas simplificam os
parâmetros envolvidos na produção de areia, como por exemplo, a trajetória de
tensão, geometria do poço e canhoneado. A solução numérica torna-se uma
valiosa ferramenta para a simulação deste processo.
A confiabilidade da solução numérica na representação dos mecanismos
de ruptura envolvidos na produção de areia dependerá principalmente do modelo
constitutivo adotado. Mclean (1991) discute sobre modelos que consideram o
caráter tridimensional do critério de ruptura e a natureza não linear do material,
que são fatores importantes na caracterização do comportamento volumétrico e de
endurecimento do material geológico.
30
Figura 2.03 – Tensão vertical efetiva próxima ao poço versus pressão de colapso em um
TWC (Veeken e outros, 1991).
Morita (1987) cita como obstáculos à utilização de códigos de elementos
finitos comerciais a pouca flexibilidade para representar o fluxo de óleo através de
um meio poroso, onde suas propriedades são complexas e por muitas vezes o
fluxo não é regido pela lei de Darcy.
Segundo Dusseault e Santarelli (1989), um modelo teórico deverá prever a
produção de areia tanto a nível microscópico partículas, fenômenos de arcos de
areia, desintegração de grãos, efeitos da força viscosa do fluido e variações da
resistência proporcionada pela coesão, assim como a nível macroscópico a análise
da plastificação e do caráter viscoso do fluido como funções do campo de tensões
e gradientes de pressão. O modelo a ser utilizado deverá considerar a envoltória
de plastificação e critério de ruptura do material, devendo ser validado com
ensaios de laboratório ou dados de campo.
A implementação destes modelos na produção de areia é caracterizada por
um alto grau de incerteza devido ao envolvimento de vários parâmetros
relacionados a ela. Assim como, a redução de parâmetros a serem utilizados
conduz a uma simplificação do problema e a desconfiança dos resultados.
31
2.2 Mecanismos de produção de areia
A produção de areia durante a exploração de hidrocarbonetos pode ser
relacionada a dois mecanismos fundamentais de desestabilização. O primeiro
relacionado ao comportamento mecânico, que leva a ruptura e a plastificação
localizada da rocha. O segundo está associado ao fluxo, que pode conduzir a
instabilidades hidrodinâmicas como o arraste de partículas.
O comportamento mecânico é influenciado pela ruptura por compressão e
por tração. A rocha fragmentada pela compressão, devido à concentração de
tensão na vizinhança do poço, disponibiliza partículas que podem ser “arracandas”
pela força de percolação do fluido, caracterizando a produção de areia por ruptura
de tração. Este tipo de produção de areia é comum em arenitos pouco
consolidados, produzindo baixa quantidade de areia e em geral de forma
esporádica (Morita e Boyd, 1991).
O mecanismo hidrodinâmico inicia-se com o cisalhamento do cimento que
une os grãos da rocha. Os grãos desagregados pela desintegração do cimento
mineral ficam susceptíveis ao carreamento pelas forças de percolação do fluido. A
remoção de partículas aumenta a cavidade do poço, redistribuindo as tensões, o
que favorece o primeiro processo de desestabilização. Observa-se nesta situação a
interação dos dois mecanismos.
A produção de sólidos normalmente não é decorrente apenas de um
evento, mas de uma seqüência. Portanto a história da formação deve ser conhecida
desde a perfuração até o momento em que o poço é utilizado. Dusseault e
Santarelli (1989) propuseram um modelo conceitual para a produção de sólidos.
Baseado neste modelo ilustra-se alguns mecanismos envolvidos neste fenômeno.
Anteriormente citou-se a perfuração de um poço como uma atividade a ser
conhecida, sua influência na produção de sólidos está relacionada à estabilização
das paredes do poço pelo fluido de perfuração. A utilização de um fluido não
penetrante, colocado a uma pressão maior do que a poropressão na formação,
confere à rocha na parede do poço um aumento de resistência, o que normalmente
impede a plastificação. Entretanto, se houver plastificação na parede, a perfuração
eventualmente origina um material granular, facilmente removido pelo fluido de
32
perfuração. Em arenitos de média a alta resistência, o cimento mineral pode ser
destruído gerando um material de resistência reduzida e usualmente granular.
Na completação, muitos cimentos utilizados para unir revestimento e
formação retraem, possibilitando a tensão radial na parede do poço ser menor do
que na etapa de perfuração. O descarregamento gerado propicia a formação de um
material granular, iniciada à produção de hidrocarbonetos, este material é
carreado. A cavidade produzida pelo canhoneamento apresenta regiões de coesão
reduzida e grãos triturados, o que leva mais sólidos a serem carreados. A figura
2.04 ilustra esta situação.
Figura 2.04 - Dano de arenito brando durante o canhoneio (Dusseault e Santarelli, 1989)
Uma analogia entre a região perfurada pelo canhoneio e um modelo
elastoplástico permite visualizar o comportamento da rocha. Envolvendo a
cavidade, existe um material granular comportando-se de forma totalmente
plástica. Próximo à cavidade, o arenito se comporta de forma elastoplástica, sob
regimes de “endurecimento” ou “amolecimento”. Afastando-se da cavidade, a
rocha se comporta de forma elástica, praticamente sem danos.
A geometria da perfuração é outro item a ser considerado. Há vinte anos
quando o sistema de perfuração era menos eficiente, cavidades de pequena
dimensão e uma baixa densidade de perfurações no intervalo produtor levavam a
problemas relacionados à ruptura por tração (Morita, 1987).
33
Durante a vida produtiva de um poço, a migração de finos e o
tamponamento de poros podem conduzir a redução da permeabilidade da rocha,
aumentando desta forma a concentração de fluxo e conseqüentemente as forças
viscosas do fluido, levando rochas com baixa resistência a uma ruptura por tração.
Morita correlacionou a ruptura das cavidades de perfuração a um ensaio triaxial, a
figura 2.05 ilustra a situação.
Figura 2.05 - Comparação de ensaios triaxiais com a ruptura de cavidades (Morita,1994)
Sob um estado de tensão desviador pequeno, a cavidade apresentará
ruptura apenas se houver um grande fluxo, pois provavelmente ela não se
plastificou (ponto A). À medida que a tensão desviadora aumenta, a rocha
plastifica. Neste caso, duas situações podem vir a se desenvolver. A primeira
caracteriza o acréscimo de carga até o ponto de ruptura (C) seguido de um
descarregamento de um descarregamento (ponto B), desenvolvendo carregamento
fissuras na rocha de uma forma controlada, em geral paralela à direção da tensão
desviadora. Essas fissuras possibilitam o material, antes “integro”, ser carreado
por um pequeno fluxo.
A outra situação é o carregamento além do pico de ruptura (ponto D), onde
as fissuras já não se desenvolveriam de forma controlada. O desenvolvimento
descontrolado de fissuras possibilita o surgimento de fraturas, desagregando e
reduzindo a resistência do material. O cenário referente ao descarregamento pode
ser interpretado como os disparos do canhoneio em que a rocha é solicitada
rapidamente, atingido o estado de ruptura.
Uma envoltória de ruptura para a cavidade é proposta por Morita (1989)
considerando os dois tipos de ruptura, como ilustrado na figura 2.06. Os
34
parâmetros de entrada nesta envoltória são o drawdown e o gradiente de pressão
normalizado, com este diagrama é possível estabelecer uma região segura de
operação do poço. Nota-se na figura que para um estado de tensão desviador
pequeno (proporcionado por baixos valores de drawdon), a cavidade deixará de
ser estável, caso aplique-se um alto gradiente de pressão. Aumentando-se o
drawdon, a ruptura por cisalhamento é favorecida e pequenos valores de gradiente
de poropressão são necessários para que ocorra a instabilidade da cavidade.
drawdown
Gradiente de poro-pressão
Ruptura por tração
Ruptura por cisalhamento
Operação segura
Figura 2.06 – Diagrama simplificado da envoltória de ruptura de cavidade proposto por
Morita (1987)
A depletação do reservatório é outro fator que influencia a produção de
areia, pelo simples fato de que a extração de hidrocarbonetos acarretará na
diminuição da poropressão na formação. Esta mudança na poropressão leva a um
aumento na tensão efetiva, proporcionando condições favoráveis a ruptura por
cisalhamento. Um procedimento para se evitar esta situação e também com o
objetivo de aumentar a produção é a injeção de água no reservatório.
Na literatura, relata-se o início ou aumento na produção de areia logo após
o water–cut, que é um fenômeno decorrente do processo de injeção. Algumas
causas ligadas ao water–cut que influenciam a produção de sólidos são
enumeradas abaixo:
- perda da pressão capilar que auxilia a união dos grãos ocasionada pela
injeção de água no sistema.
- baixa poropressão existente na formação no início do water-cut na época
da injeção, o que teria tornado favorável o desenvolvimento de tensões de
cisalhamento no reservatório.
35
- a tentativa de se manter os níveis de produção antes da injeção induz a
um aumento na taxa de fluxo, o que leva a uma redução na pressão do poço e a
um aumento no gradiente de pressão na superfície da cavidade.
- migração de finos devido ao alto fluxo imposto leva a uma maior taxa de
tamponamento.
- a possibilidade de fusão entre as cavidades aumenta devido ao seu
crescimento.
- ação química da água de injeção em determinados cimentos.
Compreende-se que as diferentes etapas da vida de um poço como a
perfuração, completação e produção influem de diversas formas na produção de
sólidos, que é vista então, não como um processo estacionário, mas evolutivo ao
longo de uma seqüência de eventos.
Atividades como a perfuração, concentram tensões ao redor do poço,
conduzindo por muitas vezes a rocha a ruptura por compressão.Assim como, o
aumento na taxa de produção ou a depletação do reservatório conduzem a mesma
situação. Em decorrência do aumento de fluxo de fluído, o gradiente de
poropressão próximo à parede do poço, favorecendo a ruptura por tração. Esta
pesquisa visa, então, analisar os mecanismos de ruptura por compressão e tração
da rocha reservatório descritos acima e associá-los a produção de areia.
3 Análise numérica de problemas a poroelasticidade
3.1 Introdução
Qualquer tipo de escavação em uma rocha leva a um descarregamento das
tensões pré-existentes, quer seja a abertura de túneis, shafts para minas, poços e
outros. Na exploração de poços, a variação da pressão do fluído que preenche os
poros da rocha, interage com o campo de tensões, à medida que a poropressão
varia ao redor do poço contribuindo de modo significativo no comportamento
mecânico.O interesse deste trabalho é associar os mecanismos de ruptura
decorrentes da alteração do estado de tensões in situ ao redor de um poço de
petróleo com processos de produção de areia.
Esta dependência do processo difusivo e relação tensão-deformação levam à
consideração do acoplamento fluido–mecânico no estudo da produção de areia.
Neste capítulo descreve-se sucintamente o processo de acoplamento baseado na
teoria poroelasticidade de Biot (1941). Além deste tópico, encontra-se uma
discussão sobre a solução adotada pelo programa de elementos finitos ABAQUS e
a validação de resultados obtidos pelo programa através da solução analítica
proposta por (Detournay e Cheng, 1988).
3.2 Teoria da poroelasticidade de Biot
O meio poroso descrito em sua teoria é elástico linear, isotrópico e
considera os poros totalmente ocupados por um fluído.A síntese feita neste tópico
basea - se no trabalho de Biot (1941).
As equações governantes do problema poroelástico provêem das equações
de equilíbrio, compatibilidade deformação–deslocamento, relação tensão-
deformação da teoria da elasticidade e da lei de Darcy.
37
3.2.1 Equações de equilíbrio
Estas equações são as mesmas dadas pela teoria da elasticidade, entretanto
considera-se que a tensão normal (σ ) a um plano é constituída por duas parcelas,
uma representando a tensão no esqueleto sólido e outra a poropressão no fluído, f
é a força de massa.
0fij,ij =+σ (3.01)
Neste tipo de notação, índices repetidos significam soma e o sinal de vírgula
a derivada.
3.2.2 Relação deformação – deslocamento
Estabelecem uma função entre deformação e deslocamento.
( )i,jj,iij uu21
+=ε (3.02)
onde ε é a deformação e u representa o deslocamento.
3.2.3 Relação tensão – deformação
Biot inclui na sua formulação uma variável adicional para descrever a
quantidade de fluído que ocupa os vazios do meio poroso. Esta variável representa
o incremento de volume de fluido por unidade de volume de material e é
designada por variação do volume de fluído (θ ’), que está relacionada a poro-
pressão designada por p.
A relação entre deformação e tensão é expressa por:
H3p
D ijkl
1ijklij
δ+σ=ε − (3.03)
onde D e matriz constitutiva do esqueleto sólido, descrita pelas constantes
elásticas do módulo de cisalhamento (G), módulo de Young (E) e o coeficiente de
Poisson υ ; H é uma constante relacionada ao fluído e δ é o delta de Kronecker.
A parcela Hp
3 introduz a poropressão e é adicionada somente as tensões
normais por não produzir qualquer tensão cisalhante. Seu efeito é igual nas três
38
componentes de deformação normal ao plano de referência devido à hipótese de
isotropia. A expressão (3.03) relaciona deformação à tensão e poropressão,
entretanto necessita-se de uma relação entre a variação do volume de fluído com a
tensão e a poropressão. Uma relação geral é dada por:
cpai += σθ ' (3.04)
sendo c e constantes, a σ o vetor de tensões e i um índice variando de 1 a 6.
Considerando novamente a hipótese de isotropia, uma mudança de sinais
na tensão cisalhante não deverá influenciar na variação do volume de fluído,
portanto as constantes que estão multiplicadas pelas tensões cisalhantes terão
valores nulos, o que permite reduzir o intervalo i de 1 a 3.
Biot desenvolve a expressão (3.04) na seguinte forma:
( ) pRH zyx1
31'
1+++= σσσθ (3.05)
Biot na sua formulação considera a existência de uma energia potencial, que
permite estabelecer a igualdade entre e (expressão 3.03). A partir de então
somente será referenciado. Expressando a tensão em função da deformação
através da expressão (3.03), obtêm-se:
1H H
H
pG ijkk
ijij αδν
νεεσ −
−
+=21
2 (3.06)
onde:
( )( ) H
Gυυα213
12−+
= (3.07)
Somando as três componentes de tensão normal que podem ser obtidas pela
expressão (3.06) e introduzindo essa soma na expressão (3.07), tem–se para a
expressão (3.05) a seguinte forma:
pkk Q
p+=αεθ ' (3.08)
onde
HRQp
α−=
11 (3.09)
As constantes elásticas presentes na expressão (3.03) estão relacionadas ao
esqueleto sólido. As constantes relacionadas ao fluído, presentes nas expressões
(3.08) e (3.09) podem ser interpretadas através de um simples exemplo de uma
39
amostra de solo envolvida por uma fina membrana, tal que as tensões aplicadas
sejam desprezíveis. Introduzindo um pequeno tubo que acompanhará a membrana
e submetendo uma poropressão negativa p, uma certa quantidade de água é
drenada. Pela expressão (3.05) tem-se:
pR1' −=θ (3.10)
Somando as três componentes normais de deformação dadas pela expressão
(3.03), a deformação volumétrica é dada por:
Hp
kk −=ε (3.11)
Logo, as constantes H1 e
R1 representam respectivamente a
compressibilidade do solo para uma variação na poropressão e a mudança no
volume de água para uma dada mudança de poropressão.
3.2.4 Equações governantes
O acoplamento fluído-mecânico é um processo transiente, procede-se a
seguir a caracterização das expressões descritas anteriormente como função do
tempo.
As tensões dadas na expressão (3.06) devem satisfazer a equação de
equilíbrio (3.01), utilizando a relação deformação-deslocamento (3.02) tem-se:
021
2 =∂∂
−∂∂
−+∇
ii
kki x
px
GuG αε
υ (3.12)
A expressão 3.12 descreve o comportamento mecânico do meio poroso,
observa-se a semelhança com a equação de Navier estudada na elasticidade.
Entretanto, ainda é necessária uma relação para o comportamento difusivo, esta
relação será obtida do balanço de massa. Considerando-se que um fluído
incompressível atravesse um cubo de dimensões infinitesimais, a taxa de fluído
que atravessa uma área unitária em um tempo t deverá ser igual à variação de
volume de fluido no cubo no mesmo tempo t.
O volume de fluído que atravessa o cubo é dado pela lei de Darcy
40
ii x
pkV∂∂
−= (3.13)
tem-se:
ii
ii
xV
t ∂∂
−=∂∂ 'θ (3.14)
Substituindo a expressão (3.13) e (3.14) em (3.08) obtêm-se:
tp
Qtpk
p
kk
∂∂
+∂∂
=∇12 ε
α (3.15)
As equações (3.12) e (3.15) formam o conjunto de equações governantes da
poroelasticidade. Apesar da formulação proposta por Biot explicar fenômenos da
área geomecânica como a subsidência devido à drenagem de um fluído ou a
ruptura por tração induzida pela pressurização de um poço, ela apresenta o
inconveniente de seus parâmetros não permitirem uma fácil interpretação física.
Rice e Cleary (1976) colocaram a formulação de Biot em função de parâmetros
usuais da mecânica dos solos e das rochas. Uma descrição mais aprofundada desta
formulação e outros trabalhos como o de Risnes (1992) é feita por Ferreira (1996).
3.2.5 Análise de problemas de poroelasticidade pelo programa ABAQUS
A complexidade das equações governantes da poroelasticidade torna a
geração de soluções analíticas uma tarefa difícil. A técnica numérica é então o
meio mais apropriado para a obtenção de resultados. O programa ABAQUS foi
selecionado pela sua potencialidade em resolver problemas diversos de
engenharia, no presente caso, o acoplamento fluido-mecânico.
O acoplamento fluído–mecânico como visto, consiste na solução de um
sistema de equações diferenciais de equilíbrio e balanço de massa de um meio
poroso. De acordo com o manual do usuário (ABAQUS - Theory Manual), o meio
poroso é considerado no programa como um meio multi-fásico constituído por
matéria sólida e seus vazios preenchidos por um líquido e um gás. As equações de
equilíbrio e continuidade discretizadas são solucionadas através do método de
Newton.
41
A condição de equilíbrio é expressa pelo princípio do trabalho virtual para
um determinado volume em um tempo t qualquer como:
( )∫ ∫ ∫∫ ⋅++⋅+⋅=v S V vwtV vvs dVgnsndVfdSTdV δρδδδεσ ': (3.16)
sendo:
:vδ campo de velocidade virtual
:εδ taxa de deformação virtual
:sT força de superfície
:f força de massa
:σ tensão
:wρ massa específica do fluído
:g aceleração da gravidade
:n t volume de fluído absorvido pelo meio poroso por unidade de volume
:'n porosidade do meio
s: saturação
A parcela referente à absorção fluído pelo sólido não será considerada neste
trabalho. O balanço de massa é obtido da mesma forma do item 3.2.4, entretanto o
fluxo é regido pela lei de Forchheimer, que é dada por:
( )x
kvvvsn www ∂∂
−=+φβ
^1' (3.17)
onde:
:vw velocidade média do fluido em relação à parte sólida (velocidade de
percolação)
:β coeficiente de velocidade
:k^
permeabilidade do meio poroso
:φ carga piezométrica
Nota-se que se a velocidade do fluído for baixa a lei de Forchheimer se
reduz à lei de Darcy, a mesma condição ocorre se o coeficiente de velocidade for
nulo. Assim, o balanço de massa usando a lei de Forchheimer é:
42
( ) ( )
( )∫
∫ =∆+
−∂∂
∂∂
+∆
+
+−+
V
S ww
ww
www
www
s
tt
w
wt
w
ww
dSvnsnut
dV
gx
uk
xu
vvgk
t
nsnJJ
nsnu
1
0'
1
'1'
1
_
0
0
00
ρρ
δ
ρδ
βρ
ρρ
ρρ
δ
(3.18)
sendo:
:u wδ campo variacional relacionado a poro-pressão
:0wρ massa específica em uma configuração de referência
0dVdVJ = : taxa de volume do meio da sua configuração corrente para a
configuração de referência
:t∆ incremento de tempo
:k s função em termo de saturação que introduz uma dependência da
permeabilidade em função da saturação
( ) :,exk permeabilidade em função da coordenada espacial e do índice de
vazios.
:n_
vetor unitário normal à superfície S1
Na equação (3.18) a permeabilidade k ficou definida pelo produto da
função por , onde para um meio saturado é igual a 1. Segundo o manual
de teoria do ABAQUS as equações governantes do processo difusão de fluído e
deformação são:
^
sk k sk
equação de equilíbrio: FpLuK =+ ''
equação de fluxo: ''' QpHdtduB =+
onde K é a matriz de rigidez, 'H é matriz de fluxo, e 'L 'B são matrizes
permitem o acoplamento.
Existem dois tipos de aproximação para resolver este sistema de equações.
Uma aproximação seria solucionar primeiro um conjunto de equações, depois com
o resultado da primeira equação resolver a segunda. Com o resultado da segunda
equação retorna-se para a primeira e verifica-se a variação de resultados. Se a
43
variação é mínima, a solução por este processo iterativo termina. Caso contrário, o
processo iterativo continua até que a variação de resultados seja mínima. O
segundo tipo de solução é resolver as duas equações ao mesmo tempo, este modo
é o adotado pelo programa ABAQUS. A validação do programa é feita no
próximo tópico.
3.2.6 Exemplos de validação
A validação do programa ABAQUS será feita com dois exemplos. O
primeiro se refere a uma coluna poroelástica e o segundo a um poço vertical
submetido a um estado de tensões não hidrostático.
3.2.6.1 Adensamento unidimensional
A situação em questão é a de um horizonte de solo de espessura L
repousando sobre uma camada rígida e impermeável, cuja superfície sofre a
aplicação de um carregamento sob condições drenadas. As condições de contorno
são e p = 0 em x = 0, para x = L tem-se )(* tHpxx −=σ 0=xu e 0=∂∂
xp .
Desde que o carregamento seja constante, a solução para este problema recai
na equação de difusão.
02
2=
∂∂
−∂∂
xpc
tp (3.19)
onde c é o coeficiente de difusividade, dado por
( )( )( ) ( )u
u
vvvvvkG
c−−
−−=
12112
22α (3.20)
44
Figura 3.01 – Esquema da coluna poroelástica
k é a permeabilidade, G módulo de cisalhamento, coeficiente de Poisson não
drenado, coeficiente de Poisson e
uv
v α é o coeficiente de Biot, definido aqui como
função do módulo volumétrico do esqueleto sólido ( )K e dos grãos ( )sK .
sKK
−= 1α (3.21)
A solução analítica para o caso da coluna poroelástica é dada por Detournay
e Cheng (1993). A poropressão e o deslocamento são dados em função das
variáveis adimensionais x’ e t’. A expressão do excesso de poropressão é dada
pela expressão (3.22).
( )','(1* txFGSpp −=
η (3.22)
onde:
Lxx =' (3.23)
24'
Lctt = (3.24)
( )∑∞
=
−
−=
,..3,1
22 'exp2
'sen41)','(m
tmxmm
txF πππ
(3.25)
( )vv
−−
=12
21αη (3.26)
u
u
vv
GBS
+−
=113' η (3.27)
45
( )( ) KKK
Bf
f
φαφαα
+−−=
1 (3.28)
sendo módulo volumétrico do fluído, fK φ a porosidade, B o coeficiente de
Skempton e p* o carregamento. A expressão para o deslocamento é dada por
uuu uxx ∆+= (3.29)
sendo:
( )( ) ( )'112
21*x
vGvLp
uu
uux −
−−
= (3.30)
( )( )( ) ( )','
112*
2 txFvvGvvLp
uu
ux −−
−=∆ (3.31)
( )[ ]∑∞
=
−−
=
,...3,1
22222 'exp1
2cos8
mtmxm
mF ππ
π (3.32)
onde é o deslocamento inicial elástico na condição não- drenada e é o
incremento de deslocamento dependente do tempo.
uxu xu∆
Apresenta-se a seguir a comparação de resultados da simulação numérica
com a solução analítica para o arenito de Berea, considerando a situação dos
materiais constituintes serem incompressíveis ou não. Esta condição é
caracterizada pelo coeficiente de Biot ( )α , que para a situação incompressível
assume o valor unitário. O carregamento p é igual a 1 MPa e os parâmetros
referentes ao material são listados na tabela 3.01. G 6000 MPa
υ 0.20
uυ 0.33
B 0.62
c 1.6 m2/s η 0.30
α 0.79
sK 36000 MPa
fK 3300 MPa
'n 0.19
k 1.9 x 102 mD
Tabela 3.01 – Parâmetros poroelásticos do arenito de Berea (Detournay e Cheng, 1993).
46
Por uma imposição do programa de elementos finitos, a reposta da pressão
de fluido é definida em excesso de poropressão. A comparação da resposta
analítica e numérica será feita obedecendo à convenção do programa.
4.00E-04
4.50E-04
5.00E-04
5.50E-04
6.00E-04
6.50E-04
0 100 200 300 400 500 600 700 800Tempo (s)
Des
loca
men
to (m
) Detournay e ChengAbaqus
Figura 3.02 – Deslocamento no topo da coluna com o tempo - 62.0=α
0.00E+00
1.00E-04
2.00E-04
3.00E-04
4.00E-04
5.00E-04
6.00E-04
7.00E-04
0 100 200 300 400 500 600 700 800Tempo (s)
Des
loca
men
to (m
)
Detournay e ChengAbaqus
Figura 3.03 – Deslocamento no topo da coluna com o tempo - 1=α
47
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0 100 200 300 400 500 600 700 800Tempo (s)
Exce
sso
de p
orop
ress
ão (M
Pa)
Detournay e ChengAbaqus
Figura 3.04 – Excesso de poropressão na base da coluna com o tempo - 62.0=α
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
0 100 200 300 400 500 600 700 800Tempo (s)
Exce
sso
de p
oro-
pres
são
(MPa
)
Detournay e ChengAbaqus
Figura 3.05 - Excesso de poropressão na base da coluna com o tempo - 1=α
48
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00Posição na coluna (m)
Exce
sso
de p
oro-
pres
são
(MPa
)
Detournay e ChengAbaqus
t = 507 s
t = 307 s
t = 107 s
t = 10 s
Figura 3.06 – Excesso de poropressão ao longo da coluna - 62.0=α
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00Posição na coluna (m)
Exce
sso
de p
oro-
pres
são
(MPa
)
Detournay e Cheng
Abaqus
t = 527 s
t = 327 s
t = 127 s
t = 27 s
Figura 3.07 - Excesso de poropressão ao longo da coluna - 1=α
As figuras 3.02 e 3.03 mostram o deslocamento do topo da coluna com o
tempo, a resposta obtida pela simulação numérica possui boa concordância com a
solução analítica. É interessante notar também o deslocamento no início do
processo de adensamento, segundo a mecânica dos solos para constituintes
49
incompressíveis ( 1= )α o processo de adensamento não produz qualquer
deslocamento (situação não – drenada), ao passo que para materiais compressíveis
( 62.0= )α isto não se verifica.
Em relação às figuras 3.04 e 3.05 a concordância entre os resultados se
repete. Como no caso do deslocamento há uma diferença de comportamento entre
materiais compressíveis ou não. De acordo com a teoria de Terzaghi (1923), para
a situação de materiais incompressíveis, no instante do carregamento o fluído
absorve toda a carga aplicada ao meio poroso, como consequência o excesso de
poropressão é igual ao carregamento. O resultado mostrado na figura 3.05 está de
acordo com a teoria. Entretanto, isto não ocorre quando os materiais são
compressíveis (figura 3.04), onde parte da carga é suportada pelo esqueleto sólido
no instante do carregamento, este fato se reflete no deslocamento do topo da
coluna poroelástica como citado anteriormente.
As figuras 3.06 e 3.07 mostram o excesso de poropressão ao longo da
coluna onde também houve boa concordância de resultados. Este exemplo mostra
que o programa ABAQUS possui uma boa capacidade em representar o
comportamento de materiais compressíveis ou não.
3.2.6.2 Poço vertical em um estado de tensões não hidrostático
Detournay e Cheng (1989) propuseram a solução analítica para a escavação
de um poço vertical em uma formação saturada sujeita a um estado de tensões não
hidrostático. A solução analítica para este problema é originada no campo de
Laplace, assumindo um estado de deformação plana no plano perpendicular ao
eixo do poço e escavação instantânea; a solução da transformada é feita
numericamente.
A figura (3.08) esquematiza o exemplo do poço, onde estão representadas as
tensões nas direções y ( yyσ ) e x ( xxσ ), tensão hidrostática na formação ( ),
tensão desviadora ( , pressão na formação ( ), raio de um ponto qualquer(r),
raio do poço(r
0P
)0S 0p
w) e o ângulo ( . )θ
50
ooxx SP −=−σ
ooyy SP +=−σ
r
θ
wr
op
Figura 3.08 – Esquema de um poço em um meio poroelástico
A perfuração é simulada removendo no instante t = 0 as tensões atuantes na
parede do poço e impondo no poço um valor nulo de poropressão. O
carregamento foi dividido em três modos, uma parcela considerando a tensão
hidrostática in situ, a desviadora in situ e a poropressão atuante na formação. A
soma dos três efeitos com as tensões in situ reproduzem o efeito da perfuração.
3.2.6.2.1 Carregamento modo 1
Neste modo, o poço é submetido a um estado de tensão hidrostático. As
condições de contorno para este modo são:
01 Prr =σ (3.33)
01 =θσ r (3.34)
01 =p (3.35)
A solução para este modo é dada por:
2
2
0
1
rr
Pwrr −=
σ (3.36)
2
2
0
1
rr
Pw=θθσ
(3.37)
51
3.2.6.2.2 Carregamento modo 2
Neste modo é considerada apenas à ação da poropressão na formação. As
condições de contorno para este modo são:
02 =rrσ (3.38)
02 =θσ r (3.39)
02 pp = (3.40)
A solução é dada no campo de Laplace
( )( )βξ
0
0
0
~
KK
pps
−= (3.41)
( )( )
( )( )
−−=
βββ
ββξ
ησ
0
12
2
0
1
0
~
2KK
rr
KK
rr
ps wwrr (3.42)
( )( )
( )( )
( )( )
+−=
βξ
βββ
ββξ
ησθθ
0
0
0
12
2
0
1
0
~
2KK
KK
rr
KK
rr
ps ww (3.43)
O símbolo ~ representa a variável no campo de Laplace, é a função de
Bessel modificada de segundo tipo de ordem zero, é a função de Bessel
modificada de segundo tipo de ordem 1, s é a variável da função núcleo de
transformação, c é o coeficiente de difusividade definido anteriormente pela
expressão (3.20),
0K
1K
csr=ξ e
csrw=β .
3.2.6.2.3 Carregamento modo 3
O poço, neste modo, é submetido a um estado de tensão desviador. A
variável θ introduzida neste modo refere-se ao ângulo medido a partir do eixo x
no sentido anti – horário. As condições de contorno para este modo são:
)2cos(03 θσ Srr −= (3.44)
)2sen(03 θσ θ Sr = (3.45)
52
03 =p (3.46)
A solução para o campo de tensão e poropressão é dada por
( )( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )θξ 2cos11
31911
2
2
221
22
0
~
−+
+−−
+−=
rr
CvvBKC
vvvvvB
SPs w
u
u
uu
u (3.47)
( )( ) ( ) ( ) ( )θξ
ξξ
ξ2cos3
1161
131
4
4
32
2
222110
~
−
−−
+
−+
=rr
Crr
Cv
KKCvvB
SSs ww
uu
urr (3.48)
( )( ) ( ) ( ) ( )θξ
ξξ
ξθθ 2cos3611
131
4
4
322110
~
+
++
−+
−=rr
CKKCvvB
SSs w
u
u (3.49)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( θξ
ξξ
ξθ 2sen3
12131
1312
4
4
32
2
222110
~
−
−−
+
−+
=rr
Crr
Cv
KKCvvB
SSs ww
uu
ur ) (3.50)
onde:
( )( )( )( )12
1 1112
DDvBvvv
Cu
uu
−+−−
=β
(3.51)
( )12
22
14DD
DvC u
−−
= (3.52)
( ) ( ) ( )( )12
2123
8DD
KvvDDC u
−−++
=β
ββ (3.53)
( ) ( )β11 2 KvvD u −= (3.54)
( ) ( )ββ 22 1 KvD −= (3.55)
A técnica utilizada para a inversão das expressões no campo de Laplace será
exposta no próximo tópico.
Para verificar a capacidade do programa em simular este problema, simula-
se o exemplo de um poço vertical de raio 0.1 m submetido a um estado de tensão
de MPaxx 2=σ e MPayy 4=σ , com uma poropressão na formação de 1 . A
figura 3.09 mostra a malha utilizada na simulação, o contorno está situado a uma
distância de 50 vezes o raio do poço. O material utilizado é o arenito de Berea.
Por uma imposição do programa a tensão é colocada como efetiva, tal como no
caso da coluna poroelástica, obedece-se à convenção do programa. A convenção
de sinais adotada para esforços mecânicos neste trabalho será a mesma do
programa ABAQUS, onde o esforço de compressão é negativo.
MPa
53
Figura 3.09 – malha de elementos finitos utilizada na simulação do poço.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
0 10 20 30 40 50Raio adimensional
Poro
- pr
essã
o (M
Pa)
60
analítica
abaqus
t = 0.9
t = 12.9 sregime permanente
Figura 3.10 – Poropressão ao longo da direção 0=θ - 62.0=α
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
0 10 20 30 40 50Raio adimensional
Poro
- pr
essã
o (M
Pa)
60
analíticaabaqus
t = 0.8 s
t = 12.8 sregime permanente
Figura 3.11 – Poropressão ao longo da direção 0=θ - 1=α
54
-12.00
-11.00
-10.00
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.000 10 20 30 40 50 6
Raio adimensional
σ θθ
(MPa
)
0
analíticaabaqus
t = 0.9 s
t = 12.9 s
regime
Figura 3.12 – Tensão tangencial ao longo da direção 0=θ - 62.0=α
-12.00
-11.00
-10.00
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.000 10 20 30 40 50
Raio adimensional
σ θθ (
MPa
)
60
analítica
abaqus
t = 0.8 s
t = 12.8 s
regime t
Figura 3.13 - – Tensão tangencial ao longo da direção 0=θ - 1=α
55
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.000 10 20 30 40 50 6
Raio adimensional
σ rr (
MPa
)
0
analíticaabaqus
t = 0.9 s
t = 12.8 s
regime permanente
Figura 3.14 - – Tensão radial ao longo da direção 0=θ - 62.0=α
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.000 10 20 30 40 50 60
Raio adimensional
σ rr (
MPa
) analítica
abaqus
t = 0.8 s
t = 12.8 s
regime permanente
Figura 3.15 - Tensão radial ao longo da direção 0=θ - 1=α
Os resultados obtidos pela simulação numérica para a poropressão (figuras
3.10 e 3.11) mostram uma boa concordância com a solução analítica, mesmo para
56
a região próxima ao poço onde o gradiente de poro-pressão é elevado. Porém, à
medida que se afasta do poço e para tempos maiores, o resultado dado pela
simulação numérica se afasta um pouco da analítica, isto pode ser em virtude da
condição de contorno colocada na simulação numérica não representar o infinito.
Uma solução para este problema seria aumentar mais a malha ou aplicar
elementos que representassem o meio infinito, mas esta opção não existe no
programa para o caso do acoplamento fluido mecânico. Simulações com malhas
cujo contorno estava a 10, 20, 30 e 50 vezes o raio do poço foram feitas.
Observou-se pouca variação de resultados para malhas com o contorno acima de
20 vezes o raio do poço.
A mesma observação da poropressão não é feita para as tensões (figuras
3.12, 3.13, 3.14 e 3.15), uma possível razão é que os resultados para a tensão
foram analisados nos pontos de integração do elementos, os quais não se
localizam na direção 0=θ como é feita para a solução analítica. Uma tentativa de
interpolar os resultados de tensão para os nós foi feita, entretanto o programa não
permitiu identificar a que nó um valor de tensão estava associado. Todavia, o
comportamento das curvas de tensão versus deformação são muito semelhantes às
obtidas pela solução analítica o que garante uma certa confiabilidade.
3.2.6.3 Solução para a inversa da transformada de Laplace
A inversa da transformada de Laplace tem sido amplamente estudada na
literatura e vários métodos de solução foram propostos para sua resolução, que
levam em conta a natureza mal condicionada da sua solução. A inversa da
transformada de Laplace é usada nas expressões analíticas dadas no item anterior,
o método selecionado para a inversão foi o de Stehfest (1970). Este método está
baseado na amostragem de dados de acordo com uma série de delta. A solução
aproximada no tempo é dada pela seguinte expressão
( )∑=
=
N
iia i
TPV
TF
1 ')2ln('
'2ln (3.56)
57
( ) ∑+
=
+
−−−−−=
)2/,min(
21
2/2/
)!2()!()!1(!)!2/()!2(1'
Ni
ik
NiN
ikkikkkNkkVi (3.57)
onde:
Fa: valor aproximado da função real
' : é a variável da função real T
N: número de termos da série
P: é a função real no campo de Laplace, onde a variável da função núcleo de
transformação representada convencionalmente por s é igual a iT
)2ln( .
A expressão (3.57) difere daquela exposta no trabalho de Stehfest pelo
termo 2/NK no numerador, que substitui o termo 12/ +NK no trabalho original. É
importante notar também o valor que K assume na expressão (3.57). Como a
expressão (3.57) utiliza o fatorial, o domínio desta função exige que K seja
sempre um número inteiro. Portanto, K será aproximado para um valor inteiro,
quando i for igual a um numero par. Para que todos os termos participem do
somatório, K deverá ser truncado, do contrário erros surgirão durante a inversão
numérica.
O valor de N, número de termos da série, deverá assumir valores pares pelo
mesmo motivo do domínio da função, variando numa faixa entre 8 e 20.
Entretanto o uso de altos valores para N podem conduzir a erros na inversão. Um
pequeno teste variando o valor de N é recomendado, a fim de verificar a variação
dos resultados obtidos e na escolha do melhor valor de N.
4 Modelo constitutivo implementado
O conhecimento das condições que levam uma rocha reservatório a produzir areia
constitui um fator importante no uso e escolha dos métodos de controle. A previsão de
como a rocha responderá sob condições de operação de um poço necessariamente
envolve a utilização de uma relação constitutiva. Materiais geológicos mesmo
submetidos a pequenos carregamentos costumam se deformar de tal maneira que não
recuperam mais sua forma inicial, o que envolve além da deformação elástica a
consideração de deformações plásticas no modelo constitutivo.
Dois comportamentos ligados à deformação se destacam na rocha quando
submetida a carregamento. A dilatância, ou seja, o aumento de volume quando o estado
de tensão se aproxima do nível de ruptura da rocha e o colapso de poros que é o
fechamento de poros devido à ação da parcela hidrostática do carregamento. Exemplos
típicos deste comportamento são o fechamento de poços e a redução da permeabilidade.
Portanto, modelos que consigam simular tais situações são de grande valia na análise da
produção de areia e mais genericamente de processos mecânicos ao redor do poço.
4.1 Critérios da Plasticidade
A implementação e o desenvolvimento de modelos elastoplásticos na
geomecânica computacional apóiam-se fortemente em um número finito de critérios de
escoamento, funções de potencial plástico e leis de evolução (Jeremic, 2002). Alguns
aspectos deste embasamento serão abordados neste tópico e posteriormente utilizados na
implementação do algoritmo de integração do tipo explícito.
59
4.1.1 Critério de escoamento
O critério de escoamento define o limite entre o comportamento elástico e plástico
de um material, especificando se um determinado estado de tensões provoca ou não a
plastificação do material. É expresso normalmente em termos de tensão ou de seus
invariantes, como exemplificado na expressão (4.01):
0),,,,,( 231312332211 == σσσσσσfF (4.01)
Admitindo-se que o material seja homogêneo e isotrópico, F poderá ser
simplificada e expressa em termos das tensões principais:
0),,( 321 == σσσfF (4.02)
Como F fornece um escalar e as tensões principais permitem uma representação
gráfica a partir de um sistema de três eixos, o critério de escoamento pode ser
interpretado como uma superfície. Portanto, estados de tensão localizados dentro desta
superfície caracterizam o regime elástico e os que repousam nela caracterizam o plástico.
4.1.2 Leis de evolução para endurecimento–amolecimento
A superfície de escoamento não retrata apenas se um material está ou não no
regime elástico, mas também caracteriza a sua evolução ao longo da história de
carregamento. O termo evolução é empregado como uma mudança nas propriedades do
material e variações na sua resistência, relacionando-se aos fenômenos de
“endurecimento” e “amolecimento”.
A expressão do critério de escoamento (4.02) passa ser expressa não somente em
função das tensões ou invariantes, mas também de um parâmetro de endurecimento, o
critério de escoamento assume a forma:
( ) 0'')( =−= hffF σ (4.03)
onde σ representa o estado de tensão atuante em um corpo e o parâmetro de
endurecimento.
'h
60
Uma interpretação geométrica desta mudança é visualizada no plano desviador,
em que a superfície de escoamento ao longo de um carregamento pode transladar, variar
a forma e/ou tamanho, ou uma combinação destes. A figura (4.01) ilustra estes casos.
De acordo com o comportamento da superfície de escoamento, caracterizam -se as
situações de endurecimento isotrópico, cinemático ou misto. A figura (4.01-a) ilustra uma
superfície de escoamento estática, sem variação na forma ou tamanho, caracterizando um
material perfeitamente plástico. Na figura (4.01-b) ocorre o endurecimento isotrópico,
onde a variação de tamanho da superfície representa um aumento nas tensões que iniciam
a plastificação. O deslocamento da superfície de escoamento visto na figura (4.01-c)
representa o endurecimento cinemático.
(c) Figura 4.01 – Representação da superfície de escoamento no plano desviador (Desai,1984).
Para o endurecimento isotrópico, o parâmetro de endurecimento pode ser
relacionado à deformação plástica, a expressão (4.03) assume:
( ) 0')( =−= pffF εσ (4.04)
61
Outra forma para representar o parâmetro de endurecimento seria colocá-lo em
termos do trabalho plástico, a expressão (4.03) adquire a seguinte forma:
( ) 0')( =−= pwffF σ (4.05)
4.1.3 Lei de Fluxo
Na teoria clássica da plasticidade, o incremento de deformação total é decomposto
em uma parcela elástica e outra plástica. A parcela elástica está relacionada à lei de
Hooke como:
ijeij dDd σε 1−= (4.06)
sendo:
D : matriz constitutiva elástica do material edε : vetor incremento de deformação elástica
ijdσ :- vetor incremento de tensão
O incremento de deformação plástica é determinado através de uma lei de fluxo,
como na expressão (4.07). Esta lei é expressa por:
ij
pij
Qddσ
λε∂∂
= (4.07)
onde:
λd : escalar positivo
Q : função potencial plástica
A função potencial plástica (Q) é definida assumindo a existência de uma
superfície perpendicular ao incremento de deformação plástica.
A expressão (4.07) é conhecida também como condição de normalidade. Quando
a função potencial plástica é igual à função de escoamento, diz-se que o fluxo é
associado. Para os materiais geotécnicos é comum que a função de escoamento não
reproduza a condição de normalidade. Neste caso, adota-se outra função, o fluxo é
classificado como não associado.
62
A constante λd conhecida como parâmetro plástico, pode ser obtida através da
condição de consistência, a qual estabelece que um carregamento atuando sobre um
corpo sob estado de tensões plástico levará a outro estado de tensões plástico. Esta
condição exige que o critério de escoamento seja sempre satisfeito. A obtenção deste
parâmetro será feita no item que descreve as relações usadas no algoritmo de integração.
4.2 Modelo Lade-Kim
Este modelo tem sido relatado na literatura (Jeremic e outros, 1998) como capaz
de reproduzir com boa acurácia o comportamento de materiais granulares, representando
características como superfície de plastificação dependente dos três invariantes de tensão,
dilatância ligada a uma lei de fluxo não associativa, dependência do módulo de Young
em relação ao estado de tensão e o comportamento de endurecimento - amolecimento
relacionado às tensões atuantes.
Baseado na revisão e avaliação de dados experimentais, Lade e Kim (1988)
desenvolveram um modelo constitutivo para materiais friccionais como o concreto, areia
e rocha. O comportamento elástico é descrito através da lei de Hooke e o comportamento
plástico pelo critério de escoamento, função potencial plástica e um critério de ruptura,
expresso em termos dos invariantes de tensão. O modelo utiliza doze parâmetros,
incluindo a coesão presente no material.
4.2.1 Comportamento elástico
Como mencionado, o regime elástico obedece à lei de Hooke. O módulo de
Young é colocado em função da tensão principal menor (Lade e Kim, 1988), como segue
abaixo:
63
n
papaKurE
⋅⋅= 3σ
(4.08)
onde e são constantes adimensionais determinadas através de ensaio triaxial sob
vários valores de tensão confinante
Kur n
( )3σ , pa é a pressão atmosférica expressa na mesma
unidade de E e 3σ .
4.2.2 Critério de ruptura
Baseado no fato de que a rocha é um material friccional com muitas
características similares ao solo e o concreto, Lade e Kim ampliaram para rochas o
critério de ruptura desenvolvido para solos com uma envoltória curva (Lade e Duncan,
1977). O critério formulado em termos do primeiro e terceiro invariantes de tensão é
dado por:
11
3
31 27 η=
−
m
paI
II (4.09)
onde:
zyxI σσσ ++=1 (4.10)
( )yxxyzxzzxyzyyzxxzzyyxzxyzxyzyxI ττσττσττσττττττσσσ ++−++=3 (4.11)
sendo e o primeiro e o terceiro invariante de tensão respectivamente, m e 1I 3I 1η são os
parâmetros do modelo. O parâmetro m está relacionado a curvatura da superfície de
ruptura no plano triaxial (figura 4.02-a) e o parâmetro 1η com a seção transversal da
superfície de ruptura no plano octaédrico (figura 4.02 -b).
A resistência à tração e a coesão presente em uma rocha são incluídas através da
translação dos eixos de tensões principais ao longo do eixo hidrostático. Essa translação
inclui nas tensões normais uma parcela que representa a coesão do material dada por:
axx pa ⋅+= σσ_
(4.12)
64
ayy pa ⋅+= σσ_
(4.13)
azz pa ⋅+= σσ_
(4.14)
sendo a o parâmetro que representa a coesão.
Esta adição da parcela que representa a coesão deve ser feita antes da utilização das
expressões do critério de ruptura.
1σ
eixo hidrostático
1σ
32σ
(a)
1σ
3σ2σ
(b)
Figura 4.02 – Superfície de ruptura do modelo Lade–Kim no plano triaxial e octaédrico (Lade e
Kim, 1988).
4.2.3 Função potencial plástica
Lade e Kim propuseram uma lei de fluxo não associada para descrever o
comportamento das deformações plásticas. A função Q descrita na expressão (4.07) é
colocada no modelo Lade - Kim como: µ
ψψ
+−=
paI
II
IIg p 1
22
21
3
31
1
(4.15)
onde:
( )xzzyyxxzzxzyyzyxxyI σσσσσσττττττ ++−++=2 (4.16)
1ψ : fator que pondera a forma circular (do termo ) e a forma triangular (do termo
). Lade e Kim relacionaram este parâmetro ao parâmetro m do critério de ruptura por:
2I
3I
65
27.11 00155.0 m=ψ (4.17)
2ψ : fator que controla a interseção da superfície potencial plástica com o eixo
hidrostático.
µ : coeficiente que determina a curvatura dos meridianos (traço com o plano
triaxial).
2I : segundo invariante de tensão
Reescrevendo a expressão (4.07)
ij
ppij
gdd
σλε∂
∂=
(4.18)
A figura (4.03) mostra a superfície potencial plástica no espaço de tensões e os
vetores de incremento de deformação plástica permitindo identificar que quanto mais o
estado de tensão se afasta de um carregamento hidrostático e se dirige a ruptura, mais a
variação volumétrica deixa de ser compressiva e passa a ser dilatante.
eixo hidrostático
a
1p
σ
a
2p
2σ
Figura 4.03 – Superfície potencial plástica do modelo Lade – Kim (Lade e Kim, 1988)
Substituindo a expressão (4.15) em (4.18), tem-se:
66
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
−−
−−
−−
−−+−
−−+−
−−+−
=
23
31
122
21
23
31
122
21
23
31
122
21
23
312
122
21
1
23
312
122
21
1
23
312
122
21
1
1
22
22
22
II
II
II
II
II
II
II
IIG
II
IIG
II
IIG
paId
dddddd
xyzzxyzxy
zxyyzxyzx
yzxzxxyyz
xyyxyx
zxzzxz
yzzyzy
pxy
pxz
pyz
pz
py
px
τσττψτ
τσττψτ
τσττψτ
τσσψσσ
τσσψσσ
τσσψσσ
λ
εεγεεε
µ
(4.19)
onde:
( ) ( )1
23
123
21
11123II
IIIG µψµµψ ++−+=
(4.20)
Um fato relacionado à ocorrência da deformação plástica é o cumprimento da
condição de irreversibilidade de Prager, esta condição impõe:
0≥= pijijp ddw εσ (4.21)
sendo dwp o incremento de trabalho plástico
A função potencial plástica deve ser convexa em relação à origem do eixo de
tensões. Lade e Kim propõem que está condição é obedecida mediante a escolha de
parâmetros apropriados. Utilizando a expressão (4.18) e considerando que a função
potencial plástica é uma função homogênea de ordem µ , a equação (4.21) leva a:
ppp dgdw λµ= (4.22)
como pdλ >0, a condição de irreversibilidade exige que:
0≥pgµ (4.23)
Lade mostra em seu trabalho que negativo não é uma escolha adequada,
portanto
pg
µ e devem ser positivos. Como pg 273
31 ≥
II
e 32
21 ≥
−II
são sempre
positivos a condição de irreversibilidade conduz a:
67
0>µ (4.24)
( )327 12 +−> ψψ (4.25)
Em relação a materiais coesivos, o mesmo procedimento de translação dos eixos
descrito no critério de ruptura deve ser adotado.
4.2.4 Função de escoamento
Vários critérios de plastificação baseados em experimentos combinados ou não
com suposições do comportamento plástico exibido pelo material (fluxo associado ou não
associado) têm sido propostos. A identificação de pontos de plastificação em curvas de
tensão-deformação é uma destas propostas, porém não é um processo fácil. Uma das
dificuldades encontradas é o fato da plastificação ser um processo contínuo para materiais
geológicos. Não existindo, portanto, um ponto de plastificação distinto na curva tensão-
deformação.
Lade e Kim propuseram como alternativa analisar os contornos dos parâmetros de
endurecimento em um plano octáedrico e compará-los com dados experimentais da
superfície de plastificação. Adotaram como parâmetro de endurecimento o trabalho
plástico e associaram o valor do trabalho plástico a uma superfície de plastificação. Este
procedimento evitou o uso de trajetórias complicadas de tensão e a determinação de
pontos de plastificação na curva tensão-deformação. Além de representar a plastificação
em termos das deformações cisalhantes e volumétricas.
Através de ensaios com carregamento hidrostático estabeleceu-se uma função
monotônica para o trabalho plástico: P
p paIpaCw
= 1 (4.26)
sendo c e p parâmetros adimensionais do modelo.
Analisando o comportamento de curvas de mesmo trabalho plástico no plano
octáedrico (figura 4.04), a seguinte expressão para a superfície de escoamento foi
elaborada:
68
=pf qh
epaI
II
II
− 1
2
21
3
31
1ψ (4.27)
sendo 1ψ e h parâmetros adimensionais do modelo, q depende do nível de tensão e
assume os seguintes valores:
0=q - durante carregamento hidrostático
10 << q - durante o endurecimento
1=q - durante a ruptura
p1d,1 εσ
p2d,2 εσ
p3d,3 εσ−
Figura 4.04 – Dados experimentais e contornos de trabalho plástico constante no plano
octaédrico para Fuji River Sand (Lade e Kim, 1988).
Na figura (4.04) várias superfícies de plastificação com o mesmo valor de são
plotadas utilizando a expressão (4.27) a qual não está relacionada diretamente com o
trabalho plástico, contudo a função de escoamento representa razoavelmente bem o
contorno do trabalho plástico descrito pelos pontos. Outro fato é que os dados
experimentais indicam um comportamento anisotrópico enquanto a expressão (4.27) um
comportamento de expansão isotrópico, se adequando bem a um modelo de
endurecimento isotrópico.
pf
Como a função de escoamento e o parâmetro de endurecimento se relacionam de
forma única, através da manipulação das expressões (4.26) e (4.27) obtêm-se:
ρρ
11
'1''
=
paw
Df p
(4.28)
69
A expressão (4.28) coloca a função de escoamento em termos do trabalho plástico
para o regime de endurecimento, sendo válida para qualquer estado de tensão.
Recorrendo a expressão (4.05) o critério de escoamento pode ser definido como:
0'' =−= ffF p (4.29)
Lade e Kim propuseram uma função de escoamento em termos do trabalho plástico
para o regime de amolecimento. A expressão idealizada é uma exponencial decrescente
representando um regime de amolecimento isotrópico dada por:
−
= paw
B p
eAf*
' (4.30)
sendo A e B* constantes positivas. Estas constantes são obtidas sem a introdução de
outros parâmetros no modelo. Considerando que a tangente da curva de amolecimento é
igual à tangente negativa da curva de endurecimento e que o valor da função de
escoamento em termos do trabalho plástico no endurecimento é igual à função de
escoamento no amolecimento no ponto de ruptura (figura 4.05), tem-se:
( ) ruptura
p
paw
B
ruptura efA
−
=*
' (4.31)
( )rupturap
hardeningruptura
p
p
fpaw
d
dfB
'1''
,
*
= (4.32)
O mesmo tratamento dado a materiais coesivos no critério de ruptura é dado na
função de escoamento. Entretanto é apontado no modelo que inconsistências na condição
de irreversibilidade podem surgir. Estas inconsistências são tratadas considerando a
existência de uma superfície de escoamento inicial que se estende desde a origem do eixo
de tensões real até uma região próxima a superfície de ruptura. Isto implica que somente
deformações elásticas ocorrem na maior parte de trajetórias de tensão de tração.
Pequenos desvios no comportamento linear elástico são observados quando o material se
aproxima da ruptura por tração caracterizando a plastificação.
70
endurecimento
amolecimento
( )ap
pwd
( )ap
pwd
pdf−
appw
fp
fp (rup)
)rup(ap
pw
Figura 4.05 – Função de escoamento no endurecimento e amolecimento (Lade e Kim, 1988).
4.3 Modelo de Mohr–Coulomb
Um dos critérios mais utilizados na área geotécnica é o critério de Mohr - Coulomb
e é um dos modelos adotado pelo programa de elementos finitos ABAQUS.
4.3.1 Critério de ruptura
O critério de Mohr - Coulomb assume que a ruptura em um material ocorre quando
a tensão cisalhante atuante em um plano ultrapassar a tensão definida pela expressão:
ϕστ tan*nc −= (4.33)
onde τ é a tensão cisalhante e nσ é a tensão normal atuante em um plano, c é a coesão e
ϕ é o ângulo de atrito interno. O sinal negativo na expressão indica a tensão de
compressão, convenção que é adotada pelo programa.
Em termos das tensões principais o critério é colocado na forma:
( ) ( ) ( ) ( )ϕϕσσσσ cossen21
21
3131 cFrup −+−−= (4.34)
Portanto, diferente do critério do Lade, o critério de Mohr - Coulomb assume que a
ruptura é independente da tensão intermediária.
71
4.3.2 Função de escoamento
Neste modelo a função de escoamento é idêntica a função de ruptura. A função de
ruptura dada anteriormente pode ser reescrita em termos de invariantes de tensão. Esses
três invariantes são:
- tensão equivalente:
−=
^
31' σtraçop (4.35)
- tensão equivalente de Mises:
( )dd SSq :23'= (4.36)
- terceiro invariante de tensão desviadora:
31
:29'
⋅= ddd SSSr (4.37)
sendo neste caso o tensor de tensões, é o tensor de tensões desviadoras dado por
,
^σ
^+σ
dS
IpSd '= I é a matriz identidade. Em relação as operações descritas acima, a
seguinte convenção é adotada pelo ABAQUS, um ponto ( )⋅ representa multiplicação
entre vetores ou matriz, dois pontos ( ): representa a multiplicação das componentes
conjugadas correspondentes de duas matrizes aos pares onde o produto somado.
A função de escoamento é dada por:
*)tan('' cpqRF mc −−= ϕ (4.38)
sendo a medida de tensão desviadora definida como: mcR
( ) ϕππϕ
ϕ tan3
cos31
3sen
cos31,
+Θ+
+Θ=ΘmcR (4.39)
e o ângulo polar desviador dada pela expressão: Θ
( )3
''3cos
=Θqr (4.40)
72
4.3.3 Função potencial plástica
A seguinte lei de fluxo é assumida no programa ABAQUS:
σεε
∂∂
='
'
_G
gdd
pl
pl
(4.41)
onde:
σ∂∂
σ=Q:
'c1'g
(4.42)
( ) ( ) ψ−+ψ= tanpqRtan|ecQ 2mw
20 (4.43)
( )
⋅
−+Θ−−+Θ−
−+Θ−=Θ
ψπ ,3
45cos)1(4)12(cos)1(2
)12(cos)1(4,1
21
2211
21
21
221
1
mc
mw
R
eeeee
eeeR (4.44)
sendo:
Q : é a função potencial plástica
e : parâmetro relacionado à excentricidade que define a taxa com que a função G
se aproxima de uma assíntota (a função potencial tende a uma linha reta à medida que a
excentricidade se aproxima de zero).
ψ : ângulo de dilatância medido no plano p - qRmw
mwR : função desviadora elíptica
1e : excentricidade que descreve o contorno da função potencial plástica no plano
octáedrico.
0|c : coesão no início da plastificação
pl_
ε : deformação plástica equivalente
A função desviadora elíptica usada por Menétrey e Willam (1995) possibilita a
função potencial plástica ser contínua e suave no plano octáedrico garantindo que exista
apenas uma direção de fluxo, como ilustrado na figura (4.06).
73
1e1/2 ≤<
Figura 4.06 – Fluxo potencial plástico pela função de Menétrey e Willam no plano desviador
(Willam e Menetrey, 1995).
5 Algoritmo para integração da relação tensão–deformação
A análise de materiais com comportamento elastoplástico por elementos
finitos é feita de forma incremental e iterativa. A cada estágio do processo de
solução, incrementos de força são aplicados e os respectivos incrementos de
deslocamento calculados pela solução de equações de equilíbrio. As deformações
e tensões são computadas nos pontos de integração de cada elemento usando as
relações deformação–deslocamento e por uma lei elastoplástica de tensão–
deformação.
Caso ocorra a plastificação no material e um modelo de endurecimento
isotrópico esteja sendo utilizado, a solução destas leis elastoplásticas é obtida
resolvendo-se um sistema de equações da forma:
( )••
= εσσ hDep , (5.01)
ph•
=• _
ε ou pwh••
= (5.02)
onde dependerá do parâmetro utilizado para representar o endurecimento. •h
Nestas expressões σ representa o vetor de tensão, ε o vetor de deformação,
o parâmetro de endurecimento e a matriz elastoplástica, o sinal de ponto
acima das variáveis representa a derivada em relação ao tempo no qual a carga é
aplicada. A obtenção da matriz elastoplástica é mostrada no tópico 5.1.2.
h epD
Existem dois tipos de algoritmos para o cálculo das tensões e do parâmetro
de endurecimento. Para a compreensão do processo de integração mostra-se de
forma sintetizada uma expressão geral destes algoritmos.
Considerando a deformação total constituída pelas parcelas elástica e
plástica, a tensão na superfície de escoamento em um ponto qualquer de um
material que tenha se plastificado pode ser escrita como:
( )pnnn D 111 +++ −= εεσ (5.03)
onde o índice n se refere ao incremento, para a deformação:
75
11 ++ += nnn dεεε (5.04)
pn
pn
pn d 11 ++ += εεε (5.05)
introduzindo as expressões (5.04) e (5.05) em (5.03),
( )pnn
pnnn ddD 111 +++ −+−= εεεεσ (5.06)
o que permite escrever: pnnnn DdDd 111 +++ −+= εεσσ (5.07)
fazendo igual a , tem-se a parcela denominada de tensão
tentativa elástica, como mostrado na expressão (5.08):
1++ nn Ddεσ *1+nσ
pnnn Dd 1
*11 +++ −= εσσ (5.08)
A segunda parcela do lado direito da expressão (5.08) representa o
comportamento plástico. Esta parcela é que permite conduzir o estado de tensão
localizado fora da superfície de escoamento para a superfície de escoamento.
Durante o fluxo plástico o gradiente da função potencial plástico varia ao
longo da trajetória de deformação incremental de modo não conhecido. Então,
alguma hipótese deverá ser adotada para possibilitar a integração da relação
constitutiva (5.08) (Nogueira, 1998). Uma forma de integração é a regra do ponto
médio, que adota a hipótese da variação linear das tensões e do parâmetro de
endurecimento ao longo do incremento de deformação, portanto:
( ) 1' ''1 ++ +−= nnn σασασ α (5.09)
( ) 1' ''1 ++ +−= nnn hhh ααα (5.10)
sendo 1+nσ e os valores desconhecidos da tensão e do parâmetro de
endurecimento no fim do incremento,
1+nh
'α é uma constante com valor entre 0 e 1.
Assim, quando a deformação plástica na expressão (5.08) é substituída pela
lei de fluxo, as tensões utilizadas serão as dadas pela expressão (5.09).
Quando 'α é igual a 1 tem–se o algoritmo de backward Euler, classificado
como do tipo implícito, pois trabalha somente com as tensões do fim do
incremento. A vantagem deste tipo de algoritmo é que tensão resultante
automaticamente satisfaz o critério de escoamento e não exige, caso ocorra uma
mudança do estado elástico para um plástico, o cálculo da interseção da trajetória
de tensão com a superfície de plastificação.
76
Apesar de ser um método poderoso, é um algoritmo de difícil
implementação para modelos complexos, pois exige o cálculo da derivada de
segunda ordem da função potencial e de escoamento. Além disto, o algoritmo
pode apresentar divergências para superfícies de escoamento com vértices ou
rápidas mudanças na curvatura (Sloan, 2001).
Para 0=α tem – se o algoritmo do tipo explícito, que trabalha somente
com as tensões e parâmetro de endurecimento do início do incremento. O
esquema de forward Euler é um dos mais utilizados neste tipo de algoritmo. A
precisão deste tipo de algoritmo depende do tamanho do incremento, sendo usual
dividir o incremento em subincrementos de igual tamanho para melhorar a
precisão da integração. A vantagem deste método é a fácil implementação, pois
trabalha apenas com derivadas de primeira ordem. A implementação de um destes
algoritmos será discutida no próximo tópico.
5.1 Algoritmo do tipo explícito
A desvantagem do método forward Euler citado anteriormente é que não
existe uma regra para se estabelecer o número de subincrementos e também não se
pode garantir que as tensões resultantes satisfaçam o critério de escoamento no
fim do incremento. Outra desvantagem é a necessidade de se conhecer a
interseção do vetor tensão com a superfície de plastificação, quando o estado de
tensão muda do elástico para o plástico.
Sloan (1987) propôs um algoritmo do tipo explícito, cuja característica
chave é o controle de erro no processo de integração pela seleção automática do
tamanho do subincremento à medida que a integração procede. Este trabalho está
fundamentado neste algoritmo.
O método de Runge–Kutta–Dormand-Price é utilizado neste trabalho para
resolver as expressões (5.01) e (5.02) em alternativa ao método de Euler. A
dedução das expressões do método de Runge–Kutta–Dormand–Price não será
mostrada neste trabalho, mas pode ser encontrada em Dormand and Price (1980).
Todavia, para entender o seu mecanismo, será mostrado de forma resumida o
método de Euler, pois ambos tem a mesma concepção.
77
As expressões (5.01) e (5.02) definem um sistema de equações diferenciais
que regem o comportamento mecânico de um corpo, onde a princípio é conhecido
o estado de tensão e deformação atuantes em um corpo, as propriedades do
material e a matriz constitutiva ao nível do elemento. Portanto este problema pode
ser estudado como um problema de valor inicial.
Euler propôs que a solução deste tipo problema poderia ser obtida
aproximando a solução exata através do cálculo de uma série de pontos dentro de
um determinado intervalo. A figura (5.01) ilustra a solução exata (linha cheia) e a
aproximada (pontos) para uma equação diferencial em função de uma variável. A
solução das expressões 5.01 e 5.02 será feita por esta aproximação.
1w
nw1nw +
1v nv 1nv + v
w
Figura 5.01 – Interpretação gráfica da solução proposta por Euler (Boyce e Diprima,
1998)
Segundo Euler, cada valor da variável dependente (w) na curva (figura 5.01)
pode ser obtido pela soma do seu valor anterior com um incremento relacionado a
ela. Este incremento é o produto do incremento da variável independente (v) com
a derivada da tangente (w’) no ponto de valor inicial. A seguinte expressão foi
proposta:
( )nnnn1n w,v'wvww ⋅∆+=+ (5.11)
Nota – se uma semelhança com a expressão (5.08) onde w seria σ , seria
o incremento
v∆
εd e representaria a matriz constitutiva .
Entretanto, a convergência deste método é muito sensível ao incremento da
variável independente. A convergência é obtida, então, por dois modos. O
( nnn w,v'w ) D
78
primeiro é o uso de incrementos cada vez menores e o segundo pela obtenção de
um método mais eficiente. A obtenção de um método mais eficiente é feita
normalmente modificando-se o valor dado por ( )nnn w,v'wv ⋅∆ .
1nw +
nw +
( nnn w,v'w
(( )vwvv nn ∆+∆+ ,
∆
5 201
220351 σ +∆+
5 201
220351 hh ∆+∆+
54 565
8881 σσ +∆+
54 565
8881 hh +∆+∆
Na literatura um método citado é o de Euler aprimorado (Boyce e Di Prima,
1998) ou também conhecido por Euler Modificado. Este método determina
.através de dois estágios, o primeiro estágio utiliza o método de Euler para
determinar , o segundo estágio usa o valor de calculado anteriormente
no lugar de na expressão (5.11). Assim o valor de não dependeria
somente do valor no início do incremento mas também de algum ponto situado
dentro dele, então, pode–se dizer que a derivada
1nw +
1nw +
nw 1
) é avaliada duas
vezes para cada incremento. A expressão desenvolvida tem a seguinte forma:
( ) wwvwvww nnnnn +∆+=+ ','21
1 (5.12) )
O erro de truncamento local por este método, ou seja, o erro devido somente
ao método é proporcional a . O erro de truncamento global que reflete o erro
do truncamento local acrescido do erro dos parâmetros de entrada é proporcional a
. O método é classificado de acordo com o erro de truncamento global,
portanto o método de Euler Modificado é denominado de segunda ordem.
3v∆
2v∆
O método de Runge–Kutta-Dormand-Price utilizado neste trabalho tem o
mesmo princípio de Euler Modificado, entretanto a parcela ( )nnn w,v'wv ⋅ é
avaliada seis vezes, o que conduz a um erro de truncamento global de 5ª ordem. O
erro local para este método, expresso agora em termos de tensão é obtido a partir
das seguintes expressões:
64311 108145
297190
54031 σσσσσσ ∆∆−∆+∆+= −nn (5.13)
64311 108145
297190
54031 hhhhh nn ∆−∆+∆+= − (5.14)
631
^
1
^
216125
079.21
21619 σσσσσ ∆∆−∆+∆+= −nn (5.15)
631
^
1
^
216125
079.21
21619 hhhhh nn ∆−∆+∆+= − (5.16)
onde:
79
niiepi hD εσσ ∆
=∆ , (5.17)
iiniii
Qhhσ
σεσλ∂∂
∆∆=∆ ,, (5.18)
εε ∆∆=∆ nn T (5.19)
para i variando de 1 a 6, têm-se então:
11 −= nσσ
11 −= nhh (5.20)
11251 σσσ ∆+= −n
11251 hhh n ∆+= −
(5.21)
2113409
403 σσσσ ∆+∆+= −n
21
^
13^
409
403 hhhh n ∆+∆+= −
(5.22)
3211456
109
103 σσσσσ ∆−∆+∆+= −n
3211456
109
103 hhhhh n ∆−∆+∆+= −
(5.23)
43211572955
729880
2725
729226 σσσσσσ ∆+∆−∆−∆+= −n
43211572955
729880
2725
729226 hhhhhh n ∆+∆−∆−∆+= −
(5.24)
543211655
1892791
297226
25
270181 σσσσσσσ ∆+∆+∆−∆−∆−= −n
543211655
1892791
297226
25
270181 hhhhhhh n ∆+∆+∆−∆−∆−= −
(5.25)
A expressão para o erro local é obtida subtraindo as expressões (5.15) e
(5.13):
65431
^
28011
4027
7255
6310
36011 σσσσσ ∆+∆−∆+∆−∆=nE (5.26)
80
A mesma expressão é válida para o parâmetro de endurecimento
O processo de integração inicia assumindo que o subincremento de
deformação é igual ao próprio incremento de deformação. A tensão é calculada
somando a tensão do incremento anterior com o incremento de tensão dada pela
expressão (5.17). Em seguida é determinado o erro local e o erro relativo ,
como mostrado na expressão (5.27):
( )'R
n
nER
^σ
^
'= (5.27)
Se o erro relativo for menor do que a tolerância especificada, a tensão é
atualizada e termina o processo de integração. Caso o erro seja maior do que a
tolerância é feita a subdivisão do incremento.
O incremento de deformação passa a ser um somatório de subincrementos
de deformação. Para facilitar a operação de integração é associado ao
subincremento de deformação um subincremento de tempo adimensional (T), tal
que o incremento de deformação seja representando pelo valor unitário de T. O
subincremento de deformação é dado por:
kk T∆∆=∆ εε (5.28)
onde kε∆ é o subincremento de deformação e kT∆ é o subincremento de tempo.
O valor de ∆ é calculado baseado em uma extrapolação: kT
1
_
−∆=∆ kk TqT (5.29)
_q é um valor real positivo, o valor deste número dependerá se o subincremento de
deformação foi integrado com sucesso ou não. Sucessivos subincrementos são
calculados até que a soma deles se iguale ao incremento de deformação ou T seja
igual a 1.
Cabe ainda, definir a interseção do vetor tensão com a superfície de
escoamento, quando o estado de tensão muda do estado elástico para o plástico.
Supondo um estado de tensão elástico ( aσ ), tal que ( ) 0, <hF aσ , então, para um
incremento de tensão σ∆ que resulte na função de escoamento:
( ) 0, >∆+ hF a σσ (5.30)
81
deve-se encontrar a parcela de σ∆ responsável pelo carregamento elástico.
Considerando uma constante ξ tal que:
( ) 0, =hF σ (5.31)
onde:
σξσσ ∆+= a (5.32)
O valor de ξ varia entre 0 e 1. Para o valor 0 não há deformação elástica e
para 1 a deformação é totalmente elástica.
Visto que as equações (5.31) e (5.32) definem uma equação não-linear da
forma ( ) 0=ξF , métodos iterativos podem ser utilizados na obtenção de ξ ,como
a técnica de Newton Raphson, regula-falsi, secante e o Pegasus. Este último foi o
selecionado para determinar a interseção.
A seguir mostra-se o esquema do algoritmo de integração da relação tensão-
deformação.
1 – entrar com a tensão e o parâmetro de endurecimento inicial, o
incremento de deformação e a tolerância para o erro relativo durante a atualização
das tensões;
2 – calcular a tensão tentativa elástica ( )*σ a partir da soma da tensão
inicial ( )0σ e o incremento de tensão elástico ( )eσ∆
εσ ∆=∆ ee D (5.33)
et σσσ ∆+= 0 (5.34)
3 – verificar o critério de escoamento, caso ( ) FtolF −<*σ ou
( )( ) FtolFabs t <σ então o estado de tensão é elástico e as tensões podem ser
atualizadas, terminando o algoritmo;
4 – Caso a condição não seja verificada, determina-se se há a passagem do
estado elástico para o plástico pela condição ( ) 00 <σF e 0)( >tF σ , se a
condição é verificada determina-se a constante ξ e a parcela elástica do
incremento de tensão. Do contrário 0=ξ ;
– Atualiza-se a tensão inicial com a parcela de incremento elástico de
tensão
82
eσξσσ ∆+= 00 (5.35)
5 - Determina-se à quantidade de incremento de tensão que será corrigido
através de:
( ) ee σξσ ∆−=∆ 1 (5.36)
6 – Adotar T = 0 e 1=∆T (tamanho do subincremento);
7 – Determinar o incremento de tensão e parâmetro de endurecimento pelas
expressões (5.01) e (5.02) para i variando de 1 a 6.
iiei DbT λσσ ∆−∆∆=∆ (5.37)
it
iii bh σλ∆=∆ (5.38)
onde:
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
∆∆∂∂
=∆ 0,max
i
ti
ii
ei
i QhFQDF
TF
σσ
σσ
σσ
λ (5.39)
iσ é a tensão dada pelas expressões de (5.20) a (5.25);
8 – Estimar o erro local de acordo com a expressão (5.26). Atualizar a
tensão e o parâmetro de endurecimento de acordo com as expressões (5.15) e
(5.16). Calcular o erro relativo de acordo com a expressão (5.27) e compará-lo
com a tolerância especificada;
9 – Se o erro relativo é maior do que a tolerância; o incremento de tempo
T∆ deverá ser reduzido. Esta redução é obtida multiplicando-se o incremento
pelo fator : _q
{ }1.0,'/9.0max_
Rtolq = (5.40)
e retornar com este incremento para o passo 6.
Caso o erro relativo seja menor que a tolerância, o incremento de tempo é
aumentado pelo mesmo fator q, mas com o seguinte valor
{ }1.1,'/9.0min_
Rtolq = (5.41)
O período de tempo T, as tensões bem como o parâmetro de endurecimento
é atualizado por:
83
TTT ∆+= (5.42)
^σσ =∆+ Tt (5.43)
^hh Tt =∆+ (5.44)
10 – verificar se o período de tempo T é maior do que 1, se for a integração
para o incremento termina, senão ela retorna para o passo 6 e prossegue até T se
igualar a 1.
5.2 Relações usadas no processo de integração
Para implementar o modelo de Lade-Kim no algoritmo explícito é
necessário deduzir a derivada da função de escoamento e obter o parâmetro
plástico a fim de se conhecer a matriz elastoplástica do elemento. A derivada da
função potencial plástica foi dada na expressão (4.19). A seguir são colocadas as
expressões da derivada da função de escoamento e do parâmetro plástico.
- Derivada da função de escoamento em termos de tensão: a derivada da
função de escoamento, expressão (4.27), é obtida através da regra da cadeia:
ij
p
ij
p
ij
p
ij
p IIfI
IfI
Iff
σσσσ ∂∂
∂
∂+
∂∂
∂
∂+
∂∂
∂
∂=
∂
∂ 3
3
2
2
1
1 (5.45)
A derivada da função de escoamento em relação aos invariantes é dada pelas
expressões:
qh
pp e
paI
IIf
Iq
Ih
If
+
∂∂
++
=∂
∂ 1
2
1
111
3 (5.46)
qh
p epaI
II
If
=
∂
∂ 122
21
2 (5.47)
qh
pp e
paI
II
Iqf
If
−
∂∂
=∂
∂ 123
31
133
ψ (5.48)
_q é uma variável em função do critério de ruptura, portanto:
( )( )
+
−−=
∂∂
m
paI
II
ImS
SIq 1
3
21
1
12*
1
*
1
311
ηαη
α (5.49)
84
( )( )m
paI
II
SIq
−−
=∂∂ 1
23
31
2*13 11 αη
α (5.50)
- Derivada da função de escoamento em relação ao trabalho plástico: em
relação às expressões (4.26) e (4.28):
- Endurecimento
( )11
11' −=
∂
∂ρ
ρρp
p
p wDpaw
f (5.51)
- Amolecimento
paBw
p
pp
epaAB
wf −
−=∂
∂ ' (5.52)
- Derivada dos invariantes em relação às tensões: as derivadas serão
colocadas em chaves obedecendo a seguinte seqüência de tensões:
11σ , 22σ , 33σ , 12σ , 13σ e 23σ
=∂∂
000111
1
σI (5.53)
( )( )( )
+−+−+−
=∂∂
12
31
23
2211
1133
3322
2
222
σσσ
σσσσσσ
σI (5.54)
( )( )( )
−−−−−−
=∂∂
12332331
23111223
23113112
2122211
2311133
2233322
3
222
σσσσσσσσσσσσ
σσσσσσσσσ
σI
(5.55)
O parâmetro plástico é obtido a partir da consideração do critério de
escoamento, ou seja, para qualquer estado de tensão localizado sobre a superfície
85
de escoamento um carregamento ocasionará um incremento nulo na função de
escoamento, tem-se:
0=dF (5.56)
colocando a expressão (5.56) em termos do trabalho plástico e das tensões:
0=∂∂
+∂∂
= pp
dwwFdFdF σ
σ (5.57)
o incremento de trabalho plástico é dado por:
ptp ddw εσ= (5.58)
O incremento de tensão pode ser obtido da relação do incremento de
deformação total com as parcelas elástica e plástica. O incremento de deformação
elástica está relacionado à lei de Hooke:
σε dDd e 1−= (5.59)
como:
pe ddd εεε += (5.60)
isto permite colocar o incremento de tensão em função do incremento de
deformação total e plástico, multiplicando a expressão (5.59) por D
( )pddDd εεσ −= (5.61)
substituindo (5.61) e (5.58) em (5.57)
( ) 0=∂∂
+−∂∂ pt
p
p dwFddDF εσεε
σ (5.62)
usando a lei de fluxo e simplificando a expressão (5.62), obtém-se o parâmetro
plástico
σσσ
εσλ
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
∂∂
=QD
wFQDF
DdF
d
p
(5.63)
A matriz elastoplástica é deduzida a partir da expressão (5.61). Usando
novamente a lei de fluxo, tem-se:
∂∂
−=σ
λεσ QddDd (5.64)
86
Introduzindo a expressão (5.63) em (5.64) e multiplicando D por ambas as
parcelas dentro do parêntese, tem-se:
ε
σσσ
σσεσ dQD
wFQDF
DFQDDdd
p ∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−= (5.65)
fatorando a expressão (5.65):
ε
σσσ
σσσ dQD
wFQDF
DFQDDd
p
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−= (5.66)
Comparando-se a expressão (5.66) com a (5.01), a matriz elastoplástica
é dada por:
epD
σσσ
σσ
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=QD
wFQDF
DFQDDDep
p
(5.67)
Esta matriz é valida para qualquer modelo constitutivo que obedeça a uma
lei de endurecimento isotrópico.
A matriz constitutiva elástica é dada por:
D =( )
( )( )υυν
2111
−+−E
−−
−−
−−
−−
−−
−−
)1(221
)1(221
)1(221
11
11
11
000000000000000000100010001
νν
νν
νν
νν
νν
νν
νν
νν
νν
(5.68)
e a matriz inversa por:
87
ED 11 =−
( )( )
( )
++
+−−
−−−−
υυ
υυυ
υυυυ
120000001200000012000000100010001
(5.69)
5.3 Detalhes da implementação numérica
A implementação do algoritmo do tipo explícito com modelo Lade–Kim no
programa de elementos finitos ABAQUS foi feita utilizando a opção que o
programa oferece de incluir leis constitutivas através de uma subrotina Fortran.
Esta subrotina é denominada por UMAT (subrotina do usuário para definir o
comportamento mecânico de um material).
O programa ABAQUS permite ao usuário apenas escrever o código. O
compilamento e a linkagem do código são executados pelo próprio ABAQUS. A
subrotina é acionada com o fornecimento das variáveis utilizadas no modelo
constitutivo pelo ABAQUS,. As variáveis são processadas pela subrotina em cada
ponto de integração do elemento. Uma vez atualizadas, as variáveis são
retransmitidas ao ABAQUS. Esta operação é feita a cada incremento.
As variáveis ou parâmetros utilizados foram à tensão, a deformação, a
matriz constitutiva do elemento, o vetor PROPS (cujos valores são os parâmetros
do material e definidos no arquivo inp) e o vetor statev. O vetor statev permite que
qualquer variável criada no código seja armazenada. Fornecidas estas variáveis, o
algoritmo explícito pode corrigir as tensões e calcular a matriz constitutiva do
elemento.
Apesar da inclusão de subrotinas oferecer certa flexibilidade na análise de
materiais, deve-se observar que o programa não disponibiliza a “debugagem” da
subrotina implementada, ou seja, o usuário por precaução deve testá-la fora do
ABAQUS antes de utilizar o programa.
88
5.4 Comparação entre ensaios de laboratório e simulação numérica
A implementação foi verificada com três materiais. Um deles é descrito no
trabalho de Lade–Kim (1988). Os outros são arenitos cujas características
geomecânicas e parâmetros associados ao modelo de Lade-Kim foram
determinados por Barroso (2001). Nestes exemplos a linha cheia representa a
solução dada pelo ABAQUS e os pontos os resultados do ensaio. Para o arenito de
Vila Velha é colocada além da análise com o ABAQUS, a resposta obtida também
simplesmente usando a implementação que é representada por uma linha.
O material selecionado do trabalho de Lade–Kim (1988) é a fine silica sand,
pois ele permite verificar tanto a curva tensão versus deformação como a
deformação volumétrica versus deformação axial. Os parâmetros do modelo
Lade-Kim para esses materiais são:
Kur n m 1η c P 2ψ µ h α a υ
1170 0,53 0,1 24,7 0,324e-3 1,25 -3,69 2,26 0,355 0,515 0 0,2
Tabela 5.01 – Parâmetros do modelo Lade–Kim para a fine sílica sand
Kur n m 1η c P 2ψ µ h α a υ
3823,6 0,560 0,6648 17465 1,54e-3 1,00 -2,795 2,370 2,696 0,001 12 0,18
Tabela 5.02 – Parâmetros do modelo Lade–Kim para o arenito Vila Velha
Kur n m 1η c P 2ψ µ h α a υ
4003,8 0,5848 0,5356 2725 0,219e-4 1,2272 -0,1 0,9343 4,6696 0,1 5,17 0,2
Tabela 5.03 – Parâmetros do modelo Lade–Kim para o arenito Rio Bonito
Os três exemplos ilustrados reproduzem um ensaio triaxial convencional.
Na fase de amolecimento, alguns estados de tensão apresentaram dificuldade para
serem simulados. Esta dificuldade pode ser associada ao aparecimento de
autovalores negativos na matriz de rigidez, o que indicaria movimento de corpo
rígido. O programa apresenta como alternativas para minimizar esta instabilidade
a utilização do método de comprimento de arco, a introdução de forças viscosas
para reduzir os deslocamentos e o controle por deslocamento. O controle de
deslocamento consiste reduzir o incremento de força aplicado. Destes mecanismos
89
o que obteve melhor êxito foi o controle de deslocamento. Os resultados da
simulação são mostrados nas figuras 5.02 a 5.07.
Adotou-se como convenção de sinais a do programa ABAQUS, ou seja,
esforços de compressão negativos e de tração positivos.
-0.00
-200.00
-400.00
-600.00
-800.00
-1000.00
-1200.00
-1400.00
-0.00 -5.00 -10.00 -15.00 -20.00 -25.00 -30.00 -35.00
ε11(%)
σ 11
- σ33
(Mpa
)
lade - kimabaqus
101,325 KPa
202,65 KPa
506,625 KPa
Figura 5.02 – Curva tensão versus deformação axial para a fine sílica sand.
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
-0.00 -5.00 -10.00 -15.00 -20.00 -25.00 -30.00 -35.00
ε11(%)
ε vol
(%)
Lade - Kim
abaqus
101,325 KPa
202,65 KPa
506,625 KPa
Figura 5.03 - Curva deformação volumétrica versus deformação axial para a fine sílica
sand.
90
-0.00
-10.00
-20.00
-30.00
-40.00
-50.00
-60.00
-70.00
-0.00 -0.20 -0.40 -0.60 -0.80 -1.00 -1.20
ε11(%)
σ 11 -
σ33 (M
Pa)
ensaioabaqus
uniaxial
2 MPa
5 MPa
10 MPa
Figura 5.04 - Curva tensão versus deformação axial para o arenito Rio Bonito.
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
-0.00 -0.20 -0.40 -0.60 -0.80 -1.00 -1.20ε11(%)
ε vol
(%)
ensaioabaqus
uniaxial
2 MPa
5 MPa
10 Mpa
Figura 5.05 - Curva deformação volumétrica versus deformação axial para o arenito Rio
Bonito.
91
-0.00
-20.00
-40.00
-60.00
-80.00
-100.00
-120.00
-0.00 -0.20 -0.40 -0.60 -0.80 -1.00 -1.20 -1.40 -1.60 -1.80 -2.00
ε11(%)
σ 11 -
σ33
(MPa
)
ensaioalgoritmoabaqus
uniaxial
2 MPa
5 MPa
10 MPa
Figura 5.06 - Curva tensão versus deformação axial para o arenito Vila Velha.
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
-2.50-2.00-1.50-1.00-0.500.00
ε11(%)
ε vol
(%)
ensaioalgoritmoabaqus
uniaxial
2 MPa
5 MPa
10 MPa
Figura 5.07 – Curva deformação volumétrica versus deformação axial para o arenito Vila
Velha.
92
A implementação do modelo Lade–Kim dentro do programa obteve bons
resultados quando comparados ao fine sílica sand (figuras 5.02 e 5.03) estudado
por Lade–Kim, reproduzindo com boa acurácia o comportamento das curvas
tensão versus deformação e deformação volumétrica versus deformação axial.
Uma boa concordância foi obtida para o arenito de Vila Velha (figuras 5.06 e
5.07) estudado por Barroso (2001). Entretanto para o arenito Rio Bonito a mesma
concordância não se verificou (figuras 5.04 e 5.05), uma possível razão para isso
estaria na representatividade do comportamento do material pelos parâmetros
obtidos, já que para os outros dois materiais a concordância foi satisfatória. Outro
fato observado é o comportamento dilatante da deformação próximo à ruptura
para boa parte das tensões aplicadas as amostra.
6 Análise da estabilidade de poços hipotéticos
Após comparar os resultados da simulação numérica com os ensaios
triaxiais, procede-se à avaliação da condição de estabilidade de um poço vertical
hipotético com a finalidade de se conhecer a zona de ruptura na sua vizinhança e
os processos de produção de areia.
Os materiais utilizados nesta análise foram o arenito Rio Bonito e o Calcário
do Campo de Congro descritos no capítulo anterior. O caso estudado é um poço
vertical hipotético submetido a um estado plano de deformação. O fluido de
perfuração é considerado penetrante, ou seja, o fluido não contribui para a
resistência mecânica da parede do poço. Os valores de carregamento no contorno
e o drawdown aplicados são modificados através da análise, a fim de verificar
qual etapa na vida de um poço tem maior influência na sua estabilidade.
A rocha para ambos materiais é considerada um meio poroso, contínuo e
isotrópico. Adicionalmente considerou-se no calcário a dependência da
permeabilidade com o estado de tensão. A figura 6.01 mostra a representação
esquemática do carregamento aplicado. O ângulo θ é medido no sentido anti–
horário a partir da direção de hσ .
r
mrw 1.0=
Hσ
hσθ
Figura 6.01 – Representação esquemát
ica poço vertical a ser estudado
94
Os casos a serem analisados adotam a poro–pressão na formação de 20 MPa
e a pressão no poço terá os valores de 10, 15 e 18 MPa. Os valores de
permeabilidade foram obtidos dos trabalhos de Barroso (2001) e Soares (2001),
para o arenito Rio Bonito a permeabilidade tem o valor de 1534 mD e para o
calcário do Campo de Congro 1,5 mD.
Duas malhas foram utilizadas, a primeira malha com 1057 elementos e 1153
nós simula o comportamento do poço com o arenito Rio Bonito e a segunda malha
mais refinada para o calcário, possuindo 2379 nós e 2280 elementos (figura 6.02).
malha 1
malha 2
Figura 6.02 - Malhas utilizadas na simulação, a esquerda a malha 1 e a direita a malha 2.
95
A malha 1 utilizada no arenito Rio Bonito, apesar de ter um refinamento
menor que a malha 2, mostrou obter resultados praticamente semelhantes a da
malha 2. Para o caso do calcário, o interesse em verificar a dependência da
permeabilidade com o estado de tensão exige um melhor conhecimento das
deformações em todo o reservatório, tornando necessária o uso de uma malha
mais refinada.
A simulação do poço é realizada em duas etapas, a primeira simula o
processo de escavação e a segunda a produção do poço. A escavação é feita
aplicando-se um carregamento na fronteira externa (contorno), enquanto, na
parede do poço não é aplicado qualquer carregamento ou restrição de
deslocamento. Na etapa de produção, o valor da diferença de pressão entre o poço
e a poro-pressão na formação, drawdown, é aplicado na fronteira interna (poço).
Por uma imposição do programa de elementos finitos o carregamento é aplicado
na forma de tensão efetiva e a pressão do fluido na forma de excesso de pressão.
6.1. Poço no arenito Rio Bonito
O objetivo deste caso é determinar sob que condições o poço vertical será
levado à ruptura. Para isto, plota–se os gráficos de isofaixa de tensão, deformação
volumétrica e a região em que ocorre a ruptura do material.
A plotagem da região do poço que sofreu ruptura foi possível através da
utilização da variável S (nível de tensão) do modelo Lade-Kim. S é definida como
a razão entre a função de ruptura (definida no tópico 4.2.2) e o parâmetro 1η . A
variável S pode assumir valores entre 0 e 1, onde valores abaixo de 1 indicam que
o material não atingiu a ruptura.
O carregamento no contorno e a pressão aplicada no poço para o arenito de
Rio Bonito estão descritos na tabela 6.01, o sinal de apostrofo indica tensão
efetiva.
96
Carregamento no contorno (MPa) Pressão (MPa) Carregamento
Hσ 'Hσ hσ '
hσ wp op
1 40 20 30 10 18 20
2 45 25 30 10 18 20
3 48 28 30 10 18 20
4 48 28 30 10 10 20
Tabela 6.01 – Carregamento no contorno e pressão aplicada no poço e na formação
para o arenito Rio Bonito
Na figura 6.03 mostra-se o campo de tensões para os carregamentos 1, 2 e 3.
Nota–se que não há diferença significativa na tensão principal maior entre os
processos de escavação e produção do poço. O acréscimo do carregamento no
contorno induz a uma concentração de tensão na vizinhança do poço, mas não se
nota o avanço desta concentração para o interior da formação com o aumento do
carregamento.
A figura 6.04 descreve a tensão principal menor para os carregamentos 1, 2
e 3. A influência do drawdown (etapa de produção) é pequena como no caso da
figura 6.03. Diferente do que é descrito na solução elástica de Kirsch, nota–se
uma concentração de tensão radial na vizinhança do poço. Esta concentração,
provavelmente, deve-se ao módulo de Young ser dependente do estado de tensão.
Esta dependência aumentaria a rigidez do material próximo à região de ruptura, o
que é desconsiderado na teoria elástica.
Para a figura 6.05, os carregamentos 3 e 4 mostram um aumento da
concentração da tensão principal maior na vizinhança do poço na direção de
0=θ com a aplicação de drawdown maiores. Entretanto, não houve avanço da
concentração de tensão para o interior da formação. Nota–se um descarregamento
de tensão na parede do poço maior para o caso 4, provavelmente, uma
conseqüência do amolecimento do material.
97
Os carregamentos 3 e 4 ilustrados na figura 6.06 mostram a tensão principal
menor tornando-se mais compressiva à medida que o drawdown aumenta. Isto
contraria a idéia de que o fluxo levaria a tensão radial para uma situação de baixa
tensão de compressão ou de tração na vizinhança do poço.
1σ
Carregamento 1: MPaddMPaMPa hH 2,10',20' === σσ
1σ
Carregamento 2: MPaddMPaMPa hH 2,10',25' === σσ
1σ
Carregamento 3: MPaddMPaMPa hH 2,10',28' === σσ
Figura 6.03 – Campos de tensão principal maior na vizinhança do poço para os casos 1,
2 e 3 com drawdown de 2 MPa. A esquerda representa – se a escavação e a direita a
utilização do poço.
98
3σ
Carregamento 1: MPaddMPaMPa hH 2,10',20' === σσ
3σ
Carregamento 2: MPaddMPaMPa hH 2,10',25' === σσ
3σ
Carregamento 3: MPaddMPaMPa hH 2,10',28' === σσ
Figura 6.04 – Campos de tensão principal menor na vizinhança do poço para os casos 1,
2 e 3 e drawdown de 2 MPa. A esquerda representa –se a escavação e a direita a
utilização do poço.
99
1σ
Carregamento 3 e 4 (escavação) - MPaMPa hH 10',28' == σσ
1 σ
Carregamento 3 (produção): MPaddMPaMPa hH 2,10',28' === σσ
1σ
Carregamento 4 (produção): MPaddMPaMPa hH 10,10',28' === σσ
Figura 6.05 – Distribuição da tensão principal maior na vizinhança do poço para os casos
3 e 4, ilustrando os gráficos sobre a escavação como indicado e os demais com o poço
em produção.
100
3σ
Carregamento 3 e 4 (escavação): - MPaMPa hH 10',28' == σσ
3σ
Carregamento 3 (produção): MPaddMPa hH 2,10',28' === σσ
3σ
Carregamento 4 (produção): MPaddMPa hH 10,10',28' === σσ
Figura 6.06 – Campos de tensão principal menor na vizinhança do poço para os casos 3
e 4. ilustrando os gráficos sobre a escavação como indicado e os demais com o poço em
produção.
101
S
Carregamento 1: MPaddMPa hH 2,10',20' === σσ
S
Carregamento 2: MPaddMPa hH 2,10',25' === σσ
S
Carregamento 3: MPaddMPa hH 2,10',28' === σσ
Figura 6.07 - Zona rompida na vizinhança do poço para os casos 1, 2 e 3 e drawdown de
2 MPa. À esquerda está representada a escavação do poço e à direita o poço em
produção.
102
S
Carregamento 3 e 4 (escavação) - MPaMPa hH 10',28' == σσ
S
Carregamento 3 (produção): MPaddMPa hH 2,10',28' === σσ
S
Carregamento 4 (produção): MPaddMPaMPa hH 10,10',28' === σσ
Figura 6.08 - Zona rompida na vizinhança do poço para os casos 3 e 4, ilustrando os
gráficos sobre a escavação como indicado e os demais o poço em produção.
103
vε
Carregamento 1 (escavação): - MPaMPa hH 10',20' == σσ
vε
Carregamento 2 (produção): MPaddMPaMPa hH 2,10',20' === σσ
Figura 6.09 – Campos de deformação volumétrica na vizinhança do poço para o caso 1.
O primeiro gráfico representa a escavação como indicado e o seguintes o poço em
produção.
A zona de ruptura descrita na figura 6.07 não muda significativamente sua
forma e tamanho da etapa de escavação para a de produção do poço. Para os
carregamentos 1, 2 e 3, mesmo a razão entre h
Hσ
σ variando de 2 a 2,8, não
promove alterações perceptíveis na zona rompida. Esta dificuldade da propagação
da zona rompida além da vizinhança do poço pode ser associada à resistência
mecânica descrita no item 5.4.
Os ensaios descritos na figura 5.04 mostram que uma pequena mudança da
tensão de confinamento no arenito aumenta em muito a resistência mecânica da
rocha. Na situação descrita pela figura 6.07, à medida que se afasta da parede do
poço, a tensão confinante ( 3σ ) aumenta, o que por sua vez contribui para o
aumento da resistência, justificando assim a pequena propagação da zona de
ruptura.
104
O pequeno avanço da concentração de tensão descrito nas figuras 6.03 e
6.05 pode ser explicado pelo mesmo motivo, uma vez que a concentração de
tensão principal maior representa é um indicador da região de ruptura.
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Raio adimensional
σ 1 (M
pa)
EscavaçãoProdução - dd= 2 MPaProdução - dd = 10 MPa
-25.00
-20.00
-15.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Raio adimensional
σ 3
10
EscavaçãoProdução - dd = 2MPaProdução - dd = 10 MPa
Figura 6.10 Curva tensão principal maior-raio adimensional e tensão principal menor-raio
adimensional.
O gráfico da tensão principal maior versus raio adimensional ilustrado na
figura 6.10, permite observar que o acréscimo do valor da tensão principal maior
da etapa de escavação para a de produção é praticamente idêntico ao drawdown
105
aplicado. Constata-se através dos picos de tensão indicados nesta curva, que não
houve avanço da concentração de tensão com o aumento do drawdown, como foi
descrito na figura 6.05. O amolecimento do material mencionado anteriormente
também é verificado pelo decréscimo da tensão principal maior desde o pico de
tensão até à parede do poço.
Pelo gráfico de tensão principal menor versus raio adimensional da figura
6.10, nota-se o aumento da tensão principal menor com o aumento de drawdown,
o que contribui para aumento da resistência mecânica do arenito. O que justifica a
pequena propagação da zona de ruptura devido ao aumento do confinamento.
Como observado anteriormente e constatado neste gráfico, o desenvolvimento de
tensões de tração é mínimo.
As mesmas observações da figura 6.07 se aplicam à figura 6.08. Para ambas
as figuras, observou–se que a zona de ruptura não é alterada em sua forma ou
tamanho com a aplicação de um drawdown maior, o que indica a escavação como
a etapa que mais influencia na estabilidade do poço. A extensão da zona de
ruptura pode ser observada também pela distancia da parede do poço até o pico de
tensão principal maior.
A figura 6.09 mostra a deformação volumétrica para o caso 1 próximo à
parede do poço assumindo um caráter dilatante. A extensão da região que sofreu
dilatação é pequena e parece assumir a mesma forma que a região rompida.
6.1.1 Estimativa da produção de sólidos
Até o momento foi apresentado apenas o modo como o arenito responde
diante das condições a que foi submetido. Entretanto ainda não se mostrou uma
forma de como identificar o processo de produção de sólidos. Na literatura
referente à produção de sólidos (Dusseault, 1989), um mecanismo identificado
como o iniciador do processo é a redução da coesão devido à ruptura por
compressão do material. Embora haja um consenso quanto a este mecanismo,
ainda não existe um estudo quantitativo que indique o quanto à rocha perde da sua
coesão.
106
Apoiando neste fato, a fim de verificar a produção de sólidos, arbitrou – se a
situação de que a coesão do arenito na região de ruptura é de 20% da coesão
inicial, o que pelos parâmetros do modelo é da ordem de 0,0517 MPa. Esta
verificação consiste na simples comparação do valor da tensão radial com o valor
arbitrado para a coesão, caso a tensão radial ultrapasse este valor ocorrerá à
produção de sólidos. Para representar tal situação foi escolhido o carregamento 3
( MPaMPa hH 10',28' == σσ e MPadd 2= ), pois como mencionado
anteriormente as tensões de tração tem sido verificadas apenas para baixos valores
de drawdown.
A figura 6.11 ilustra a situação da produção de sólidos, os pontos negros
representam o local onde a produção de sólidos é iniciada.
Figura 6.11 - Indicador dos pontos de início da produção de sólidos.
A reduzida região que produz sólido é decorrente da pequena zona rompida
(figuras 6.07 e 6.08). A descontinuidade da região que produz sólidos pode ser
associada ao fato de que a região submetida a maior tensão tangencial (próxima de
º0=θ ) teve a coesão reduzida de forma mais rápida, o que permitiria o aumento
das tensões de tração além do limite estabelecido. Para a região próxima de
º90=θ , o descarregamento a que é submetida facilitaria o surgimento de tensões
de tração de valores mais elevados, ultrapassando desta forma a coesão presente
no material.
107
6.2. Poço hipotético no Calcário do Campo de Congro
O comportamento de um poço vertical escavado em um calcário será
avaliado para as situações de permeabilidade constante com a porosidade,
permeabilidade em função da porosidade, visando conhecer o comportamento do
fluxo diante de tais situações. Uma comparação qualitativa entre Mohr–Coulomb
e Lade–Kim também será feita.
Os carregamentos aplicados no contorno e a pressão aplicada no poço e na
formação estão descritos na tabela 6.02
Carregamento no contorno (MPa) Pressão (MPa) Carregamento
Hσ 'Hσ hσ '
hσ wp op
5 60 40 45 25 18 20
6 60 40 45 25 15 20
7 60 40 45 25 10 20
8 65 45 45 25 15 20
9 65 45 45 25 10 20
Tabela 6.02 - Carregamento no contorno e pressão aplicada no poço para o Calcário do
Campo de Congro.
6.2.1. Permeabilidade constante
Neste item ilustra–se apenas a tensão principal menor, já que está
desempenha o papel da tensão de confinamento, influenciando o comportamento
da zona rompida tanto na escavação como na produção de um poço.
A figura 6.12 ilustra a tensão principal resultante dos carregamentos 6 e 8,
onde o aumento no carregamento no contorno não produz alterações significativas
no campo de tensão principal menor.
108
Os carregamentos 5 e 7 ilustrados na figura 6.13 mostram que a aplicação
do drawdown induz a tensão principal menor a se tornar mais compressiva, o que
aconteceu de forma idêntica ao descrito na figura 6.06.
As figuras 6.14 e 6.15 mostram uma pequena zona de ruptura. O aumento
do carregamento no contorno (figura 6.14) não modificou a zona de ruptura. A
colocação de valores mais elevados para o drawdown (figura 6.15) também não
alterou significativamente a zona rompida. Como mencionado para o arenito, a
ruptura é mais influenciada pela etapa de escavação.
A figura 6.27 mostra a curva tensão desviadora versus deformação axial
para o calcário. Assim como para o arenito de Rio Bonito, o calcário apresenta
uma boa resistência mecânica, o que justifica a dificuldade de propagação da zona
rompida para o interior da formação.
3σ
Carregamento 6: MPaddMPaMPa hH 5,25',40' === σσ
3σ
Carregamento 8: MPaddMPaMPa hH 5,10',45' === σσ
Figura 6.12 – Campo de tensão principal menor na vizinhança do poço para os casos 6 e
8 com drawdown de 5 Mpa. À esquerda representa–se a escavação e à direita a
produção do poço.
109
3σ
Carregamento 5 e 7 (escavação): MPaMPa hH 25',40' == σσ
3σ
Carregamento 5 (produção): MPaddMPaMPa hH 2,25',40' === σσ
3σ
Carregamento 7 (produção): MPaddMPaMPa hH 10,25',40' === σσ
Figura 6.13 – Campo de tensão principal menor na vizinhança do poço para os casos 5 e
7, ilustrando os gráficos sobre a escavação como indicado e os demais o poço em
produção.
110
S
Carregamento 6: MPaddMPaMPa hH 5,25',40' === σσ
S
Carregamento 8: MPaddMPaMPa hH 5,25',45' === σσ
Figura 6.14 - Zona de ruptura na vizinhança do poço variando o estado de tensão e
drawdown de 2 MPa. À esquerda representa –se a perfuração e à direita a utilização do
poço.
111
S
Carregamento 5 e 6 (escavação): MPaddMPaMPa hH 2,25',40' === σσ
S
Carregamento 5 (produção): MPaddMPaMPa hH 5,25',40' === σσ
S
Carregamento 6 (produção): MPaddMPaMPa hH 10,25',40' === σσ
Figura 6.15 - Zona rompida na vizinhança do poço variando o drawdown e um
carregamento aplicado de MPaeMPa hH 25'40' == σσ . O primeiro gráfico
representa a perfuração e os seguintes a utilização do poço.
A figura 6.17 mostra o campo de deformação volumétrica aplicando-se os
carregamentos 6 e 8. Além do comportamento dilatante durante a ruptura indicada
pelas cores vermelha, amarela e verde, nota–se uma região mais comprimida
próxima ao poço (indicada pela cor azul escura), diferente do que ocorreu com o
112
arenito Rio Bonito. O aumento do carregamento no contorno aumenta
significativamente esta região.
Soares (2000) descreve que o calcário próximo à tensão hidrostática de 40
MPa apresenta o fenômeno conhecido como colapso de poros. Este fenômeno
caracteriza-se pelo aumento sensível da deformação volumétrica sem grandes
acréscimos no estado de tensão hidrostático. O comportamento obtido pela
simulação para este material parece estar relacionado a este evento.
Aplicando-se diferentes drawdown, a deformação volumétrica não se
mostrou tão sensível a esta mudança como ilustrado na figura 6.18. Uma possível
razão para isso pode ser que a diferença de pressão aplicada não tenha sido
suficiente para promover uma alteração na tensão hidrostática na região de maior
deformação compressiva.
Na figura 6.16, plota-se o gráfico de deformação volumétrica versus raio
adimensional na direção de teta igual a zero. Observa-se que a deformação
volumétrica apresenta um valor máximo de compressão próximo ao poço em
seguida assume um comportamento dilatante para uma pequena faixa situada
entre o poço e o valor Maximo de compressão, confirmando o comportamento
descrito nas figuras 6.17 e 6.18.
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
0 2 4 6 8 10 12 14
Raio adimensional
ε vol
16
Escavação - 40 MPaProdução - 40 MPa, dd = 5 MPaEscavação - 45 MpaProdução - 45 MPa, dd = 5 MPa
Figura 6.16 – Campo de deformação volumétrica na direção θ = 0 e θ = 45 sob uma
tensão horizontal maior de 40 e 45 MPa (carregamentos 6 e 8) e um drawdown de 5
MPa.
113
vε
MPaddMPaMPa hH 5,25',40' === σσ
vε
MPaddMPaMPa hH 5,25',45' === σσ
Figura 6.17 – Campo de deformação volumétrica na vizinhança do poço para os casos 6
e 8. À esquerda está representada a perfuração e à direita a utilização do poço.
114
vε
Carregamento 6 e 7 (escavação): MPaMPa hH 25',40' == σσ
vε
Carregamento 6 (produção): MPaddMPaMPa hH 5,25',40' === σσ
vε
Carregamento 7 (produção): MPaddMPaMPa hH 10,25',40' === σσ
Figura 6.18 – Campo de deformação volumétrica na vizinhança do poço para os casos 6
e 7, ilustrando os gráficos sobre a escavação como indicado e os demais o poço em
produção.
115
6.2.2. Permeabilidade variável
Nesta simulação, a permeabilidade é colocada em função do índice de
vazios, e assim indiretamente com a deformação volumétrica.
A permeabilidade em função do índice de vazios foi obtida utilizando–se os
dados de Soares (2001) relativos ao calcário do Campo de Congro. Com estes
valores ajustou–se a expressão dada por Raghavan e Chin (2002).
Porosidade
(%)
Permeabilidade
(mD)
23,2 0,9
25,1 1,9
31,1 3,9 Tabela 6.03 - Permeabilidade em função da porosidade (Soares, 2001)
A relação de Raghavan e Chin é expressa por: 1
''
j
ii nn
kk
= (6.1)
onde k é a permeabilidade, n’ é a porosidade, j1 é um fator obtido através de
ajuste de curvas de dados experimentais, o subíndice i indica uma referência. O
valor de j1 que mostrou produzir valores próximos dos ensaios realizados por
Soares foi de 3,3. Os resultados ilustrados são a deformação volumétrica, excesso
de poropressão, região de ruptura e gráficos comparativos.
Como ilustrado na figura 6.19, a mudança na permeabilidade não alterou a
forma e a extensão da zona de ruptura em relação à situação de permeabilidade
constante. A ruptura como no item 6.2.1 parece ser governada pela etapa de
escavação e a zona de ruptura tem a mesma dificuldade para se propagar devido à
resistência mecânica do calcário.
O comportamento dilatante ilustrado na figura 6.20 para os carregamentos 6
e 7 limita–se à parede do poço. O aumento da região com maior deformação
volumétrica compressiva também não é significativo com a variação de
drawdown, idêntico ao que foi descrito no item 6.2.1.
116
S
MPaddMPaMPa hH 5,25',40' === σσ
S
MPaddMPaMPa hH 10,25',40' === σσ
Figura 6.19 - Zona rompida na vizinhança do poço para os casos 6 e 7. À esquerda está
representada a escavação e à direita o poço em produção.
117
vε
Carregamento 6 e 7 (escavação): MPaMPa hH 25',40' == σσ
vε
Carregamento 6 (produção): MPaddMPaMPa hH 5,25',40' === σσ
vε
Carregamento 7 (produção): MPaddMPaMPa hH 10,25',40' === σσ
Figura 6.20 – Campo de deformação volumétrica na vizinhança do poço para os casos 6
e 7, ilustrando os gráficos sobre a escavação como indicado e o demais o poço em
produção.
118
Excesso de poro pressão
teconskMPaddMPaMPa hH tan,10,25',40' ==== σσ
Excesso de poropressão
iávelékMPaddMPaMPa hH var,10,25',40' === σσ
Figura 6.21 - Distribuição de poro – pressão para o caso 7 com drawdown de 10 MPa. A
primeira ilustração considera a permeabilidade constante como indicado e a segunda a
permeabilidade como função da porosidade.
A figura 6.21 mostra a rápida variação do excesso de poropressão na direção
de θ igual a zero, o que pode ser associado à diminuição da permeabilidade nesta
região, dado que ocorre uma maior deformação volumétrica compressiva e com
isto a diminuição do índice de vazios.
Para visualizar essa associação de permeabilidade com a deformação
volumétrica, plotam-se as curvas de deformação volumétrica e permeabilidade nas
direções de teta igual a 0º e 45º na figura 6.22. Observa-se que a permeabilidade
apresenta um comportamento análogo à deformação volumétrica, reduzindo seu
valor próximo à região com maior deformação volumétrica compressiva e
119
aumentando na região de deformação volumétrica dilatante, refletindo o aumento
dos poros da rocha durante a ruptura.
Outro ponto a ser observado no gráfico de deformação volumétrica é a
pequena extensão na direção radial que apresenta comportamento dilatante,
conseqüente da pequena zona de ruptura formada ao redor do poço.
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
0 2 4 6 8 10 12 14
Raio adimensionalε v (%
)
16
θ = 0θ = 45
0.00E+00
5.00E-09
1.00E-08
1.50E-08
2.00E-08
2.50E-08
0 2 4 6 8 10 12 14Raio adimensional
Perm
eabi
lidad
e (m
/s)
16
θ = 0 θ = 45
Figura 6.22 – Curva deformação volumétrica-raio adimensional e permeabilidade-raio
adimensional em duas direções na etapa de produção para o calcário do Campo de
Congro
120
6.2.3. Comparações entre os resultados obtidos utilizando os critérios de Mohr–Coulomb e Lade-Kim
Os parâmetros de Mohr–Coulomb para o calcário do Campo de Congro são
obtidos do trabalho de Coelho (2001). Em relação a estes parâmetros, existe a
dúvida se a amostra utilizada na determinação dos parâmetros do critério de
Mohr–Coulomb provêm do mesmo local da amostra que permitiu a determinação
dos parâmetros do modelo Lade–Kim no Campo de Congro. Por isto está análise
tem um caráter mais qualitativo. Os parâmetros utilizados nesta analise foram o
ângulo de atrito de 34º e a coesão de 7,5 MPa.
A simulação utilizou o carregamento 7 do item 6.2.2 para a comparação. Os
resultados ilustrados são a deformação volumétrica, a zona de ruptura, a
distribuição do índice de vazios e o excesso de poro-pressão.
Nota–se pela figura 6.23 que a região dilatada obtida pelo modelo de Mohr–
Coulomb é mais pronunciada que a do modelo Lade–Kim tanto pelo seu valor
como pela sua extensão que ela atinge no poço. Mas a forma do campo de
deformação volumétrica é praticamente idêntica para ambos os modelos.
Embora seja uma análise qualitativa, a figura 6.24 mostra uma diferença
significativa da extensão da zona de ruptura entre os dois critérios. Uma razão
provável para isso é a inclusão da tensão intermediária no modelo de Lade–Kim.
Outro fato observado é que a zona rompida não se altera da etapa de escavação
para a de produção, o que é semelhante ao modelo Lade-Kim.
O índice de vazios representado na figura 6.25 mostra uma distribuição
uniforme para o critério de Mohr – Coulomb, o que não compatibiliza com a
deformação volumétrica (figura 6.23). Isto indicaria que a deformação
volumétrica descrita pelo modelo de Mohr – Coulomb não consegue representar o
colapso de poros.
A distribuição uniforme do excesso de poropressão descrita na figura 6.26
para o modelo de Mohr–Coulomb pode ser explicada exatamente pela não
representação do colapso de poros. Para o modelo Lade–Kim a distribuição do
índice de vazios é semelhante à deformação volumétrica. Assim a região onde
ocorre o menor índice de vazios tem a variação mais rápida do excesso de
poropressão.
121
vε vε
Modelo Lade–Kim: iávelékMPaddMPaMPa hH var,10,25',40' === σσ
vε vε
Modelo Mohr-Coulomb: iávelékMPaddMPaMPa hH var,10,25',40' === σσ
Figura 6.23 – Campo de deformação volumétrica na vizinhança do poço para os modelos
de Mohr - Coulomb e Lade - Kim para o caso 7 com um drawdown de 10 MPa. O gráfico
a esquerda corresponde à escavação e a direita o poço em produção.
122
S
Modelo Lade–Kim: iávelékMPaddMPaMPa hH var,10,25',40' === σσ
S
Modelo Mohr-Coulomb: iávelékMPaddMPaMPa hH var,10,25',40' === σσ
Figura 6.24 - Zona de ruptura na vizinhança do poço para o caso 7 e um drawdown de
10 MPa. O gráfico a esquerda corresponde à escavação e a direita o poço em produção.
123
Indice de vazios
Modelo Lade–Kim: iávelékMPaddMPaMPa hH var,10,25',40' === σσ
Indice de vazios
Modelo Mohr-Coulomb: iávelékMPaddMPaMPa hH var,10,25',40' === σσ
Figura 6.25 – Distribuição do índice de vazios na vizinhança do poço para os modelos de
Mohr-Coulomb e Lade-Kim para o caso 7 com um drawdown de 10 MPa. O gráfico a
esquerda corresponde à escavação e a direita a utilização do poço.
124
Excesso de poropressão
Modelo Lade – Kim: iávelékMPaddMPaMPa hH var,10,25',40' === σσ
Excesso de poropressão
Modelo Moh-Coulomb: iávelékMPaddMPaMPa hH var,10,25',40' === σσ
Figura 6.26 - excesso de poropressão na vizinhança do poço para os modelos de Mohr-
Coulomb e Lade-Kim com um drawdown de 10 MPa, mantendo um estado de tensão de
MPaeMPa hH 2540 == σσ . O primeiro gráfico corresponde ao modelo de Lade–
Kim e o último o de Mohr – Coulomb.
125
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
00.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
ε11(%)
σ 11
- σ33
(MPa
)
Lade uniaxialLade 10 MPaMohr - Coulomb uniaxialMohr - Coulomb 10 MPa
Figura 6.27 – Simulação de ensaios uniaxial e triaxial de compressão para o modelo de
Mohr – coulom e Lade – Kim para o calcário do Campo de Congro.
7 Conclusões e sugestões para trabalhos futuros
O presente trabalho buscou associar mecanismos de ruptura a produção de
areia de rochas reservatório. Para isto, implementou–se o modelo elastoplástico de
Lade–Kim no programa de elementos finitos ABAQUS, que é capaz de simular o
acoplamento hidro–mecânico.
A capacidade do programa em simular o acoplamento hidro–mecânico foi
verificada através da comparação com a solução analítica de Detournay e Cheng
(1993) para a coluna poroelástica e Detournay e Cheng (1988) para o caso de um
poço vertical. Como mostrado no item (3.2.6.1), o programa ABAQUS conseguiu
reproduzir satisfatoriamente o comportamento da coluna poroelástica tanto para o
meio com constituintes compressíveis como para incompressíveis.
Para o caso do poço, a reprodução não teve a mesma eficiência. Porém o
próprio autor da solução analítica afirma que existe uma falha, no caso para uma
das tensões. Mas como pode ser visto no item 3.2.6.2, para as demais variáveis
testadas a simulação produziu resultados próximos da solução analítica. Isto
permitiu verificar com certa segurança o efeito da dependência da permeabilidade
com o estado de tensões, além da influência do fluxo de fluido no comportamento
mecânico da rocha.
O algoritmo do tipo explícito utilizado para integrar a relação tensão versus
deformação foi eficiente, reproduzindo satisfatoriamente os ensaios de Barroso
(2001) fora do ambiente do ABAQUS.
Introduzido o modelo Lade–Kim no programa ABAQUS, a simulação do
poço apresentou problemas de convergência na etapa de amolecimento para o
arenito Rio Bonito. Durante a análise, instabilidades como autovalores negativos
na matriz de rigidez foram observados, o que não permitia o término da
simulação.
Duas alternativas foram utilizadas para contornar tal problema. A primeira,
reduzir o incremento de carga, o que onerou o esforço computacional. A segunda,
127
restringir o valor da variável do modelo na função de escoamento que controla o
decaimento da resistência, o que pode ter influenciado no decréscimo da coesão
do material.
Os resultados do capítulo 6 mostraram uma zona rompida na vizinhança do
poço insignificante comparada aos breakouts descritos na literatura (Goodman
(1989), Cook (1990)). Assim como a extensão da região dilatante é ínfima.
A utilização de rochas com boa resistência à compressão dificultou a
analogia do mecanismo de ruptura com a produção de sólidos, normalmente
associada a rochas brandas. Outro fato que prejudicou a analogia e a que não se
chegou a uma conclusão foi à tensão principal menor se tornar mais compressiva
com o aumento do drawdown, o que limitou o efeito de arraste descrito no
processo de produção de sólidos. Portanto, a analogia não obteve o êxito esperado.
A introdução da permeabilidade dependente do estado de tensão mostrou a
influência do acoplamento hidro–mecânico. Embora não se tenha a informação da
vazão, que permitiria verificar facilmente as mudanças no fluxo, ela permitiu
visualizar a influência da deformação volumétrica no excesso de poro–pressão.
A discussão entre qual modelo é mais apropriado para simular o processo de
produção de sólidos é qualitativa. A primeira causa é não dispor de parâmetros
para os dois modelos de um mesmo material. O segundo fato é que para o modelo
Mohr–Coulomb uma série de modificações pode ser feita e não estão presentes no
programa ABAQUS, por exemplo, o módulo de Young dependente do estado de
tensão.
Independente disto notou–se para o caso do calcário, que a zona de ruptura
dada pelo critério de Mohr–Coulomb é significativamente maior do a do critério
Lade–Kim, o que colocaria uma maior área susceptível a produzir sólidos. Isto
possivelmente está relacionado à influência da tensão intermediária na resistência
mecânica.
Outro ponto de interesse é a “aparente” capacidade do modelo Lade–Kim
em considerar o colapso de poros, o que influenciaria no fluxo de fluído. Evento
esse que não foi descrito pelo modelo de Mohr–Coulomb. Deste ponto de vista, o
modelo Lade–Kim está mais capacitado a simular situações que levem em conta o
acoplamento fluído–mecânico.
128
Para trabalhos futuros sugere–se uma forma de se colocar a resistência
residual no modelo Lade–Kim, talvez pela introdução de um novo parâmetro. Mas
que esta iniciativa esteja em conjunto com um trabalho experimental.
O esforço computacional grande devido à dificuldade em simular os ensaios
dentro do ambiente do ABAQUS deixa uma questão, há como diminuí–lo? A
aplicação de um algoritmo do tipo implícito é válida no sentido de se responder a
essa questão. Assim como verificar a eficiência de ambos os algoritmos.
Os parâmetros do modelo Lade – Kim obtidos através de ensaios triaxiais
devem ser verificados através de ensaios em células triaxiais a fim de verificar se
conseguem reproduzir o comportamento dos materiais em questão para qualquer
estado de tensão.
A análise pelo método de elementos finitos não conseguiu reproduzir o
efeito de arraste, uma possibilidade seria então considerá – la como uma análise
preliminar, e em seguida aplicar a resposta obtida em uma análise por meio
discreto.
8 Referências Bibliográficas
ABAQUS–Theory Manual, version 6.2.
Abass, H. H.; Habbtar, A. H.; Shebatalham, A. Sand control during drilling,
perforation, completion and production. SPE 81492, Society of Petroleum
Engineers, Bahrain, june, 2003.
Barroso, E. V. Avaliação de um modelo elastoplástico para estudos de
processo de produção de areia em rochas produtoras de petróleo. Rio de
Janeiro, 2002. 188p. Tese de Doutorado. DEC, Puc, Rio.
Biot, M. A. General solution of the equations of elasticity and consolidation
for a porous material. Applied Mechanics Division, paper 55–A7, 1955.
Biot, M. A. General Theory of three – dimensional consolidation. Journal of
applied Physics. Vol. 12(155), p. 155–164, 1941.
Boyce, W; Diprima R. C. Equacões diferenciais elementares e problemas de
valore de contorno. Livros Técnicos e Científicos. Rio de Janeiro, RJ, 1998.
532p.
Coelho, L. C. Modelos de ruptura de poços de petróleo. Rio de Janeiro, 2001.
178 p. Tese de Doutorado. COPPE/UFRJ.
Cook, N. G. W., Ewy, R. T. Deformation and Fracture around cylindrical
openings in rock – I. Observations and analysis of deformations.
International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences & Geomechanics
Abstracts, vol. 27(5), p. 387–407, 1990.
130
Desai, C. S.; Siriwardane, H. J. Constitutive laws for engineering materials
with emphasis on Geologic Materials. Prentice–Hall, Inc., Englewood Cliffs,
New Jersey, 1984. 468 p.
Detournay, E.; Cheng, H–D. Fundamentals of poroelasticity. In
Comprehensive Rock Engineering (Principles, practice and projects),
Pergamon Press, Great Britain, 1993, vol. (2), p. 113–171.
Detournay, E.; Cheng, H–D. Poroelastic Response of a borehole in a
hydrostatic stress field. International Journal of Rock Mechanics and Mining
Sciences & Geomechanics abstracts. Vol. 25 (3), p. 171–182, 1988.
Dormand, J.R.; Prince, P. J. A family of embedded Runge-Kutta formulae.
Journal of Computation and Applied Mathematics. Vol. 6, p. 19–26, 1980.
Dusseault, M. B.; Santarellli, F. J. A conceptual model for massive solids
production in poorly – consolidated sandstones. Rock at Great Depth, Maury
& Fourmaintrauux (eds), Balkema, Rotterdam, 1989.
Ferreira, F. H. Uma implementação numérica para a solução de problemas
de poroelasticidade. Rio de Janeiro, 1996. 155 p. Dissertação de Mestrado.
DEC, PUC, Rio.
Fjaer, E. et al. Petroleum related rock mechanics. Elsevier Science
Publishers, N. Y. 1992. p. 257-268.
Jeremic, B.; Runesson, K.; Sture, S. A model for elastic–plastic pressure
sensitive materials subjected to large deformations. International Journal of
Solids and Structures, vol. 37 (22), p. 3079–3100, 2000.
Jeremic, B.; Yang. Z. Template elastic–plastic computations in
geomechanics. International Journal for Numerical and Analytical Methods in
Geomechanics, vol. 26, p. 1407–1427, 2002.
131
Lade, P. V., Kim, M. K. Single hardening constitutive model for soil, rock
and concrete. International Journal of Solids Structures, vol. 32 (14), p. 1963–
1978, 1995.
Lade, P. V.; Kim, M. K. Modeling rock strength in three dimensions.
International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences & Geomechanics
Abstracts, vol. 21 (1), p. 21-33, 1984.
Lade, P. V.; Kim, M. K. Single Hardening constitutive model for frictional
materials, I–Plastic potential function. Computers and Geotechnics, vol. 5, p.
307–324, 1988.
Lade, P. V.; Kim, M. K. Single Hardening constitutive model for frictional
materials, II–Yield criterion and plastic work contours. Computers and
Geotechnics, vol. 6, p. 13-29, 1988.
Lade, P. V.; Kim, M. K. Single Hardening constitutive model for frictional
materials, III–Comparisons with experimental data. Computers and
Geotechnics, vol. 6, p. 31 - 47, 1988.
Mclean, M. R.; Addis, M. A. Wellbore stability analysis: A review of current
methods of analysis and their field application. SPE 19941, Society of
Petroleum Engineers, Houston, Texas, February, 1990.
Melo, L. T. B. Utilização de um modelo elastoplástico para análise de
deformações em solos. Rio de Janeiro, 1995. 99 p. Dissertação de Mestrado.
DEC, PUC, Rio.
Morita, N. Field and laboratory verification of sand production prediction
models. SPE 27341, Society of Petroleum Engineers, Lafayette, February 1994.
Morita, N.; Boyd, P. A. Typical sand production problems: case studies and
strategies for sand control. SPE 22739, Society of Petroleum Engineers,
132
Dallas, Texas, October 1991.
Morita, N; Whitfill, D. L. Realistic Sand Production Prediction Numerical
Approach. SPE 16989, Society of Petroleum Engineers, Dallas, Texas,
September, 1987
.
Nogueira, C. L. Análise não linear de escavações e aterros. Rio de Janeiro,
1998. 250p. Tese de Doutorado. DEC, PUC, Rio.
Raghavan, R.; Chin, L. Y. Productivity Changes in Reservoirs with stress–
dependent permeability. SPE 77535, Society of Petroleum Engineers, San
Antonio, Texas, October 2002.
Rice, J. R. & Cleary, M. P. Some basics diffusion solutions for fluid–
saturated elastic porous media with compressible constituents. Reviews of
Geophysics and Space Physics, vol. 14 (2), p. 227–241, 1976.
Sloan, S. W. Substepping schemes for the numerical integration of
elastoplastic stress–strain relations. International Journal for Numerical
Methods in Engineering, vol. 24, p. 893–911, 1987.
Sloan, S. W.; Abbo, A.J. Sheng, D. Refined explicit integration of
elastoplastic models with automatic error control. Engineering
Computations, vol. 18(1/2), p.121-151, 2001.
Soares, A. C. Avaliação do colapso de Poros no Campo de Congro. Rio de
Janeiro: PDP/TEP, 2001. 41p. Relatório Técnico.
Soares, A. C. Um estudo experimental para definição do colapso de poros
em rochas carbonáticas. Rio de Janeiro, 2000. 185 p. Dissertação de
Mestrado, COPPE/UFRJ, RJ.
Stehfest, H. Numerical Inversion of Laplace Transform. Communications of
the ACM. vol. 13, p. 47 – 49, 1970.
133
Thomas, J. E. Fundamentos da Engenharia do Petróleo. Rio de Janeiro, RJ,
2001, 271 p.
Tronvoll, J. et al. Hydrodinamic erosion: a potential mechanism of sand
production in weak sandstones. International Journal of Rock Mechanics &
Mining Sciences, vol. 34 (3/4), paper 292.
Tronvoll, J.; Skjaerstein A.; Papamichos, E. Sand Production: Mechanical
Failure or hydrodynamic erosion? International Journal of Rock Mechanics
& Mining Sciences, vol. 34(3/4), paper 291.
Veeken, C. A. M. et al. Sand Production Prediction Review: Developing and
Integrate Approach. SPE 22792, Society of Petroleum Engineers, Dallas,
Texas, October, 1991.
Willam, K. J.; Menétrey, Ph. Triaxial failure criterion for concrete and its
generalization. ACI Structural Journal, vol. 92 (3), p. 311–318, 1995.